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Mensajes - MasLibertad

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Circunferencias / Re: Intersección de DOS Círculos Secantes
« en: 06 Mayo, 2020, 09:05 pm »
Hola, Abdulai

Con la corrección que me has hecho, el programa ya está corregido y publicado, y por lo que parece funciona bien.
Si queréis verlo: Intersección de Círculos Secantes

Lo que me falta es el texto del artículo, explicar cómo se llega a esa fórmula tan compleja para mí, por lo que tendré que estudiarla paso a paso y cuando sea capaz de entenderla seré capaz de explicarla. Espero.

Una duda: en tu proceso indicaste
Código: [Seleccionar]
var l  = Math.sqrt(x*x+y*y) ;
...
//  Suma de las áreas de cada sector
var A  = Sr*Sr*Math.atan(q/p1) -
l*l*p1*q + Pr*Pr*Math.atan(q/p2) -
l*l*p2*q ;
Yo he cambiado, tal como me has dicho, el último cálculo por
Código: [Seleccionar]
var A  = Sr*Sr*Math.atan2(q,p1) -
l*l*p1*q + Pr*Pr*Math.atan2(q,p2) -
l*l*p2*q ;
Pero a lo que voy es que usas dos veces l*l, y siendo l=Math.sqrt(x*x+y*y), ¿no sería más simple usar una variable intermedia (il=x*x+y*y) y luego usar sólo il, en vez de l*l ?
¿O lo has hecho así porque el proceso es más comprensible al dibujar el gráfico?
De cualquier forma, te agradezco la ayuda.
Un saludo. ¡¡Con signos de admiración!!

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Circunferencias / Re: Intersección de DOS Círculos Secantes
« en: 06 Mayo, 2020, 02:30 pm »
Hola a todos.

Pues lo he intentado, pero no lo he conseguido todavía.

Os cuento: El programa que estoy haciendo es para calcular cómo disminuye el brillo de una estrella cuando es eclipsado por un planeta. Mi idea es generar una curva similar a esta:

Reduciéndolo a un esquema geométrico que sea fácil de manejar, son DOS círculos S y P (Sol y Planeta), que pueden estar en TRES posiciones: Externa, Interna y Secante.
Cuando están en posición secante es cuando necesito la fórmula que me ha dado Obdulai, y que se lo agradezco.

Pero tras intentar implementarla sin conseguirlo, he ido a lo básico: pura geometría.

Una nueva herramienta, que no había previsto pero que me parece muy interesante, en la que podamos colocar dos círculos y que nos diga la superficie de ambos y de la zona de intersección.
Aquí la tenéis:

Dejando aparte el hecho de que está incompleto (pienso explicar TODO el proceso de cálculo de la fórmula de Abdulai. Si es que consigo entenderlo), la fórmula tiene un fallo que se produce cuando la distancia de P a S es menor que la cuerda de A a B.

Pinchad en una de las barras de rango y usad los cursores, Izq y Der, para mover el círculo, y veréis que en el momento en que el centro de P atraviesa la cuerda AB, el área calculada se vuelve negativa.

¿Cómo? ¿Por qué?
No tengo ni idea, y bien que lo he intentado.

Si podéis echarme una mano en esto os lo agradecería.

Incluyo el código de la función JavaScript para calcular la superficie común a dos círculos:

Código: [Seleccionar]
function SuperficieComun(x,y,r)
{
var d=Math.sqrt(x*x+y*y); // Distancia de Centro a Centro
if (d>1*Sr+r) return 0; // Si Mayor que Suma de Radios: Externo
if (d<1*Sr-r) return PI*r*r; // Si Menor que Resta de Radios, interno
// Si no, secante: Calcular superficie común
var l  = Math.sqrt(x*x+y*y) ;
var s = (Sr+Pr)/l ;
var d = (Sr-Pr)/l ;
var p= s*d ;
var q= Math.sqrt((s*s-1)*(1-d*d))/2 ;
var p1 = (1+p)/2 ;
var p2 = (1-p)/2 ;
 
//  Suma de las áreas de cada sector
var A  = Sr*Sr*Math.atan(q/p1) -
l*l*p1*q + Pr*Pr*Math.atan(q/p2) -
l*l*p2*q ;

//  Cálculo de las coordenadas de
//  los puntos A=(Ax,Ay), B=(Bx,By)
// se almacenan en variables globales Ax, Ay, Bx y By
    Ax = Bx = (Px+Sx+x*p)/2 ;
    Ay = By = (Py+Sy+y*p)/2 ;

    x *= q  ;  y *= q ;
    Ax -= y ;  Ay += x ;
    Bx += y ;  By -= x ;
return A;
}

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Circunferencias / Re: Intersección de DOS Círculos Secantes
« en: 02 Mayo, 2020, 09:12 am »
Hola, hméndez.

Si llamas L a la distancia entre los centros, esta se puede calcular como:
\( L=\sqrt[ ]{(Px-Sx)^2+(Py-Sy)^2} \)
Los puntos S, A, P determinan un triangulo de lados Sr, Pr, L, del cual puedes calcular con el Teorema del coseno el angulo ASP y en consecuencia el angulo ASB (que es 2 veces el angulo ASP), eso te da:
\( ts=arccos(\frac{L^2+Sr^2-Pr^2}{2\cdot{}L\cdot{}Sr}) \)
Conmutando las variables Sr y Pr en la formula anterior obtienes el angulo APB, eso te da:
\( tp=arccos(\frac{L^2+Pr^2-Sr^2}{2\cdot{}L\cdot{}Pr}) \)
Para el segmento circular determinado por el circulo S y la cuerda AB tienes un area:
\( As=\displaystyle\frac{Sr}{2}\cdot{}(ts-sin(ts)) \)
Para el correspondiente al circulo P tienes un area:
\( Ap=\displaystyle\frac{Pr}{2}\cdot{}(tp-sin(tp)) \)
El area total:
\( At = As+Ap  \)

Es otro procedimiento, por lo que veo distinto al que ha indicado Abdulai, que pienso estudiar y probar en mi programa.
A ver si me da tiempo a terminarlo y publicarlo hoy mismo.

Saludos y gracias.

4
Circunferencias / Re: Intersección de DOS Círculos Secantes
« en: 02 Mayo, 2020, 09:01 am »
....
Tenemos dos Círculos S y P, con coordenadas y radio Sx, Sy, Sr, Px, Py, Pr.
El círculo P, menor que S, puede ser externo, interno o secante.
En el caso de ser secante ¿Cuál es la superficie de la intersección?

Código: (C) [Seleccionar]
// Datos en
double  Sx,Sy,Sr , Px,Py,Pr ;

//------------------------------------
// Variables locales
    double dx,dy,l,s,d,p,q ;
    double p1,p2,A ;
//--   
    dx = Px-Sx ;
    dy = Py-Sy ;
    l  = sqrt(dx*dx+dy*dy) ;

    s = (Sr+Pr)/l ;
    d = (Sr-Pr)/l ;

    p= s*d ;
    q= sqrt((s*s-1)*(1-d*d))/2 ;
 
    p1 = (1+p)/2 ;
    p2 = (1-p)/2 ;
     
//  A = Suma de las áreas de cada sector
    A  = Sr*Sr*atan(q/p1) - l*l*p1*q +
         Pr*Pr*atan(q/p2) - l*l*p2*q ; 
//------------------------------------
:o :aplauso:
Muchísimas gracias, Abdulai. Creo que con esto ya podré terminar mi programa sin hacer trampas.

No entiendo a que te estás refiriendo con: no por fórmulas, sino por programación

Código: [Seleccionar]
Para Angulo = 0 hasta 360
   Convertir polares (Angulo,Sr) en cartesianas (x,y)
   Calcular distancia (x,y) hasta (Px,Py)
   Comparar con Pr
   Si ha cambiado de Mayor a Menor: Intersección A = (x,y)
   Si ha cambiado de Menor a Mayor: Intersección B = (x,y)

Lo confieso, es trampa, pero cuando un desarrollo matemático me  :banghead: no me queda otra.

A ver si puedo terminar el programa hoy, lo publico y os lo digo.

Muchísimas gracias.

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Circunferencias / Intersección de DOS Círculos Secantes
« en: 01 Mayo, 2020, 08:34 pm »
Hola a todos. Llevaba varios días queriendo entrar pero el foro daba fallo. Me alegro de que por fin se haya arreglado.

Estoy programando una nueva herramienta para mi página y para ello debo resolver un problema de geometría.
Tenemos dos Círculos S y P, con coordenadas y radio Sx, Sy, Sr, Px, Py, Pr.
El círculo P, menor que S, puede ser externo, interno o secante.
En el caso de ser secante ¿Cuál es la superficie de la intersección?

El problema lo he descompuesto en dos partes.
La segunda parte la he resuelto de la siguiente forma:
Tenemos un sector circular ASB y un triángulo ASB. Restando ambas cantidades tendremos UN trozo del área común. Si ahora hacemos lo mismo con el sector APB y el triángulo APB tendremos el OTRO trozo del área común. Sumándolas, tendremos la superficie común de ambos círculos. Relativamente, ha sido fácil.

El problema lo tengo con la primera parte:
¿Cómo calculo las coordenadas de A y B?
¿O los ángulos ASB y APB?
No he encontrado en ninguna parte una fórmula directa para calcularlo. Sí he visto varios ejemplos (por ejemplo, en Youtube: Intersección de Dos Circunferencias) que se han ido desarrollando paso a paso hasta alcanzar la solución, pero cuando he querido convertir estos desarrollos en una fórmula general me he topado con lo siguiente:
En Wikipedia: Ecuación de la Circunferencia, encuentro lo siguiente:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Aplicado a mi problema tendríamos dos ecuaciones:
\( (x-Sx)^2 + (y-Sy)^2 = Sr^2 \)
y
\( (x-Px)^2 + (y-Py)^2 = Pr^2 \)

Después de desarrollarlas, igualarlas a CERO, igualarlas entre sí y simplificar, he llegado a:
\( Sx^2-2x*Sx + Sy^2-2y*Sy - Sr^2 = Px^2-2x*Px + Py^2-2y*Py - Pr^2 \)

Y hasta aquí he llegado yo.
La verdad, resolver este problema para un caso particular es relativamente fácil porque podemos ir realizando cálculos y simplificando la fórmula en cada paso, cosa que en programación, para una fórmula general, no puedo hacer pues tengo que tener TODAS las variables, que no se me escape ninguna y que no me equivoque en un signo.
Pero hay un problema mayor, y es que al final de este proceso hay que realizar un par de conversiones y sustituciones que mentalmente son fáciles de dar, pero que no tengo ni idea de cómo programar.
Como el foro ha estado tiempo sin funcionar, se me ha ocurrido hacer trampa, calcular A y B no por fórmulas, sino por programación, y ya tenía pensada la forma de hacerlo y completar el programa cuando he visto que ¡POR FIN! vuelven a funcionar los foros.
Así que daré una oportunidad más a las matemáticas.

¿Existe alguna fórmula más sencillita de calcular las coordenadas de A y  B en el gráfico adjunto?
O ¿de calcular directamente el área común a dos círculos secantes?

Espero que podáis ayudarme, si no, me veré obligado a hacer trampas.

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Temas de Física / Re: Movimiento unidimensional
« en: 02 Abril, 2020, 08:32 pm »
Hola a todos.
Llevaba varios días sin poder entrar, no sé si por fallo del foro o de mi router, y me he encontrado este problema, que es de los que me gustan.
Un automóvil que viaja a \( 105 km/h \) golpea un árbol. El frente del automóvil se comprime y el conductor llega al reposo después de recorrer \( 0.80 m \). ¿Cuál fue la magnitud de la aceleración promedio del conductor durante la colisión?
Exprese la respuesta en términos de g, donde \( 1.00 g=9.80 m/s^2. \)
Aunque ya está dada la respuesta, por parte de Abdulai y Richard, permitid que exponga cómo lo plantearía yo:
Tal como dice Abdulai, hay que jugar con las dos ecuaciones: \( d=\frac{1}{2}a*t^2 \) y \( v=a*t \).
El problema nos ofrece DOS datos, Velocidad y Distancia de frenado, y nos pide la Aceleración.
Como el tiempo no va a hacer falta, podemos despejarlo en ambas ecuaciones e igualarlas.
\( \\d=\dfrac{1}{2}a*t^2
\\\\t^2=\dfrac{d}{1/2 a} = \dfrac{2*d}{a}
\\\\t=\sqrt{\dfrac{2*d}{a}} \)
y
\( \\v=a*t
\\t=\dfrac{v}{a} \)
Y al igualarlas
\( \sqrt{\dfrac{2*d}{a}} = \dfrac{v}{a} \)
Como conocemos la Distancia y la Velocidad inicial, necesitamos despejar la Aceleración.
\( \\\sqrt{\dfrac{2*d}{a}} = \dfrac{v}{a}
\\\\\dfrac{2*d}{a}=\dfrac{v^2}{a^2}
\\\\2*d=\dfrac{v^2}{a}
\\\\a=\dfrac{v^2}{2*d} \)
Si no me he equivocado, ya está.
Ahora tenemos que aplicar los datos a la ecuación, pero antes debemos convertir los 105 Km/h en m/s.
\( 105 Km/h = \dfrac{105.000 m}{3.600 s} = 29'1\widehat{6} \)
Y, por fin,
\( a=\dfrac{29'16^2}{2*0'8} = 531'684 m/s^2 \)
Tal como te ha comentado Richard, ahora sólo hay que dividir por G
\( \dfrac{531'684}{9'8}=54'25 G \)

Como digo, un problema de los que me gustan.
Espero no haberme equivocado.

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Temas de Física / Elipse en Precesión: Fallos del Programa
« en: 10 Marzo, 2020, 01:37 pm »
Usaste la tasa de incremento angular constante en el tiempo supongo.
Si te animas a futuro puedes hacer que  esta tasa dependa de la proximidad entre el punto y un centro de gravedad,  cuya integral de la desviación en cada periodo sea el valor que resulta de la fórmula que expuse?, La diferencia es mínima, pero resultaría lo más parecido, a una geodesia real de la relatividad general... nada de simetrías bonitas, física experimental en estado puro.

Pues creía que el programa tenía un fallo y según lo que dices parece que tiene dos.
El fallo que yo había visto es que si la precesión es muy alta (prueba en el programa con 180 grados) la elipse se convierte en una doble elipse.

He intentado comprender por qué ocurre, pero hasta ahora no lo he conseguido. Y como resulta que tampoco es muy importante, como en todo lo demás funciona, prefiero dejarlo así. Si algún día llego a entender por qué ocurre y cómo puedo corregirlo, si veo que no me llevará mucho tiempo, lo arreglaré.

Y el otro fallo, que esto es un programa de dibujo, no de física. Para calcular el Radio a partir del ángulo lo hago centrándome en el primer foco de la elipse, recorro los 360 grados y para cada uno de ellos, a partir de la fórmula calculo el Radio.
Teniendo ya el Ángulo y el Radio, al ángulo le añado el Giro de precesión: \( Giro = \frac{Precesion}{360}+Vuelta*Precesion \)
Al Ángulo de cada punto le sumo el giro, lo convierto en Coordenadas Cartesianas y lo dibujo.
No hay nada más.
Como verás, la precesión no es proporcional al tiempo orbital, sino al ángulo desde el foco, y no tiene en cuenta variaciones que se darán en la órbita real de los planetas.

Si no fuera un programa de dibujo, sino de física, tendría que saber si el Giro aumenta de forma constante en el tiempo (que no lo creo) o de forma inversamente proporcional al Radio (lo que me parece más probable). Y tal como dices, tendría que aplicar las ecuaciones de Kepler y estudiar los efectos relativistas para calcular cómo afecta la masa del Sol a la longitud real de la órbita, longitud que será menor mientras más masiva sea la estrella y más cerca de ella pase el planeta.

En fin, que seguramente tardaría meses, o años, en conocer y cuantificar todos los factores que intervendrían en la órbita real de un planeta alrededor de una Estrella.
Pero en cualquier caso las diferencias serían lo bastante pequeñas para que el gráfico resultante sea indistinguible a simple vista del dibujo que yo he hecho en el programa.

Saludos.

8
Temas de Física / Re: ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 10 Marzo, 2020, 12:45 pm »
Hola a todos.

Ya he terminado y publicado el programa para dibujar
La Espiral de Kepler.

Creo que me ha quedado bastante bien, al menos es lo que pretendía desde el principio, por lo que doy por terminado el tema, salvo que alguien quiera hacer algún comentario.

Gracias por vuestra ayuda y comentarios.

9
Temas de Física / Elipse en Precesión (Terminado)
« en: 06 Marzo, 2020, 08:04 am »
Hola a todos.

Ya he terminado y publicado el artículo
Elipses con Precesión

Y lo que no esperaba pero que me ha sorprendido gratamente:


El programa de dibujo está corregido y con un par más de opciones.
Aún tiene un fallo que he empezado a corregir, pero cuando me he dado cuenta de que iba a tardar bastante he preferido aplazarlo. Al fin y al cabo no creo que casi nadie se llegue a dar cuenta.

Por mi parte, doy por finalizado el tema.

Saludos.

10
Temas de Física / Elipse en Precesión
« en: 02 Marzo, 2020, 12:42 pm »
Quiza programar las funciones matematicas  te sea  facil, pero encontrar las correctas, entenderlas y deducir que la precesión angular de la órbita existe y porque sucede con valor
\( \boxed{\Delta \phi=\dfrac{6 \ \pi \ G \ M}{a \ (1-e^2) \ c^2}} \quad rad/rev \)
requiere de entender Relatividad general, Algebra tensorial, geometría diferencial, y no veo que esto último le sea fácil a nadie, incluso, no le fue fácil ni a Einstein, a eso me refería.

En realidad no era mi intención ni calcular la precesión ni estudiar los factores que la producen, sólo dibujarlos.
Ya lo estudié en 2007, cuando escribí una serie de artículos sobre los Movimientos Orbitales, y en el capítulo Órbitas Excéntricas expliqué cómo afecta la fuerza de las mareas a la órbita de los planetas. Es una explicación incompleta y resumida, pero como sabes, prefiero ser más divulgativo que estricto, con el fin de atraer el interés de los posibles lectores a estos temas tan fascinantes. Si luego alguno de ellos se siente interesado y quiere ampliar conocimientos, hay páginas mucho mejores y más precisas que la mía donde puede hacerlo. Aquí, por ejemplo.
Como digo, lo estudié, pero sólo a nivel de razonamientos, no de cálculos. Nada sé de Álgebra Tensorial o Geometría Diferencial, y la Relatividad General la entiendo conceptualmente, pero sólo conozco un par de fórmulas, las de Einstein y Lorentz, para calcular algunos detalles que he necesitado para mis páginas. Pero es que para lo que a mí me interesa, entender y explicar por qué pasan las cosas en el universo, no lo necesito.
Además, hay muchos temas que me interesan. Si quisiera profundizar en alguno de ellos no tendría tiempo para dedicarle a los demás.

Gracias.

11
Temas de Física / Elipse en Precesión
« en: 02 Marzo, 2020, 11:56 am »
Y dicho y hecho, aquí lo tenéis:

Dibujar Elipses con Precesión

En realidad aún no está terminado, tengo que añadir, ya que estamos, que se calcule la longitud y la superficie de la elipse, ajustar el dibujo para que se puedan visualizar varias vueltas (ahora el gráfico se sale del cuadro).
Y por supuesto, terminar de escribir el artículo que acompaña a la calculadora (más bien dibujadora), explicar la relación de la elipse con las órbitas planetarias, por qué se produce la precesión, y añadir las imágenes (> mil palabras) para aclarar el texto.

Espero que os parezca tan interesante como a mí, y si tenéis alguna sugerencia de mejora os lo agradeceré.

12
Temas de Física / Elipse en Precesión
« en: 01 Marzo, 2020, 09:57 pm »
Aunque tengo previsto terminar y publicar el programa mañana, os doy un pequeño avance de lo que he hecho hoy.

Seguro que muchos de vosotros ya sabéis cómo resolver el problema, pero a mí me está pareciendo MUY interesante. Y divertido.

Elementos y Ecuaciones de la Elipse
Dada una elipse, en ella tenemos dos ejes.
a = Longitud del Semieje Mayor
b = Longitud del Semieje Menor
Ecuación de la Elipse : \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)
f = Distancia de los Focos de la Elipse al centro
Se cumple: \( a^2=b^2+f^2 \)
Excentricidad: \( \varepsilon = \frac{f}{a} \)
El Semieje Mayor, a, será igual al Radio del dibujo (\( Radio = \frac{Ancho}{2}-10 \))
A partir de la Excentricidad, \( \varepsilon  \), despejamos y calculamos
\( f=\varepsilon *a \)
Y teniendo f, a partir de \( a^2=b^2+f^2 \) , podemos calcular b
\( b=\sqrt{a^2-f^2} \)
Análisis del problema
En primer lugar debemos determinar si será mejor y más fácil usar coordenadas cartesianas o polares.
Elipse con Coordenadas Cartesianas
Tenemos que recorrer el círculo completo, pero no estamos trabajando con coordenadas polares, sino cartesianas, por lo que tenemos que recorrer una de las dos coordenadas, x ó y, y calcular la otra.
Vamos a suponer que conocemos x . El cálculo de y sería:
\( \\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\\\\\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}
\\\\y^2=(1-\frac{x^2}{a^2})*b^2
\\\\y^2=b^2-\frac{x^2*b^2}{a^2}
\\\\ y=\sqrt{b^2-\frac{x^2*b^2}{a^2}} \)
Entonces, para x = -a hasta a, calculamos y y podemos dibujar la parte inferior de la elipse yendo punto a punto por x,y.
Y repitiendo el bucle, dibujamos la parte superior por los puntos x,-y.
Como posteriormente nos va a hacer falta añadir la precesión, el segundo bucle debe ser desde a hasta -a.
Pero antes de proceder a la programación vamos a ver si podemos hacer lo mismo con coordenadas polares.
Elipse con Coordenadas Polares
En Wikipedia, Elipse#En coordenadas polares, encontramos las siguientes fórmulas:
Radio centrado en el centro de la elipse
\( r=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2*\cos(\Phi)^2}} \)
siendo \( \varepsilon \) la excentricidad y \( \Phi \) la dirección
Radio centrado en un foco
\( r=\frac{a*(1-\varepsilon ^2)}{1-\varepsilon *\cos (\phi )} \)
El proceso de dibujo, en ambos casos sería muy simple
Para d = 0 hasta 360 cada Grado
    Calcular r (centrado en elipse o en foco)
    Convertir coordenadas polares dr en cartesianas, xy
    Dibujar línea hasta xy
Definitivamente, es más fácil, así que esta es la fórmula que usaré para el dibujo de la elipse.
Además, cuando tenga que añadir la precesión, será mucho más fácil hacerlo con coordenadas polares.

Y hasta aquí he llegado por hoy. Mañana procederé a programarlo y en cuanto lo termine y lo publique os lo diré.

PS. Seguro que habré cometido algún error, pero no os molestéis en corregirlo. En cuanto acabe y lo publique volveré a repasar todas las fórmulas.

13
Temas de Física / Elipse en Precesión
« en: 01 Marzo, 2020, 03:40 pm »
Hola a todos.

... o una elipse con precesión ...

¡Osti, tú! ¡Qué idea más buena!
Ahora mismo me pongo a ello.

Un comentario que hizo Richard me ha dado la idea de dibujar una Elipse en Precesión.
Son dos problemas: Primero dibujar la elipse: aún me falta conocer la fórmula, pero esta tarde la buscaré. No creo que tenga problemas.
El segundo es hacer que preceda. Eso lo tengo solucionado, sé como hacerlo así que tampoco me costará mucho.

La duda que tengo es la siguiente:
Cuando una espiral precede, ¿lo hace alrededor del centro de la elipse o de uno de los focos?
Si alguien me responde a esto, mañana termino y publico el programa.

Gracias.

14
Temas de Física / Re: ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 01 Marzo, 2020, 03:34 pm »
Menuda tarea te propones con las elipses...
Lo dices como si fuera difícil, pero no me parece que lo sea tanto.
De momento, esta mañana he programado el formulario en el que pido tres datos: Excentricidad, Precesión y Número de Vueltas a dibujar. El programa está casi hecho, a falta de introducir las fórmulas de cálculo.
Solo me queda una duda, y me da la impresión de que este tema tendría que ser un hilo nuevo, y no se si estaría mejor en Física (por lo de las órbitas) o en Matemáticas por lo de geometría.

Nada, estamos en órbita, en Física.



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Temas de Física / Re: ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 01 Marzo, 2020, 08:19 am »
Hola, Richard

Cuando Hablas de fuerza centrífuga, no es muy científico que digamos expresar esa ecuación con ese nombre, en realidad debes hablar de Fuerza Centrípeta...
Tienes razón, la Fuerza Centrífuga no existe, ni la Fuerza de Coriolis ni muchos efectos que son la resultante de otros fenómenos físicos. Pero en mis artículos intento llegar a un compromiso entre el rigor científico y la comprensibilidad.
TODO el mundo sabe lo que es la Fuerza Centrífuga, yo lo experimenté de pequeño en el tíovivo y cada vez que venía de la vaquería con la cántara de leche.
En cambio, si hablo de Fuerza Centrípeta, la mitad de la gente se queda ojiplática.
De ahí que en mis páginas prefiero usar un lenguaje que sea comprensible para la mayoría de la gente, y sabiendo que los más versados científicos sabrán entenderlo y comprender que se trata de licencias, no de falta de rigor científico.

Citar
Por otro lado, si bien te explican que para tiempo infinito, la longitud recorrida es infinita y tu radio se va volviendo nulo, pero físicamente esto es imposible, pues tu astro ,estrella, planeta o lo que fuere de masa M tiene un radio hasta su superficie mayor que cero, es decir no es una masa puntual, luego en un tiempo finito, el radio de la espiral será igual al radio de la superficie de la estrella, y habrá contacto entre ellos, un choque diríamos, y allí acabará la espiral.
Cierto. Yo parto de una situación más o menos hipotética pero realista del mundo físico: una estrella y una serie de planetas a distancias regulares.
A continuación deduzco las fórmulas matemáticas que permiten calcular la posición de los planetas en función de la distancia en un tiempo determinado, el mismo para todos los planetas. Las posiciones finales, unidas por todas las posiciones intermedias, definen una curva que, prolongada al interior se convierte en la Espiral de Kepler.
Evidentemente, en el mundo físico real donde las estrellas y planetas tienen tamaños, la curva terminaría allí donde se junten las superficies de ambos cuerpos, pero en el mundo matemático ideal en el que los cuerpos son puntos matemáticos, la espiral daría infinitas vueltas hacia el interior, llegando a distancias infinitesimales del centro, pero sin nunca alcanzarlo.
Citar
Como se explica entonces la conservación de la energía ... fuerzas de marea ... fricción interna ... calor ... radiación ... ondas gravitacionales ... etc
Todos esos son fenómenos físicos que alterarán los resultados de lo predicho por las matemáticas, pero aquí yo me centro en el mundo matemático ideal. Lo mismo que cuando calculo la caída de los cuerpos no tengo en cuenta la resistencia del aire ni la posición de la Luna y el Sol, que también alterarían el resultado de la ecuación de Newton.

En realidad, si he desarrollado esas fórmulas y programado una calculadora JavaScript para dibujar los gráficos es porque tengo intención de publicar varios artículos más sobre la Gravedad y las Órbitas, y las fórmulas que iba a necesitar no las encontré, así que tuve que desarrollarlas. Seguro que alguien las ha desarrollado antes que yo, pero, o no las ha publicado o, si lo ha hecho, yo no las he encontrado. Y además, aunque las hubiera encontrado en internet, también hubiera estudiado cómo se desarrollaban.
En fin, aún me quedan un par de meses, por lo menos, para terminar mis proyectos, si no me estanco, porque ya es la segunda vez que lo intento. Ya veremos.

Citar
... o una elipse con precesión ...

¡Osti, tú! ¡Qué idea más buena!
Ahora mismo me pongo a ello.

16
Temas de Física / Re: ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 27 Febrero, 2020, 08:13 am »
NO converge (es infinita) porque .... Es decir la longitud de esas infinitas vueltas es infinita.

Esto sí que es una respuesta clara, sí señor.  :aplauso:
La verdad, como sabes, no domino las matemáticas al nivel que vosotros tenéis, y la mayoría de las veces me pierdo en vuestras fórmulas, por eso me encanta que algunos de vosotros complementen las matemáticas con textos y explicaciones bastante claras.
Citar
En cuanto a la segunda pregunta el sentido de giro depende de la curvatura con signo de la misma; equivalentemente del signo de:
\( det\begin{pmatrix}{x'(t)}&{y'(t)}\\{x''(t)}&{y''(t)}\end{pmatrix}=\dfrac{9t^2-2}{9t^{10/3}} \)
Vemos que para \( 9t^2-2=0 \) es decir para \( t=\sqrt{2}/3 \) hay un cambio de signo.

Saludos.
:aplauso: No sé el tiempo que has tardado en resolver ésto pero para mí ha estado muy bien empleado.
Es decir, que a una determinada distancia, la espiral, que siempre hasta ahora ha girado a la derecha, empieza a girar a la izquierda. Con ello me has confirmado lo que me ha estado planteando dudas desde que publiqué el artículo.
De nuevo, gracias.

Y, por cierto, también quiero darte las gracias por la inestimable ayuda que me diste en mi primera pregunta al foro, en 2014, al hablarme sobre la Coordenadas Polares, que hasta entonces no conocía.
Desde entonces he aprendido a usarlas, básicamente, pero lo bastante para haber hecho varios programillas de dibujo interesantes. Por poner un par de ejemplos:
Calcular el valor de PI por el Método de Arquímedes.
http://www.maslibertad.com/Calcular-el-Numero-PI-por-el-Metodo-de-Arquimedes_p1530.html
La Espiral Logarítmica
http://www.maslibertad.com/Matematicas-Dibuja-Espiral-Logaritmica_p1542.html

Ahora mismo estoy programando otro par de scripts de dibujo geométrico y usando las coordenadas polares resulta muchísimo más fácil de lo que yo creía.

Y otra vez (que nunca serán bastantes) Gracias.

Juan

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Temas de Física / Re: ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 27 Febrero, 2020, 07:30 am »
Te podría contestar a los dos preguntas si explicases que es cada cosa en la fórmula que define la espiral.
Perdona que no lo haya hecho, pero creí que estaba bastante claro en el artículo que publiqué. Pero por si no lo has leído, te lo aclaro:

T es un tiempo constante, el mismo para toda la curva, y es el tiempo que un planeta determinado tarda en realizar una órbita completa a una distancia base. En el gráfico, sería el primer planeta. En la curva, ese planeta estaría situado justo donde se cruza por primera vez el eje vertical del dibujo.
M es la masa de la estrella alrededor de la cual orbitan los planetas.
G es la Constante de Gravitación Universal
d es la distancia de un planeta cualquiera a la estrella
Y el resultado, A es el ángulo de la órbita que ha recorrido cada planeta.

Citar
... intuitivamente, si la espiral da infinitas vueltas y el radio ínfimo de las vueltas es positivo entonces la longitud debe ser infinita.
No sé lo que es el Radio Infimo, pero entiendo que una sucesión infinita de vueltas cada vez más pequeñas no tiene que tener, necesariamente, una longitud infinita. Una espiral logarítmica, por ejemplo, da infinitas vueltas hacia dentro, pero su longitud es finita, igual a \( L=\frac{R}{cos(90-G)} \).
Te lo explico, la Longitud de una Espiral Logarítmica, desde un punto determinado hacia adentro, es igual al Radio de ese punto dividido entre el coseno del ángulo complementario del Grado de la espiral.
Pero en esta curva no sé si infinitas vueltas hacia adentro se traducirá en una longitud infinita o finita.
Y mis conocimientos matemáticos son apenas suficientes para combinar fórmulas y despejar variables, no conozco herramientas matemáticas que me permitan averiguarlo.

Citar
Para la segunda parte, de nuevo intuitivamente, una curva con una fórmula sencilla (como parece ser ésta) seguramente tenga una convexidad permanente y decreciente a cero en tanto nos movemos hacia fuera de la espiral. Entonces habría que ver si al movernos hacia fuera por la espiral la curva tiende a un punto concreto del espacio o, por el contrario, sigue girando indefinidamente.
Debido a que la fórmula está basada en el movimiento de los planetas alrededor de una estrella, la curva hacia fuera nunca podrá atravesar el eje del dibujo. Tiende a la línea recta a una distancia infinitesimal del eje, pero no lo alcanzará hasta que tenga una longitud infinita.
Lo que yo me preguntaba es si la curva, que siempre está girando hacia la derecha, en algún momento cambiaba y se desviaba a la izquierda.
Hasta esta mañana yo pensaba que no, que la curva sería como una espiral logarítmica de grado creciente, tendiendo a 0 (circunferencia) hacia dentro y a 90 (radio) hacia fuera, pero sin llegar a alcanzarlos nunca.
Pero entre que me he despertado y me he levantado he estado un rato dándole vueltas al tema y me he dado cuenta de que no es posible, que si la curva, tal como se ve en el dibujo, se acerca al eje, y luego nunca lo alcanza, en algún momento DEBE girar a la izquierda, en cuyo caso su grado sería mayor que 90.
No lo sé, aún me falta madurar esto un poco, por eso os pido ayuda de vez en cuando.

Gracias.

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Temas de Física / ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 25 Febrero, 2020, 03:47 pm »
Hola de nuevo.
Acabo de publicar un artículo sobre órbitas planetarias, y en él describo y explico algunas propiedades de La Espiral de Kepler.

Para poder dibujarla he desarrollado esta fórmula:
\( A=T*\sqrt{\dfrac{M*G}{d^3}} \)
que para un tiempo determinado y constante, permite calcular, en radianes, el ángulo de una órbita recorrido por un planeta a una distancia dada.
La fórmula inversa
\( d=\sqrt[ 3]{\dfrac{M*G*T^2}{A^2}} \)
permite calcular la distancia a partir del ángulo.
Con ellas he creado la espiral de Kepler, que al contrario de otras espirales, da infinitas vueltas hacia dentro pero finitas hacia afuera. Y en la última vuelta prácticamente se convierte en una recta.
Infinitas Vueltas no significa, necesariamente, una longitud infinita. En la espiral logarítmica, desde un metro de distancia se dan infinitas vueltas hacia adentro, pero la longitud de la espiral es finita e igual al Radio dividido por el coseno del ángulo de la espiral con el radio. O el Coseno de 90 menos el Grado de la espiral.
\( L=\dfrac{R}{cos(90-G)} \)
Ante esto tengo dos dudas, que ya se escapan de mis conocimientos.
  • Desde un punto de la espiral de Kepler hacia dentro hay infinitas vueltas. La longitud ¿es infinita?
  • La última vuelta de la espiral hacia afuera da la impresión de que llega a desviarse, que pasa de girar a la derecha a girar a la izquierda, pero razonando que la Espiral de Kepler es igual a una espiral logarítmica de Grado ascendente, por mucho que el grado tienda a 90, nunca lo alcanzará, así que debería ser siempre una curva a la derecha, y nunca debería cruzar su tangente. ¿Podéis confirmarme si es así, que la curva siempre gira a la derecha, aunque cada vez menos?

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Hola de nuevo.

Y, como siempre, aquí tenéis el artículo que estaba escribiendo y que me ayudasteis a resolver.

La Espiral de Kepler
Espero que os parezca interesante, y de paso voy a haceros una pregunta:
En una búsqueda en Google no he encontrado nada parecido a la Espiral de Kepler.

¿Podríais decirme si en alguna ocasión se ha tratado en este foro de un tema parecido?

De nuevo, gracias.

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Hola

Está mal. Sería:

\( \dfrac{d}{\sqrt{\dfrac{M}{d*G}}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{d}\cdot \sqrt{\dfrac{M}{d*G}}}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{M}{d^3*G}}} \)

Saludos.

¡Uau! ¡Qué rapidez!

Pues sí, ya he visto mi error.

Gracias a los dos.

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