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Mensajes - micabua

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Maximizar un funcional
« en: 16 Enero, 2020, 05:06 pm »
He encontrado una solución. Parece ser que no hay máximos para  \( l>\pi \).

Dejo el link: https://math.stackexchange.com/questions/2229845/what-is-the-solution-to-the-dido-isoperimetric-problem-when-the-length-is-longer

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Maximizar un funcional
« en: 14 Enero, 2020, 09:11 pm »


ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html

Efectivamente, es lo que uso yo para obtener esas circunferencias que te digo, pero solo me sirven si la longitud es menor que \( \pi \).

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Análisis Funcional - Operadores / Maximizar un funcional
« en: 14 Enero, 2020, 01:37 pm »
Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea \( \mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\} \). Maximizar el funcional

\( J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt \)

sujeto a \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2 \) en  \( \mathcal{M} \).

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud \( l \) i son nulas en los puntos \( -1 \) y \( 1 \).

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si \( l\leq  \pi \). Es decir, el Teorema no da solución cuando \( l>\pi \).

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional \( J \) cuando \( l=4 \), por ejemplo?

Un saludo y gracias

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Genial, pensaba que había un errror en la deducción de Luis pero está todo correcto. Muchas gracias por vuestras respuestas.

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Hola,

Sea \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathbb{R} \). Si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) diverge, ¿se puede decir algo acerca de la convergencia/divergencia de la serie

\(  \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{|a_n|}{\displaystyle\sum_{i=1}^n|a_i|}\right)=\frac{|a_1|}{|a_1|}+\frac{|a_2|}{|a_1|+|a_2|}+\frac{|a_3|}{|a_1|+|a_2|+|a_3|}+\cdots ? \)

Muchas gracias de antemano.


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Análisis Matemático / Re: Relación productos infinitos y series
« en: 07 Junio, 2019, 02:26 am »
Fíjate que \( \sum_{n\ge 1}\frac{-1}n=-\infty \) y sin embargo \( \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{-1}n\right)=0 \) ya que \( 1-\frac11=0 \). No sé si te refieres a algo así.

Y en general te basta cualquier sucesión donde existe un \( a_m=-1 \), entonces \( \prod_{n=1}^\infty\left(1+a_n\right)=0 \).

Sí, esto está claro, pero me refería a quitando la convergencia del 0. ¡Muchas gracias igualmente!

Hola,

El otro día leí que, en general, la convergencia de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) no es necesaria ni suficiente para la convergencia de \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \). ¿Podríais darme algún ejemplo? Se entiende la convergencia del producto infinito como que la sucesión de los productos parciales tiende a un valor no nulo o si alguno de sus factores es 0.

Yo sé que si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|) \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \) converge. Luego necesitaría una sucesión que sea convergente pero no absolutamente convergente, pero no se me ocurre ninguna.

Un saludo y gracias.

Vale, esto es genial, ¡gracias!

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Análisis Matemático / Relación productos infinitos y series
« en: 06 Junio, 2019, 03:31 pm »
Hola,

El otro día leí que, en general, la convergencia de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) no es necesaria ni suficiente para la convergencia de \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \). ¿Podríais darme algún ejemplo? Se entiende la convergencia del producto infinito como que la sucesión de los productos parciales tiende a un valor no nulo o si alguno de sus factores es 0.

Yo sé que si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|) \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \) converge. Luego necesitaría una sucesión que sea convergente pero no absolutamente convergente, pero no se me ocurre ninguna.

Un saludo y gracias.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Definición de aleph-1
« en: 11 Julio, 2018, 07:45 pm »
Hola,

Estoy trabajando en la hipótesis del continuo y no tengo muy clara la definición de \( \aleph_1 \). Se define \( \aleph_0:=|\mathbb{N}| \) como el cardinal de los naturales. De esto se sigue con una serie de definiciones de los "alephs" que desconozco, y es lo que quiero saber.

La hipótesis del continuo dice que no existe ningún conjunto con cardinal entre \(  \aleph_0 \) y el cardinal de los reales \( c \). Asumiendo el axioma de elección los únicos infinitos son los aleph y entonces la hipótesis del continuo se vuelve en: \( c=\aleph_1 \).

Ahora bien, no sé de dónde sale la definición de \( \aleph_1 \). No puede ser el conjunto partes de los naturales, ni tampoco el conjunto potencia \( 2^{\mathbb{N}} \) (que es lo mismo).

Si la definición es el cardinal "siguiente" al de los naturales, no lo tengo muy claro si no usas el axioma de elección. Sería algo como el número real siguiente al 0.

Gracias!

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\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid r<0 \lor r^2<2\} \)

y así ya no es circular.

Y cómo puedes definir, por ejemplo, \( \pi \)?


No entiendo a qué te refieres.

Me refiero a que primero hago la construcción formal de los naturales, enteros, racionales y reales pero luego no pienso en ellos como conjuntos. Pienso en ellos como elementos de una recta.

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Ya veo, así que es lo mismo que para los conjuntos. Entendido.

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Pues ahí me has sorprendido. Pensé que la construcción de Dedekind te gustaría más, porque es más "conjuntista". Define los números reales como subconjuntos de \( \mathbb Q \). Si te extraña la definición concreta te puedo explicar la idea de fondo, pero es muy natural. Eso sí, el precio por la simplicidad conjuntista es que la construcción de la suma y el producto de números reales se vuelve más laboriosa.


Me expliqué mal. Me gusta más para poder explicarla a un público que no sepa muchas matemáticas, puesto que he de dar una charla pronto al respecto. La otra es más conjuntista y encajaría mejor con el contenido de mi charla pero igual no es tan fácil de visualizar a primera vista.


A menudo dices "estoy hablando de conjuntos" como si eso fuera una limitación de algún tipo. Ahí tienes algún concepto mal digerido. Abre el libro de matemáticas (serio) que quieras, trate de lo que trate, y todo lo que verás en él serán conjuntos. En la formalización moderna de las matemáticas todo son conjuntos. Decir "sólo hablo de conjuntos" es como decir "sólo hablo de todo". Cada vez que digas: "pero eso no es un conjunto", te estarás equivocando.


Tienes toda la razón del mundo. En mi cabeza los naturales, reales, racionales, no son conjuntos. Pero claro si lo desarrollo de esta forma he de empezar a pensar así. Por ejemplo, lo siguiente que tengo que desarrollar son los cardinales y me resulta difícil "gestionar" las ideas si no me aparto de todo el formalismo y pienso en las reales, por ejemplo, con mi sentido intuitivo y con pocos formalismos.

Lo otro que me has comentado está entendido, Carlos, muchas gracias, era solo un "cambio de chip".




Pues eso vengo a explicar, una sucesión de Cauchy, éstas no tienen por qué ser convergente en \( \mathbb{Q} \), puede converger a un número irracional; sí tienen obligación de ser acotadas pero no de que lo sean en \( \mathbb{Q} \).
Cuando eso ocurre hay un momento en la sucesión a partir del cual el valor de la distancia entre números ya no es un número racional; puede ser infinitesimal y no pertenecer a los reales, pero los números entre los que se halla la distancia sí pertenecen ambos a los reales; así no importa nada esto, ya que, los elementos del conjunto que estás construyendo no son las distancias, no son los huecos entre los reales, porque no los hay, sino los números que hay entre ellas. 

Saludos. 

Te he marcado en negrita lo que no entiendo del todo. ¿A qué te refieres con ser un número infinitesimal? Entiendo que es un número "tan pequeño como quieras", pero desconozco el formalismo de esto (sino es que es ese \( \epsilon \) en la definición de límite).


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Gracias a todos.


Tampoco tendrías que ver ningún inconveniente en construir los números reales mediante sucesiones de Cauchy. Sólo tienes que definir \( d:\mathbb Q\times \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \) mediante \( d(r, s)=|r-s| \) y con eso ya tienes en \( \mathbb Q \) una estructura de espacio métrico, que es el punto de partida de las construcciones que te han propuesto. Esa definición de distancia te permite definir el concepto de sucesión de Cauchy de números racionales, al igual que la de sucesión convergente. Entonces puedes definir \( \mathbb R \) como el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales respecto de la relación por la que dos sucesiones están relacionada si y sólo si su diferencia tiende a \( 0 \).

Seguro que lo que tienes ya sobre números racionales es más que suficiente para llevar a cabo esta construcción, cuya ventaja respecto de la de Dedekind es generalizable a espacios métricos arbitrarios, lo cual tiene gran interés.

Creo que esta es la opción más fácil de entender que veo, pero ¿cómo está definido ese valor absoluto si estamos hablando de conjuntos? Tengo definida las operaciones suma y multiplicación, pero sigue siendo un conjunto.



A partir de ahí existen otros elementos que tienen compañeros extremadamente parecidos y cuya distancia con éstos, por muy “separados” que estén (por muchos números que haya entre medias) siempre es menor que |q-r|; con lo que alguien no pertenece a \( \mathbb{Q}
  \).


Esto no lo acabo de entender.

De todas formas me quedo con el conjunto de clases de las sucesiones de Cauchy.

Gracias.

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Gracias a todos.

Sobre todo me interesa la definición de los reales como conjunto y solo como eso.

Os pongo en situación: A partir de los axiomas de Zermelo he definido los naturales de forma que cada uno de los naturales es un conjunto. El cero sería el conjunto vacío, el 1 sería el conjunto formazo por el 0 (es decir el conjunto del conjunto vacío), el 2 el conjunto formado por el 0 y el 1... etc.  Después a partir de aquí y, como he podido definir el producto cartesiano a partir de los primeros axiomas, defino los enteros como el conjunto formado por una determinada clase de equivalencia en el producto cartesiano NxN.

Con los racionales parecido, defino en \(  \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\smallsetminus \{0\})  \) otra clase de equivalencia y el conjunto de todas ellas es \( \mathbb{Q} \).

Aquí necesitamos una aclaración pues los conjuntos construidos no contienen a los anteriores (porque son en sí una clase de equivalencia del producto cartesiano), pero sí existe un subconjunto en cada uno de ellos que es isomorfo al conjunto anterior. Por ejemplo, en los enteros (no con la intuición usual, no pensándolos como números en sí) existe un subconjunto que es isomorfo a los naturales con la suma y el producto que se definen después.

Vale, pues aquí es dónde tengo el problema. Mi intención es construir \( \mathbb{R} \) solo utilizando \( \mathbb{Q} \) como conjunto de conjuntos, no sé si me explico. Es de la misma forma que he definido los racionales a partir de los enteros y el producto.

Es obvio que necesito alguna herramienta más (para pasar de Naturales a Enteros he necesitado una suma, y de enteros a racionales un producto), pero no veo claro que sea a través de espacios métricos porque estamos hablando de conjuntos. No lo he leído muy por encima pero lo de los cortes de Dedekind utiliza la intuición de los racionales y sus huecos, pero lo que yo tengo son conjuntos, no sé cómo hablar de huecos.

Es un tema un poco delicado, pido perdón.


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Hola,

¿Cómo definiríais de forma simple un número real a partir del conjunto de los racionales? He construido el conjunto de los naturales, enteros y racionales a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, así que no me vale algo como "son números que tienen infinitos decimales no periódicos", puesto que estoy trabajando con conjuntos y ni siquiera se ha definido nada de decimales.

Entiendo que tiene que ver de alguna forma con el menor conjunto que contiene a los racionales que es completo respecto a sucesiones de Cauchy, pero desconozco algún teorema que pruebe la existencia y unicidad de esto.

Un saludo y gracias!

PD: Pido disculpas porque seguramente este tema se ha tratado con anterioridad. Aún así, la búsqueda del foro me resulta un poco extraña y no he conseguido encontrar nada.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: Lógica y axiomas
« en: 06 Junio, 2018, 02:41 pm »
Gracias, Masacroso.

¿Y sobre qué se construye la lógica, por ejemplo, que se usa normalmente? La usual vaya.

También he oído hablar de la lógica difusa, pero lo único que sé es que no  sucede que un elemento pertenece o no a un conjunto, sino que puede hacerlo en parte.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Lógica y axiomas
« en: 06 Junio, 2018, 01:59 pm »
Hola. Me ha surgido una duda sobre los axiomas de teoría de conjuntos.

Supongamos que tenemos un conjunto de axiomas definidos. Yo me lo imagino cómo una hoja totalmente en blanco a la que le has añadido unas normas. Ahora, la pregunta es: ¿la lógica matemática está definida antes de enunciar los axiomas o se deduce de estos? Me refiero a que si puedes hacer afirmaciones del tipo:

\(  A \Rightarrow B  \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A \)

Sin tener ningún axioma antes definido sobre, por ejemplo, teoría de conjuntos.

Gracias.


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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: Números transfinitos
« en: 05 Junio, 2018, 07:32 pm »
Ahora he entendido. ¡Muchas gracias, de verdad!

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Números transfinitos
« en: 03 Junio, 2018, 06:09 pm »
Hola,

He estado últimamente interesado en los números transfinitos, pero todo lo que he leído no es lo suficientemente riguroso.

Casi todos empiezan definiendo \( \omega \) como un elemento más grande que todos los naturales. Luego empieza a operar con la suma, la multiplicación y la potencia sin decir si quiera cómo está definido esto, puesto que no es un natural.

¿Alguien que me puedo ayudar?

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No entiendo muy bien qué quieres decir con rellenar con 0 hasta que cumpla la condición.

Poner la sucesión como un "vector infinito" te ayuda de alguna forma a visualizar las sucesiones como vectores. El primer término de la sucesión concuerda con el primer elemento del "vector"  (y el n-ésimo con el n-esimo) porque son la misma cosa representada de distinta forma.

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De oposición y olimpíadas / Re: Limit with matrices
« en: 17 Mayo, 2018, 05:01 pm »

es incorrecto,  pues  \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \lambda_1^n = e^{-ix} \)

Ya veo, fallo por mi parte. Muchas gracias!

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