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Mensajes - ASamuel

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1
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Si \( f:B_2 (0) \rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa tal qué \( f(\mathbb{S}^{1})\subset B_{r}(z_{0}) \) entonces \( f(\mathbb{B}^{2})\subset B_{r}(z_{0}) \)

Donde:
\( B_{r}(z_{0})=\{z \in \mathbb{C} : |z-z_{0}|<r \} \)
\( \mathbb{B}^{2}=\{z \in \mathbb{C} : |z|< 1 \} \)
\( \mathbb{S}^{1}=\{z \in \mathbb{C} : |z|= 1 \} \)

Cuando leí acerca de la fórmula integral de Cauchy, mencionaban que "los valores de una función dentro de un disco quedan determinados por su frontera", entonces creo que este resultado se desprende de esto.
Otra manera en la que he pensado atacar el problema es usar el principio del máximo a \( g(z)=f(z)-z_{0} \), pero de igual forma este se desprende de la fórmula integral de Cauchy y no sé como expresar esta prueba, les agradezco de antemano cualquiera ayuda que me puedan brindar, gracias.

2
Análisis Matemático / Re: Homeomorfismo.
« en: 28 Agosto, 2020, 11:07 pm »
Me parece sumamente extraño que te hayan pedido demostrar que \( I/{\sim}\cong S^1 \) sin haberte explicado la topología cociente, de otro modo ¿cómo se puede probar que dos espacios son homeomorfos si uno de ellos carece de una topología?
Muchas gracias, bueno la forma en que me han explicado sobre como probar que dos espacios son homeomorfos es si existe una función continua, biyectiva y con inversa continua entre ellos, es lo único que me han dicho, este ejercicio nos dijeron que era "introductorio a la topología cociente", apenas estamos viendo lo que esta es.

3
Análisis Matemático / Re: Homeomorfismo.
« en: 28 Agosto, 2020, 08:45 am »
Muchas gracias por la primer respuesta, tengo una duda, cuando mencionas lo de la topología cociente, ¿a qué te refieres? ¿Cómo se haria eso?

4
Análisis Matemático / Homeomorfismo.
« en: 28 Agosto, 2020, 06:30 am »
Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( I=[0,1] \subseteq \mathbb{R} \) y \( \sim \) es la relación de equivalencia \( x \sim x´  \) si y sólo si \( \{x,x´\}=\{0,1\} \) o \( x=x´ \) entonces \( I/ \sim \) es homeomorfo a \( S^{1}=\{x \in \mathbb{R^{2}} \ : ||x||=1 \} \)

Lo que he hecho ha sido identificar a \( \mathbb{R^{2}} \) con el plano complejo y utilizar la función \( f(x)=e^{2 i \pi x} \), la cuál me parece que funciona como homeomorfismo, en lo que tengo duda es, esta función es casi biyectiva, a excepción de que \( f(1)=f(0) \), pero me parece que con la relación de equivalente lo que nos dice es que \( [0]=[1] \) y entonces con esto ya se convierte en una función continua, biyectiva y con inversa continua. ¿Me podrían decir si es esto correcto por favor?

De antemano, gracias.

5
Disculpa, no entiendo porque basta con probar eso, eso quiere decir que mi conjunto es lo mismo que \( h^{-1}(0) \)?¿como podría ver eso?

6
Hola, me he encontrado con el siguiente resultado:

Sean \( f, g : (X, d_X ) → \mathbb{R}  \) funciones continuas. Probar que el conjunto \( \{x\in X:f (x) = g(x)\} \) es cerrado en \( X \).

Podrían ayudarme a demostrarlo por favor o en su defecto, ver si es falso, gracias.

7
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Probar que si \( (x_n ) \) es una sucesión en \( (X, d) \) que converge a un punto \( x \), entonces {\( x_n \)}\( _{n∈\mathbb{N}}\cup \) {\( x \)} es un espacio compacto.

8
Hola, al principio he tratado de proceder de manera analoga a como mencionas, pero tuve unos problemas, creo que porque soy nuevo en esto.
Aqui mencionas:
Citar
A ti te interesaría que esas imágenes fueran respectivamente \( P=4e^{-\alpha i} \) y \( Q=0 \).

¿A que se debe el signo negativo de \( P=4e^{-\alpha i} \)?

Citar
Entonces antes de aplicar el giro intercala una transformación dentro del semiplano superior que lleve \( -i \) en y \( -1 \) en \( 0 \). Toda transformación del semiplano superior es de la forma:

\( \dfrac{az+b}{cz+d} \) con \( a,b,c,d\in \Bbb R \) y \( ad-bc>0 \).
En esta parte tengo dos dudas, la primera, mencionas que buscamos una transformación dentro del plano nos lleve \( -i \) en creo que falto una parte y no sé a donde te refieras a llevarlo, y la segunda, como mencione, al principio trate de hacerlo con ese tipo de transformaciones del semiplano, pero he visto ejemplos y necesitaria más puntos para que pueda aplicarlo, ¿no?, o ¿tengo que tomarlos de una manera especifica para poder aplicar estas transformaciones?.

Muchas gracias por tus respuestas siempre son de mucha ayuda  :aplauso:

9
Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Mapeos conformes.
« en: 28 Junio, 2020, 07:53 pm »
Qué tal Luis.
He notificado de este hecho a mi profesor y me ha dicho que fue un error de impresión, en vez de semiplano derecho es semiplano superior y además que las condiciones deben ser \( w(1-i)=2, w(i)=-1, w(0)=0 \), ahora me ha surgido la duda de si con ello se arregla lo que mencionas.

10
Hola, qué tal, podrían ayudarme con el siguiente problema por favor:

Encuentre el mapeo conforme del disco \( |z − 4i| < 2 \) al semiplano \( v < u \), \( (w = u + iv) \) tal que el centro del disco se mapee al punto \( 4 \) y el punto \( 2i \) se mapee al origen.

He intentado lo siguiente para buscar el mapeo, pero hay una parte en la que tengo duda:
Con \( w_1=z-4i \) llevamos el disco al origen, con \( w_2=\dfrac{w_1}{2} \) lo convertimos al disco unitario, lo llevamos al semiplano superior con \( w_3=-i\dfrac{w_2+1}{w_2+i} \) y con \( w_4=i\dfrac{\log(w_3)}{\alpha} \) con \( \alpha=\dfrac{5\pi}{4} \) llevamos al semiplano superior al semiplano que buscamos.
Por tanto la transformación que hace lo que buscamos es \( w(z)=w_4(w_3(w_2(w_1(z)))) \)

Aun me falta ver que cumpla con las condiciones requeridas, pero mi duda principalmente es lo que he señalado con rojo, intuyo que cumple con lo que busco, pero no sé si estoy en lo correcto.
Agradecería si me dijeran que tengo mal o si ustedes tienen alguna otra forma de resolverlo.

Gracias.

11
Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Mapeos conformes.
« en: 28 Junio, 2020, 09:24 am »
Muchas gracias Luis.

Disculpa, ¿como es que has dado con la transformación que lleva a esa franja?

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Mapeos conformes.
« en: 28 Junio, 2020, 04:08 am »
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Encuentre el mapeo conforme del angulo \( −\frac{\pi}{4} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \) al semiplano derecho \( Re(w) > 0 \) tal que \( w(1 − i) = 2, w(i) = 1, w(0) = 0. \)

He visto un ejemplo similar con \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \), he intentado seguir el mismo patrón, pero no he podido, por la apertura de ese angulo. Agradeceria mucho si me ayudara, gracias.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Ceros y polos.
« en: 27 Junio, 2020, 11:26 pm »
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sea \( f \) analítica en \( \overline{D} \) menos un número finito de puntos interiores donde \( f \) tiene polos. Demuestre que si \( 0 < |f(z)| < 1 \) sobre \( ∂D \), entonces el número de polos de \( f \) en \( D \) es igual al número de raíıces de la ecuación \( f(z) = 1 \) en \( D \).

He intentado lo siguiente:
Escribimos \( 1-f=\frac{g}{h} \) con \( g,h \) analiticas en el disco unitario cerrado y entonces tenemos que \( 0<|1-\frac{g}{h}|<1 \) en la frontera, entonces \( g,h \) tienen el mismo número de ceros en el disco unitario; los  ceros de \( g \) son soluciones de \( 1-f=0 \) y los ceros de \( h \) son polos de \( f \), entonces concluimos.

Me podrían decir si mi argumento es correcto o si tienen algun otro por favor. Gracias.

14
Hola, podrían ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Demostrar que para todo \( n ≥ 3 \), el polı́gono regular de \( n \) lados está inscrito en un cı́rculo.

Es un hecho que se me hace muy evidente, pero no sé como escribir la demostración y les agradecería mucho que me ayudarán

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Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Suponer que \( C  \) es cı́rculo con centro \( O \) y \( P \) es un punto fuera de \( C \).
(a) Demostrar que si \( Q, R ∈ C \) son tales que \( PQ \) y \( PR \) son tangentes a \( C \), entonces \( PQ= PR. \)
(b) Demostrar que el cuadrilátero \( PQOR \) es cı́clico.
(c) Suponer que trazamos la recta determinada por \( P O \) y que dicha recta intersecta a \( C \) en \( M \) y \( N \) . Demostrar que \( P M · P N = P Q^2 \)  .

He logrado probar a) y b). Les agradeceria si me ayudaran con el inciso c) por favor.

Gracias.

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Con el dibujo de Luis Fuentes y Geometría sintética.
Todos los triángulos como el que ha dibujado Luis, son iguales. Al tener los lados exteriores iguales, el lado interior será igual en todos los triángulos.

¿Eso es para argumentar que el polígono que se forma también es regular?

17
Triángulos / Propiedad de la bisectriz de un triángulo.
« en: 26 Junio, 2020, 07:14 am »
Hola, podría ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Supongase que \( ABC \) es un triángulo rectángulo con \( \angle A=\frac{\pi}{2} \). Demostrar que la bisectriz por \( A \) bisecta también al ángulo entre la mediana por \( A \) y la altura por \( A \) de \( ABC \)

Gracias.

18
Geometría sintética (Euclídea, Plana) / Polígonos regulares
« en: 26 Junio, 2020, 05:56 am »
Hola que tal, podría ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Suponga que \( P \) es un polı́gono regular de \( n \) lados y que cada lado tiene longitud \( l \). Demostrar que el polígono que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas de \( P \) también es regular y calcular las longitudes de sus lados en términos de \( l \).

Gracias.

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Creo que he entendido a lo que te refieres, ¿el siguiente argumento serviría?:

Podemos tomar un vértice donde su ángulo sea (por poner un ejemplo) 60 y tomar \( n-1 \) rayos de tamaño 1 (también puede ser cualquier tamaño) con ángulo \( \frac{60}{n -2} \)

Por tanto el máximo de número de triángulos agudos es \( n-2 \)

¿O cuál sería el argumento que utilizaría?

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Sí, podrían ser en un principio todos, pero no sé como encontrar el máximo

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