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Mensajes - Fernando Revilla

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Prueba que si f y g son holomorfas en un dominio D y Re(f) = Re(g) en D, entonces g = f + ik en D (con k ∈ R).

Las funciones las puedes expresar \( f=u+iv \), \[ g=u+iw \] con lo cual, \( g=f+i(w-v) \). Si aplicas las ecuaciones de Cauchy-Riemann a las funciones \[ f,g \] obtendrás \[ (w-v)_x=(w-v)_y=0 \] con lo cual, \[ w-v=k \] (constante).

P.D. En este caso no era muy imprescidible, pero en cualquier caso es mejor usar LaTeX para escribir las fórmulas.
Editado: te lo he arreglado para comparar la estética.

2
Spoiler
Si sólo fuera cuestión de un nombre, sería un debate absurdo. Y lo es desde el momento que uno trabaja al menos con los números enteros. Entonces tienes el cero ahí, a mano, para usarlo cuando quieras sin que importe si lo calificas de natural o no. Pero lo que argumento es que ya no es una cuestión de un mero nombre cuando eliminas los números enteros de escena. Si trabajas en contextos en los que no tienes números enteros, pero sí números naturales, ¿se queda el cero o se va? Y he puesto varios ejemplos de contextos así:

1) Las matemáticas que le enseñas a un niño antes de hablarle de números negativos.
2) Los números naturales que se usan en teoría de conjuntos pura (donde puedes escribir páginas y más páginas sin que aparezca un número negativo ni por asomo).
3) Un desarrollo axiomático a partir de los axiomas de Peano, pero no como una colección de teoremas de la teoría de conjuntos, donde apenas pasas dos páginas y ya aparecen los enteros, sino como teoría lógica independiente, en la que tienes que trabajar con números naturales sin poder apelar a los enteros durante al menos un par de decenas de páginas.
4) La aritmética de bajo nivel que usan los ordenadores para interpretar instrucciones más sofisticadas, que sólo manejan números naturales en un rango finito.
[cerrar]

Y podrás dar todas las explicaciones justificadas que quieras sobre las bonanzas sobre el \[ 0 \] (que las tiene). Y yo te seguiré diciendo que todas esas razones no justifican ni decir que el \[ 0 \] es un número natural ni lo contrario. Me mantengo, no hay debate :).

3
Cualquier matemático sabe que \( \mathbb{Z}_{\ge 0} \) y \( \mathbb{Z}_{>0} \) son conjuntos distintos. Un amigo que vino de Marte (no es martiniano), me dijo que allá también conocen ambos conjuntos y que a \( \mathbb{Z}_{>0} \) le llaman set naturalis y a \( \mathbb{Z}_{\ge 0} \) conjunto natura aro. Y es que estos marcianos no saben ni hablar.

La cuestión no es cómo hablan, sino en qué términos exponen la teoría de cardinales finitos, o qué hacen cuando enseñan los números naturales a los marcianitos antes de informarles de que hay números negativos, o qué conjunto consideran cuando estudian aritmética sin números negativos, de forma autocontenida, etc.

¿Y todo eso depende del nombre que le das a cada conjunto que mencioné? Hemos quedado que para los marcianitos el conjunto \[ \{0,1,2,3,\ldots\} \] (que es más importante que el \[ \{1,2,3,\ldots\} \] para todo lo que dices), no son números naturales, son natura aros. Pareciera que Dios en su infinita sabiduría nos reservo a  los terrícolas el término natural para incluir el \( 0 \). Sencillamente, este debate se me antoja esteril. Más aún, no existe debate.

4
El apartado b quedaría así?
\( f(0)=0, f'(0)=\frac{1}{(0+1)^0}=1 f''(0)=\frac{0+1}{(0+2)^{0+1}}= \frac{1}{2} \) \( f(1) = \sum_{n=1}^3\frac{1^n}{n^n} = \frac{1}{1^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3} \)

Puede que lo entiendas mejor sin sumatorios. Tenemos:

        \[ f(x)=x+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^3}+\frac{x^4}{4^4}+\ldots \]
        \[ f^\prime (x)=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3^2}+\frac{x^3}{4^3}+\ldots \]   
        \[ f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{2}+\frac{2x}{3^2}+\frac{3x^2}{4^3}+\ldots \]
Enonces,

        \[ f(0)=0+\frac{0^2}{2^2}+\frac{0^3}{3^3}+\frac{0^4}{4^4}+\ldots=0. \]
        \[ f(1)\approx 1+\frac{1^2}{2^2}+\frac{1^3}{3^3}. \]
        \[ f^\prime (0)=1+\frac{0}{2}+\frac{0^2}{3^2}+\frac{0^3}{4^3}+\ldots=1. \]
        \[ f^\prime (1)\approx{}1+\frac{1}{2}+\frac{1^2}{3^2}. \] 
        \[ f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{2}+\frac{2\cdot 0}{3^2}+\frac{3\cdot 0^2}{4^3}+\ldots=\frac{1}{2}. \]
       
El apartado c)
\( f'(x) = \sum_{n=1}^\infty{} \frac{nx^{n-1}}{n^n}= \sum_{n=0}^\infty{}\frac{x^n}{n+1^n} \)
\( f''(x) = \sum_{n=1}^\infty{}\frac{nx^{n-1}}{n+2^n} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(n+1)x^n}{(n+2)^{n+1}}} \)

Ya las hemos hallado en el apartado b). Comprueba que son

        \[ f^\prime (x)=\sum_{n=1}^\infty   \frac{x^{n-1}}{n^{n-1}},\quad f^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^\infty   \frac{(n-1)x^{n-2}}{n^{n-1}}. \]

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Cualquier matemático sabe que \( \mathbb{Z}_{\ge 0} \) y \( \mathbb{Z}_{>0} \) son conjuntos distintos. Un amigo que vino de Marte (no es martiniano), me dijo que allá también conocen ambos conjuntos y que a \( \mathbb{Z}_{>0} \) le llaman set naturalis y a \( \mathbb{Z}_{\ge 0} \) conjunto natura aro. Y es que estos marcianos no saben ni hablar.

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De la primera, despejando se tiene que  \[  n = \lim_{x \to{+}\infty}(f(x)-mx) \]. De la segunda, \[ \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)-mx-n}{x}=0. \ \ \Leftrightarrow{}\ \ \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to{+}\infty}\frac{mx + n}{x} = m \].
¿Correcto? Lo que me fallaba en la comprensión era el significado de asíntota oblícua, que queda claro con la definición que das de asíntota oblícua \[ \lim_{x \to{+}\infty}(f(x)-mx-n)=0 \] y que interpreto como recta que en  el infinito se aproxima a los valores de la función.

Sí, es correcto.

7
Si A es una matriz involutiva:
     a)Demostrar que 1/2(I+A) y 1/2(I-A) son idempotente
     b)Calcular((1/2(I+A)*(1/2(I-A)

Debes escribir los títulos comenzando com mayúsculas (te lo he corregido), escribir las fórmulas en código LaTeX y mostrar en cada hilo lo que has intentado.

Por ejemplo, por definición de matriz involutiva \( A^2=I \) entonces, operando: \[ [1/2(I+A)]^2=\ldots=1/2(I+A) \], con lo cual, \( 1/2(I+A) \) es idempotente. Insisto, escribe lo que has intentado.

8
Al aplicar el criterio de la raíz, quedaría así?
\(  lim_{x\rightarrow{}\infty} \sqrt[n ]{a_n} = c  \rightarrow{} \) si \(  c >1  \) divergente, si \(  c <1 \) convergente, si \(  c = 1 \), no da información.
\(  lim_{x\rightarrow{}\infty} \sqrt[n ] \frac{x^n}{n^n} = lim_{x\rightarrow{}\infty} \sqrt[ n] \frac{x}{n}^ n = lim_{x\rightarrow{}\infty} \frac{x}{n} = 0 \) converge

Es correcto, converge para todo \( x\in\mathbb{R} \). Supongo que el \( x\to +\infty \) es una errata. Debería ser \( n\to +\infty \).

Ayudenme no se que mas hacer!! Necesito terminarlo  :'(

Para el apartado b) y tal como está redactado, el valor de \[ f(0)= \sum_{n=1}^\infty   \frac{0^n}{n^n}=0 \] es exacto. El de \( f(1) \) basta que tomes algunos términos de la serie, por ejemplo \[ f(1)\approx{}\sum_{n=1}^3\frac{1^n}{n^n}=\frac{1}{1^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}. \]
Ten en cuenta que por el conocido teorema de derivación de series enteras,

        \[ f^\prime (x)=\left(\sum_{n=1}^\infty   \frac{x^n}{n^n}\right)^\prime=\sum_{n=1}^\infty   \frac{nx^{n-1}}{n^n}=\sum_{n=1}^\infty   \frac{x^{n-1}}{n^{n-1}}. \]

Con todo lo que te he dicho puedes terminar. Escríbelo y te lo corregimos.

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P.D. Por cierto Fernando, ¿soy yo el único que no ve tu foto de perfil? Me sale así :'(:

Pues no sé manooooh por qué no la ves. Es la superficie que aparece en la parte superior derecha de mi página. No creo que nuestro informático Diego Andrés sea responsable :).

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Asíntotas oblícuas
Viene dada de la forma \(  y = mx + n \) donde \( m = \lim_{x \to{}\infty}{\frac{f(x)}{x}} \) y \( n = \lim_{x \to{}\infty} [f(x) - mx] \) Mi consulta es, ¿cómo se puede justificar esta formulación? En el caso de las asíntotas verticales y horizontales creo que es fácil relacionar la idea con cómo se plantea, pero en el caso de la oblícua no sabría justificarlo.

Si \( y=mx+n\;\; (0\ne m\in \mathbb{R}) \) es asíntota oblícua a la derecha de \( f(x) \) entonces, por definición de asíntota, \[ \lim_{x \to{+}\infty}(f(x)-mx-n)=0 \]. Entonces, también   \[ \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)-mx-n}{x}=0. \] Intenta continuar.

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Efectivamente es una cuestión de convenio y todo está bien. Hay razones tanto para considerar \( 0 \) como natural como no natural, según ramas de las matemáticas.

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Cálculo 1 variable / Re: Integral indefinida
« en: 25 Octubre, 2020, 06:58 am »
¿Puedo afirmar por la definición de antiderivada que si tengo \( F(X)= \int f(x) \) entonces \( Dom f(x)=Dom F(x) \) siempre

, lo puedes afirmar. Si lees diferentes libros de Cálculo aparece la siguiente definición:

Una antiderivada de una función \( f \) es una función \( F \) que cumple \( F^\prime=f \).

Supongamos que \( D(f)\ne D(F) \). Entonces, o bien \( D(f)\not\subset D(F) \) o bien \( D(F)\not\subset D(f) \).

  • Si \( D(f)\not\subset D(F) \) entonces, existe \( x\in D(f) \) tal que \( x\notin D(F) \) lo cual implica que no existe \( F^\prime (x) \) y por tanto la igualdad \( F^\prime (x)=f(x) \) no tiene sentido. Esto contradice \( F^\prime =f \) (concepto de igualdad de funciones).
  • Si \( D(F)\not\subset D(f) \) entonces, existe \( x\in D(F) \) tal que \( x\notin D(f) \) lo cual implica que no existe \( f (x) \) y por tanto la igualdad \( F^\prime (x)=f(x) \) no tiene sentido. Esto de nuevo contradice \( F^\prime =f \).
Debido a todo lo anterior, un cuidadoso libro de Cálculo definiría:

Si \( f \) y \( F \) son funciones con el mismo dominio, se dice que \( F \) es antiderivada de \( f \) si \( F^\prime=f \).

O bien, todo lo que hemos comentado lo daría como obervación, o lo propondría como ejercicio.

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Cálculo 1 variable / Re: Integral indefinida
« en: 25 Octubre, 2020, 01:13 am »
Hola Gente! me solicitan hallar la primitiva o antiderivada de
\( f(x)=\begin{cases}{-1}&\text{si}&x<0\\1 & \text{si}&x>0\end{cases} \), hasta aca no se ha visto integrales definidas, mucho menos impropias.

La función \[ F(x)=\begin{cases}{-x}&\text{si}& x<0\\\;\;x& \text{si}& x>0\end{cases} \] verifica \( F^\prime (x)=f(x) \) para todo \( x\in \mathbb{R}\setminus \left\{{0}\right\} \). Es decir, una primitiva de \( f(x) \) en \( \mathbb{R}\setminus \left\{{0}\right\} \) es \( F(x)=|x| \).

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Fernando, ¿estás seguro de qué querías poner esa función?.

Me lo has puesto fácil: ¡qué va! ¿quién, yo? Yo no quería, me han engañado :). En serio, lo planteado por mí es válido para el intervalo \( [0,\sqrt{2}] \), lo del giro mejor olvidarlo.

Otra opción es tomar la familia de funciones: \( f_{a,b}=ax^b(1-x)+x \) es evidente que fijado \( b \), para \( a=0 \) la longitud es \( \sqrt{2} \) y cuando \( a\to \infty \) la longitud tiende a infinito (basta acotar sin hacer cálculo exacto), con lo que se alcanzan las longitudes intermedias.

Perfecto.  :aplauso:

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Mi problema reside en probar que en efecto genera a  \( l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \).

Demuestra que para todo \( f\in l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \) se verifica \( f=f(e_1)f_1+\ldots +f(e_n)f_n \). Para ello basta ver que los dos miembros toman los mismos valores al aplicar \( e_i \) para todo \( i=1,\ldots,n \).

Se adelantó delmar.

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Hola de nuevo, adjunto el enunciado de forma literal: "Calcular la integral \( \int_B{\frac{dz}{z^4+9z^2}} \) donde B es la frontera de la región R={1<|z|<2}, orientada positivamente."

La cosa cambia. La orientación que por convenio se toma en cada trozo de la frontera es aquella que deja la región a la izquierda: la curva de fuera con sentido antihorario mientras que para la curva interior se toma el sentido horario.
Si \( \Gamma_1 \) es la curva exterior, orientada en  sentido antihorario y \( \Gamma_2 \) la interior también en sentido antihorario, por la fórmula integral de Cauchy se verifica \( \int_{\Gamma_1}f(z)\;dz=\int_{\Gamma_2}f(z)\;dz \) pues ambas curvas tienen en su interior geométrico las mismas singularidades (\( 0 \) doble). Te están pidiendo la suma formal:

        \[ \int_{\Gamma_1}f(z)\;dz+\int_{-\Gamma_2}f(z)\;dz=\int_{\Gamma_1}f(z)\;dz-\int_{\Gamma_2}f(z)\;dz=0. \]

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Hola, haber haciendo el cambio  consegui lo siguiente: \( \sin x=\frac{2t}{t^2+1} , \ \ \cos x=\frac{t^2-1}{t^2+1} .  \)  Asi hice la sustitucion y consegui:
 \(  \displaystyle  \int_{0}^{1}\frac{9}{(2+\frac{t^2-1}{t^2+1})^2}  \) solo que en esta parte nose como obtener \( dx \) en funcion de \( dt \)   

Mira aquí.

P.D. Se adelantó Juan Pablo.

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Igual se me está escapando algo, pero creo que \( R \) es un anillo (el espacio contenido entre las circunferencias centradas en el origen de radios \( 1 \) y \( 2 \)), que no es simplemente conexo, ¿no?

No, no se te está escapando nada :). Ha sido un despiste, \( B \) debería ser curva cerrada contenida en un abierto \( U\subset R \) simplemente conexo. Esperemos noticias.

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Pero no puedes usar el teorema para calcular el valor en esa region? es que yo creo que la expresion no va a dar cero 

¿Por qué no escribes el enunciado literalmente? Por mi parte ya te he comentado la solución a un razonable enunciado alternativo a un indefinido enunciado.

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Por otro lado, aunque sea una curva cerrada contenida en \( B \) hay que tener cuidado porque \( B \) no es simplemente conexo, de manera que el teorema de Cauchy no se aplica, al menos directamente.

Veamos, \( R \) no es simplemente conexo y dice que \( B=R \). Aquí es donde el enunciado pierde todo su sentido. He supuesto (por el tìtulo insisto) que se refiere a que \( B \) es curva cerrada contenida en abierto simplemente conexo \( U\subset R \).

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