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Mensajes - albertlorenzo

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Álgebra / Intersección de dos subespacios
« en: 28 Enero, 2020, 06:46 pm »
Dados dos subespacios tales que:

S = {(0, 1, 0),(1, 0,0 )}

U = {(2, 0, 0), (0, 1, 1)}

Podría sacar el vector de la intersección mediante gauss?

muchas gracias!

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La unión de dos subespacios es un subespacio si uno de los dos subespacios está contenido en el otro. Entiendo que \( S \) es el espacio generado por los dos vectores dados, entonces para saber si \( S\subset U \) te basta con ver si los vectores generadores de \( S \) cumplen la definición dada para los vectores de \( U \).

Si no es así, como la dimensión de \( S \) y \( U \) es la misma, entonces \( S\cup U \) no es un subespacio vectorial. Yo creo que habrán querido decir \( S+U \) en vez de \( S\cup U \).

Para tu segunda pregunta: si \( S+U \) tiene dimensión tres entonces es igual a \( \Bbb R ^3 \). Pero no sé lo que es la ecuación implícita de un subespacio vectorial, así que con eso no puedo ayudarte.

Muchas gracias por responder tan rápido! Tengo un pequeño lío con unión y suma de dos subespacios. Ah y con ecuación implícita, me refiero a la ecuación cartesiana o definición de un subespacio.

Según lo entiendo la suma e intersección no son lo mismo y para saber si hay un subespacio unión, como tú bien dices, bastaría con sustituir los vectores de S en la definición de U para saber que no están dentro y según leo si los dos subespacios tienen la misma dimensión no pueden generar ese nuevo subespacio, cierto?

Por otra parte. Cuando tengo una base de dimensión 3 en R3, significa que ese subespacio genera cualquier vector y por lo tanto no habría una ecuación que defina qué vectores están en éste o no, es así?

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Álgebra / Unión e intersección de dos subespacios vectoriales.
« en: 27 Enero, 2020, 11:45 pm »
El enunciado del ejercicio reza así:

En \( \mathbb{\mathbb{R}^3} \) se consideran los subespacios U y S dados por:

\( U = \{(x, y, z) \in{\mathbb{R}^3}/x + 2y + z = 0 \} \)

\( S = <(1, 3, 0),(−3, −1, 0)> \)

1. Hallar una base y las ecuaciones implícitas del subespacio U ∪ S
2. Hallar una base y las ecuaciones implícitas del subespacio \( U \cap S \).


Para resolver el apartado 1, primero debería saber si la unión es un subespacio verdad? ¿Puedo hacerlo sustituyendo los vectores de S en la implícita de U? Si es así la unión no sería un subespacio?

Y otra duda... Si me piden sacar las ecuaciones implícitas de S+U, el cual es un subespacio de dim 3 en \( \mathbb{R}^3 \), no habría ecuación implícita porque ese subespacio genera cualquier vector?

Muchas gracias!

PD: Perdón por el mal uso de latex, soy novato...
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Álgebra / Re: Ecuaciones diofánticas con tres variables
« en: 07 Octubre, 2019, 06:33 pm »
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Llevo un buen rato intentando encontrar la fórmula ideal pero en cada PDF hay una fórmula diferente.

La ecuación lineal es la siguiente: \( 1x+2y+5z=29 \)

Por mi cuenta y utilizando ésta fórmula:

Spoiler
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he encontrado las soluciones particulares. Pero claro, luego he usado un programa web para comprobarlo y no me da lo mismo, sólo z es coincide.

Sin ver lo que has hecho no se si has cometido algún error. Siguiendo el método del documento que muestras en tu caso la solución quedaría:

\( x=12-15v-2u \)
\( y=-4+5v+u \)
\( z=5+v \)

Ahora bien, cuidado al comparar dos soluciones.  Ten en cuenta que la forma de expresar la solución general no es única.

En primer lugar hay infinitas soluciones particulares y cualquiera de ellas es válida, en lugar de la que has puesto.

Por otra parte también puede hacerse un cambio de variable para obtener otras expresiones igualmente válidas de la solución general. Basta que tomes:

\( \begin{pmatrix}u\\v\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}p\\q\\\end{pmatrix} \)

donde \( A \) es cualquier matriz de enteros con determinante \( \pm 1 \).

Así por ejemplo una expresión igualmente correcta de la solución general sería:

\( x=-31-19p-17q \)
\( y=1+7p+6q \)
\( z=6+p+q \)

Saludos.

¿Serías tan amable de escribir los pasos hasta llegar a esa primer solución? Lo estoy intentando por mí mismo pero tengo unos valores distintos

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Álgebra / Ecuaciones diofánticas con tres variables
« en: 06 Octubre, 2019, 08:13 pm »
Llevo un buen rato intentando encontrar la fórmula ideal pero en cada PDF hay una fórmula diferente.

La ecuación lineal es la siguiente: \( 1x+2y+5z=29 \)

Por mi cuenta y utilizando ésta fórmula:



he encontrado las soluciones particulares. Pero claro, luego he usado un programa web para comprobarlo y no me da lo mismo, sólo z es coincide.


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- Otros - / Dados a, b ∈ ℤ+ demostrar que:
« en: 30 Septiembre, 2019, 08:38 pm »
a, b coprimos ⇔ ∃ x, y ∈ ℤ / ax + by = 1

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Álgebra / Problema sencillo sobre ecuaciones diofánticas
« en: 26 Septiembre, 2019, 10:37 pm »
Queremos echar 21L de gasóleo a un depósito. Para ello, tenemos dos bidones, de 2 y 5 litros respectivamente.

A)¿Es posible medir 21L con nuestros bidones? ¿Por qué?
B) En caso afirmativo, dar todas las posibles combinaciones.
C) Si suponemos que en nuestro depósito caben 22L exactamente. ¿Cómo podemos echar 21L sin desbordar el depósito?

\( ax+by=c \) \( \Rightarrow{} \) \( 2x + 5y = 21 \)

Aplicamos el teorema de Euclides para el \( mcd(a, b)=d\qquad \Rightarrow\qquad  mcd(2, 5)=1
 \)

Sacamos la identidad de Bezout donde \( x_0 = -42 \) e \( y_0 = 21 \)

Resolvemos la ecuación diofántica hallando \( \alpha=a/d \) y \( \beta= b/d \) para quedarnos con:

\( x = x_0 +\alpha \eta \qquad \longrightarrow{}\qquad  x = -42+5\eta \)
\( y = y_0 -\beta\eta  \qquad \longrightarrow{}\qquad  y = 21-2\eta \)

Donde \( \forall \eta\in \Bbb Z \).

La cuestión A está resuelta.

B) ¿Infinitas combinaciones?

C) \( x=3 \) \( y=3 \) por ejemplo

Mi pregunta es, ¿cómo averiguo el rango de los posibles valores para \( \eta \)?

Mensaje corregido desde la administración.

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a|b y c|d => ac | db

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- Otros - / Si a y b son enteros tales que mcd(a,b) = 1, demostrar que...
« en: 24 Septiembre, 2019, 09:07 pm »
mcd(a + b, a) = 1

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