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Mensajes - sqrmatrix

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1
Hola, sqrmatrix, me alegro de verte por aquí de nuevo.

Hola, feriva, yo también me alegro de verte.

Por lo que decís Luis y tú, me parece que no había entendido a qué se refería él (como siempre, a la primera no me entero :) ).

Bueno, eso son gajes del oficio. En mi caso, el problema que tengo son mis complicadas explicaciones, que se pueden resumir en pocas líneas y yo me quedo con cara de  ???.

2
Saludos, Luckdevil, feriva y Luis Fuentes.

Me ha parecido muy interesante tu observación. He estado haciendo algunas cuentas y he deducido algunas cosas. Esto lo he escrito un poco a corriendas, así que si no entiendes algo, pregúntame (mientras estaba escribiendo esto Luis Fuentes ha dado una respuesta mucho más sencilla que la que propongo, que seguro que entenderás mucho mejor. Como es habitual en mí, siempre me complico en los problemas :)).

Por lo que veo, partes de un primo \( \displaystyle p \), hallas \( \displaystyle n=p-1 \), y determinas cuándo los enteros \( \displaystyle n+1 \), \( \displaystyle n+1+2 \), \( \displaystyle n+1+2+4 \), \( \displaystyle n+1+2+4+6 \), ..., \( \displaystyle n+1+2+4+...+2\cdot a \) son primos.

Creo que no hace falta usar \( \displaystyle n \), ya que siempre le sumas \( \displaystyle 1 \). Así que lo que propones es determinar para qué valores consecutivos de pares se cumple \( \displaystyle p \) es primo, \( \displaystyle p+2 \) es primo, \( \displaystyle p+2+4 \) es primo, ..., \( \displaystyle p+2+4+6+...+2\cdot a \) es primo.

Lo primero que observamos es que para que se cumpla para más de un par, necesariamente \( \displaystyle p \) ha de ser el primero de un par de primos gemelos, puesto que pretendemos que \( \displaystyle p+2 \) también sea primo. Sea \( \displaystyle p' \) este segundo primo. Ahora, tiene que cumplirse que \( \displaystyle p'+4 \) también sea primo. Sea \( \displaystyle p" \) este primo. Y así sucesivamente. Es decir, estamos buscando una cadena de primos \( \displaystyle p_1, p_2, ..., p_k \), tales que \( \displaystyle p_{i+1}-p_i=2\cdot i \).

Podemos definir estos primos como \( \displaystyle p_n=p_0+\sum_{i=1}^{n} 2\cdot i \), donde \( \displaystyle p_0 \) es el primo de partida. Le pongo subíndice \( \displaystyle 0 \) para simplificar la expresión.

La anterior expresión se puede escribir como \( \displaystyle p_n=p_0+2\cdot\sum_{i=1}^{n} i \). El sumatorio es la suma de los primeros \( \displaystyle n \) enteros, cuya expresión es \( \displaystyle \dfrac{n^2+n}{2} \). Por tanto, podemos escribir la expresión que nos da los diferentes primos como \( \displaystyle p_n=p_0+2\cdot\dfrac{n^2+n}{2}=p_0+n^2+n \). Así, pues, queremos ver para qué valores consecutivos de \( \displaystyle n \) esta expresión genera primos.

Voy a utilizar algo parecido a lo que utilicé en otro hilo en el que hablaba sobre primos equidistantes. Para que \( \displaystyle p_n=p_0+n^2+n \) sea primo, no ha de ser divisible por ningún otro primo. En particular, no debe ser divisible por el primo \( \displaystyle 3 \), salvo que \( \displaystyle p_n=3 \). Por tanto, debe cumplirse la congruencia \( \displaystyle p_n\not\equiv0\pmod{3} \to p_0+n^2+n\not\equiv0\pmod{3} \to p_0\not\equiv-n^2-n\pmod{3} \). Así, ya tenemos un criterio para saber cuándo un \( \displaystyle p_n \) distinto de \( \displaystyle 3 \) no es primo.

Tenemos dos opciones. La primera es simplemente darle a \( \displaystyle n \) el valor que estamos usando como índice en \( \displaystyle p_n \) y ver si se cumple la congruencia. Si no se cumple para ese valor de \( \displaystyle n \), entonces tenemos la seguridad de que \( \displaystyle p_n \) no es primo. Si sí se cumple, no tenemos la seguridad de que \( \displaystyle p_n \) sea primo, pero al menos sabemos que no es divisible por \( \displaystyle 3 \).

La otra opción es calcular todos los valores de la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) en módulo \( \displaystyle 3 \), y ver si se cumple \( \displaystyle p_0\not\equiv-n^2-n\pmod{3} \). Si no se cumple, entonces \( \displaystyle p_n \) no es primo para los valores de \( \displaystyle n \) en los que no se cumple la congruencia. Si se cumple, no tenemos la seguridad de que \( \displaystyle p_n \) sea primo, pero sí sabemos que \( \displaystyle p_n \) no es divisible por \( \displaystyle 3 \). Para calcular todos los valores de la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) en módulo \( \displaystyle 3 \), basta darle a \( \displaystyle n \) todos los valores entre \( \displaystyle 0 \) y \( \displaystyle 2 \).

Lo visto en módulo \( \displaystyle 3 \) también es cierto en módulo \( \displaystyle 5 \). Es decir, se tiene que cumplir que \( \displaystyle p_n=5 \) ó que \( \displaystyle p_0\not\equiv-n^2-n\pmod{5} \). El procedimiento es el mismo que el explicado antes. Para calcular todos los valores de la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) en módulo \( \displaystyle 5 \), basta darle a \( \displaystyle n \) todos los valores entre \( \displaystyle 0 \) y \( \displaystyle 4 \).

Repitiendo esto para todos los primos desde el \( \displaystyle 3 \) en adelante (el \( \displaystyle 2 \) no hace falta porque sabemos que \( \displaystyle p_n \) es impar) podemos determinar el \( \displaystyle n \) para el que \( \displaystyle p_n \) ya no será primo. En el peor de los casos, el último primo a comprobar es el propio \( \displaystyle p_0 \). Y éste es el que nos impone el máximo límite de \( \displaystyle n \). Sabemos que \( \displaystyle p_0\equiv0\pmod{p_0} \). Y observamos que la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) siempre generará el valor \( \displaystyle 0 \), puesto que \( \displaystyle -0^2-0=0\equiv0\pmod{m} \), para todo \( \displaystyle m>1 \) entero positivo. Así, si para todos los primos menores a \( \displaystyle p_0 \) determinamos que ninguno de ellos divide a los \( \displaystyle p_n \) generados con el mismo, nos encontramos que, en el mejor de los casos, para todos los valores de \( \displaystyle n \) desde \( \displaystyle 1 \) hasta \( \displaystyle p_0-1 \) podemos obtener primos (nada garantiza que los valores obtenidos sean primos, pero sabemos que no serán divisibles por ningún primo menor o igual a \( \displaystyle p_0 \)). Pero cuando \( \displaystyle n=p_0\equiv0\pmod{p_0} \), tenemos la seguridad de que \( \displaystyle p_n \) ya no es primo, sino divisible por \( \displaystyle p_0 \). Así, partiendo del primo \( \displaystyle p_0 \) tenemos, en el mejor de los casos, una cadena de \( \displaystyle p_0 \) primos obtenida con este procedimiento. Pero ni siquiera esto se cumple, ya que podemos hacer \( \displaystyle -n^2-n=-n\cdot(n+1) \), de tal forma que se cumple también que cuando \( \displaystyle n\equiv-1\pmod{p_0} \), entonces se cumple que \( \displaystyle p_n\equiv0\pmod{p_0} \). Por tanto, la máxima longitud posible de una cadena de primos obtenida con este procedimiento, partiendo de \( \displaystyle p_0 \), será de \( \displaystyle p_0-1 \). Con las observaciones que has realizado, has demostrado que pueden existir cadenas de esta longitud, pero tenemos la seguridad de que no podrán ser de mayor longitud.

Este procedimiento para determinar el \( \displaystyle n \) para el que \( \displaystyle p_n \) no es primo también nos sirve para mejorar la búsqueda de primos \( \displaystyle p_0 \) que nos proporcionen mayores cadenas de primos consecutivos. Para ello, tomamos los primeros primos, tantos como queramos. Calculamos los valores de las expresiones de \( \displaystyle -n^2-n \) módulo cada uno de los primos. Esos valores son los que hacen que los \( \displaystyle p_n \) ya no sean primos para los correspondientes valores de \( \displaystyle n \). Entonces, podemos tomar los valores que no se hayan dado en estas expresiones, de forma que si elegimos un primo \( \displaystyle p_0 \), ha de ser congruente con alguno de estos valores en cada módulo primo. Esto es, sea \( \displaystyle a_i \) un valor módulo el primo \( \displaystyle p_i \) que no es generado por la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) módulo \( \displaystyle p_i \). Entonces podemos plantear el sistema de congruencias lineales:

\( \displaystyle
\left\{
\begin{array}{l}
p_0\equiv a_1\pmod{3} \\
p_0\equiv a_2\pmod{5} \\
p_0\equiv a_3\pmod{7} \\
... \\
p_0\equiv a_i\pmod{p_i} \\
\end{array}
\right.
 \)

Resolvemos el sistema de congruencias mediante el Teorema Chino de los Restos, y obtenemos una solución de la forma \( \displaystyle p_0\equiv a\pmod{3\cdot5\cdot7\cdot...\cdot p_i} \). El valor proporcionado puede no ser primo, pero nos proporciona una expresión para buscar los primos que cumplan las congruencias, que son los primos de la forma \( \displaystyle p_0=a+k\cdot3\cdot5\cdot7\cdot...\cdot p_i \), con \( \displaystyle k \) un entero arbitrario al que le iremos dando valores e iremos comprobando si el valor proporcionado por la expresión es primo. Si encontramos un primo con estas características, este procedimiento tampoco nos garantiza que podamos obtener una cadena de primos, pero nos evita buscar entre primos que tenemos la seguridad de que no generarán cadenas de primos de la longitud que deseamos.

Como ejemplo de lo visto, veamos el caso del primo \( \displaystyle 5 \). Si echamos cuentas, el único valor módulo \( \displaystyle 3 \) que no es generado por la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) es \( \displaystyle 2 \), y tenemos que \( \displaystyle 5\equiv2\pmod{3} \). Por tanto, los \( \displaystyle p_n \) generados con el primo \( \displaystyle 5 \) no serán divisibles por 3. Veamos qué ocurre en módulo \( \displaystyle 5 \). En este caso, tenemos que \( \displaystyle p_0=5\equiv0\pmod{5} \) y, por lo visto antes, en el mejor de los casos tendremos una cadena de hasta \( \displaystyle 5-1=4 \) primos, que es lo que has observado.

Veamos el caso de \( \displaystyle p_0=29 \). Tenemos que \( \displaystyle 29\equiv2\pmod{3} \), que es uno de los valores que no genera la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) en módulo \( \displaystyle 3 \). Veamos qué ocurre en módulo \( \displaystyle 5 \). El único valor que la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) no genera en módulo \( \displaystyle 5 \) es \( \displaystyle 2 \). Pero \( \displaystyle 29\equiv4\pmod{5} \), por lo que el \( \displaystyle n \) para el que tenemos la seguridad de que \( \displaystyle p_n \) no será primo será el primero para el que la expresión \( \displaystyle -n^2-n \) valga \( \displaystyle 4 \) módulo \( \displaystyle 5 \), y este \( \displaystyle n \) es \( \displaystyle 2 \). Por tanto, tenemos la seguridad de que \( \displaystyle p_2 \) no será primo. Comprobémoslo:

\( \displaystyle
p_0=29 (primo) \\
p_1=p_0+2=29+2=31 (primo) \\
p_2=p_0+2+4=29+6=35=5\cdot7 (compuesto)
 \)

Como vemos, esto nos permite determinar algunas características de los primos que propones. Espero que esto responda algunas de tus dudas.

3
Saludos, Víctor Luis.

°) Para todo 'B' Múltiplo de (3) ... nunca se tendrá en:  (2B+3) a un número primo.

Basta darle a \( \displaystyle B \) el valor \( \displaystyle 0 \), que es múltiplo de \( \displaystyle 3 \) (de hecho, es múltiplo de cualquier entero), para obtener el primo \( \displaystyle 3 \).

REEDICIÓN: Me he dado cuenta de que quizá te referías a valores de \( \displaystyle B \) enteros positivos. En ese caso, sí, lo que dices es cierto y lo que he dicho no aplicaría.

°) Lo que:  (2B+3)  nos dice, es que los números primos, serían, naturales "IMPARES".

En realidad lo que dice esa expresión es que los primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) son impares, no que todos los primos son impares. De hecho, dado que \( \displaystyle 2 \) es el único primo par, cualquier expresión que genere solamente valores impares y que pueda generar primos sólo generará primos impares, pero eso no significa que todos los primos sean impares.

°) Con:  (2B+1)  se conformaría el primo (3) que falta con:  (2B+3)

Como indiqué antes, basta darle a \( \displaystyle B \) el valor \( \displaystyle 0 \) para obtener el primo \( \displaystyle 3 \). De hecho, las dos expresiones son equivalentes, es decir, generan los mismos enteros. Basta desarrollar:

\( \displaystyle 2\cdot B+3=2\cdot B+2+1=2\cdot(B+1)+1=2\cdot B'+1 \)

Sólo se diferencian en el valor que hay que darle a \( \displaystyle B \) y a \( \displaystyle B' \) para obtener el mismo valor, pero ambas expresiones generan los mismos valores, por lo que son equivalentes a la hora de estudiar los valores que generan.

REEDICIÓN: Como en la reedición anterior, si te referías a valores de \( \displaystyle B \) enteros positivos, las expresiones se diferencian sólo en el primer entero que generan, que la expresión \( \displaystyle 2\cdot B'+1 \) genera el valor \( \displaystyle 3 \), y la expresión \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) no. Pero el resto de valores que generan son los mismos.


4
Saludos, Víctor Luis.

   °) Revisando sus exposiciones, Luis parte de que 'A' =  f(x,y)  se obtiene con la función de (x,y) en la que también interviene y se determina 'B' que al ser diferente de 'A' se cumpliría que:  2B+3 = es PRIMO ?? es así?

Lo que se propone es que si \( \displaystyle B \) no es solución entera de la función propuesta, para \( \displaystyle y \) positivo, entonces \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) es primo. Se demostró que esos primos no existen. Por tanto, la respuesta a tu pregunta es que tu planteamiento es más o menos lo que se ha propuesto (habría que añadir algunas cuestiones que concreten más el problema), pero ya no es aplicable, puesto que no vamos a encontrar primos así.

  1°) Sin importar la función:  f(x,y)  sea la que sea y el 'B' determinado e interviniente en la función, no hace que por el simple hecho de ser diferente a 'A', el producto:  (2B+3)= ... sea "siempre" ó "para siempre" (como diría Feriva) un Natural Primo; porque (2B+3) de puede expresar como una sucesión, dependiente de 'B' ... misma que como la función:  (2n+3) con 'n' naturales del Conjunto_N ... llegaremos a encontrar grandes intervalos entre 'n' donde no encontraremos primos, siendo en tales puntos, donde se determinarían: 'B'  como 'A' para evaluar y comprobar que sean distintos ... y es que una función:  f(x,y) no dará un 'A' y un 'B' que por el simple hecho de ser distintos, garanticen (deterministicamente) que
:  2B+3 =  sea un Natural Primo ... No creo que Riemann lo considere.

No se ha afirmado que \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) sea siempre primo, sino que será primo si cumple las condiciones propuestas (lo que niegas al comienzo de la pregunta, aplicado a la función propuesta), y ya se ha demostrado que esos primos no existen. Por otro lado, no entiendo por qué mencionas a Riemann, si no se ha mencionado para nada ni a él, ni a su trabajo.

••) Ante esto, yo planteo que:  " Siendo 'A' primo, éste nos permite determinar la primalidad de 'B' " ... algo que tiene más sentido y el poder comprobarlo, en la Primalidad de los Números de Mersenne, con resultado determinista.

Esto tendrás que demostrarlo.

5
Saludos, juan luis, y al resto de participantes y visitantes.

   Muy agradecido  a todos los que han colaborado en este tema, especialmente a Sqrmatrix.

Muchas gracias a tí por plantear el problema y por las observaciones tan interesantes que has hecho en él.

6
Saludos, juan luis.

Buenos días a todos.

  Muy interesante Sqrmatrix, como

       \( y=1\pm{}\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{P+1}{2})^2-P} \)     y también 

       \( y=1\pm{\displaystyle\frac{P-1}{2}} \)

   Eliminamos el \( 1 \) e igualamos las dos expresiones,  y como  \( P=\sqrt[2 ]{P^2} \)   podemos decir que:

       \( (\displaystyle\frac{P+1}{2})^2=(\displaystyle\frac{P-1}{2})^2+(\sqrt[2 ]{P})^2 \)   luego tenemos un triangulo rectángulo distinto

   para cada valor de  \( P \) 

   hipotenusa \( =\displaystyle\frac{P+1}{2} \) 

   cateto \( =\displaystyle\frac{P-1}{2} \)

   cateto \( =(\sqrt[ ]{P}) \) 

   Ejemplo para  \( P=37 \)

    hipotenusa \( =19 \) 

    cateto \( =18 \)

    cateto \( =\sqrt[ ]{37} \)

   Muchas gracias y un saludo

Interesante. No se me había ocurrido verlo así, como un triángulo rectángulo. Lamentablemente uno de los catetos nunca será entero al ser la raíz cuadrada de un primo. Hubiera estado bien que hubiera tenido todos los lados enteros :).

7
Saludos, juan luis, y al resto de participantes y visitantes.

Buenos días

   Repasando la demostración de Sqrmatrix, encontré que modificando el radical  \( \sqrt[ ]{x^2-2x+2B+4} \) hacemos  que 

      \( y=\sqrt[ ]{x^2-2x+N+1} \) 

   Cuando \( N \)  es primo solo tenemos un cuadrado perfecto  donde  \( y=x=\displaystyle\frac{N+1}{2} \) 

   Cuando \( N \)  es compuesto tiene ademas de la solución anterior, tantos cuadrados perfectos como primos componen \( N \)

   Ejemplo:
 
    para \( N=67 \)   tenemos que  \( y=x=34 \)

    para \( N=105 \)   para \( x=5 \)  tenemos que  \( y=11 \)

                                para \( x=9 \)  tenemos  que \( y=13 \)

                                para \( x=17 \)  tenemos que \( y=19 \)

                                para \( x=53 \)   tenemos que \( y=53 \)

     Bueno se me ocurrió, por si le pudiera interesar a alguien del foro.
 
     Muchas gracias y un saludo.

Tu observación es muy interesante, y haciendo algunas operaciones aplicando lo que has indicado, me he encontrado algunas cosas interesantes. Partimos del primo \( \displaystyle p=2\cdot B+3 \), y haremos como has hecho tú, sustituir el valor \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) por \( \displaystyle p \) en las fórmulas.

Empezamos viendo el valor que tomará \( \displaystyle z \). Como bien has observado, sólo hay una expresión de \( \displaystyle p \) como diferencia de cuadrados, o como producto de dos enteros, que es \( \displaystyle p=1\cdot p \). Por tanto, el valor de \( \displaystyle z \) será \( \displaystyle z=\dfrac{p+1}{2} \).

Podemos ahora sustituir este valor en la fórmula que nos da el valor de \( \displaystyle y \). Antes de eso, vamos a expresar el valor de \( \displaystyle y \) haciendo la sustitución que indicaste antes. En ese caso, nos queda que \( \displaystyle y=1\pm\sqrt{z^2-p} \). Sustituyendo el valor que hemos obtenido para \( \displaystyle z \), nos queda que \( \displaystyle y=1\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-p} \). Desarrollando nos queda al final:

Spoiler
\( \displaystyle
y=1\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-p} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{\dfrac{p^2+2\cdot p+1}{4}-p} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{\dfrac{p^2+2\cdot p+1-4\cdot p}{4}} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{\dfrac{p^2-2\cdot p+1}{4}} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{\dfrac{(p-1)^2}{4}} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{\left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2} \to \\ \\
y=1\pm\dfrac{p-1}{2}
 \)
[cerrar]

\( \displaystyle y=1\pm\dfrac{p-1}{2} \)

Ahora podemos sustituir este valor en la fórmula de \( \displaystyle x \), pero antes vamos a hacer la sustitución que indicaste en tu comentario. Nos queda \( \displaystyle x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+p+1}}{2} \). Ahora sustituiremos el valor de \( \displaystyle y \). Para simplificar, haremos la sustitución de \( \displaystyle y \) en dos partes. La primera cuando la raíz cuadrada está sumando, y la segunda cuando está restando (esta segunda no entra dentro de la especificación del problema que planteaste, pues se indicaba que \( \displaystyle y \) era positivo, pero creo que es de interés obtenerla). Empecemos la sustitución de \( \displaystyle y \) por \( \displaystyle 1+\dfrac{p-1}{2}=\dfrac{p+1}{2} \). En este caso, nos queda la fórmula de \( \displaystyle x \) como \( \displaystyle x=\dfrac{-\left(\dfrac{p+1}{2}+2\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{p+1}{2}+p+1}}{2} \). Desarrollando, nos queda al final:

Spoiler
\( \displaystyle
x=\dfrac{-\left(\dfrac{p+1}{2}+2\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{p+1}{2}+p+1}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{-\dfrac{p+1+4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-p-1+p+1}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{-\dfrac{p+5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{-\dfrac{p+5}{2}\pm\dfrac{p+1}{2}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{-p-5\pm(p+1)}{4} \to \\ \\

\left\{
 \begin{array}{l}
  x=\dfrac{-p-5-(p+1)}{4} \to x=\dfrac{-p-5-p-1}{4} \to x=\dfrac{-2\cdot p-6}{4} \to x=\dfrac{-p-3}{2} \\
  x=\dfrac{-p-5+(p+1)}{4} \to x=\dfrac{-p-5+p+1}{4} \to x=\dfrac{-4}{4} \to x=-1
 \end{array}
\right.
 \)
[cerrar]

\( \displaystyle
\left\{
 \begin{array}{l}
  x=\dfrac{-p-3}{2} \\
  x=-1
 \end{array}
\right.
 \)

Fíjate que si tomamos el valor positivo de \( \displaystyle y \) y la raíz cuadrada positiva de la expresión de \( \displaystyle x \), el valor de \( \displaystyle x \) será \( \displaystyle -1 \), independientemente del valor de \( \displaystyle p \). Lamentablemente esto ocurre también con cualquier compuesto \( \displaystyle N \), pues siempre se puede expresar como \( \displaystyle N=1\cdot N \), con lo cual la aplicación de estos cálculos generará estos mismos resultados (sustituyendo \( \displaystyle p \) por \( \displaystyle N \)).

Veamos ahora la sustitución de \( \displaystyle y \) cuando es negativo. Tenemos que \( \displaystyle y=1-\dfrac{p-1}{2}=\dfrac{3-p}{2} \). Sustituyendo en la fórmula de \( \displaystyle x \) nos queda \( \displaystyle x=\dfrac{-\left(\dfrac{3-p}{2}+2\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{3-p}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{3-p}{2}+p+1}}{2} \). Desarrollando, nos queda al final:

Spoiler
\( \displaystyle
x=\dfrac{-\left(\dfrac{3-p}{2}+2\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{3-p}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{3-p}{2}+p+1}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{-\dfrac{3-p+4}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9-6\cdot p+p^2}{4}-3+p+p+1}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{-\dfrac{7-p}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9-6\cdot p+p^2}{4}+2\cdot p-2}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{\dfrac{p-7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9-6\cdot p+p^2+8\cdot p-8}{4}}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{\dfrac{p-7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1+2\cdot p+p^2}{4}}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{\dfrac{p-7}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{\dfrac{p-7}{2}\pm\dfrac{p+1}{2}}{2} \to \\ \\
x=\dfrac{p-7\pm(p+1)}{4} \to \\ \\

\left\{
 \begin{array}{l}
  x=\dfrac{p-7-(p+1)}{4} \to x=\dfrac{p-7-p-1}{4} \to x=\dfrac{-8}{4} \to x=-2 \\
  x=\dfrac{p-7+(p+1)}{4} \to x=\dfrac{p-7+p+1}{4} \to x=\dfrac{2\cdot p-6}{4} \to x=\dfrac{p-3}{2}
 \end{array}
\right.
 \)
[cerrar]

\( \displaystyle
\left\{
 \begin{array}{l}
  x=-2 \\
  x=\dfrac{p-3}{2}
 \end{array}
\right.
 \)

Aquí obtenemos otro resultado interesante, que obtenemos cuando tomamos el valor negativo de \( \displaystyle y \) y la raíz cuadrada negativa de la expresión de \( \displaystyle x \). En este caso, el valor de \( \displaystyle x \) será \( \displaystyle -2 \), como antes, independientemente del valor de \( \displaystyle p \). Y también como antes, esto ocurre también con cualquier compuesto \( \displaystyle N \).

8
Saludos, feriva.

Disculpa si interrumpo. He estado probando alguna idea sobre tu método. Lo primero que observamos es que, debido a que hay decrecimiento del cociente de vez en cuando, si dibujásemos los puntos que toman el valor del cociente en un gráfico, tendríamos una especie de dientes de sierra, que van acercándose a la línea del \( \displaystyle 1 \), sin llegar a tocarlo, excepto en los puntos en los que encontramos la factorización del entero. Los dientes de sierra están orientados en una dirección, que o bien es hacia la próxima solución, o bien es en dirección contraria. Se me ocurrió que si obtenemos la recta que pasa por los puntos que conforman un diente de sierra (es decir, puntos en los que el cociente va creciendo, o va decreciendo), quizá esta recta se aproximaría a la solución en el corte con la recta horizontal \( \displaystyle y=1 \). Utilicé la fórmula de regresión lineal, que te la pongo en el spoiler por si no la conoces y quieres experimentar.

Spoiler
Si tenemos un total de \( \displaystyle n \) puntos con coordenadas \( \displaystyle (x_i,y_i) \), y queremos obtener la fórmula de la recta que pasa por entre los puntos y se aproxima a su distribución, de la forma \( \displaystyle y=a\cdot x+b \), tenemos que:

\( \displaystyle
a=\dfrac{n\cdot\sum x_i\cdot y_i-\sum x_i\cdot\sum y_i}{n\cdot\sum x_i^2-(\sum x_i)^2} \\ \\
b=\dfrac{\sum y_i-a\cdot\sum x_i}{n}
 \)
[cerrar]

Lo que ocurrió cuando hice los cálculos es que el punto obtenido estaba muy cerca del último punto del diente de sierra, con lo cual no se ganaba nada. Decidí hacer una representación gráfica de los puntos para ver si se podía obtener algún patrón que nos ayudara en la tarea. La imagen es la siguiente:



La imagen es la aplicación de tu método al entero \( \displaystyle 25433 \), incrementando la variable \( \displaystyle k \) (la que llega más lenta a la solución) desde el valor \( \displaystyle 1 \) hasta el valor \( \displaystyle 1500 \). Los puntos representados son en la forma \( \displaystyle (k,cociente) \). La línea verde superior es la recta \( \displaystyle y=1 \), y la inferior es la recta \( \displaystyle y=0.95 \). Las líneas rojas verticales son los puntos en los que el cociente vale \( \displaystyle 1 \), es decir, donde encontramos la factorización.

Como ves, hay un comportamiento curioso al principio, en el que el diente de sierra está curvado, pero esa curvatura se va perdiendo en los siguientes dientes de sierra. Otra cosa curiosa es que los dientes de sierra del comienzo se inclinan hacia la dirección de la solución que buscamos, pero al poco esta inclinación se invierte, y esto ocurre bastante antes de llegar a la solución, de forma que la mayoría de los dientes de sierra están inclinados a la inversa del avance en el eje \( \displaystyle x \). Esta inclinación no parece orientarnos mucho hacia dónde se encuentra la solución. Otra cosa curiosa que ocurre es que a medida que avanzamos por el eje \( \displaystyle x \), salvo al comienzo, los dientes de sierra se van haciendo más grandes. Lamentablemente esto tampoco nos ayuda mucho a determinar la dirección en la que se encuentra la solución.

9
Saludos, feriva.



feriva y geómetracat, mientras escribía esto habéis escrito unas entradas. Creo que esto responde a las dudas planteadas. Indica que no existen primos con las características indicadas, y además proporciona una forma de obtener los valores de \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \) que dan el valor de \( \displaystyle B \) cuando se aplican al polinomio \( \displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Todo esto si no me he equivocado, claro :).

Hola, sqrmatrix. Muchas gracias, voy a mirarlo; pero parece que no nos servirá para batir el record del primo más grande :)

Saludos.

Lamentablemente no  :'(

10
Saludos, juan luis, y al resto de participantes y visitantes.

Creo que lo que voy a exponer aquí es más o menos lo mismo que explicó Luis Fuentes, aunque desarrollado de una manera algo distinta. Si no me he equivocado en las demostraciones, el término \( \displaystyle B \) de los primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) es necesariamente un valor del polinomio indicado \( \displaystyle A=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Es decir, no existen primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) tales que \( \displaystyle B\ne A \).

Supongamos que tenemos un primo \( \displaystyle p \) de la forma \( \displaystyle p=2\cdot B+3 \). Tenemos que determinar en qué condiciones se cumple \( \displaystyle B\ne2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Para ello, planteamos la igualdad \( \displaystyle B=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \), y vemos en qué casos tiene solución. Supondremos, para ello, que tanto \( \displaystyle x \) como \( \displaystyle y \) son enteros.

Reordenando y agrupando términos, tenemos la ecuación de segundo grado:

\( \displaystyle 2\cdot x^2+(2\cdot y+4)\cdot x+3\cdot y-B=0 \)

La solución es:

Spoiler
\( \displaystyle
x=\dfrac{-(2\cdot y+4)\pm\sqrt{(2\cdot y+4)^2-4\cdot2\cdot(3\cdot y-B)}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-2\cdot(y+2)\pm\sqrt{4\cdot y^2+16\cdot y+16-24\cdot y+8\cdot B}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-2\cdot(y+2)\pm\sqrt{4\cdot y^2-8\cdot y+8\cdot B+16}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-2\cdot(y+2)\pm2\cdot\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2\cdot2} \to \\ \\
x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2}
 \)
[cerrar]

\( \displaystyle x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2} \)

Puesto que \( \displaystyle x \) es entero, necesitamos que la solución sea entera. Para ello, es necesario que la raíz cuadrada sea entera, y para que eso ocurra, su interior ha de ser un cuadrado entero. También tiene que ocurrir que el numerador de la fracción sea par. Si el interior de la raíz cuadrada es un cuadrado, y si \( \displaystyle y \) es par, el interior de la raíz cuadrada será par al ser la suma de valores pares, por lo que la raíz cuadrada también lo será. Y también será par el valor \( \displaystyle -(y+2) \). Por tanto, su suma será par también. Y si \( \displaystyle y \) es impar, el interior de la raíz cuadrada será impar al ser la suma de un impar con valores pares, por lo que la raíz cuadrada será igualmente impar. Pero el valor de \( \displaystyle -(y+2) \) será igualmente impar al ser la suma de un impar con un par. Y la suma de este valor impar con el de la raíz cuadrada impar será un valor par. Por tanto, tenemos asegurado que si la raíz cuadrada es entera, la solución \( \displaystyle x \) también lo será.

Podemos, por tanto, plantear la ecuación:

\( \displaystyle y^2-2\cdot y+2\cdot B+4=z^2 \)

Que puede verse como una ecuación de segundo grado:

\( \displaystyle y^2-2\cdot y+2\cdot B+4-z^2=0 \)

Su solución vendrá dada por:

Spoiler
\( \displaystyle
y=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(2\cdot B+4-z^2)}}{2\cdot1} \to \\ \\
y=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\cdot2\cdot B-4\cdot4-4\cdot(-z^2)}}{2} \to \\ \\
y=\dfrac{2\pm\sqrt{4-8\cdot B-16+4\cdot z^2}}{2} \to \\ \\
y=\dfrac{2\pm2\cdot\sqrt{1-2\cdot B-4+z^2}}{2} \to \\ \\
y=1\pm\sqrt{z^2-2\cdot B-3}
 \)
[cerrar]

\( \displaystyle y=1\pm\sqrt{z^2-2\cdot B-3} \)

Volvemos a estar en la misma situación que antes, que es que necesitamos que \( \displaystyle y \) sea entero, lo que significa que la raíz cuadrada debe ser entera, lo que significa que su interior ha de ser un cuadrado entero. Podemos plantear la ecuación:

\( \displaystyle z^2-2\cdot B-3=t^2 \)

Esta ecuación puede verse como:

\( \displaystyle 2\cdot B+3=z^2-t^2 \)

Obsérvese que tenemos el valor \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) expresado como una diferencia de cuadrados. Puesto que \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) es impar, siempre podrá expresarse como una diferencia de cuadrados, independientemente de que sea primo o compuesto, lo que significa que siempre encontraremos una solución, entera en este caso.

Lo que buscamos es un valor para \( \displaystyle z \). Para obtenerlo, obsérvese que podemos escribir lo anterior como \( \displaystyle 2\cdot B+3=(z+t)\cdot(z-t) \). Sea ahora una expresión de \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) como producto de dos enteros de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3=r\cdot s \), con \( \displaystyle r\le s \) (donde \( \displaystyle r \) puede tomar el valor \( \displaystyle 1 \), caso que ocurrirá cuando \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) sea primo). Entonces tenemos que \( \displaystyle 2\cdot B+3=s\cdot r=(z+t)\cdot(z-t) \), donde podemos plantear las igualdades:

\( \displaystyle
s=z+t \\ \\
r=z-t
 \)

Se deduce de dichas igualdades que \( \displaystyle z=\dfrac{s+r}{2} \). Obtenido \( \displaystyle z \), podemos obtener \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \), que serán una solución a la ecuación \( \displaystyle B=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \), independientemente de que \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) sea primo o compuesto. Es decir, no existen primos de la forma \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) tales que la ecuación \( \displaystyle 2\cdot x^2+(2\cdot y+4)\cdot x+4\cdot x+3\cdot y=B \) no tenga solución entera.

Podemos obtener todas las soluciones enteras calculando todas las expresiones de \( \displaystyle 2\cdot B+3 \) como diferencia de cuadrados y determinando todos los valores de \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \) a partir de los valores de \( \displaystyle z \) hallados.

feriva y geómetracat, mientras escribía esto habéis escrito unas entradas. Creo que esto responde a las dudas planteadas. Indica que no existen primos con las características indicadas, y además proporciona una forma de obtener los valores de \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \) que dan el valor de \( \displaystyle B \) cuando se aplican al polinomio \( \displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y \). Todo esto si no me he equivocado, claro :).

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Saludos, Víctor Luis.

Buenas SqrMatrix ...

•)  Es cierto, que no puedo determinar 'Kf' como el resto del mundo ... Debido a que el resto del mundo desconoce del "Enfoque Estructural" y para que me dieras la razón, tendría que explicarles en qué consiste esto, con lo que debatirán la primalidad del 2 por carecer de estructura válida como todo natural par y ya con esto si no lo deducen, les explicaría la determinación de 'Kf' netamente con el criterio Estructural ... y recién estarán en mis zapatos, comprendiendo que es necesario comprender la 'Estructura Numérica' y esto conllevará al primer paso para comprender la Distribución de los Números Primos (al menos es lo que pienso) y es que hay más tela por cortar, para decir esto.

   Desde ya, los famosos Pseudo primos de Carmichael, deberán dejar de enseñarse en las universidades con carreras de Matemáticas por carecer de utilidad, como también se excluirán y/o actualizarán criterios de primalidad limitados por estos pseudoprimos y además ... se tendrá que ampliar el criterio de primalidad que se tiene en el 'Enfoque Natural'.

   El Enfoque Estructural, no solo es para primalidad y Factorización, sino también, se aplica en la seguridad informática, cómo lo voy exponiendo en el foro e Criptografía ... porque si factorizar dejase de ser complejo, una alternativa será el "Multicifrado Estructural" aplicable en tiempo real y esque 'Multi...' no significa solo muchos, sino con varias claves privadas y de varios modos, en individual, en grupo o mezcla de estos, y además con diferentes bases de cifrado. Te imaginas sí esto cae primero en manos de irracionales (como terroristas) sería irresponsable ... por eso espero estar equivocado en mis predicciones por así decirlo.


Saludos Cordiales ....

Después de esta respuesta, me resulta muy difícil creer que en realidad tengas algo de lo que dices. Sinceramente, esta respuesta me lleva a creer que ni siquiera tienes una mínima teoría que funcione, que todo te lo estás inventando, que nos estás mintiendo. Lo que más me molesta es que trivializas, e incluso ridiculizas, los conocimientos matemáticos que consideras que no encajan con tu enfoque, cuando esos conocimientos nos han llevado tan lejos, mientras que ensalzas los tuyos, sin que hasta ahora hayas explicado nada de ellos ni hayas aportado ninguna prueba de que funcionan como afirmas. Yo no voy a seguir contribuyendo a esto. Me resulta demasiado molesto leer muchas de las cosas que dices que trivializan los conocimientos matemáticos, y sobre todo, las respuestas que das que eluden completamente lo que te preguntan, lo cual me lleva a pensar que no tienes nada de lo que dices. Ojalá me equivoque.

Un saludo, y suerte.

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Saludos, Víctor Luis.

°)  Gracias Feriva y SqrMatrix por las explicaciones y la información dada... En la "Factorización Estructural" desconociendo los divisores de un compuesto semiprimo que sólo conocemos a este, determinamos "Kf" ... reitero que con solo evaluar la estructura del compuesto 'm' ... espero responder claro con esto SqrMatrix.

Pues la verdad es que eso no es una respuesta. Afirmas que puedes determinar "Kf", pero no dices cómo, y tampoco factorizas ningún entero, en particular los del reto RSA, los cuales podrías factorizar en cuestión de segundos una vez conocido "Kf" aplicando la fórmula que te ha proporcionado feriva. En resumen, que no puedes determinar "Kf", como el resto del mundo.

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Saludos, Víctor Luis, feriva, El_Manco, y al resto de participantes y visitantes.

°°)  OTRA CONSULTA: Cuál la definición y explicación de "Kf" en la literatura matemática ??

Definido \( \displaystyle Kf \) como \( \displaystyle Kf=(p-1)\cdot(q-1) \), siendo \( \displaystyle p \) y \( \displaystyle q \) primos, lo que tú denominas \( \displaystyle Kf \) es la función "phi" del producto \( \displaystyle p\cdot q \), es decir, \( \displaystyle \phi(p\cdot q)=(p-1)\cdot(q-1) \), y es el número de primos relativos de \( \displaystyle p\cdot q \) menores que dicho valor.

   Resulta que ustedes desde el Enfoque Natural, desconocen la proporción 'Kf'

El caso es que tú tampoco lo conoces. En realidad nadie lo conoce sin conocer la factorización del entero en cuestión. Si lo conocieran, estaría resuelto el problema de la factorización, ya que el conocimiento de \( \displaystyle \phi(p\cdot q) \) permite conocer la factorización directamente. De hecho, si se conociera un procedimiento rápido y eficiente de conocer \( \displaystyle \phi(m) \), para todo \( \displaystyle m \) sin importar su composición (es decir, sin importar si es semiprimo o el producto de más primos), podríamos factorizar \( \displaystyle m \) rápidamente.

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Saludos, Víctor Luis.

   Lo ciento ... ya te di los datos para que simplifiques el método de Fermat; pero te limitas con la demostración que expusiste, lo que no te da la razón, porque el método de factorización de Fermat SI ES SIMPLIFICABLE siendo absurdo el tener que iterar (+1) desde la raíz para dar con el valor específico de 'X'.

De acuerdo. Te invito entonces a que nos muestres tú cómo es esa simplificación que aseguras que existe.

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Saludos, Víctor Luis.

Holas SqrMatrix ....

   Considera que no cuento con mi computador y los datos apuntados ... Me rectifico, ... recordé que de acuerdo al Grupo PIG del compuesto semiprimo, es que la raíz cuadrada redondeamos primero a un múltiplo de 3 y le sumamos para ciertos PIG y le restamos para los otros PIG.

   Ahora como desde la raíz tenemos un 'X' Inicial ya no incrementadas con (+1) sino con (+3) y en eso consiste la mejora para el método de Fermat ... espero lo desarrolles y me incluyas en la autoría.  Hay una forma de hacer una simplificación más.


Saludos Cordiales ....

Si el método que propones se basa en la divisibilidad de \( \displaystyle X \) por \( \displaystyle 3 \), te acabo de demostrar que no siempre se cumple, por lo que el método que propones no es correcto. No hay nada que desarrollar ni estudiar. Por otro lado, que yo sepa, en el método de Fermat no te puedes saltar ningún entero en el intervalo de búsqueda salvo que tengas información  adicional sobre el entero a factorizar que te permita hacer algún salto, cosa que no ocurre aquí.

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Saludos, Víctor Luis.

Muy buenas ...

°) SqrMatrix ... Voy al grano ... Exporta los 'X' de compuestos semiprimos y observa sí en todos los casos estos son divisibles entre (3) ... Si es así, habrás simplificarlo el método de Fermat ... así de simple.


Saludos Cordiales ...

No se cumple. La demostración que he encontrado es la siguiente:

Tenemos que ver si \( \displaystyle X \) es divisible por \( \displaystyle 3 \). Basta plantear la congruencia \( \displaystyle X\equiv0\pmod{3} \) y ver si se cumple siempre.

Tenemos que \( \displaystyle X=\dfrac{p\cdot q-(p-1)\cdot(q-1)+1}{2} \). Por tanto, tenemos que ver si \( \displaystyle \dfrac{p\cdot q-(p-1)\cdot(q-1)+1}{2}\equiv0\pmod{3} \). Multiplicando por \( \displaystyle 2 \) nos queda que se tiene que cumplir \( \displaystyle p\cdot q-(p-1)\cdot(q-1)+1\equiv0\pmod{3} \). Desarrollando el producto, vemos que se tiene que cumplir \( \displaystyle p\cdot q-p\cdot q+p+q-1+1\equiv0\pmod{3} \). Simplificando, tenemos que se tiene que cumplir \( \displaystyle p+q\equiv0\pmod{3} \). Consideraremos \( \displaystyle p \) y \( \displaystyle q \) primos impares distintos de \( \displaystyle 3 \). En ese caso, sólo pueden tomar los valores \( \displaystyle 1 \) y \( \displaystyle 2 \) módulo \( \displaystyle 3 \). Para que su suma valga \( \displaystyle 0 \) módulo \( \displaystyle 3 \), uno de ellos ha de ser congruente con \( \displaystyle 1 \) módulo \( \displaystyle 3 \), y el otro congruente con \( \displaystyle 2 \) módulo \( \displaystyle 3 \). Si no se cumple esto, \( \displaystyle X \) no es divisible por \( \displaystyle 3 \)

Veamos un ejemplo que nos muestre que no se cumple tu propuesta. Sea \( \displaystyle p=5\equiv2\pmod{3} \) y \( \displaystyle q=17\equiv2\pmod{3} \). Tenemos que \( \displaystyle X=\dfrac{5\cdot17-(5-1)\cdot(17-1)+1}{2}=11 \), que no es divisible por \( \displaystyle 3 \).

Lo que no entiendo es cómo se hubiera simplificado el método de Fermat de haberse cumplido tu propuesta. Este método no tiene en cuenta la divisibilidad por ningún primo en particular. Simplemente busca un cuadrado a partir de un entero fijo y otro cuadrado variable.

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Saludos, Víctor Luis.

   Lo que les pedí como tarea, fue el determinar 'X' realizando tres operaciones aritméticas, conociendo el compuesto y sus divisores, ... Y es lo que hace la "Factorización Estructural" ... donde la estructura del compuesto nos permite determinar 'X' y ya con esto, lo tenemos factorizado. No determinaremos una aproximación a 'X', sino el valor exacto que busca Fermat con su proceso iterativo, mismo que podemos simplificarlo a un 25% de candidatos para 'X'.

No conozco la forma de conseguir la factorización de ese entero en 3 operaciones aritméticas sin tener conocimiento de los primos. Tampoco nos explicas la forma de hacerlo.

°°) FERIVA Y SQRMATRIX .... Empíricamente descubrí o me di cuenta algo que no se mencionaba en los textos que estudié sobre factorización y no sé cuál es su denominación correcta, indicando yo con la variable 'Ks' y esta es:

      Ks  =  m  -  ( (P-1) • (Q-1) )
   En nuestro ejemplo o tarea:

      Ks  =  25433  -  (28•876)  =  905

   Con esto ya tenemos determinado el valor de 'X' veamos:

      X  =  (ks + 1) / 2  =  453

   Ahora, teniendo 'X' aplicamos Fermat para determinar el valor natural de los divisores (P,Q)

No entiendo cómo se puede obtener la factorización de \( \displaystyle m \) aplicando el método de Fermat al valor de \( \displaystyle X \). Tampoco acabo de ver el objetivo de este cálculo, ya que no es el \( \displaystyle x \) que calculamos en el método de Feriva, que ese contenía uno de los factores, o un múltiplo del mismo.

   Sabían de esto ?   Porque yo no ... y me complacería conocer de su razón y lo curioso es que se cumple más que todo en los compuestos semiprimos. Les pido que eviten apresurarse en desechar la idea como trivial, debido a que en factorización desconocemos los divisores del compuesto y es claro que así es ... pero hay otro modo para determinar 'Ks' con solo saber el compuesto semiprimo mediante el Enfoque Estructural... Espero con esto responder a tu solicitud SqrMatrix ...

Pues siento decirte que esto no responde a mi pregunta. De hecho, lo que has respondido no tiene nada que ver con lo que pregunto, a saber, que nos expliques paso a paso la forma en la que factorizarías el entero con tu método. Lo que haces es, como se suele decir por aquí, salirte por la tangente. Si no quieres explicar tu método, mejor dilo directamente. Así evitas que te sigamos preguntando, y nosotros evitamos preguntarte y recibiendo respuestas que nada tienen que ver con lo que preguntamos o que no responden a lo que preguntamos. Lo digo porque llevas así mucho tiempo (literalmente años), hablando de las capacidades de tu método, pero nunca lo explicas, por más que te preguntamos. Yo, por mi parte, dejaré de preguntarte por él. Cuando quieras mostrarlo, ya nos lo dirás.

°°°) OTRO PUNTO A CONSIDERAR ... Veamos otro ejemplo:

      m  =  385    producto de multiplicar  (5•7•11)

   ∆ Consulta: A 'm' se considera como compuesto semiprimo ?

Se llama "semiprimo" al producto de exactamente dos primos. En este caso, \( \displaystyle m \) es el producto de tres primos, por lo que no entra en la definición de "semiprimo", luego no es semiprimo.

   Si aplicamos Fermat, veremos qué primero dará con  X(23) desde la raíz del compuesto, donde el divisor P(11) está en proporción  Kp(56,1%) que es algo respecto a P(5) que está en Kp(25,5%) donde realiza mayor cantidad de iteraciones. En los compuestos semiprimos solo habrá una 'X' razón por lo que pienso deben ser semiprimos los compuestos RSA.

Los valores usados en RSA son productos de exactamente dos primos, por lo que son semiprimos por definición.

   °... SqrMatrix ...Me complace que apoyes a Feriva, comprobando con el ordenador sus criterios matemáticos, algo que me gustaba hacer para conocer y comprender más. Tú Tarea ... si decides aceptarlo es Analizar los 'X' de compuestos semiprimos y como ayuda puedes clasificar u organizar los compuestos de acuerdo al Conjunto CV.

Lo de analizar los "X" no acabo de comprender qué es lo que tengo que analizar. Si es lo que has indicado, que \( \displaystyle X=\dfrac{p\cdot q-(p-1)\cdot(q-1)+1}{2} \), con \( \displaystyle m=p\cdot q \), no veo que nos ayude en nada, puesto que no conocemos ni \( \displaystyle p \), ni \( \displaystyle q \), ni \( \displaystyle X \). Y lo de clasificar los compuestos de acuerdo al conjunto CV, la verdad es que intenté en su día comprender lo que era este conjunto CV, pero no entendí nada. Lo único que entendí es que era un conjunto de enteros con una propiedad que ahora no recuerdo, y de la que no ví nada que pudiera ser relevante para la factorización o para otro tipo de operaciones.

Disculpa si he sido un poco brusco en mi respuesta, pero cuando pregunto por tu método, o cuando otros preguntan por tu método, y das respuestas que no tienen nada que ver, creo que es preferible que digas que no deseas en estos momentos explicar tu método. Creo que es mucho mejor para tí, puesto que no te preguntarán más por tu método, y para los demás, puesto que no recibirán respuestas diferentes de lo que han preguntado, lo cual es bastante molesto.

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Saludos de nuevo, feriva.

Lo del gcd está bien, siempre que no estés ante un valor no entero :). Por la forma de calcularlo, \( \displaystyle x \) siempre será entero, pero \( \displaystyle y \) puede serlo, o no. Por suerte, si no es entero, será un entero más \( \displaystyle 0.5 \), con lo cual bastará multiplicar por \( \displaystyle 2 \) para obtener el valor entero y poder aplicar el gcd.

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Saludos, feriva y Víctor Luis.

   •) SqrMatrix ... Veo que comparas la cantidad de iteraciones del Método de Feriva en comparación con las iteraciones de Fermat,  Debo decirte, que eso es trivial, .... Porque desde ya,  con el Enfoque Estructural, partimos en solo evaluar una sola vez para determinar el estado de su primalidad.

Lamento discrepar. Creo que la forma de determinar si un algoritmo es bueno o es malo es comparar el número de iteraciones con otro algoritmo conocido (también hay que comparar el tiempo que cada iteración toma). De todas formas, tú estás hablando de evaluar la primalidad, no de factorizar un entero, que son cosas relacionadas, pero muy distintas. Partimos del supuesto de que un entero es compuesto (no necesitamos evaluar si es primo o no porque sabemos que estamos ante un compuesto), y tratamos de factorizarlo. De todas formas, tú haces lo mismo al decir que tu método sólo necesita una evaluación. Lo estás comparando con el resto de métodos que requieren más operaciones. Así que no es en absoluto trivial comparar métodos entre sí. De todas formas, seguimos sin conocer los detalles de tu algoritmo, por lo que tenemos que trabajar con lo que sí que conocemos. ¿Podrías ponernos un ejemplo paso por paso de cómo tu algoritmo determina en un único paso que ese valor que nos propones es primo o no? (o si lo que tienes es un algoritmo de factorización, ponernos un ejemplo de cómo se realiza esa factorización).

   •) TAREA ... Siendo:  P(29)  y. Q(877)  conforman el compuesto semiprimo:. m(25433)
       Al saber de sus Divisores primos,  con Raíz  rz= 159,4

   Tú tarea, sí decides aceptarla, ... es determinar 'x' e 'y' con solo estos datos ... realizando (3) operaciones se determina "x" y luego "y" ... ... Como hacemos esto ???

Con el método de feriva modificado, y teniendo en cuenta una cosa que me ha surgido gracias al ejemplo que nos has puesto, y que voy a explicar luego, he factorizado el entero en 242 iteraciones, mientras que con el método de Fermat lo factorizo con 294 iteraciones.

No acabo de entender la última pregunta que me haces. No sé si me propones que factorice el entero en sólo 3 iteraciones, o si me estás diciendo que en cada iteración se realizan 3 operaciones. Y luego me preguntas cómo hacemos esto. Si lo que preguntas es cómo podemos factorizar el entero en 3 iteraciones, eso tendrás que responderlo tú, porque eres el que lo ha propuesto, yo no creo que se pueda factorizar en 3 iteraciones sin conocer nada de los factores que lo componen. Y si a lo que te refieres es a cómo se factoriza el entero, lo expliqué en el anterior comentario en el que explicaba a feriva el método modificado. Si algo no entiendes, pregúntame. Pero lo que es el método, está ya explicado.

Y ahora, voy a explicar algo que no comprobé y que ha surgido al factorizar el entero \( \displaystyle 25433 \) que has propuesto con el método modificado que expliqué. Resulta que podemos obtener el cociente 1 sin que \( \displaystyle x \) e \( \displaystyle y \) sean los factores primos del entero. En este caso en particular, el valor que encuentro es \( \displaystyle x=58=2\cdot29 \) e \( \displaystyle y=438.5=\dfrac{877}{2} \). Como se puede ver, a veces no obtendremos la factorización directamente, sino que obtendremos un múltiplo o un divisor del primo. El producto será el número de partida. No sé si únicamente se dará ese factor de \( \displaystyle 2 \), o si pueden darse más factores. Seguiré investigando. feriva, no sé si en tu búsqueda de los factores tienes en cuenta esto, pero si no, ten cuidado, porque puedes encontrar "factores" que no dividen al entero, pero que tienen un múltiplo, o un divisor (que puede no ser entero) de un factor del entero.

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Saludos, feriva.

Nuestros mensajes se han cruzado :).

Entiendo lo que me dices. Pero en ese enfoque veo un problema. Tu aproximación es buscar un valor máximo. El problema es que me da la sensación de que existen numerosos máximos (los vimos en las pruebas que hice), y sólo unos pocos (al menos 2, como hemos podido ver en las pruebas que hice, pero no sé si puede haber más) son los que buscamos. Sin algo que nos indique la dirección en la que se encuentra el máximo que nos interesa, me da la sensación de que será como buscar una aguja en un pajar. A medida que nos acercamos al valor 1, habrá cada vez menos máximos que superen ese valor, por lo cual, nuestra búsqueda, a medida que nos vamos acercando a 1, será cada vez más difícil. Eso sí, podemos mejorar el máximo navegando por los valores adyacentes. Esto es, si encontramos un valor que nos interesa, podemos acercarnos a 1 yendo a derecha o a izquierda de ese valor, hasta que tanto el valor de la derecha como el de la izquierda sean menores que el valor que hemos encontrado. En ese momento hemos encontrado un máximo. Si no es el valor 1, ese máximo no nos interesa y tendremos que buscar otro. Es como si estuviéramos en una cadena montañosa. Nos encontramos en una ladera y vamos subiendo la pendiente hasta alcanzar el pico. Si no es el pico más alto, tendremos que ir a otra montaña. Para ello, tendremos que abandonar ésta montaña para no volver a escalarla. Abandonar una montaña es buscar el punto más bajo y, una vez encontrado, empezar la subida por la nueva montaña. Lamentablemente lo más seguro es que esta nueva montaña tampoco sea la más alta. Tendríamos que tener una forma de localizar la zona en la que se puede encontrar la montaña más alta, y no tener que explorar todas las montañas de la zona, que puede ser muy extensa y tener muchas montañas.

Aunque tu método va encontrando cada vez cotas más cercanas al valor 1, lamentablemente no parece indicarnos si nos estamos acercando al punto que nos interesa.

Y ésta es la idea (espero que a la postre no resulte un problema para la seguridad mundial y nos manden unos sicarios los del laboratorio RSA :D O sea, espero que se pueda, pero que no implique que se logre hacer en un tiempo peligrosamente corto).

Tranquilo, nos mandarán una demanda por estropearles el negocio y solicitarán una compensación millonaria que nos dejará endeudados de por vida :).

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