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Mensajes - Jorge klan

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Cálculo 1 variable / Re: Límites
« en: 04 Octubre, 2011, 01:16 am »
Extraño, pues acá:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,50419.msg199817.html#msg199817

también lo había preguntado, por esto, tema cerrado. Dany, si tienes dudas, puedes preguntar en el mismo hilo que hiciste la pregunta originalmente.

Saludos

22
Cálculo 1 variable / Re: Convergencia uniforme
« en: 03 Octubre, 2011, 04:16 am »
Hola

Un modo es utilizando el teorema de la integral:

Si \( (f_n) \) es una sucesión que converge uniformemente a \( f \) en \( [a,b] \), entonces

\( \lim_{n\to \infty} \displaystyle\int_a^b f_n dx =\displaystyle \int_a^b f dx  \)

También puedes encontrar una sucesión \( (a_n) \)  en \( [0,1] \) de modo que \( f_n(a_n) \) no converge a 0.

Saludos

23
Teoría de Conjuntos / Re: Demostración de conjuntos 3
« en: 02 Octubre, 2011, 08:24 pm »
Sí, es correcto.

Otro modo es:

Si \( x\in(A\cup C)-B \) esto implica que \( x\in A\cup C \), pero \( x\not\in B \), luego:

1) Si \( x\in A-C \), entonces, \( x\in(A-C)\cup (C-B) \).

2) Si \( x\in C \), entonces, \( x\in C-B \) (pues por  hipótesis \( x\not\in B \)) y luego \( x\in(A-C)\cup (C-B) \).

Así, tenemos que \( (A\cup C)-B\subset (A-C)\cup(B-C) \). Nota que es posible hacer el análisis de este modo, pues \( A\cup C=(A-C)\cup C \).

Saludos

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Lógica / Re: Lógica Proposicional
« en: 02 Octubre, 2011, 08:01 pm »
Hola  ;D


Independientemente, de cómo lo haya interpretado yo, ¿cuál sería la forma correcta de realizar o analizar, mejor dicho, el valor de verdad de la proposición a)?????

El valor de verdad lo puedes encontrar por tablas de verdad o bien reduciendo la expresión con equivalentes (como lo estás haciendo tú). Yo al menos prefiero esto último...pero es cosa de gustos o bien cómo te pida el ejercicio el profesor. Ahora, como dije anteriormente, el ejercicio se puede interpretar de las dos formas que indico anteriormente, ¿estás segura que no te faltó tipear un paréntesis?.


b) \( s: \bold{\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ x } \) es multiplo de 9 y \( x \) no es multiplo de 3.

He tomado \( \begin{Bmatrix} \textsf{p: x es multiplo de 9}\\ \textsf{q: x es multiplo de 3}\end{matrix} \). Así la proposición queda: \( s:\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ p\wedge \sim{q}   \)
Negándola sería: \( \sim{\left( \exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ p \wedge \sim{q} \right)} \)

lo que es igual a: \( \forall{x}\in{\mathbb{Z}}/ \sim{p} \vee q   \)   lo que es equivalente a la definición de implicación   \( \forall{x}\in{\mathbb{Z}}/ \ p\Rightarrow{q} \)

Es decir \( \sim{s}: \forall{x}\in{\mathbb{Z}} \) si x es multiplo de 9 entonces es multiplo de 3

Está bien???

Está bien

Saludos

25
Lógica / Re: Lógica Proposicional
« en: 01 Octubre, 2011, 09:02 pm »
Hola

a) \( \bold{p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})  }}} \)

En estricto rigor, el problema no está bien planteado, pues se puede interpretar de dos modos así como está escrito:

\( (p\Rightarrow{q})\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})}} \)

o bien

\( p\Rightarrow({q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})}}) \)

así, el valor de verdad puede depender de cómo lo interpretaste tú.

b) \( s: \bold{\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ x } \) es multiplo de 9 y \( x \) no es multiplo de 3.

Lo que hice en primera instancia es negarla para que la demostración sea sencilla  :-[

Quedando: \( \forall{x}\in{\mathbb{R}}:p\Rightarrow{q} \)
siendo p: x es multiplo de 9 y q: x es multiplo de 3

por el método directo demuestro que \( \sim{s} \) es verdadero por lo tanto \( s \) es falso

Con tus asignaciones la negación de la proposición es:

\( (\forall x\in \mathbb{Z})(\sim p \vee q) \)

es decir

\( (\forall x\in \mathbb{Z})(x \text{ no es m\'ultiplo de } 9 \vee x \text { es m\'ultiplo de } 3) \)

nota que usando la equivalencia \( \sim p\vee q \equiv p\Rightarrow{} q \), esta última proposición nos queda:

\( (\forall x\in \mathbb{Z})(x \text{ es m\'ultiplo de } 9 \Rightarrow{} x \text { es m\'ultiplo de } 3) \)

la cual es verdadera, pues si \( x=9t \), entonces, \( x=3(3t) \).

c) Todo número real, si es racional entonces es entero
 
Falso pues, \( \exists{x}\in{\mathbb{R}} \), con \( 3 \in{\mathbb{Z}} \) y \( 5 \in{\mathbb{Z}} \) tal que 3 y 5 no son múltiplos y \( x=\displaystyle\frac{3}{5} \) pero \( \displaystyle\frac{3}{5}\not\in{\mathbb{Z}} \)

Suponiendo que lo de arriba estuviera bien justificado tuve problemas para negarla quisiera saber si lo hecho estará bien por favor. GRACIAS!!
Existe un número real, tal que es racional y no es entero.

Esto está correcto. La proposición original es:

\( (\forall x\in \mathbb{R})(x\in \mathbb{Q}\Rightarrow{}x\in \mathbb{Z}) \)

la cual es equivalente a

\( (\forall x\in \mathbb{R})(x\not\in \mathbb{Q}\vee x\in \mathbb{Z}) \)

Luego, la negación quedaría:

\( (\exists x\in \mathbb{R})(x\in \mathbb{Q} \wedge x\not\in \mathbb{Z}) \)

Saludos


26
Hola

En ambos casos utiliza el cuadrado de binomio:

\( (a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab=... \)

ya tienes los valores, ahora es cosa de reemplazar y concluir cuidadosamente ( vas a tener dos valores para \( a+b \), pero te piden solo el positivo).

Para el otro caso utiliza que \( 36=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=... \)

desarrolla el cuadrado de binomio y concluye.

Saludos

27
Teoría de Conjuntos / Re: Demostración de conjuntos 3
« en: 01 Octubre, 2011, 08:19 pm »
Hola

Tu razonamiento es correcto, pero desde el punto \( 3 \) te complicas. Desde el punto \( 2 \) veamos los dos casos:

1) Supongamos que \( x\in A-C \). Como \( A\subseteq{}B' \) (supongo que con \( B' \) te refieres al complemento de \( B \)) se tiene que \( x\not\in B \) y \( x\in A\subseteq{}A\cup C \) y por tanto \( x\in (A\cup C)-B \).

2) Ahora, si \( x\in C-B \) es inmediato ¿no?, pues \( x\in C\subseteq{}A\cup C \) y \( x\not\in B \), luego \( x\in (A\cup C)-B \).

Intenta hacer la otra contención.

Saludos

28
Estructuras algebraicas / Re: Ejercicio:Demostrar que es isomorfo
« en: 26 Septiembre, 2011, 06:41 am »
Hola

Los homomorfismos de \( Z_2\times Z_2 \) en \( Z_2\times Z_2 \) están quedan completamente determinado si conocemos la imagen de sus generadores. Entonces, consideremos el conjunto generador \( \{(1,0),(0,1)\} \) y un homomorfismo cualquiera \( \phi \), luego \( \phi \) queda completamente determinado si conoces \( \phi(1,0) \) y \( \phi(0,1) \). Como \( Z_2\times Z_2 \) es de orden 4 entonces tenemos 16 posibilidades de escoger \( \phi(1,0) \) y \( \phi(0,1) \).

Por otro lado, sabemos que \( Im\phi \) está generado por \( \phi(1,0) \) y \( \phi(0,1) \), luego si queremos automorfismos, necesariamente debemos tener que \( \{\phi(1,0),\phi(0,1)\} \) debe ser generador de \( Z_2\times Z_2 \)...esto es para que \( \phi \) sea sobreyectiva y por tanto biyectiva.

Spoiler
Si \( f:A\to B \) es sobreyectiva, donde \( |A|=|B| \) finito, entonces \( f \) es biyectiva. La demostración la puedes ver acá.
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Una vez entendido todo lo anterior podrás notar que los autormofismos de \( Z_2\times Z_2 \) vienen dados por:

\( \begin{array}{ccccccc}\phi_1(1,0)&=&(1,0)&\qquad &\phi_1(0,1)&=&(0,1)\\
\phi_2(1,0)&=&(1,0)&\qquad &\phi_2(0,1)&=&(1,1)\\
\phi_3(1,0)&=&(0,1)&\qquad &\phi_3(0,1)&=&(1,0)\\
\phi_4(1,0)&=&(0,1)&\qquad &\phi_4(0,1)&=&(1,1)\\
\phi_5(1,0)&=&(1,1)&\qquad &\phi_5(0,1)&=&(0,1)\\
\phi_6(1,0)&=&(1,1)&\qquad &\phi_6(0,1)&=&(1,0)\end{array} \)

A partir de esto intenta construir el isomorfismo que necesitas

Spoiler
Nota que si consideras los dos generadores, en cada caso, como columnas, puedes formar un elemento de \( GL_2(Z_2) \)
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Saludos

PD: Por favor atiende a la petición de los acentos que te hice anteriormente



29
Hola

Que la sucesión sea polinomial significa que es de la forma \( u_n=a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots a_1n+a_0 \) para algún \( k\in \mathbb{N} \). En tu caso nota que si ves la diferencia entre los términos consecutivos obtienes las sucesión \( 0,0,3,9,18,30,\ldots \). Si ves nuevamente la diferencia obtienes la sucesión \( 0,3,6,9,12,\ldots \) y si realizas este proceso una vez más obtienes la sucesión constante \( 3,3,3,3,\ldots \).

¿Te ayuda esto a comprender la sucesión?

Saludos

30
Estructuras algebraicas / Re: Estabilizador
« en: 25 Septiembre, 2011, 07:06 pm »
Hola

Como \( x \) e \( y \) están en la misma órbita, existe \( g\in G \) tal que \( g\cdot x=y \). Intenta demostrar que \( G_y=g G_x g^{-1} \) ( \( G_x \) denota el estabilizador de \( x \)).

Saludos

31
sea  S  un conjunto linealmente independiente y tu dices que S es un conjunto linealmente dependiente.

De seguro es una errata...considera \( \{(1,0),(0,1)\} \), el cual es linealmente independiente, pero ninguno de los dos es combinación lineal del otro.

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Justamente es lo que utilizo en el supuesto que \( B \) es linealmente dependiente. Básicamente lo que dice es que de cada conjunto linealmente dependiente puedes extraer un conjunto independiente quitando del conjunto \( B \) los elementos que se pueden escribir en combinación lineal de los otros restantes.

Por ejemplo, considera el conjunto linealmente dependiente \( \{(1,0),(0,1),(1,4),(2,1)\} \). Puedes ver fácilmente que \( (2,1) \) se escribe en combinación lineal de los otros tres, luego te quedas con el conjunto \( \{(1,0),(0,1),(1,4)\} \). Ahora, nuevamente puedes notar que \( (1,4) \) es combinación lineal de los otros dos y te quedas con el conjunto \( \{(1,0),(0,1)\} \) es cual es un conjunto linealmente independiente.

Más aún, uno tiene el siguiente resultado: \( \{v_1,\ldots,v_n\} \) es linealmente independiente si y sólo si ninguno de los vectores \( v_i \) se puede escribir en combinación lineal de los otros restantes.

En tu caso como \( B \) es un conjunto generador y de él extraes un conjunto linealmente independiente de tal modo que los elementos que quitaste se escriben como combinación del conjunto nuevo, entonces este nuevo conjunto sigue siendo un conjunto generador y por tanto obtienes una base

¿Se entiende más o menos?

33
Hola

Bueno, todo depende se qué resultados puedes utilizar. Por ejemplo, puedes primero suponer que si \( B=\{v_1,\ldots,v_n\} \) es linealmente independiente, entonces \( B \) es una base de \( V \) y luego \( \dim(V)=n \). Ahora, si \( B \) es linealmente dependiente, entonces, existen \( i_1,i_2,\ldots, i_r\in \{1,\ldots,n\} \) de modo que \( A=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_r}\} \) es linealmente independiente y donde cada \( v_j\not\in A \) (los que "desaparecieron") es tal que se escribe en combinación lineal de elementos de \( A \). De esto se sigue que \( A \) es una base de \( V \) y es tal que \( \sharp(A)=r<n \).

Si no puedes utilizar este resultado, cuéntanos qué es lo que tienes a mano.

Saludos

34
Hola

En realidad la matriz asociada con respecto la base canónica es la traspuestas de la matriz que pones, es decir

\( M=[f]_{C}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{2}&{-3}&{2}\\{3}&{-2}&{1}\end{bmatrix} \)

Ahora, siguiendo lo indicado en el hilo que te dejé, debes encontrar las matrices invertibles \( P \) y \( Q \) de modo que \( PMQ=\begin{bmatrix}{I_2}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \). El procedimiento para encontrar estas matriz de seguro lo viste en el curso (es tal como lo indico en el hilo que te dejé). Haciendo los cálculos, las matrices son:

\( P=\begin{bmatrix}{1/2}&{1/4}&{0}\\{-1/2}&{1/4}&{0}\\{-1}&{-1}&{1}\end{bmatrix} \) y \( Q=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1/4}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{5/4}\end{bmatrix} \)

Por un conocido teorema tenemos que \( [f]_{B}^{B'}=[I_3]_{C}^{B'}[f]_{C}[I_3]_B^{C} \), donde \( I_3 \) es la matriz identidad de orden \( 3 \) y, \( B \) y \( B' \) son bases de \( \mathbb{R}^3 \). Entonces, basta tomar \( [I_3]_{C}^{B'}=P \) y \( [I_3]_{B}^C=Q \) y deducir las bases \( B \) y \( B' \) buscadas.

35
Hola

Acá hay una idea de cómo realizar este tipo de ejercicios. Es fácil luego que conoces el mecanismo, pero las cuentas son un poco engorrosas...intenta algo a partir de esta idea y si te quedan dudas las expones y con gusto te ayudaremos.

Saludos

36
Estructuras algebraicas / Re: Ejercicio:Demostrar Isomorfimo
« en: 25 Septiembre, 2011, 12:09 am »
Conviene que dediques unos minutos a leer las reglas del foro para que entiendas que debes agregar cada uno de los acentos faltantes a las palabras correspondientes. También, como sugerencia, es mejor que utilices el comando [tex]\phi[/tex] en vez de [tex]\emptyset[/tex] para generar \( \phi \).

Con respecto a tu pregunta nota que la sobreyectividad es inmediata del hecho que \( H\subseteq{}N_G(H) \) (¿es claro?), pues para \( hZ(H)\in H/Z(H) \) basta tomar como preimagen a \( h \).

¿Qué es \( Z_g(H) \)?. También entiendo que con \( N_g(H) \) te refieres a \( N_G(H) \)

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Estructuras algebraicas / Re: Ejercicio:Demostrar Isomorfimo
« en: 24 Septiembre, 2011, 01:27 am »
Es correcto lo que dices.

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Estructuras algebraicas / Re: Ejercicio:Demostrar Isomorfimo
« en: 24 Septiembre, 2011, 01:15 am »
Hola

1-\( N_g(H)/C_g(H)\approx H/Z(H) \)

pienso en darme la funcion \( \emptyset(h) \)=hZ(H) , pero la verdad no estoy muy seguro

Supongo que consideras las función \( \phi \) de \( N_{G}(H) \) en \( H/Z(H) \) y luego quieres aplicar el teorema del isomorfismo ¿o no?. Si es así, es correcto.

Spoiler
Otro camino es notar que \( N_G(H)/C_G(H)\cong Int(H)\cong H/Z(H) \), donde \( Int(H) \) denota el grupo de automorfismos interiores de \( H \)
[cerrar]

Saludos

39
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matriz ortogonal
« en: 24 Septiembre, 2011, 01:07 am »
Hola nktclau. Estoy bien, gracias por preguntar... espero que tú también estés bien  ;).

\( A^t=A^{-1} \)

\( (A^t)^t=(A^{-1})^t \)

\( A=(A^{-1})^t \)
es así??

Sí, está bien. Nota que tienes que \( (A^{-1})^{-1}=(A^{-1})^t \) y esto significa que \( A^{-1} \) sea ortogonal.

Saludos

40
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matriz ortogonal
« en: 24 Septiembre, 2011, 12:04 am »
Hola

si A es inversible entonces \( A^t \) es inversible y \( (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t \) luego vemos que verifica.

Lo que estás diciendo acá es únicamente la propiedad de la traspuesta con respecto a la inversa de una matriz, pero lo que debes demostrar es que \( (A^{-1})^t=(A^{-1})^{-1} \), es decir, \( (A^{-1})^t=A \), lo cual es fácil probar apartir de la hipótesis que \( A^t=A^{-1} \) y además utilizando la propiedad que mencionas en la cita.

Spoiler
Tal vez sería más inmediato aplicar traspuesta en la hipótesis \( A^t=A^{-1} \)
[cerrar]



Saludos

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