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Mensajes - Jorge klan

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Hola

Conviene que dediques unos minutos al tutorial de Latex para que aprendas a editar tus fórmulas. Por ejemplo, esto:

R2(x)

Escrito con Latex te queda: \( R_2[x] \), el cual solo resulta utlizando el comando [tex]R_2[x][/tex].

En cuanto a tu ejercicio:

Lo de p'(x) me lia y no se como resolverlo... ¿Me pueden ayudar?

\( p'(x) \) únicamente denota la derivada del polinomio \( p(x) \), la cual supongo ya has estudiado en algún curso. Te dejo algunas indicaciones:

(a) Nota que

\( f(1)=1-ax\cdot 1'=1-ax\cdot 0=1=1+0x+0x^2 \)

\( f(x)=x+1-ax\cdot x'=x+1-ax=1+(1-a)x=1+(1-a)x+0x^2 \)

\( f(x^2)=(x+1)^2-ax\cdot (x^2)'=x^2+2x+1-2ax^2=1+2x+(1-2a)x^2 \)

Ahora sólo falta que formes la matriz.

(b) Estudia para qué valores de \( a \) la matriz de la parte (a) tiene rango \( 3 \).

(c) Para \( a=1 \) se tiene la siguiente base de \( Im(f) \): \( \{1,-x^2+2x+1\} \). Para responder lo otro, recuerda que si \( B \) es una base, entonces \( f(B) \) es un conjunto generador de \( Im(f) \). En este caso, si \( B \) es tal que

\( Mf(B,B_C)=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

entonces \( \{1,x\} \) es un conjunto generador de \( Im(f) \) (más aún, es una base)... ¿puede ser ésto posible?


Saludos



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Hola

El resultado se sigue fácilmente del hecho que: Los ideales de \( R \) están en correspondencia biyectiva con los ideales de \( M_n(R) \).

Para probar esta biyección, considera un ideal \( J \) cualquiera de \( M_n(R) \) y la idea es construir un ideal de \( R \) a partir de éste. Sea

\( I_J=\{r\in R \mid r=a_{ij},\;\mbox{ donde } (a_{kl})\in J\}  \)

(conjunto de elementos de \( R \) que son entrada de alguna matriz en \( J \)). Sea \( E_{ij}\in M_n(R) \) la matriz cuya entradas son todas nulas, salvo que en el lugar \( (i,j) \) la entrada es \( 1 \) (en otras palabras, son los elementos de la base canónica de \( M_n(R) \)).

A continuación, probaré que \( I_J \) es un ideal y para ello utilizaré las matrices \( E_{ij} \), de modo que es bueno hacer la siguiente observación:

1) Dada una matriz \( A\in M_n(R) \). \( E_{ij}A \) es la matriz cuyas entradas son todas nulas, salvo las entradas en la fila \( i \) que corresponden a las entradas de la fila \( j \) de la matriz \( A \).

2) Análogamente, \( AE_{ij} \) es la matriz cuyas entradas son todas nulas, salvo las entradas de la columna \( j \) que corresponden a las entradas de la columna \( i \) de la matriz \( A \).

Para probar que \( I_J \) es un ideal de \( R \), debemos probar que dados \( a,b\in I_J \) y \( r\in R \), se debe tener que:

(i) \( a-b\in I_J \). En efecto, como \( a,b\in I_J \) existen \( A=(a_{ij}),\;B=(b_{ij})\in J \) tales que \( a=a_{ij} \) y \( b=b_{kl} \). Nota que, como \( J \) es ideal de \( M_n(R) \), se tiene que \( E_{ki}AE_{jl}+(-Id_n)B\in J \) y cuya entrada \( (k,l) \) es justamente el elemento \( a-b \). Luego, \( a-b\in I_J \).

(ii) \( ra,\;ar\in I_J \). Para esto, nota que \( (rId_n)A\in J \) cuya entrada \( (i,j) \) es \( ra_{ij}=ra \). Luego \( ra\in I_J \). Análogamente, \( ar\in I_J \), pues \( A(rId)\in J \).

Para ir finalizando, te dejo de ejercicio probar que si \( T \) es un ideal de \( R \), entonces \( M_n(T) \) es un ideal de \( M_n(R) \). Por construcción, tenemos que la biyección viene dada por:

\( \begin{array}{ccc}\{I\subseteq{} R \mid I\;\mbox{ es ideal de }\; R\}&\longleftrightarrow{}&\{J\subseteq{} M_n(R) \mid J\;\mbox{ es ideal de }\; M_n(R)\}\\
I&\rightarrow{}&M_n(I)\\
I_J&\leftarrow{}&J\end{array} \)

Como decía al principio, tu resultado es fácil de obtener a partir de esto, pues como \( K \) es un cuerpo, entonces es un anillo simple y como los ideales de \( M_n(K) \) están en correspondencia biyectiva con los ideales de \( K \), se sigue que \( M_n(K) \) es un anillo simple.

Cualquier duda, preguntar.


Saludos


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Geometría y Topología / Re: Funciones
« en: 28 Agosto, 2011, 12:57 am »
Hola

Un camino sería estudiando la curva con derivadas. Primero, el dominio de la función es \( \mathbb{R}-\{0\} \). Ahora

\( V'(x)=V_0\left(\dfrac{(x-a)(x+a)}{ax^2}\right) \)

Estudiando los signos de esta función (derivada), podrás notar que \( V \) es creciente en los intervalos \( ]-\infty,-a[ \) y en \( ]a,\infty[ \), y decreciente en \( ]-a,a[ \). \( V(-a)=-2V_0 \) es un máximo local y \( V(a)=2V_0 \) es un mínimo local.

Asíntotas: No tiene asíntotas horizontales, pues \( \dsplaystyle\lim_{x\to \pm \infty}V(x)=\pm \infty \) y la única asíntota vertical es \( x=0 \). También puedes notar que \( \dsplaystyle\lim_{x\to 0^{\pm}}V(x)=\pm \infty \).

Te dejo una gráfica que hice en Geogebra con los valores \( V_0=2 \) y \( a=3 \) para que te guíes

Spoiler
[cerrar]


Saludos




64
Hola

Recuerda que \( (ln(f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \), luego

\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{3x-4}=\dfrac{ln(3x-4)}{3}+C \)

Intenta lo mismo para el segundo.

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Orden de elemento de grupo
« en: 27 Agosto, 2011, 10:16 pm »
Hola

La idea para este tipo de ejercicios siempre es la misma: "Jugar con las relaciones". Por ejemplo, nota que

1) \( ab=b^2a \)

2) \( a^2b=a(ab)=ab^2a=(ab)ba=(b^2a)ba=b^2(ab)a=b^2b^2aa=b^4a^2 \)

3) Del mismo modo, utilizando recursivamente la relación (1) se tiene que: \( a^3b=b^8a^3 \)

Nota que podemos conjeturar lo siguiente: \( a^nb=b^{2^n}a^{n} \) y lo cual podemos probar por inducción ( te dejo este trabajo si te interesa)

Si no quieres hacer la inducción, puedes seguir trabajando como en los pasos (1), (2) y (3) y tendrás que:

\( a^5b=b^{32}a^{5} \)

pero \( a^5=e \), luego \( b=b^{32} \), es decir, \( b^{31}=e \). Entonces, el orden de \( b \) divide a \( 31 \), luego, el orden de \( b \) es 1 ó 31. Si \( b \) es no nulo, se sigue que el orden \( b \) es 31.


Saludos

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Esquemas de demostración - Inducción / Re: inducción completa
« en: 26 Agosto, 2011, 09:19 pm »
Hola

disculpa mi ignorancia ,pero si podrias poner mas pasos.

Fernando pone todos los pasos necesarios, tal vez no entiendas qué es lo que hace y en dónde utiliza la hipótesis inductiva:

1) Separa el producto

\( \displaystyle\prod_{i=1}^n \left(1 - \displaystyle\frac{1}{(i+1)^2}\right) =\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1} \left(1 - \displaystyle\frac{1}{(i+1)^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\right) \)

2) Por hipótesis inductiva se tiene que:

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1} \left(1 - \displaystyle\frac{1}{(i+1)^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n} \)

Recuerda que se supone que es verdadero para \( n-1 \) y se demuestra que la proposición es verdadera para \( n \) (usualmente, uno supone verdadera la proposición para \( n \) y demuestra que es verdadera para \( n+1 \)...pero es lo mismo)

3) Reemplazando (2), se tiene que:

\( \begin{array}{c}\displaystyle\prod_{i=1}^n \left(1 - \displaystyle\frac{1}{(i+1)^2}\right)=\left(\dfrac{n+1}{2n}\right)\left(1-\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\displaystyle\frac{\cancel{n+1}}{2n}\cdot \displaystyle\frac{n^2+2n}{(n+1)^{\cancel{2}}}=\dfrac{1}{2\cancel{n}}\cdot \dfrac{\cancel{n}(n+2)}{n+1}=\dfrac{n+2}{2n+2}\end{array} \)

es decir, la proposición es verdadera para \( n \).

Si no entiendes, dinos qué paso te incomoda.

Saludos




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Estructuras algebraicas / Re: Orden de elementos de grupo
« en: 26 Agosto, 2011, 04:11 am »
Hola

Sólo paso por un detalles. Que \( (ba)^n=e \), no implica que el orden de \( ba \) sea \( n \), sólo podemos decir que el orden de \( ba \) divide a \( n \). Pero de modo análogo, puedes mostrar que \( n \) divide al orden \( ba \) y por tanto \( |ab|=n \).

Saludos

68
Cálculo 1 variable / Re: binomio de Newton
« en: 24 Agosto, 2011, 02:03 am »
Hola

1) Aplicando el binomio de Newton se tiene que

\( ( 3 a^2m - 2a)^{11}=\displaystyle\sum_{k=0}^{11}\displaystyle\binom{11}{k}(3 a^2m)^{11-k}\cdot (-2a)^k \)

El octavo término es cuando \( k=7 \), es decir:

\( \displaystyle\binom{11}{6}(3 a^2m)^{11-7}\cdot (2a)^7 \)

te queda reducir el térnimo.

2) Aplicando el binomio de Newton se tiene que

\( \begin{array}{rcl}(2x^4 - 1/2x)^n&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}(2x^4)^{n-k}\cdot (- 1/2x)^k\\[5mm]
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}2^{n-k}x^{4(n-k)}\cdot x^{-k}(- 1/2)^k\\[5mm]
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}2^{n-k}\cdot (- 1/2)^kx^{4n-5k}\end{array} \)

El séptimo término es para \( k=6 \), es decir:

\( \binom{n}{6}2^{n-6}\cdot (- 1/2)^6x^{4n-30} \)

Luego, para que \( x \) tenga exponente 18, se debe tener que \( 4n-30=18 \), esto es, si y sólo si \( n=12 \).

Cualquier duda pregunta


Saludos

69
Hola

Te doy algunas indicaciones:

1) Si \( H \) es un subgrupo de \( G \) de orden \( p \), entonces, es cíclico generado por algún \( x\in G \). Nota que cualquier elemento no nulo de \( H \) también genera \( H \), luego si \( K \) es otro subgrupo do orden \( p \) de \( G \), distinto de \( H \), necesariamente se debe tener que \( H\cap K=\{e\} \). Nota entonces que si tienes \( p+1 \) subgrupo de orden \( p \) en \( G \), la cantidad de elementos distintos en \( G \) es:

\( (p-1)(p+1)+1=p^2-1+1=p^2=|G| \). Luego, no puedes tener más que \( p+1 \) subgrupos distintos, pues sobrepasarías la cantidad de elementos de \( G \).

Para los ejemplos considera \( Z_2\times Z_2 \), el cual tiene 3 sugrupos de orden \( 2 \) y \( Z_4 \), el cual tiene 1 subgrupo de orden 2.

2) Por un famoso teorema de tiene que: Si \( K\leq H\leq G \), entonces \( [G:K]=[G:H][H:K] \). En particular tenemos que \( H\cap K\leq H\leq G \), luego \( [G:H\cap K]=[G:H][H:H\cap K] \). Entonces, bastaría probar que \( [H:H\cap K] \) es finito y para esto considera la función:

\( f:H/H\cap K \to G/K \) dada por \( f(h (H\cap K))=hK \). Prueba que \( f \) es inyectiva y utiliza el hecho que \( |G/K|=[G:K] \) es finito para concluir.

Cualquier duda pregunta.


Saludos

70
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Ecuación matricial
« en: 21 Agosto, 2011, 10:46 pm »
Hola

podemos hacer esto

                          \( (A+I)X=B\Rightarrow{X=(A+I)^{-1}B} \)

parece que es necesario que \( A \) sea invertible

No necesariamente, por ejemplo:

\( A=\begin{bmatrix}{-1}&{0}\\{2}&{-1}\end{bmatrix} \) es invertible, pero \( A+I=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{2}&{0}\end{bmatrix} \) no es invertible.

Entonces, para que sea soluble, se debe tener que \( A+I \) es invertible. Tal vez haya una condición más óptima sobre \( A \) de tal  modo que \( A+I \) sea invertible...mmm, pero no sé.

Saludos

71
Estructuras algebraicas / Re: Definición de módulo
« en: 21 Agosto, 2011, 07:48 pm »
Hola

En analogía a cuando tenemos una una acción de grupo \( \cdot:G\times X\to X \), ésta induce al homomorfismo:

\( f:G\to Biy(X) \) ( donde \( Biy(X) \) es el grupo de biyecciones de \( X \) ), dado por \( f(g)(x):=g\cdot x \)

En este caso, el homomorfismo de anillos viene dado por:

\( \begin{array}{llllll}A&\longrightarrow{}&End(M)&&&&\\
a&\to&f(a):&M&\longrightarrow{}&M\\
&&&x&\to&f(a)(x):=a\cdot x\end{array} \)

donde \( \cdot:A\times M \to M \) es la acción que satisface las condiciones indicadas en tu mensaje. Nota que:

a(x+y)=ax+ay,

Nos dice que \( f \) es una aplicación bien definida.


(a+b)x=ax+bx, 

Nos dice que \( f \) respeta la suma.


(ab)x=a(bx), 

Nos dice que \( f \) respeta la multiplicación y por tanto \( f \) es un homomorfismo de anillos


1x=x

Nos dice que envía identidad en identidad.

Te queda revisar los detalles.

Saludos



72
Ese contraejemplo no vale porque \( \mathbb{Z} \) con la resta no es un semigrupo (no es asociativo).

Tengo claro que \( \mathbb{Z} \) con la resta no es asociativo y por tanto no es semigrupo, pero el contraejemplo que te doy es para invalidar lo que dices acá:

Aunque en la definición sólo se pide que \( G \) tenga neutro derecho (o equivalentemente neutro izquierdo)

Un conjunto no tiene por qué ser semigrupo para que tenga neutro, luego mi contraejempo si es válido. En definitiva, siempre es necesario exponer la existencia del elemento neutro tanto como izquierdo y derecho... y como bien tú dices, la igualdad se dará de manera natural.

Agregado: Leí muy rápido tu segundo mensaje. Ahora entiendo lo que mencionas, pero esto es válido por una proposición, pero no por definición

Saludos

 

73
Estructuras algebraicas / Re: Semigrupos
« en: 20 Agosto, 2011, 01:05 am »
El Lema es válido para semigrupos finitos. Acá hay una prueba de mathtruco.

Saludos

74
Estructuras algebraicas / Re: Módulos
« en: 19 Agosto, 2011, 10:56 pm »
Hola

Creo que tienes un error de tipeo, pues para que esté bien definida la composición \( f\circ u \), acá:

\( \overline{u}:Hom(M',N)\longrightarrow{Hom(M',N)} \)

Deberìa ser:

\( \overline{u}:Hom(\color{red}M\color{black},N)\longrightarrow{Hom(M',N)} \)

Acá, lo que tarjo está demás:

Pensé en algo como esto:
\( \overline{u}(f)=f\circ{u} \), \( u:=M'\longrightarrow{M} \)
Sea \( m\in{M} \)
\( \overline{u}(f+f')\cancel{=\overline{u}(f)+\overline{u}(f')} \)
                         \( = (f+f')\circ{u} \)
                         \( =(f+f')[u] \)
                         \( =f(u)+f'(u) \)
                         \( =f\circ{u}+f'\circ{u} \)
                         \( =\overline{u}(f)+\overline{u}(f') \)


También creo que es un error de tipeo, pues después de esa línea, aplicas bien la definición de la función \( \overline{u} \). Aparte de esto, tu demostración es correcta, ahora sólo te falta verificar que \( \overline{u} \) también respeta la acción de \( A \) sobre los módulos de Homomorfismos.

Saludos

75
Cálculo 1 variable / Re: Como resolver esta función
« en: 19 Agosto, 2011, 02:01 am »
Hola

Desconozco un método para resolver la ecuación \( f(x)=0 \) (esto es lo que me propone el título de tu mensaje), pero al parecer sólo te piden determinar el número de soluciones y dónde se localizan. Para esto, un modo sería estudiando la función con los criterios de la derivada y luego concluir con el teorema del valor medio. ¿Conoces estos métodos?

76
Cálculo 1 variable / Re: Demostración con funciones
« en: 19 Agosto, 2011, 12:44 am »
Hola

Tu demostración es esencialmente buena, pero le falta un poco de orden. Primero planteamos qué es lo que queremos demostrar:

Dados \( a,b\in (2,6) \) tales que \( a<b \), debemos probar que \( f(a)<f(b) \). Ahora, utilicemos ordenadamente las hipótesis:

1) Tenemos que \( 2<a<b<6 \). Multiplicando por -1 en la desigualdad tenemos que \( -6<-b<-a<-2 \), es decir, \( -a,-b\in (-2,-6) \).

2) Utilizamos la hipótesis que \( f \) es creciente en \( (-6,-2) \): Tenemos que \( f(-b)<f(-a) \).

3) Utilizamos que la función es impar: Tenemos que \( f(-b)=-f(b)<-f(a)=f(-a) \).

4) Finalmente, multiplicamos por -1 la última desigualdad y tenemos que \( f(b)>f(a) \), como se quería probar.

Saludos

77
Coincido en lo que dices en cierta parte. Nota que si consideras \( \mathbb{Z} \) con la operación resta, \( 0 \) solamente es un neutro derecho. Entonces, para que sea completamente verdadero lo que dices, necesariamente se debe probar que también existe el neutro por la izquierda, y en este caso, ambos coinciden.

Saludos

78
Estructuras algebraicas / Re: Ideal principal
« en: 18 Agosto, 2011, 06:30 am »
Hola

\( \{0\} \) es un ideal principal, pues está generado por \( 0 \). Recuerda que, por definición \( <A> \) es el ideal más pequeño que contiene a \( A \), luego, no hay duda que \( <\{0\}>=\{0\} \).

Saludos

79
Hola Tanius

Luego de tu hipótesis, la idea consiste en demostrar que \( e_a \) es un neutro derecho para todo \( b\in G \). Utilizando nuevamente la hipótesis, tenemos que para cualquier \( b\in G \), existe \( f\in G \) tal que \( fa=b \), luego

\( be_a=(fa)e_a=f(ae_a)=fa=b \)


Lo cual implica que \( e_a \) es neutro derecho en \( G \). Del mismo modo, puedes probar que existe \( e\in G \) que es neutro izquierdo, es decir, para todo \( b\in G \) se tiene que \( eb=b \). Ahora

\( e_a=ee_a=e \)

Lo cual implica que \(  e=e_a \) es neutro de \( G \).


Saludos

80
Me atrevo a decir que no has leído detenidamente mis mensajes. Vamos con calma:

\( \begin{array}{rcl}\dfrac{yx^2-xy^2}{x^3-y^3} + \dfrac{1}{x-y}-\dfrac{x-y}{x^2-2xy+y^2}
&=&\dfrac{xy\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}(x^2+xy+y^2)} + \dfrac{1}{x-y}-\dfrac{\cancel{x-y}}{(x-y)^{\cancel{2}}}\\
&=&\dfrac{xy}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-y}\\[5mm]
&=&\dfrac{xy}{x^2+xy+y^2}\end{array} \)

Lo único que utilicé, son factorizaciones usuales: \( (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \) y \( x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) \).

Si tienes dudas, indícame exactamente qué paso no entiendes.


Saludos

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