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Mensajes - Jorge klan

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Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo
« en: 22 Septiembre, 2011, 04:42 am »
En el primero, la función determinante no puede ser un homomorfismo, pues \( det(Id)=1 \), es decir, no envía neutro en neutro. Lo más seguro es que para encontrar los homomorfismo debes trabajar con los generadores de \( SL_2(\mathbb{R}) \):

\( \left\{ \begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{x}&{0}\\{0}&{x^{-1
}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{1}&{y}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\right\} \)


Para el segundo se debe tener en cuenta que \( K \) es un grupo abeliano, si no, \( Hom(T,K) \) no es un grupo ( \( T \) un grupo cualquiera). En este caso, considera las funciones \( \phi(h)=(h\circ i_{G},h\circ i_{H}) \), donde \( i_{T} \) denota el homomorfismo inclusión, y \( \psi(h_1,h_2)=h_1\times h_2 \) ( para ser más explícito \( h_{1}\times h_{2}(g,h)=h_{1}(g)h_{2}(h) \). Luego, prueba que

1.- \( \phi \) y \( \psi \) son homomorfismos.

2.- \( \phi\circ \psi=Id_{Hom(G,K)\times Hom(H.K)} \) y \( \psi \circ \phi=Id_{Hom(G\times H,K)} \)



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Estructuras algebraicas / Re: Orden Automorfismo
« en: 22 Septiembre, 2011, 03:28 am »
Sugerencia: Para poner \( Z_{15} \) es conveniente usar [tex]Z_{15}[/tex] en vez de [tex]Z_1_5[/tex]

O sea tengo que buscar un grupo que sea isomorfo a \( Z_1_5 \times{} Z_3_2 \) 

Según 1 \( Z_{15}\times Z_{32}\cong Z_{480} \). Según 2 \( Aut(Z_{15}\times Z_{32})\cong Aut(Z_{480}) \). Ahora usa la función de Euler (la cuenta los primos relativos) para concluir.




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Estructuras algebraicas / Re: Orden Automorfismo
« en: 22 Septiembre, 2011, 02:54 am »
Hola

Recuerda que:

1- Si \( a,b\in \mathbb{N} \) son primos relativos, entonces \( Z_a\times Z_b \cong Z_{ab} \)

2- Si \( G\cong G' \), entonces \( Aut(G)\cong Aut(G') \)

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Normalizador
« en: 21 Septiembre, 2011, 11:18 pm »
Edité tu mensaje para que se vea mejor. No es conveniente encerrar las palabras con [tex][/tex], trata de utilizar este comando únicamente para fórmulas. También te lo había indicado acá pepito:

resident91:

Edité tu mensaje. No es conveniente escribir todo el texto en una única fórmula porque, más allá de lo trabajoso que resulta, a veces termina viéndose muy mal el cambio de renglones (especialmente en pantallas de baja resolución).

Con respecto al ejercicio, debes tener cuidado, pues \( (321)\neq (123) \), por esto, la segunda posibilidad no es correcta. La primera está perfecta y justamente \( (14) \) es un elemento en el normalizador. Hice un par de cuentas y creo que es el único elemento no trivial, luego \( N_{S_6}(\{(123),(234)\})=\{Id,(14)\} \) (de todos modos revísalo).

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Grupo Alternado
« en: 21 Septiembre, 2011, 08:57 pm »
Sisi, es que el mensaje original estaba mal escrito (estaba todo el texto adentro de una única fórmula de LaTeX). Es una política mía (compartida con más de uno) para los mensajes mal escritos:

- Indicar qué es lo que está mal (y corregirlo, o solicitar al usuario que lo corrija)

- Dar una breve sugerencia sobre qué aplicar para resolver el ejercicio.

Si les alcanza con esa breve sugerencia, está bien. Y si no, pueden volver a preguntar. Pero la idea es que se acostumbren a que, si quieren respuestas completas de forma directa, tienen que escribir bien.

Concuerdo plenamente contigo en esa política y la respeto. Disculpa por entrometerme antes de tiempo, pues a resident91 ya le había quedado claro con tu sugerencia.

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Grupo Alternado
« en: 21 Septiembre, 2011, 06:55 pm »
Hola

Sólo paso por un comentario

2- Usá esta propiedad para probar que, conjugando al \( (12)(34) \) por elementos convenientes de \( S_n \) se puede conseguir el par de permutaciones que uno quiera.

En realidad, no es tan así, pues al conjugar, la estructura cíclica se mantiene... luego de una conjungación no puedes obtener por ejemplo el elemento \( (123) \). Pero creo que a lo que te refieres es a que puedes obtener todos los elementos de la forma \( (ij)(kl) \) y luego aprovechar la cerradura de \( H \) para concluir que, por ejemplo, \( (123)\in H \), pues \( (123)=(12)(54)(23)(54) \). Del mismo modo, se puede concluir que todo tres ciclo está en \( H \) y por tanto \( A_n\subset{}H \).

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Normalizador
« en: 21 Septiembre, 2011, 06:39 pm »
Hola

Para realizar el ejercicio es bueno recordar el siguiente resultado: Para todo \( \sigma\in S_n \) se tiene que \( \sigma(x_1\;x_2\cdots x_r)\sigma^{-1}=(\sigma(x_1)\;\sigma(x_2)\cdots \sigma(x_r)) \).

Entonces nota que \( \sigma\in N_{S_4}(\{(21),(32)\}) \) si y sólo si:

\( \begin{array}{rcl}\sigma\{(21),(32)\}\sigma^{-1}&=&\{(21),(32)\}\\
\{(\sigma(2)\;\sigma(1)),(\sigma(3)\;\sigma(2))\}&=&\{(21),(32)\}
\end{array}
 \)

Luego, tienes las siguientes posibilidades:

1)
\( \begin{array}{rcl|}(\sigma(2)\;\sigma(1))&=&(21)\\
(\sigma(3)\;\sigma(2))&=&(32)\\ \hline\end{array} \)

2)
\( \begin{array}{rcl|}(\sigma(2)\;\sigma(1))&=&(32)\\
(\sigma(3)\;\sigma(2))&=&(21)\\ \hline\end{array} \)

En la primera posibilidad nota que \( \sigma=Id \) es una "solución" y es la única que satisface el sistema. En la posibilidad 2, nota que un \( \sigma\in S_4 \) tal que \( \sigma(2)=2,\;\sigma(1)=3 \) y \( \sigma(3)=1 \) es una "solución", es decir, \( \sigma=(13)\in S_4 \)... al parecer no hay más "soluciones" (de todos modos revísalo). Por lo tanto

\( N_{S_4}=\{Id,(13)\}=\langle(13)\rangle \)

Intenta el otro con el mismo mecanismo.

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Grupos cíclicos
« en: 21 Septiembre, 2011, 06:13 pm »
¿Cómo resolver algo que es falso? :P

Al parecer no has leído mi comentario:

En realidad se me olvidó comentar algo. En todo lo que hago asumo que \( H \) es el único subgrupo de \( G \) de tal orden... y lo mismo con \( E \), pues en caso contrario, el resultado no es cierto. Podemos tomar como contraejemplo el grupo simétrico \( S_3 \) el cual tiene orden \( 6=2\cdot 3 \), sin embargo éste no es cíclico ya que nisiquiera es abeliano. Este grupo tiene 3 subgrupos de orden \( 2 \), por esto la proposición no es válida.

Agregando eso, el resultado es verdadero y creo que a Feral se le olvidó ponerlo.


Agregado: De hecho, creo que lo dice acá:

G tiene 2 subgrupos, H, E  de ordenes p y q respectivamente...

de manera implícita

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matrices
« en: 19 Septiembre, 2011, 09:08 pm »
Lo que buscas, son las matrices tales que:

\( \begin{bmatrix} {x} & {y}  \\ {z} &{w} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {1} & {1}  \\ {-1} &{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {1} & {1}  \\ {-1} &{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {x} & {y}  \\ {z} &{w} \end{bmatrix} \)

esto es, si y sólo si (multiplicando)

\( \begin{bmatrix} {x-y} & {x}  \\ {z-w} &{z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x+z} & {y+w}  \\ {-x} &{-y} \end{bmatrix} \)

Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus entradas coinciden, entonces, iguala entrada a entrada y resuelve el sistema de ecuaciones obtenido para concluir.

Saludos


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Cálculo 1 variable / Re: Maximos y minimos
« en: 19 Septiembre, 2011, 08:43 pm »
Lo que quieres hacer es encontrar los puntos críticos de tu función \( f(x,y,z)=4x+2y+1.5z \), donde \( x \)representa un "lado" de la caja (son cuatro), \( y \) es el fondo y \( z \) es la tapa, bajo la restricción de que \( xyz=2 \)

Si \( x \), \( y \) y \( z \) representan largo, ancho y alto, entonces la función costo a minimizar es \( C(x,y,z)=2xz+2yz+2xy+1,5xy \), pues \( xz \) representa los pie cuadrado de una de las tapas laterales, \( yz \) los pie cuadrado de la otra tapa lateral y \( xy \) los pie cuadrado de la tapa superior y el fondo. \( C \) sujeta a la restricción indicada por ritzo.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matrices
« en: 19 Septiembre, 2011, 06:12 pm »
Dos matrices son iguales, si y sólo si, éstas tienen el mismo tamaño y además sus entradas coinciden. Entonces, en el primer caso, basta que iguales entrada por entrada y veas si existen \( x \) e \( y \) que satisfagan el sistema de ecuaciones involucrado. El segundo caso, nota que el tamaño de las matrices son distintos, entonces éstas no pueden ser iguales.

Saludos

52
Problemas y Dudas con LaTeX / Re: Como escribir limite inferior con barra
« en: 07 Septiembre, 2011, 02:20 am »
Hola

Otro modo es usando el comando \mathop el cual sirve para poner algo bajo un objeto (por ejemplo, si quieres agregar una condición más a una sumatoria \( \displaystyle\mathop{\sum_{i=1}^n}_{i\neq j}a_i \)). Nos quedaría:

\( \displaystyle\mathop{\underline{\lim}}_{x\to y} \)

Si te incomoda estar a cada rato poniendo este comando o el que sugiere mathtruco, puedes usar en el preámbulo del documento el comando "\newcommand{}{}", donde en el primer paréntesis pones \nombre (el nombre que gustes) y en el otro paréntesis va el comando. Luego, cuando quieras utilizar éste sólo pones $\nombre$.

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: Aplicación de los teoremas de isomoría
« en: 04 Septiembre, 2011, 09:17 pm »
¿Es a eso a lo que te referías?

Sí.

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Estructuras algebraicas / Re: Aplicacion de los teoremas de isomorfia
« en: 03 Septiembre, 2011, 07:32 pm »
Feral: Conviene que dediques unos minutos a leer las reglas del foro. Faltas a ellas al omitir acentos. Anteriormente, también se te había indicado corregir algunos errores de Latex, que por cierto, no atendiste. Por favor, colabora con los foros haciendo caso a las pequeñas correcciones que se te piden.

Con respecto a tu pregunta ¿Intentaste usando el Famoso teorema del Isomorfismo:

\( H/H\cap K\cong HK/K \)?

55
Estructuras algebraicas / Re: isomorfismo de módulos
« en: 01 Septiembre, 2011, 07:12 am »
Hola

Tu idea es correcta.

Spoiler
Si te llegase a complicar la sobreyectividad, para cada \( m\in M \) considera la aplicación \( f_m:A\to M \) dada por \( f_m(a)=ma \), la cual es un homomorfismo
[cerrar]

Saludos

56
Estructuras algebraicas / Re: Grupo Abeliano
« en: 30 Agosto, 2011, 08:42 pm »
hey creo que lo usasste en el hecho de conmutar el exponente mr con rm, verdad??

No, ahí utilizo la abelianidad de \( \mathbb{Z} \), pero no la de \( G \).

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Estructuras algebraicas / Re: Grupo Abeliano
« en: 30 Agosto, 2011, 08:41 pm »
aunque entonces creo que se cumple para cualquier grupo sin necesidad de ser abeliano, pues creo q en esta prueba nunca se uso??

Me quedé pensando un buen rato eso...y no, no uso la abelianidad. También pensé en considerar la siguiente función:

\( f:G\to G \) dada por \( f(g)=g^m \), la cual es biyectiva. Para probar eso basta mostrar que es inyectiva o sobreyectiva (no es astuto mostrar la sobreyectividad, pues estaría probando lo que se quiere inmediatamente). Entonces, supongamos que \( f(g)=g^m=h^m=f(h) \), luego

\( (gh^{-1})^m=1 \)

Entonces, el orden \( gh^{-1} \) divide a \( m \) (y también divide \( n \), por el teorema de Lagrange), pero como \( (m,n)=1 \), necesariamente se debe tener que \( |gh^{-1}|=1 \), luego \( gh^{-1}=e \), es decir, \( g=h \), lo cual prueba que \( f \) es inyectiva y por tanto una biyección. Con esto, es inmediato que dado \( g\in G \) existe \( x\in G \) tal que \( f(x)=x^m=g \)... nuevamente no utilizo la abelianidad.

Saludos

58
Estructuras algebraicas / Re: Grupo Abeliano
« en: 30 Agosto, 2011, 08:12 pm »
Hola

Lo mejor es aplicar la identidad de Bezout: Si \( a,b\in \mathbb{Z} \) son tales que \( (a,b)=d \), entonces existen \( s,r\in \mathbb{Z} \) tales que \( as+br=d \).

En tu caso, si aplicamos Bézout con \( n \) y \( m \), tenemos que existen \( s,r\in \mathbb{Z} \) tales que \( ns+mr=1 \). Luego, dado \( g\in G \), se tiene que

\( (g^{n})^s(g^r)^m=g^{ns+mr}=g \)

Como \( n \) es el orden de \( G \), ¿Cuánto vale \( g^n \)?. Respondiendo a eso, intenta concluir.

Si tienes dudas, sólo escribe.


Saludos

59
Hola

El resultado es falso si el cardinal de \( X \) e \( Y \) no es finito. Por ejemplo considera la inclusión natural \( i:\mathbb{N}\to \mathbb{Z} \) (\( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{Z} \) tienen el mismo cardinal), la cual es inyectiva, pero no suprayectiva.

En el caso de ser finitos mira este hilo (respuesta #5)

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,40158.0.html


Saludos

60
Cálculo 1 variable / Re: Ejercicios de derivadas
« en: 29 Agosto, 2011, 03:14 am »
Hola

Solamente debes utilizar las propiedades que seguramente viste en clases:

1) \( (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)

2) \( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \)

3) Regla de la cadena: \( (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) \)

y la derivada elemental: \( x^n=nx^{n-1} \). Por ejemplo, si utilizas la propiedad (1) para el primero se tiene que

\( y'=(2x^2+3)'(x+4)+(2x^2+3)(x+4)'\stackrel{(2)}{=}((2x^2)'+3')(x+4)+(2x^2+3)(x'+4')=... \)

Intenta seguir. Si tienes problemas, indícanos qué exactamente te complica.


Saludos


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