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Mensajes - kickout

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Probabilidad / Re: Problema Distribución binomial con p variable
« en: 05 Octubre, 2020, 11:45 pm »
Vale, ahora sí, muchas gracias por el ejemplo y la explicación!

Solo una última pregunta, ¿por qué no se pone el número 40 encima del símbolo del sumatorio, como típicamente se hace para indicar el número límite al que llegarían las íes?

Muchas gracias de nuevo.

2
Probabilidad / Re: Problema Distribución binomial con p variable
« en: 04 Octubre, 2020, 11:40 pm »
Hola

 Si llamas \( p=\displaystyle\prod_{i=1}^{40}(1-p_i) \)

\(  P(X=k)=p\displaystyle\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq 40}\dfrac{ p_{i_1}p_{i_2}\ldots p_{i_k}}{(1- p_{i_1})(1-p_{i_2})\ldots (1-p_{i_k})} \)

 Una forma de programar esto es recursivamente. Si llamas \( p(k,n) \) a la probabilidad de \( k \) éxitos en los \( n \) primeros experimentos tienes:

 - Si \( k>n \) o \( k<0 \), \( p(k,n)=0 \).
 - Si \( 0\leq k\leq n \):
  - Si \( n=1 \), \( p(0,1)=1-p_1,\quad p(1,1)=p_1  \)
  - Si \( n>1 \), \( p(k,n)=p(k,n-1)(1-p_n)+p(k-1,n-1)p_n \) si \( k\leq n \)

Saludos.

Muchas gracias por la respuesta. Perfecto, no sabía si ya podía existir algún algoritmo al que pasándole la matriz de probabilidades devolviese el cálculo automáticamente. Pero si hay que programarlo no hay problema.

Lo que no acabo de entender el sumatorio dentro de la expresión de P(X=k), ¿podrías por favor desarrollarlo un poco más?

Por ejemplo, soy consciente de que para el caso k=2, la expresión P(X=k) deberá ser la siguiente:

\( P(k=2) = p_1p_2(1-p_3)(1-p_4)\ldots (1-p_{40})+p_1(1-p_2)p_3(1-p_4)\ldots (1-p_{40})+\ldots+p_1(1-p_2)(1-p_3)\ldots (1-p_{39})p_{40}+\\
           \qquad\qquad + (1-p_1)p_2p_3(1-p_4)\ldots (1-p_{40}) + (1-p_1)p_2(1-p_3)p_4(1-p_5)...(1-p_{40})+\ldots \\
           \qquad\qquad+\ldots \\
           \qquad\qquad+ (1-p_1)\ldots (1-p_{38})p_{39}p_{40} \)

Pero como digo, no acabo de ver cómo se desarrollaría ese sumatorio, la expresión de p la entiendo perfectamente, pero si pudieras desarrollar un poco más ese sumatorio para que lo acabara de entender te lo agradecería mucho. (He hecho el ejercicio de suponer como debería ser para obtener la expresión de por ejemplo P(k=2), pero me confunde la sintaxis de ese sumatorio). Muchas gracias de antemano.

Mensaje corregido desde la administración.

3
Probabilidad / Problema Distribución binomial con p variable
« en: 04 Octubre, 2020, 07:32 pm »
Buenos días,

A ver si alguien puede echarme una mano con un problemilla que tengo.

Básicamente necesito calcular la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta, que sigue una distribución binomial con la particularidad de que la probabilidad de éxito (p) de dicho suceso es variable.

Para que se me entienda, supongamos que tengo los siguientes sucesos (cada uno de ellos con dos posibles resultados, acierto y no acierto. P será la probabilidad de acierto):

Suceso 1 | p=0.11
Suceso 2 | p=0.13
Suceso 3 | p=0.22
Suceso 4 | p=0.12
...
Suceso 39 | p=0.10
Suceso 40 | p=0.27

Si p fuera igual en todos los sucesos no habría problema y sabría calcular la función de probabilidad sin problema.

Pero siendo p variable en cada suceso, ¿cómo podría calcular la función de probabilidad?

Por función de probabilidad, si no me equivoco, me refiero a lo siguiente:

Probabilidad(1 acierto de 40) = ¿?
Probabilidad(2 acertos de 40) = ¿?
...
Probabilidad(39 aciertos de 40) = ¿?
Probabilidad(40 aciertos de 40) = ¿?

Obviamente sé cómo se podría calcular si se hiciera a mano, pero el elevado número de sucesos lo hacen inviable. Podría programarlo en Python o en R, pero intuyo que sería costoso, pues tendría que hacer prácticamente un algoritmo distinto para cada una de las 40 probabilidades (y el elevado número de operaciones seguiría siendo también inmenso), ¿hay algún método para calcularlo más rápidamente?

Muchas gracias de antemano.

Un saludo.

4
Probabilidad / Re: Juego Elegir número mayor
« en: 29 Marzo, 2018, 01:25 am »
Hola

 Una forma de razonarlo es la siguiente.

 Supón que tenemos ordenadas las tarjetas (una vez numeradas) aleatoriamente (es el orden en el que las vamos a ir levantando).

 Supongamos que el máximo está colocado en la posición \( k>p \) (si está en \( k\leq p \) ya perdimos). La probabilidad de ganar es que en las \( k-1 \) primeras posiciones el máximo (el máximo en esas \( k-1 \) posiciones, no el máximo total) esté en los \( p \) primeros puestos. Pero la posición del máximo en esos \( k-1 \) puestos es equiprobable. Por tanto tal probabilidad es \( \dfrac{p}{k-1} \).

 Por tanto:

\(  P(ganar|max=k)=\dfrac{p}{k-1} \)

 y

\(  P(ganar)=\displaystyle\sum_{k=p+1}^n{}p(max=k) P(ganar|max=k)=\displaystyle\sum_{k=p+1}^n\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{p}{k-1}=\dfrac{p}{n}\displaystyle\sum_{k=p+1}^n\dfrac{1}{k-1} \)

Saludos.

P.D. kickout: En tu mensaje tenías la fórmula puesta como imagen adjunta; he tenido que corregirlo. Las fórmulas han de estar en LaTeX. En lo sucesivo tenlo en cuenta, por favor.

En general recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.



Ahora sí, entendido, muchas gracias por tus respuestas en este y otros hilos.
Un saludo.

5
Probabilidad / Juego Elegir número mayor
« en: 28 Marzo, 2018, 01:15 pm »
Buenos días.

Supongamos que tenemos el siguiente problema: Una persona escribe una cantidad n de números cualesquiera, cada uno en una hoja de papel, y posteriormente les damos la vuelta y los mezclamos.
Se comienza a destapar hojas, hasta que creamos que hemos dado con el número más alto. Lógicamente, no es posible volver atrás, deberemos decidir si nos quedamos con un número en el momento de destaparlo.

Bien, una estrategia es decidir un número de hojas p que voltearemos y descartaremos al principio, y posteriormente, ir volteando hojas hasta quedarnos con el primer número que salga que supere a cada uno de los p los números descartados.

¿Cuál sería la probabilidad en este caso de acertar dicho número mayor?
He leído que sería la siguiente:

\( \dfrac{p}{n}\left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{p+2}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}\right) \)

¿Alguien sabe cuál es la explicación y cómo sale la fórmula? No acabo de entenderla.
Muchas gracias.

6
Hola

 Una idea rápida. Si hay \( \displaystyle\binom{k}{2} \) músicos entonces es suficiente que toquen en \( k \) días. Basta asignar a cada músico un par de días de los \( \binom{k}{2} \) posibles pares.

 Por tanto si hay \( n \) músicos a lo sumo hacen falta \( k \) días, siendo \( k \) el menor entero verificando:

\( \displaystyle\binom{k}{2}\geq n \)

 Lo que no está claro si no se puede hacer en menos días.

Saludos.


No acabo de ver cómo, por ejemplo, para n=6 músicos (es decir, k=4), si a cada uno de los músicos se le asigna un par de días de los 6 posibles pares, se llega a la conclusión de que k=4. (Supongo que es obvio, pero no acabo de verlo, ¿podrías matizar esa frase?)


Gracias a ambos por la respuesta.

7
Teoría de grafos / Re: Problema Determinar si existe un grafo
« en: 27 Marzo, 2018, 11:10 am »

- Por un lado, la suma de los grados debe ser igual al doble de las aristas.  En el caso del ejemplo no se cumple.

- Por otro, aunque la cumpliera no es único (ejemplo con 6 vértices)


Gracias por la respuesta.

¿Por qué en el ejemplo la suma de los grados no podría ser igual al doble de las aristas? (No lo acabo de ver, lo único que veo imposible, de ser un grafo, sería ese vértice de grado 6, ya que solo puede estar unido a otros 4 vértices).

Ahora bien, si tenemos en cuenta que pueda ser un grafo (conexos o no conexos), o también un multigrafo, ¿qué habría que tener en cuenta? (El ejemplo sí podría ser un multigrafo si no me equivoco).



(El problema hace referencia a los enfrentamientos entre varias personas, por ejemplo, partidos de tenis entre los 6 participantes, determinando si unos determinados datos son posibles. El caso del multigrafo haría referencia a participantes que se enfrentan varias veces entre sí).

Muchas gracias.

8
Un número n de músicos participan en un festival de música. En cada
concierto, algunos de esos músicos tocan y los demás escuchan. ¿Cuál es el
mínimo número de conciertos necesario para que cada músico escuche a todos
los demás?

Por ejemplo, para n=6 la respuesta sería 4.
Concierto 1 A B C
Concierto 2 B E D
Concierto 3 A E F
Concierto 4 C F D

¿Alguien sabe cómo se podría generalizar este problema para cualquier valor de n?

Muchas gracias. Un saludo.

9
Teoría de grafos / Problema Determinar si existe un grafo
« en: 27 Marzo, 2018, 01:18 am »
Buenas tardes,

A ver si alguien puede echarme una mano:

¿Es posible determinar si existe un grafo (conexo o no conexo), dada la información de cuantos vértices tiene, y de qué grado es cada uno?

(Por ejemplo, determinar si existe el grafo con 5 vértices, con los siguientes grados {2,3,1,6,2})


Además del teorema que afirma que existe un número par de vértices con grado impar, ¿hay algún otro teorema aplicable para determinar la existencia o no de un grafo con esa información?

Muchas gracias.
Un saludo.

10
Hola

Y una pregunta más, que si me podéis ayudar a esclarecer os lo agradecería mucho.

¿Cómo podríamos calcular la probabilidad (suponiendo que ambas probabilidades son 0.5) de estar arruinado en una racha menor a la racha número r? (Llamamos racha al conjunto de tiradas con las que obtenemos el beneficio de una unidad, o al conjunto de tiradas que nos impiden doblar la apuesta). He intentado resolverlo pero se me escapa completamente, imagino que se resuelve mediante recursividad de una forma parecida al problema inicial.

En este caso no creo que se pueda dar una fórmula explícita muy manejable. La segunda ecuación de recurrencia quedaría así:

\( P(x,x+1)=\dfrac{\left(1-q^{[log_2(x+1)]}\right)}{1-q^{[log_2(x+1)]}P(x+1-2^{[log_2(x+1)]},x)} \)

donde \( q \) es la probabilidad de perder. Introducida la recursividad en el Mathematica devuelve por ejemplo:

\( P(4,5)=\dfrac{-q^4+q^3-q+1}{q^6-2 q^5+2 q^3-q+1} \)

ó

\( P(2,8)=\dfrac{(q-1)^6 (q+1)^4 \left(q^2+q+1\right)}{q^{10}-q^9-2 q^8+4 q^7-7 q^5+4 q^4+4 q^3-2 q^2-q+1} \)

No veo una forma sencilla de expresar esto. Como curiosidad he comprobado que:

\( P(2^n-1,2^n)=1-q^n \)


Gracias por la respuesta.
Esa fórmula entonces sería para calcular P(x,y) si la probabilidad no fuera 0.5.

¿Y la probabilidad, como decía, de estar arruinado en una racha menor a la racha número r, si ambas probabilidades fueran 0.5? ¿es posible calcularla? (Teniendo en cuenta que llamábamos racha al conjunto de tiradas con las que obtenemos el beneficio de una unidad, o al conjunto de tiradas que nos impiden doblar la apuesta)




Citar
Y muy similar: ¿En qué racha hay mayor probabilidad de estar arruinado? (Me surge también la duda si dicha probabilidad se distribuiría según una distribución normal, aunque esto quizá es pasarse un poco en el análisis del problema jeje)

¿Aquí que juegas, partidas hasta que te arruines?.

Saludos.
[/quote]


Sí, eso es, ¿podría calcularse?

Muchas gracias. Un saludo.

11

A la conclusión llegué metiendo las fórmulas en el ordenador y calculando varios valores. Vi que siempre daba \( x/y \).

Ahora bien una vez que uno se da cuenta de eso, probar rigurosamente que efectivamente es la solución utilizando la recurrencia expuesta es fácil.

En primer lugar nota que las relaciones de recurrencia descritas definen de manerá única una solución.

La primera fórmula: \( P(x,y)=P(x,x+1)P(x+1,y) \) nos permite expresar cualquier posible \( P(x,y) \) con \( y>x+1 \) en función de \( P(z,z+1) \), con \( z+1\leq y \).

La segunda fórmula:

\( P(x,x+1)=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}P(x+1-2^{[log_2(x+1)]},x)} \)

nos permite expresar cualquier \( P(x,x+1) \) en función de \( P(x',x) \).

Es decir, combinando ambas cualquier probablidad \( P(x,y) \) se reduce a calcular una probabilidades \( P(x',y') \) con \( y'< y,\,x'\leq y' \) y por tanto en un número finito de pasos e inductivamente se llegan a las condiciones iniciales \( P(x,x)=1 \) ó \( P(0,y)=0 \).

Entonces para probar que una función \( P(x,y) \) es efectivamente solución al problema basta ver que cumple las relaciones de recurrencia y las condiciones iniciales. Y \( p(x,y)=x/y \) cumple todo:

- Las condiciones iniciales:

\(  p(x,x)=x/x=1,\qquad p(0,y)=0/y=0 \)

- La primera relación de recurrencia:

\(  P(x,x+1)P(x+1,y)=\dfrac{x}{x+1}\cdot \dfrac{x+1}{y}=\dfrac{x}{y}=P(x,y) \)

- La segunda relación de recurrencia:

\( \dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}P(x+1-2^{[log_2(x+1)]},x)}=
\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\left(\dfrac{x+1-2^{[log_2(x+1)]}}{x}\right)}=\\
=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)+\dfrac{1}{x}}=
\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)}=\\
=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}=\dfrac{x}{x+1}=P(x,x+1)
 \)

Saludos.

Muchas gracias, en líneas generales lo entiendo. Lo he estado pensando y creo que la explicación más sencilla y obvia, es que, en este caso, al ser ambas probabilidades de 0.5, si calculamos la esperanza matemática en cada tirada (probabilidad de ganar*beneficio(1 unidad)-probabilidad de perder*pérdida(2^n-1 unidades), siempre es 0, por la tanto, por ejemplo, la probabilidad de doblar una cantidad, 10 unidades, por ejemplo, debe ser efectivamente P(10,20)=0.5.

Ahora bien, ¿y si la probabilidad de ganar fuera, como en una ruleta normal, inferior a 0.5, por ejemplo 0.45 de ganar y 0.55 de perder? ¿Cuál sería P(x,y)? He intentado resolverlo modificando dichos datos en las fórmulas pero me pierdo.


Y una pregunta más, que si me podéis ayudar a esclarecer os lo agradecería mucho.

¿Cómo podríamos calcular la probabilidad (suponiendo que ambas probabilidades son 0.5) de estar arruinado en una racha menor a la racha número r? (Llamamos racha al conjunto de tiradas con las que obtenemos el beneficio de una unidad, o al conjunto de tiradas que nos impiden doblar la apuesta). He intentado resolverlo pero se me escapa completamente, imagino que se resuelve mediante recursividad de una forma parecida al problema inicial.

Y muy similar: ¿En qué racha hay mayor probabilidad de estar arruinado? (Me surge también la duda si dicha probabilidad se distribuiría según una distribución normal, aunque esto quizá es pasarse un poco en el análisis del problema jeje)


Muchísimas gracias de antemano.


12
Hola

¿Dónde te ha surgido este problema? No lo veo fácil de resolver de manera explícita, aunque sí puede darse una fórmula recursiva.


Muchas gracias por la respuesta.

El problema se me ocurrió a partir de una simulación que estaba programando. Me entró curiosidad por lo sencillo que me resultaba el plantearlo, y lo complicado que parecía resolverlo.


Pero así no estás teniendo en cuenta que el número de apuestas seguidas perdiendo puede crecer a medida que ganamos. Por ejemplo si empezamos en \( x=10 \) cuando hemos llegado a un capital de \( x=15 \), entonces ya podemos hacer cuatro apuestas.

En general si tenemos un capital \( x \), como dices el número máximo de apuestas seguidas sin premio es \( [log_2(x+1)] \) (siendo \( [\dot ] \) la función parte entera).

Entonces para cualquier \( y\geq x \), sea \( P(x,y) \) la probabilidad de llegar de \( x \) a \( y \). Las condiciones iniciales son:

\( P(x,x)=1 \)
\( P(0,y)=0 \)

y las relaciones recursivas:

\( P(x,y)=P(x,x+1)P(x+1,y) \) si \( y>x+1 \)

de donde:

\( P(x,y)=\displaystyle\prod_{i=1}^{y-x}P(x+i-1,x+i) \) si \( y>x+1 \)

y:

\( P(x,x+1)=\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)+\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}P(x+1-2^{[log_2(x+1)]},x+1) \)

donde el primer sumando es la probabilidad de llegar a \( x+1 \) sin reiniciar la apuesta y el segundo teniendo que reiniciarla.

Pero necesitamos un paso más porque sino esa última forma podría tener una autoreferencia. Entonces:

\( P(x,x+1)=\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)+\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}P(x+1-2^{[log_2(x+1)]},x)P(x,x+1) \)

de donde despejando:

\( P(x,x+1)=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}\right)}{1-\dfrac{1}{2^{[log_2(x+1)]}}P(x+1-2^{[log_2(x+1)]},x)} \)


Habría que pensar ahora si puede obtenerse una expresión explícita para \( P(x,y) \).

Saludos.

CORREGIDO


Gracias por la respuesta.

Entiendo las ecuaciones de recursividad que planteas, sin embargo, no acabo de ver como llegas a la conclusión de que P(x,y)=x/y.

(Si esa es la solución me parece brillante).

¿Cómo llegas a ella?

13
Probabilidad / Problema Probabilidad Martingala (series infinitas)
« en: 21 Marzo, 2018, 10:52 pm »
Supongamos que utilizamos un sistema tipo martingala, con un capital de, por ejemplo, x unidades (plantearemos el problema con 10 unidades para verlo más claro), en el que existen dos apuestas posibles cada una de ellas con 0.5 de probabilidad.

Se comienza apostando 1 unidad, si se gana obtiene de beneficio 1 unidad, y si se pierde se continúa doblando la apuesta hasta obtener dicho beneficio de 1 unidad.
Llamaremos racha perdedora a la racha con la que perderemos la mayor parte del capital y nos impedirá doblar la apuesta.
Si en un determinado momento ya no se puede doblar la apuesta, se comenzará de nuevo la martingala con el capital restante. El juego acabará cuando el capital sea 0.

¿Cuál sería la probabilidad de a partir de ese capital obtener un capital de y unidades (supondremos 20 unidades)?


Calcular la probabilidad de llegar a 20 unidades si nunca llegamos a dicha racha perdedora es sencillo. Sabemos que la apuesta máxima que podemos hacer es el máximo valor de n que satisface la igualdad:

2^n-1<=capital_inicial

(El valor máximo para esta operación, en el ejemplo planteado (capital inicial 10 unidades) es n=3, por tanto la racha perdedora será de 3 apuestas seguidas perdiendo).

La probabilidad de obtener x rachas (en nuestro caso serían 10) en las que en ninguna de ellas se produzcan n apuestas seguidas (en nuestro caso serían 3) perdiendo será: (1-probabilidad n apuestas seguidas perdiendo)^x



Ahora bien, la gracia del problema está en que cuando se de dicha racha perdedora, seguiremos teniendo cierto capital, con el que se iniciará de nuevo el juego y aún es posible llegar a las unidades requeridas. ¿Cómo podríamos calcular la probabilidad buscada en el enunciado?

Me parece un problema muy sencillo de plantear, pero muy complicado de resolver, al tratar con series que podrían ser infinitas, y existir tantísimas combinaciones posibles. ¿Alguien podría aportarme algo de luz?

14
Matemáticas Generales / Re: Problema Paridad
« en: 14 Marzo, 2018, 09:15 pm »
Hola

Buenas, a ver si alguien me echa una mano para demostrar la imposibilidad de resolver el siguiente problema de manera entendible para todos.

¿Podrá formarse un cubo de 6x6x6 con 27 ladrillos que miden cada uno 1x2x4 unidades?

Sé que puede resolverse coloreando cuadrados blancos y negros, y que al ser 27 un número impar van por ahí los tiros.

Si alguien sabe explicar por qué no puede formarse de manera entendible se lo agradecería.

Supón que divides el cubo en cubitos 2x2x2 y los coloreas alternativamente de negro y blanco como en el dibujo:



Tendrás \( 14  \) cubos 2x2x2 negros y \( 13 \) cubos 2x2x2 blancos (o siquieres \( 8\cdot 14 \) cubos unitarios negros y \( 8\cdot 13 \) cubos unitarios blancos); lo esencial es que hay más cubitos unitarios negros que blancos.

Ahora en cualquier posible configuración del cubo en ladrillos 1x2x4 cada uno de esos ladrillos necesariamente contiene cuatro cubitos unitarios blancos y cuatro cubitos unitarios  negros.

Spoiler
Fíjate que cada ladrillo estaría en una sección con alguna de estas dos configuraciones y pongas donde lo pongas puedes ver que contiene el mismo número de cubitos negros que blancos.

[cerrar]

Por tanto si pudiésemos cubrir el cubo con \( 27 \) ladrillos 1x2x4 tendría que haber el mismo número de cubitos blancos y negros, pero eso contradice nuestro conteo inicial.

Saludos.

Muchas gracias, perfectamente explicado.
Un saludo.

15
Matemáticas Generales / Problema Paridad
« en: 14 Marzo, 2018, 02:14 pm »
Buenas, a ver si alguien me echa una mano para demostrar la imposibilidad de resolver el siguiente problema de manera entendible para todos.

¿Podrá formarse un cubo de 6x6x6 con 27 ladrillos que miden cada uno 1x2x4 unidades?

Sé que puede resolverse coloreando cuadrados blancos y negros, y que al ser 27 un número impar van por ahí los tiros.

Si alguien sabe explicar por qué no puede formarse de manera entendible se lo agradecería.


Un saludo.

16
Buenos días, a ver si alguien puede ayudarme con el siguiente problema.

Supongamos, para simplificar, que tenemos las siguientes ternas de números (inventadas), podrían ser más ternas y con una cantidad de números mayor (los números en cada terna no se pueden repetir, aunque creo que el problema es el mismo independientemente de que se pudieran repetir o no):

A) 1, 4, 5, 6, 7
B) 2, 4, 6, 8, 9
C) 2, 3, 5, 7, 8
D) 2, 3, 4, 5, 6
E) 4, 5, 6, 7, 8

Ahora, tenemos que quitar números. Al quitar un número se quitará de todas las ternas en las que se encuentre.

Queremos hallar cuál es la cantidad mínima de números que hay que quitar (y cuáles son dichos números que hay que quitar) para que en cada terna halla una cantidad igual o menor a n-1 números (siendo n la cantidad de números en cada terna).

¿Hay alguna forma más eficiente de hallarlo que no sea ir calculando todas las combinaciones posibles de números a quitar y ver si se cumple nuestra condición?


(Este problema no sería muy complicado, el problema lo tengo cuando son más ternas y hay más números, por ello me pregunto si hay una forma más eficiente). Si algo no se entiende pueden preguntarme.

Gracias de antemano.
Un saludo.













17
Buenos días,

Estoy introduciéndome con Geogebra y me surge una duda.

¿Es posible crear un gráfico en Geogebra, ponerlo en un mensaje, y que a este gráfico creado, otra persona o forero le añada otros elementos, y lo ponga de nuevo en el foro? Y continuar interactuando así dos personas de esta manera.

Gracias.
Un saludo.

18
Gracias de nuevo a ambos.

Una última pregunta y acabo:

¿Cual sería la función para obtener las particiones de un número formadas por un número x de sumandos y todos ellos distintos?

La he pensado un rato pero el hecho de tener solo un numero determinado de sumandos me parece complicado.


Saludos.

19
Muchas gracias a ambos por las respuestas, la verdad es que es muy interesante.

¿Y es posible calcular el número de particiones de un número con todos sus sumandos distintos?


- ¿Es posible hallar el conjunto de soluciones de una ecuación con alguna restricción?

Por ejemplo, es posible hallar de cuántas formas posibles se puede resolver la ecuación:

1x+2y+3z=60, sabiendo que x,y,z>=0 y que son números naturales.

Algunas soluciones serían (60,0,0), (58,1,0),(57,0,1), etc.
El objetivo sería hallar cuál es el número de soluciones posibles. (Sin restricciones sería de infinitas maneras, pero al haberlas sólo hay un número determinado de soluciones)

Gracias de antemano si alguien conoce las respuestas.

Esto puede calcularse también hallando el coeficiente del término de grado \( 60 \) del polinomio:

\( (1 + x + x^2 + \ldots + x^{60})(1 + x^2 + x^4 + \ldots + x^{60})(1 + x^3 + x^6 + \ldots + x^{60}) \)

Si todos los coeficientes fueran iguales a 1, el número de soluciones se puede calcular como el número de combinaciones con repetición.

Saludos,



(Si algún coeficiente fuera negativo, o las restricciones fueran, por poner un ejemplo: x<-3, y>-4, z>2 se podría calcular siguiendo la misma lógica, ¿no? De hecho, siguiendo la misma lógica, si alguna incógnita de la ecuación estuviera elevada a un número cualquiera también se podría hallar el conjunto de soluciones de esa ecuación siguiendo el mismo procedimiento que has descrito, si no me equivoco).

Y, entonces se me ocurre, si la ecuación fuera 2xy+3z=60, siendo x,y>=0, y números naturales, por ejemplo, ¿sería posible hallar el número de soluciones posibles en ese caso?

Y una pregunta, al referirte al caso en el que x+y+z=60 (coeficientes=1), ¿cómo lo calcularías?, las combinaciones con repetición de ¿cuantos? elementos tomados de ¿cuantos en cuantos?


Muchas gracias.
Saludos.

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Buenas, a ver si alguien podría ayudarme a resolver estos 2 problemillas:

- ¿Cuál es el número de posibles formas de descomponer un número natural en sumas de números naturales positivos?

Por ejemplo, el número 5 se podría descomponer de 6 formas (creo que no me dejo ninguna).
5=1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+4
5=2+2+1
5=2+3

- ¿Es posible hallar el conjunto de soluciones de una ecuación con alguna restricción?

Por ejemplo, es posible hallar de cuántas formas posibles se puede resolver la ecuación:

1x+2y+3z=60, sabiendo que x,y,z>=0 y que son números naturales.

Algunas soluciones serían (60,0,0), (58,1,0),(57,0,1), etc.
El objetivo sería hallar cuál es el número de soluciones posibles. (Sin restricciones sería de infinitas maneras, pero al haberlas sólo hay un número determinado de soluciones)

Gracias de antemano si alguien conoce las respuestas.

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