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Mensajes - Ignacio Larrosa

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Anuncios / Re:¡Vuelve el foro!
« en: 20 Mayo, 2020, 11:43 am »
Como últimamente no lo frecuentaba mucho, intentaré remediarlo, desconozco cuales fueron los problemas, ¡pero ahora luce muy bien! Ojalá se recuperen pronto todaslas funcionalidades y muchas gracias a todos los que lo habéis hecho posible. Creo que este foro es un recurso fundamental que no debe perderse.

Nos vemos,

2
Hola, queria saber si me pueden ayudar con esta integral doble
\(  \displaystyle\int_{0}^{2a} \displaystyle\int_{\sqrt[ 2]{ax}}^{\sqrt[2 ]{6a^2 - x^2}} 2xy \, dydx  \)
Necesita obtener el dominio y cambiar el orden de integración (que quede dxdy)
Gracias
Necesitas dibujar los límites de integración antes que nada. para la \( x \) están claros, \( x=0\textrm{ y }x=2a \). Para la \( y \), tienes:
\( y=\sqrt[ ]{ax}\longleftrightarrow{}y^2=ax \)
\( y=\sqrt[ ]{6a^2-x^2}\longleftrightarrow{}x^2+y^2=6a^2 \)
La primera es una parábola con vértice en el origen y cuyo eje es el eje OX; la segunda es una circunferencia con centro en el origen y radio \( \sqrt[ ]{6}a \). En ambos casos, solo para ordenadas positivas. ¿Dónde se cortan?
\( \left.\begin{array}{l}
y=\sqrt[ ]{ax}\\
y=\sqrt[ ]{6a^2-x^2}
\end{array}\right\}\Rightarrow{}ax=6a^2-x^2\Rightarrow{}
\left\{\begin{array}{l}
x=2a\\
y=\sqrt[ ]{2}a
\end{array}\right.
 \)


Esta claro entonces que \( y \) debe variar en \( [0,\sqrt{6}a] \) y la \( x\textrm{ en }[0, \frac{y^2}{2}]\textrm{ cuando }y\in{}[0,\sqrt{2}a],\textrm{ y en }[0,\sqrt{6a^2-x^2}]\textrm{ cuando }y\in{}[\sqrt{2}a, \sqrt{6}a] \). En definitiva,
\( \displaystyle\int_{0}^{2a}{\displaystyle\int_{\sqrt{ax}}^{\sqrt{6a^2-x^2}}{2xy\,dy }\,dx }=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}a}{\displaystyle\int_{0}^{\frac{y^2}{2}}{2xy\,dx }\,dy }\quad +\quad \displaystyle\int_{\sqrt{2}a}^{\sqrt{6}a}{\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{6a^2-y^2}}{2xy\,dx }\,dy } \)

Saludos,

3
Amigos del foro el ejercicio de geometría dice

Calcular el valor de " x " en la siguiente figura.


Aplicando Pitágoras en \( \displaystyle AFD \)

\( \displaystyle d^2 = 18 ^2 + 6^2 \)

\( \displaystyle d^2 = 360 \)

\( \displaystyle d= \sqrt{360}  = 18,97 \)

Aprovechando la longitud de la diagonal calculé el valor de "x"

\( \displaystyle  X^2 = (18,97)^2 + ( 16)^2 \)

Este es un error frecuente, 18.97 es una aproximación y podría valer como resultado final, pero el valor de \( d^2\textrm{ es }360 \) de forma exacta. Si tienes que seguir empleándolo, debes utilizar el valor exacto, que además es lo más fácil.


Saludos,

4
Cálculo de Varias Variables / Re: Volumen en coordenadas polares
« en: 23 Marzo, 2020, 11:04 am »
¿Tienes bien el enunciado? Porque esos paraboloides no limitan ningún volumen finito. Si es

\( z=f(x,y)=x^2+y^2 \)
\( z=g(x,y)=2x^2+y^2-1 \)

Tenemos que la intersección es
\( x^2+y^2=2x^2+y^2-1\Rightarrow{}x=\pm{}y \)

La proyección en el plano \( OXY \) son las rectas \( x=\pm{}1 \)

Tenemos que es f>g entre esas rectas y g>f fuera de ellas, y ninguno de los dos volumenes es finito.
Para el primero, sería:
\( V=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-1}^{1}(f-g)dx dy=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx dy=
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{4}{3} dy=\infty \)


Saludos,



5
Gracias por toda la ayuda Ignacio Larrosa.

PD: En la imagen hay un pequeño error, debería decir: <BDC = <ADA' = <A'AC = <ACB = 3α

Tienes razón, fue un gazapo. Aquí tienes otra demostración geométrica sencilla:



Saludos,

6
Una solución puramente geométrica:



Y otra trigonométrica muy sencilla:

\( CD=a·\sec \alpha \\
\triangle ACD\rightarrow{} \frac{a·\sec \alpha}{\sen(90^\circ -3\alpha)}=\frac{2a}{\sen(2 \alpha)}\Rightarrow{\sen(\alpha)=\sen(90^\circ - 3\alpha)}\\
0<\alpha, 3\alpha<90^\circ\Rightarrow{}\alpha=90^\circ-3\alpha\Rightarrow{}\alpha=22.5^\circ \)

Ambas debidas a fatih sağlam en https://twitter.com/delireis_1453/status/1222105086836559872?s=20

Saludos,

7
De momento va el primero. La respuesta es \( \arctg 3\approx{}71.5651^\circ{} \)


Saludos,

8
Sea \( ABC \) un triángulo con \( AB<AC \) y sea \( I \) su incentro. El incírculo es tangente al lado \( BC \) en el punto \( D \). Sea \( E \) el único punto que satisface que \( D \) es el punto medio del segmento \( BE \). La recta perpendicular a \( BC \) que pasa por \( E \) corta a \( CI \) en el punto \( P \). Demostrar que \( BP \) es perpendicular a \( AD \).

Observación: El incírculo de \( ABC \) es el círculo que es tangente a los tres lados del triángulo. El incentro es el centro de dicho círculo.
No se de nadie que lo hay resuelto, ninguno de los participantes en la fase Gallega lo hizo. La figura del spoiler sintetiza lo que conseguí con él, e
s decir,  nada ... Pero la incluto por si a alguien le ilumina.
Spoiler
Lo que está en azul son datos, en verde consecuencias inmediatas, en rojo el resultado buscado y en magenta resultados equivalentes.  Falta unir una cosa con la otra. La circunferencia punteada pasa por D,E,P y F, pero no hay nada que nos indique, aparte de que el resultado es cierto, que el punto Q deba estar en ella.

[cerrar]

Saludos,

9
Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable
« en: 26 Septiembre, 2019, 03:28 pm »

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

\( \displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k} \)

Pero cuando \( k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty} \)

Saludos,

Te adelantaste a la corrección. Gracias por el apunte. No consigo verlo todavía pero hace pensar. La intuición me dice que esto sucede para todo    \( x\in{(0,b]} \)   \( b\neq{+\infty} \)    pero en estos temas la intuición es traidora. 

Yo diría que diverge por que el extremo inferior del intervalo de integración tiende a cero. No porque    \( b \),    (\( k \)    en tu caso),    sea mayor o menor que uno.

Las funciones en    \( x=1 \)    están definidas, son continuas y para cualquier intervalo    \( (u,v)\subset{(0,b)} \),     \( b\neq{+\infty} \)    están acotadas, así que son integrables Riemann propias. Yo diría que en ese caso convergen.

Basta tomar    \( \displaystyle\lim_{t \to{1/2}}{\displaystyle\int_{t}^{1}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx \).

Saludos.

Te has liado con la \( a \) y la \( k \), creo. La integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx \) converge para \( k < 1 \) y diverge para \( k \geq{} 1 \), en el extremo del 0, naturalmente.

Saludos,

10
Geometría y Topología / Re: Teorema de Newton?
« en: 26 Septiembre, 2019, 02:06 pm »
Hola buenas tardes, actualmente estoy intentando resolver el siguiente problema:

Un círculo está inscrito en un cuadrilátero ABCD, tocando los lados \( \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA}  \)en los puntos E,F,G,H, respectivamente. Entonces las líneas \( \overline{AC},\overline{EG},\overline{BD},\overline{FH} \) concurren.


 Me sugirieron que utilice el teorema de Pascal sobre puntos colineales pero me está complicando más entender el de Pascal y como lo podría aplicar al mío. Alguna sugerencia ?

PD: Teorema de Pascal: Sea A,B,C,D,E,F puntos sobre una circunferencia. Sean P,Q,R los puntos de intersección de AB con DE , BC con EF, y CD con FA respectivamente entonces los puntos P,Q,R son colineales



Como te han comentado, no se trata del Teorema de Newton, aunque está relacionado, y puede considerarse un corolario del Teorema de Brianchon. Pero también puede demostrarse de forma más elemental utilizando el Teorema del seno, como puedes ver en la figura adjunta o mejor en el applet Concurrencia en los cuadriláteros circunscriptibles.



El Teorema de Newton lo que afirma es que el centro de la circunferencia inscrita está situado en la recta de Newton del cuadrilátero, que es la que pasa por los puntos medios de las diagonales, incluida la que une los puntos de intersección de los pares de lados opuestos, considerando el cuadrilátero completo.

Saludos,

11
Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable
« en: 26 Septiembre, 2019, 01:29 pm »
Hola

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas
son prácticamente idénticas?

Es que eso de que son prácticamente idénticas.. ¡es más que discutible!.

Para \( x \) muy pequeños los valores de las funciones son bien distintos.

Por ejemplo si \( x=1/10000 \) se tiene que:

\( h(x)=\dfrac{1}{x}=10000 \)

\( g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=100 \)

Saludos.

Ya. Lo que cabría esperar es que las áreas fuesen también muy diferentes en magnitud. Pero que una diverja y la otra no hace estallar la cabeza.

Además. Si se construyen funciones    \( f_k \)    cuyas gráficas se vayan aproximando cada vez más a    \( \displaystyle\frac{1}{x} \)    de tal forma que

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}<f_1(x)<f_2(x)<\ldots<f_n(x)<\displaystyle\frac{1}{x} \),       para todo    \( x\in{(0,1]} \)

y sus primitivas    \( F_1,F_2\ldots F_k \)    verifiquen

\( 2=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx<F_1(x)<F_2(x)<\ldots<F_n(x)<\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}\;dx=+\infty \),       para todo    \( x\in{[0,1]} \)

¿Para que    \( k \)    comienza a ser divergente la integral? Es claro que debe existir ese    \( k \).

 Gracias.

EDITADO.

Creo que ya he caído en la cuenta.

 :D :D :D

Esas integrales no son otra cosa que una sucesión divergente de números reales

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

\( \displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k} \)

Pero cuando \( k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty} \)

Saludos,

12
Buenas, tengo una duda respecto a éste límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}-\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}} \).

Se puede inferir que lo más probable es que si evaluamos el límite en infinito resulte en una indeterminación infinito-infinito, pero me queda esta expresión:

\( \infty-\sqrt[ ]{\infty-\infty} \)

Sé que para quitar la indeterminación la estrategia es multiplicar por el conjugado de la expresión, pero me incómoda la expresión resultante si reemplazo el límite por infinito. ¿La expresión en sí está mal o estoy cometiendo algún error?. Saludos.

Claramente es
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}=+\infty \)

Entonces, multiplicando y dividiendo por la suma de los radicales, queda

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\left(\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}-\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}\right)\left(\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}+\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}\right)}{\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}+\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}} \)
\( =\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{2\sqrt[ ]{x}}{\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}+\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}}= \).
\( =\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{2}{\sqrt[ ]{1+\dfrac{1}{\sqrt[ ]{x}}}+\sqrt[ ]{1-\dfrac{1}{\sqrt[ ]{x}}}}}=1 \)

Saludos,

13
Mil gracias Juan por la observación, cometí un error es:

\(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty  \frac{Cos\,n}{n(n+1)} \)

como la puedo demostrar ?
¿\( \left |{cos(n)}\right |\le 1 \)?

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Para un caso general lo único que se me ocurre es utilizar la teoría de la medida, y haciendo eso se puede demostrar que si \( h \) es una función Lebesgue integrable y no negativa, y \( A \) tiene medida positiva entonces \( \int_{A} h=0 \) si y sólo si \( h=0 \) casi en todas partes. Como toda función Riemann integrable es también Lebesgue integrable y el valor de las integrales coincide entonces finalmente podemos deducir que es cierto que si \( h \) es Riemann integrable y positiva en \( [a,b] \), con \( a<b \), entonces \( \int_{a}^b h>0 \). En tu caso basta con tomar \( h:=g-1/6 \), y hacer algo similar para la otra cota.

Una demostración de por qué \( \int_{A}h=0 \Leftrightarrow h=0 \text{ c.t.p. } \) se puede consultar, por ejemplo, aquí. Desconozco si se puede demostrar lo mismo por medios elementales, seguramente sí.



Esto se sale del temario que estoy siguiendo. La integral de Lebesgue sólo se menciona. Se estudia la integral Riemann.

La vía más sencilla es descomponer el intervalo de integración sin duda.

Saludos,

15
Encontrar
\( \lim_{z \to{m\pi i}}{(z-m\pi i)\displaystyle\frac{e^z}{sen(z)}},

z\in{\mathbb{C}}\\ \)
Usando la regla de L'hopital

¿Cómo evalúo una función trigonométrica con un número imaginario?

¿El enunciado pide hallar el límite utilizando la regla de L'Hôpital? Porque no se cumplen las hipótesis que permitirían aplicarla:   \( sin(m\pi i)=i·sinh(m\pi)\neq{}0\textrm{ si }m \neq{}0 \)...

Saludos,

16
¿no se puede usar la propiedad?
\( \displaystyle\lim_{n \to \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\lim_{n \to\infty}{a_{n+1}}} \)
y

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}{a_n}=a \)

entonces:
\( \frac{\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\lim_{n \to\infty}{a_{n+1}}}=\frac{a}{a}=1 \)

no estoy seguro si eso está bien

¿Pero \( \displaystyle\frac{a}{a}=1\qquad \huge {\forall{}a} \)?

Saludos,

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Teoría de números / Re: Ecuacion en Z/pZ
« en: 22 Septiembre, 2019, 03:34 pm »
Resolver la siguiente ecuacion en \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) con \( p \) primo:

\( x^p=[4]_p \).

Si \( p>2, x\neq{}[0]_p \)

Por el Teorema de Fermat, \( x^{p-1}=[1]_p \). Entonces,

\(  x^p=x^{p-1}·x=x=[4]_p  \)

Si p = 2, es obvio.


Saludos,

18
Teoría de números / Re: Ecuacion modulo un primo
« en: 21 Septiembre, 2019, 09:01 pm »
Hola

Resolver la siguiente ecuacion: \( 12x=3 \) en \( \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}. \)

La ecuación equivale a:

\( 12x+13y=3 \)

ya que \( 12x=3 \) mod \( 13 \) si se diferencian en un entero.

Ahora tienes aquí explicado como se resuelven ese tipo de ecuaciones diofánticas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

Saludos.

Muchas Gracias, me queda lo siguiente:

\( 12x\equiv 3\mod 13 \iff 4x\equiv 1\mod 13 \), lo que equivale a \( 4x+13y=1. \) Por el algoritmo de Euclides se tiene que

\( 13=4\cdot 3+1 \)
\( 3=1\cdot 3+0 \)

Luego, \( mcd(4,13)=1=4(-3)+13(1). \) Asi, \( (x_0,y_0)=(-3,1). \) Por tanto,

\( (x,y)=(x_0,y_0)+k\left(\dfrac{b}{\text{mcd}(a,b)},\dfrac{-a}{\text{mcd}(a,b)}\right) \)

\( (x,y)=(-3,1)+k(13,-4) \)

\( (x,y)=(-3,1)+(13k,-4k) \)

\( (x,y)=(-3+13k,1-4k) \)

\( \implies x=-3+13k, y=1-4k, k\in \mathbb{Z}. \)

¿Es correcto?  :)

Si, pero tienes que dar la respuesta en \( \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}: \qquad x\equiv{}-3 + 13k\equiv{}10 \textrm{ (mod 13)} \)

Saludos,

19
Teoría de números / Re: Ecuacion modulo un primo
« en: 21 Septiembre, 2019, 08:57 pm »
Hola

Resolver la siguiente ecuacion: \( 12x=3 \) en \( \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}. \)

La ecuación equivale a:

\( 12x+13y=3 \)

ya que \( 12x=3 \) mod \( 13 \) si se diferencian en un entero.

Ahora tienes aquí explicado como se resuelven ese tipo de ecuaciones diofánticas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

Saludos.

En este caso, podrías abreviar un poco teniendo en cuenta que en \( \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}, 12 = -1 \):

\( 12x=3\textrm{ (mod 13) }\Leftrightarrow{}-x=3\textrm{ (mod 13)}\Leftrightarrow{}x=10\textrm{ (mod 13)} \)

Saludos,

20
Hola

 ¿Exactamente qué puedes usar? Una opción es considerar \( f(x)=x-sin(x) \) y ver que es creciente en \( [0,1] \) usando su derivada.

Saludos.

Derivadas y anterior

Vale, gracias.

   
\( 0\leq{}\cos x\leq{1}\Rightarrow{}1-\cos x\geq{0} \)    para todo    \( x\in{[0,1]} \)

su derivada es positiva en todo el intervalo, luego la función crece en él.

Saludos.


Sin utilizar derivadas, precisamente para demostrar la derivada de \( sen(x) \), se puede ver en el gráfico y las dos primeras líneas:


Saludos,

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