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Mensajes - Vitos

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Ecuaciones diferenciales / Domino de atracción
« en: 09 Marzo, 2015, 11:05 pm »
Hola a todos,

¿Podríais ayudarme a calcular el dominio de atracción del siguiente sistema?

\( \dfrac{{\partial x_1}}{{\partial t}}=x_2 \)

\( \dfrac{{\partial x_2}}{{\partial t}}=-x_1+x_2(x_1^2 -1) \)

Saludos

2
Análisis Matemático / Representar función cuadrática en MATLAB
« en: 13 Junio, 2014, 02:48 pm »
Hola a todos,

Me gustaría saber como se podría representar en MATLAB la región delimitada por la siquiente función:
\( 24a+32b-23a^2-6ab-16-b^2<0 \)

Saludos

3
Claro, entonces el sistema sería asintoticamente estable y tendería al punto de equilibrio (a,b).

Me surge un cuestión, ya dando una vuelta más de tuerca. Si el sistema conmutase continuamente entre 2 estados tales que las constantes a y b fuesen diferentes en cada uno de ellos, ¿seguiría siendo el sistema asintóticamente estable y tendería a un punto de equilibrio situado entre los valores (a,b) de cada estado? Por ejemplo, si en un estado (a,b)=(1,1) y para el otro (a,b)=(-1,-1) y el sistema permaneciese el mismo tiempo en cada estado, ¿sería (0,0) el punto de equilibrio a que tendiese el sistema? ¿Se podría decir que es asintoticamente estable?

Saludos

4
Entonces la estabilidad en el punto de equilibrio (a,b) sería facilmente demostrable, pero sería posible en el origen? O en estos casos habría quizá que determinar los puntos de equilibrio en función de a y b?

Saludos

5
Sí quizá me he liado. Entiendo que con el método que estamos aplicando, se debe cumplir que la función de Lyapunov sea definida positiva y su derivada definida negativa, para demostrar que el sistema es asintoticamente estable.

Me ha surgido una duda. Este ejercicio se ha resuelto teniendo en cuenta las propiedades que cumplen las funciones indicadas, con respecto a las variables, pero si en lugar de funciones nos diesen una constante cualquiera, por ejempo:

\(  \displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial t}}=-x+a \)
\(  \displaystyle \frac{{\partial y}}{{\partial t}}=-y+b \)

Donde las constantes a y b podrian ser cualquier número. ¿Se podría demostrar la estabilidad del sistema?

Saludos cordiales y muchisimas gracias por el interés

6
Hola a todos,

Soneu, entonces me confundí al calcular la derivada. Quizá sea muy evidente, pero no supe ver que:

\(  \displaystyle \frac{d \int_0^x g(t)dt}{dx} = g(x) \)


Fernando, siguiendo tu desarollo:

\(  -2x^2-2y^2+2xg(y)+2yh(x)  \)
\(  \leq -2x^2 - 2y^2 + 2\left |{x}\right | \left |{g(y)}\right | + 2\left |{y}\right |\left |{h(x)}\right |  \)
\(  \leq -2x^2 - 2y^2 + 2\left |{x}\right | \left |{y}\right |  \)

Si se calculan los extremos de esta función, sólo existe uno en (0,0) y mediante la matriz hessiana se demuestra que es un mínimo, por lo que la derivada de la función de Lyapunov sería negativa para valores distintos de (0,0). ¿Estoy en lo cierto?

Muchisimas gracias de nuevo y saludos cordiales








7
Muchisimas gracias compañeros,

Fernando, no entiendo como demostrar que tiene un mínimo estricto en \( (0,0) \) y \( L_vf<0 \) en \( V-\{(0,0)\}. \)

Soneu, puedes explicarme por favor, como calculas la derivada, a mi me sale diferente, lo que hago es:

\( \displaystyle \frac{d W}{d t}= \frac{dx^2}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dy^2}{dy} \frac{dy}{dt} + \frac{d \int_0^x g(t)dt}{dt} + \frac{d \int_0^y h(t)dt}{dt} = 2x(-x + g(y)) + 2y(-y + h(x)) + g(x) + h(y) = -2x^2 + 2x g(y) - 2y^2 + 2y h(x) + g(x) + h(y)  \)

Saludos

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Muchisimas gracias Soneu :) ¿Podrias decirme por favor, como se utilizaría esta función? Entiendo que, como se hace siempre, habría que calcular la derivada de la función W respecto a t y comprobar que es negativa para todo x1, x2. No sé si me he equivocado, pero la derivada me queda:

\( \ -2x^2 + 2x g(y) - 2y^2 + 2y h(x) + g(x) + h(y)  \)

He puesto x e y, en lugar de x1 y x2, siguiendo la notación de Soneu para evitar confusiones. Si no me equivoco podría ser positiva para valores muy bajos de las variables. ¿Me he equivocado en algo :banghead:, podeis ayudarme?

Muchas gracias


Saludos


9
Ecuaciones diferenciales / Estabilidad de sistema con funciones
« en: 05 Mayo, 2014, 12:53 pm »
Hola a todos,

No logro encontrar una función que de Lyapunov que demuestre que el siguente sistema es asintoticamente estable:

\( \frac{{\partial x1}}{{\partial t}}=-x1+g(x2) \)

\( \frac{{\partial x2}}{{\partial t}}=-x2+h(x1) \)


Donde las funciones g y h son desconocidas, pero cumplen que:

\( \left |{g(z)}\right |\leq{\left |{z}\right |/2} \)

\( \left |{h(z)}\right |\leq{\left |{z}\right |/2} \)


¿Podeis ayudarme con ello?

Muchas gracias

Saludos cordiales

10
Hola compañeros,

A ver si podeis echarme una mano con una duda que tengo sobre sistemas conmutados:

Si un sistema va alternando entre dos entados en los que la evolución de la variable viene dada por \( \dot{x}=A_1 x \) y  \( \dot{x}=A_2 x \) respectivamente, ¿A qué tendería la variable x si el periodo de conmutación tiende a 0?

Muchas gracias

Saludos cordiales




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Hola a todos,

Tengo que resolver un ejercicio sobre sistemas de control y para ello tengo que encontrar la soluición de la siguiente ecuación diferencial:

dx/dt = x+2

Es sencilla, pero dice que las condiciones iniciales son x = -2. En estas condiciones, la derivada será 0, por lo que x será constantemente igual a -2.

No tengo mucha experiencia en ecuaciones diferenciales. ¿Estoy en lo cierto?

Muchisimas gracias por anticipado

Saludos

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