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Mensajes - incógnita_j

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Estructuras algebraicas / Re: Otra vez hablamos sobre los números
« en: 25 Agosto, 2009, 03:36 am »
Me gustaría hacer simplemente dos breves apuntes a esta interesante conversación.

1) En su primer post, jabato define un conjunto A que satisface 5 axiomas (conjunto inductivo). Lo que no terminas de hacer es definir a los propios números naturales. ¿Es directamente cualquier clase de estos conjuntos un conjunto de números naturales -en tal caso los números naturales serían una clase de equivalencia- o defines a los números naturales como la unión de todos los conjuntos inductivos, salvo biyecciones? La primera definición correspondería a un esquema natural de partir de los números naturales para llegar a los números reales, mientras que la segunda, construye los números naturales a partir de los reales.

2) Respecto a la tan buscada definición de cardinal numerable, una solución fácil para no hablar de naturales "originales" de peano, el cardinal numerable es simplemente la clase de equivalencia de los conjuntos que pueden asociarse por los axiomas de peano.

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Temas de Física / Re: ¿Qué sabemos del tiempo?
« en: 07 Agosto, 2009, 08:38 pm »
Daré dos respuestas pseudofilosóficas baratas en una línea:

El tiempo es al espacio como un número imaginario es a un número real (como magnitud)
El tiempo es la dirección y el sentido del vector entropía (como sentido)

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Estructuras algebraicas / Estructuras y tablas
« en: 07 Agosto, 2009, 08:12 pm »
Buenas tardes foreros.
Mi pregunta de hoy es un poco "antinatural" pero me parece un asunto curioso.

Dado un Grupo finito, la tabla del grupo es la matriz \( (a_i_j) \) tal que \( a_i_j = g_ig_j \) con \( g_i \) y \( g_j \) elementos del grupo.
Definimos del mismo modo la tabla de la suma y tabla del producto en un anillo.

El caso es que, me gustaría plantear lo siguiente. Dada una matriz (o dos) nxn, con n natural. ¿Cómo puede saberse si dicha matriz corresponde a un Grupo (Anillo)? Hay propiedades fáciles de mirar, pero otras (asociatividad) no tanto. Esto permitiría estudiar grupos y anillos finitos más fácilmente.

Además, me resulta curiosa la idea de introducir un "functor" que a cada grupo finito asocie una matriz (o clase de matrices con símbolos equivalentes) y ver como se comportaría dicho functor con operaciones como el producto directo de grupos, el producto semidirecto etc.

Un saludo.

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Temas de Física / Re: Trabajo y Energia
« en: 15 Julio, 2009, 01:58 am »
Cuando una de las fuerzas es, o bien central, o bien constante, o, en general, existe un campo escalar tal que F= gradU, entonces, el teorema de las fuerzas vivas puede generalizarse al teorema de la conservación de la energía en su forma conservativa:

\( \Delta E_c=\Delta U + W_no_cons \)

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Buenas tardes.
Escribo este hilo a raíz de una cosa que se me ocurrió el otro día al leer un post de trigonometría.

Habitualmente, cuando se definen el seno, coseno etc, se hacen mediante la interpretación geométrica (bien por triángulos rectángulos, bien con la circunferencia unidad). Luego, más tarde, se demuestran geométricamente las propiedades de sumas, ángulos dobles, derivación etc. Hasta llegar al polinomio de Taylor. Una vez hecho esto, para ser elegantes, se define en cálculo la función coseno (o seno) mediante su desarrollo en serie de potencias y ya todas las propiedades antes deducidas geométricamente se pueden deducir de ahí.

Pues bien, me gustaría saber como se haría si se quisiese hacer en sentido inverso. Es decir, dada la función coseno (o seno) expresada como serie de potencias, deducir la interpretación geométrica, en términos de ángulos y distancias. A bueno, no gace falta decir que que se abstengan los listos  :laugh: que basen su construcción en: "Pues a ver, definimos la función coseno2 como la geométrica, como satisface el mismo PVI es la misma"  y se queden tan anchos. Muchas gracias.

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Aplicados a la vida diaria / Re: Presentación y problema interesante
« en: 11 Diciembre, 2008, 02:41 am »
Existe toda una rama de la matemática para resolver este tipo de problemas que planteas. Estás en lo cierto, existen matemáticas no triviales para eso, pero, si me disculpas, prefiero que te lo explique alguien más entendido que yo, que yos un desastre para la Investigación operativa ( y no me gusta nada...). En particular, tu problema es un problema de optimización lineal con restricciones. Se resuelve mediante un algoritmo lineal (pero tedioso) llamado simplex. Básicamente consiste en que expreses el problema de la siguiente forma:
El objetivo es minimizar el número de DVDs sabiendo que en cada DVD cabe un máximo de memoria y que el juego i ocupa x_i de memoria. Si tengo más tiempo te pongo más números y cosas de verdad, pero creeme, es algo que no me gusta en absoluto y se me da fatal jajaja. Ya que estamos, te diré que lo que dices es cierto, la investigación operativa aparece en infinidad de problemas cotidianos que la gente nunca imaginaría de tal complejidad, y que sin embargo no saben como abordarlos rigurosamente.
 -Un grupo de profesores tiene que elegir las asignaturas que va a impartir, cada uno tiene preferencias. ¿Qué combinación es la que menos enfadaría a los profesores en general?
 -A final de curso, te piden anotar en una hoja tres compañeros con los que quieres estar el año que viene. ¿Cómo confeccionar la clase para que sea óptima en el sentido de que no puede haber una configuración mejor para todos?
 -Un museo tiene muchas habitaciones y puertas. ¿Dónde ponemos un número finito de cámaras de seguridad para que cubran el mayor número de itinerarios?
...

Te animo a que investigues sobre como resolver estos problemas.

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Cálculo 1 variable / Re: Duda convergencia sucesiones
« en: 02 Diciembre, 2008, 06:44 pm »
No hace falta que te compliques tanto.
Simplemente usa la definición de límite con epsilon adecuado (te propongo epsilon = 1) y que la sucesión sólo toma valores enteros. Hazte un dibujo y no te costará demasiado formalizarlo.
Un saludo.

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Foro general / Re: El Yin y el Yang
« en: 01 Diciembre, 2008, 12:24 pm »
Brillantísima tirada Argentinator. Te felicito. Has condensado en unas líneas un tema estrechamente ligado a la conciencia humana en general y las matemáticas en particular (intuicionistas y formalistas). Invito a los usuarios que lean el post de Argentinator y que reflexionen un rato sobre ello.

Yo, desgraciadamente (lo de desgraciadamente es un gusto personal, aunque nunca estamos contentos con lo que somos), soy Yin. No sólo soy formalista en matemáticas, sino en el aspecto académico, siempre trabajo "hacia adelante", construyendo y no "hacia atrás", creando.

Simplemente decir que esto es una nueva perspectiva de la disyuntiva análisis/síntesis (tu Yin/Yang), ya puesta de manifiesto por la Grecia clásica y que acabas de poner en perspectiva de forma esclarecedora y brillante con un ejemplo claro.

Un saludo.

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Foro general / Re: Hasta pronto y gracias.
« en: 01 Diciembre, 2008, 01:33 am »
No quiero repetir lo que han dicho todos el_manco. Pero me veo obligado: tu humildad, paciencia, interés, gusto, dedicación, interdisciplinaridad, inteligencia y constancia se echarán muchísimo de menos.

No soy capaz de concebir este foro sin ti, después de unos cuatro años posteando...
Un placer el_manco, y hasta pronto.

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Cálculo 1 variable / Re: Escribir polinomio en x como polinomio en x-3
« en: 20 Noviembre, 2008, 12:49 am »
Jabato, me las has quitado de la lengua (o mano, mejor dicho) en cuestión de segundos.

Iba a proponer que interpretases el problema como un cambio de base de polinomios, interpretando cada coeficiente como su componente en la base (1,x,x^2,...) y pasarlo a la base (1,x-3,(x-3)^2,...).
Álgebra básica jaja.

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Otra forma:
\( y''=-Cy \) es equivalente a:
\(
x' =-Cy \\
y' = x
 \)

Ahora si estudias las órbitas de este sistema de ecuaciones diferenciales, verás que sospechosamente tienen formas "circulares".
¡Realiza el cambio a polares y listo! O casi...

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Propuestos por todos / Re: Juego de problemas
« en: 16 Noviembre, 2008, 05:57 pm »
Nadie sabe hacerlo????


reto

Me parece más bien reto subcontratado...
el_manco propone un problema más interesante y general. ¿Te animas a resolverlo?

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Propuestos por todos / Re: Deducción de la fórmula de Stirling
« en: 16 Noviembre, 2008, 12:17 am »
Quimey, este tipo de problemas, si bien ya no se hace en España, se sigue haciendo en francia (de hecho ha estado muy de moda hasta hace muy poco). Si miras mis primeros mensajes (cuando era un jovenzano de 16-17 años) verás bastantes problemas de ese tipo. Me encantaban (y me encantan). De momento un adelanto de algunos que guardé por aquí.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=3197.msg12661#msg12661

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Docencia / Re: ¿Qué tipo de ejercicios caben en una ingeniería?
« en: 16 Noviembre, 2008, 12:00 am »
Buenas noches foreros.

Quizás mi participación es un poco gratuita porque no soy ni ingeniero ni matemático. Sin embargo, soy estudiante de ingeniería de caminos y de matemáticas y os voy a decir lo que pienso, sobre todo respecto a mi punto de vista como ingeniero:

A pesar de que me de pena reconocerlo (por lo que nos perderíamos todos), creo que ese tipo de problemas no procede del todo en un examen de una asignatura de matemáticas en una ingeniería (y eso que a mí me encantan). Pero me estoy refiriendo a u tipo de ejercicio prácticamente clavado al que se refiere el_manco. Problemas de enunciados enlazados, de fundamentos esencialmente matemáticos, sí que los veo necesarios, siempre que la mecánica de estos sea posterior a un resultado fundamental, y no anterior. Me explico: en este caso se pretende demostrar la fórmula de Stirling. Me parece demasiado "bajo nivel", entendiendo bajo nivel como un tipo de razonamiento esencialmente de cálculo puramente matemático no demasiado sofisticado. Sin embargo, a nada que fuese ligeramente "de más alto nivel" y que involucrase un resultado más familiar para el ingeniero, lo considero necesario, no tanto por el fin del ingeniero, sino por los medios. Un problema esencialmente matemático le hace al ingeniero trabajar su ingenio en la resolución de problemas. Las matemñaticas son, aparte de muchas otras cosas, un ejercicio de la mente.
Al enfrentarse a la modelización de los problemas, el ingeniero debe saber ser astucioso para expresarlos de manera simple, clara, manejable y lo más exacta posible. Para ello es posible que necesite una perspectiva para abordar el problema que sólo se alcanza haciendo problemas de este tipo. Que te permiten relacionar conceptos, ser riguroso con las hipótesis, y diseñar algoritmos mentales de acción. Por lo tanto, quizás ese no tanto, pero otros sí son necesarios (siempre que sea en las asignaturas de matemáticas). Al fin y al cabo, ¿cuando un ingeniero va a necesitar aplicar el teorema de Gauss, resolver una integral, demostrar que un límite es 0, o que una función es diferenciable? Casi nunca... Hoy en día el ingeniero simplemente tiene que modelizar la realidad y actuar en consecuencia, y sobre todo , ser ingenioso (que no es poco). Sin embargo, todo eso sí se hace y no hay tanta polémica

Eso sí, en matemáticas la tendencia ahora es de ingenierizar los problemas, o si no, poner los enunciados compactos y totales. Los problemas enlazados están en vías de extinción en matemáticas, y eso sí que me parece triste. Principalmente porque me encantan (he sido educado a base de ellos en el sistema francés así que...). Siempre que te den los resultados parciales cada cierto tiempo, si no, efectivamente, es injusto para el alumno. En el examen de ecuaciones diferenciales que tuve hace poco, nos pedían de forma guiada, por ejemplo, demostrar de forma alternativa el teorema de Picard. Ese tipo de cosas me parecen geniales, también, porque ayudan a comprender la esencia de lo que estás demostrando, no sólo la superficie iluminada por la linterna de cada demostración.

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Aquí está, y qué contento estoy de decirlo, uno de los mayores problemas del aprendizaje del cálculo integral. Un problema que turba a todos los alumnos (a mí en su día por ejemplo) y que supone errores conceptuales, que se acumulan, y que se deben solventar lo antes posible. Intentaré ser breve pero dejar las cosas un poco claras. Por ello empezaré de lo más general e iré particularizando.

1)Empiezo por el final. La integración puede usarse para calcular distancias, áreas y volúmenes, medidas, en general de conjuntos. Pero este no es más que un enfoque que lo restringe bastante. Intuitivamente, hay que interpretar una integral como algo que dada una función que actúa sobre un conjunto, nos da un valor de la magnitud en que la función actúa globalmente sobre el conjunto.\( \displaystyle\int_{A}^{}f \).

2) Concretemos. Una integral es una suma continua, una manera de sumar los valores que toma una función, teniendo en cuenta que varían cada poquísimo tiempo. Piensa en el caso del cálculo del área de una integral simple (volveremos luego) y verás que es eso. Piensa en el cálculo de la masa de un sólido con densidad no uniforme, y te harás una idea general. Ahora bien:

3) En general, si integras directamente la función 1, es decir, si estás valorando como actúa la función 1 sobre un conjunto, o mejor, como sumas 1 para cada valor del conjunto, te saldrá un valor representativo del conjunto, su "medida". Siguiendo con esta idea podríamos clasificar así:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}1dx= b-a  \) Es una integral simple, sobre un conjunto de una dimensión, nos da una distancia.
\( \displaystyle\int_{A}^{}1dxdy \) Es una integral doble, sobre un conjunto de dos dimensiones, nos da un área.
\( \displaystyle\int_{A}^{}1dxdydz \) Es una integral triple, sobre un conjunto de tres dimensiones, nos da un volumen.
Y se puede generalizar. ¡Ojo! Fíjate que estoy integrando la función uno, es decir, estoy asociando a cada conjunto su "medida", que tiene su misma "dimensión". Compáralo con la suma, si defino \( S = \left\{{1,6,8}\right\} \) y hago:
\( \displaystyle\sum_{i\in{S}}^{}1 \)  me dará 3 que es el cardinal del conjunto (me está sumando tantas veces 1 como elementos hay en el conjunto. Este es el enfoque particular de las integrales, según la teoría de la medida. Volvamos un poco para arriba.

4) Si la función que actúa no es la función 1, entonces al deformar el conjunto, este adquiere una dimensión más (la anterior x la nueva variable real). Por lo tanto, puede interpretarse una integral simple como un área, una doble como un volumen... pero unicamente bajo ciertas condiciones. Parece que hay cierta inconsistencia... Para nada, la clave de relacionar las dos cosas nos las da el teorema de fubini. Mira este ejemplo.

Queremos calcular el área de un cuarto de disco de radio unidad. Según lo que se ve en Bachillerato (interpretar las integrales como una suma, que de hecho, es correcto por supuesto) sería:
\(
\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1-x^2}dx =\displaystyle\frac{\pi}{4} \)
El cálculo se hace mediante un cambio de variable -piensa lo que significa gráficamente ese cambio-  supongo que sabrás, pero este no es el objetivo de mi exposición.

Ahora que has aprendido a integrar un poco mejor, te puedes preguntar, cómo es que no calculamos un área con una integral doble. Por supuesto se puede. Hagámoslo. El área del disco es, estarás de acuerdo:
\( \displaystyle\int_{D}^{}dxdy \). ¿No ves? Una integral doble de la función 1, precisamente sobre el disco del cual queremos calcular la medida (ver punto 3).
Vamos a hacer este cálculo de dos maneras distintas, de formas que veas la gracia del asunto:
Usando el teorema del cambio de variable -de nuevo fíjate en lo que estás haciendo gráficamente- :
\( \displaystyle\int_{D}^{}dxdy=\displaystyle\int_{[0,1]\times{[0,\pi/2]}}^{}rdrd\theta \) (no olvides el jacobiano del cambio, si tienes alguna duda pregunta). Ahora, aplicando Fubini:
\( A=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}rdrd\theta = \displaystyle\frac{\pi}{4} \)
Ahora de la otra forma, aplicando directamente Fubini sobre la integral inicial:
\( \displaystyle\int_{D}^{}dxdy=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{1-x^2}}\displaystyle\int_{0}^{1}dydx =\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1-x^2}dx \). ¡Tachán! Simplemente aplicando Fubini hemos llegado a la integral simple que representa el área. El teorema de Fubini te permite reducir integrales de ordenes superiores a integrales simples para luego usar las técnicas más fáciles de cálculo, en otras palabras, es lo que relaciona la "medida" de un conjunto, con la interpretación de esta como descomposición en dos (o las que sean) direcciones de dimensión del conjunto. Es difícil de explicar sin un dibujito, trata de imaginarlo.

5) Las integrales de variable vectorial (¡ojo, variable vectorial! no significa que aparezcan vectores), sólo son una notación que significa integrar por componentes (y a veces es cómoda).

6) Las integrales sobre curvas, sobre superficies, y sobre variedades en general, no son más que las integrales de toda la vida, simplemente que por estar el elemento sobre el que integras "curvado" en el espacio, pues tienes que deshacer esa curvatura, pasarlo a la recta para hacer una integral simple (integrales curvilíneas o sobre trayectorias) o al plano para hacer una integral doble (integrales de superficie o flujos), eso es lo que se hace intuitivamente cuando aparecen los elementos de "aplanamiento" como pueden ser vectores normales, vectores tangentes o productos escalares y vectoriales por dichos elementos. Simplemente estás transformando una integral sobre algo "raro" en algo que tú controlas más, porque todas las direcciones de integración son "perpendiculares y en las diferentes direccones del espacio". Así, si quieres calcular distancias, áreas  volúmenes de cosas curvadas en el espacio, tendrás que pasar primero por un aplanamiento (Cálculo vectorial) y después por el cálculo de una integral simple-doble-triple según quieras calcular una distancia-área-volumen (Cálculo en varias variables). Tienes que tener muy presente que lo que haces para pasar del cálculo vectorial al cálculo en varias variables no es un cambio de variable ni mucho menos, es "allanar el terreno". Aunque no te preocupes, en realidad todo son definiciones de las diferentes integrales sobre variedades que concuerdan con la interpretación en términos de geometría diferencial que se hace de las cosas.

Espero haber sido claro, porque creo que este es un problema muy común y trascendental en la gente que suele estudiar matemáticas y no tiene demasiado tiempo que dedicarle a esto.

Un problema para acabar: Calcula de dos maneras diferentes (con una integral doble y con una triple) el volumen de un cuarto de bola de radio unidad y la superficie del cuarto de la esfera que la engloba.

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Don equis, como dice byron, una nada despreciable rama de las matemáticas se dedica justamente a eso: a estudiar los fenómenos estadísticos mediante métodos probabilísticos (inferencia estadística). Si quieres informarte a grandes líneas sobre lo que son los contrastes de hipótesis, los tests de ajuste (ji cuadrado, principalmente) y el tratamiento de la certeza y la probabilidad (de que un fenómenos siga cierta ley por ejemplo, o de que una distribución esté centrada en un cierto parámetro, tenga a ese parámetro como mediana, media etc) entonces debes buscar cosas sobre inferencia estadística. Los resultados requieren artillería para ser demostrados, pero, el desarrollo, es bastante intuitivo.
Busca en particular sobre el test ji cuadrado de bondad de ajuste.

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Sí, yo que tú me preocuparía de movimientos más adelante, y aunque esa demostración creo que es necesaria, date cuenta que para el caso plano se simplifica enormemente. El eje ya no es eje, sino centro instantáneo de rotación (CIR) y la cosa queda:
\( OR =\displaystyle\frac{v_O}{\omega} \)
Y esto, cinemáticamente, es fácil de resolver, además de que puedes aprovecharte que todos los radios que salgan del CIR serán perpendiculares a las velocidades. Analíticamente, en un sistema de referencia \( (O,\vec{i},\vec{j}) \) de forma que \( \vec{i} \) y \( \vec{j} \) sean paralelo y perpendicular a la velocidad en O respectivamente::
\( x_R = x_O \)
\( \omega(y_R-y_O) = v_O \)

Esto se cumple para todo punto O que escojas del campo de velocidades. lo mejor es escoger uno que sea cómodo.
Evidentemente si \( \vec{v_O} = \vec{0} \) se tiene lo que cabría esperar, O = R.
Puedes divertirte con los casos. Si \( \omega = 0 \), \( R\in{L_\infty} \), (claro, es una traslación) etc.

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¡Por supuesto!
Espero que no se me haya malinterpretado, quizás no fui cuidadoso con las palabras. El idioma nunca es un problema  ;).

¡Espero que te sirvan!

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Por cierto Argentinator, te paso un link a unos pdf de mecánica excelentes (de mi asignatura de mecánica), pero con un problemilla, están en catalán, pero creo que se entienden. Está todo muy progresivo y riguroso.
En "Material Docente":

http://www-fa.upc.es/websfa/fluids/mec_camins/mecanica.html#Material

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A ver unas cuantas cosas.
Me reafirmo en que no hay que mezclar dinámica y cinemática en el sentido de que es lo que me llevó a mi a no entender bien los sistemas dinámicos en primero, y a no saber qué pasaba en este hilo.
Aunque lo uno está ligado a lo otro, son cosas diferentes, y un par, por mucho par que sea, no es un movimiento de rotación.

Para deducir la ecuación del eje central, no uses Steiner, no uses dinámica, usa cinemática, y sólo cinemática del sólido rígido. Si tengo tiempo igual me animo y lo demuestro, pero no es difícil.
Lo que quiero dejar claro es que hay dos cosas, dinámica y cinemática, y que hay que hacer un estudio dinámico en primer lugar, usar las ecuaciones de Newton en segundo lugar, y hacer un estudio cinemático en tercer lugar.

¡Por cierto! Pero si es el Burbano, yo lo tengo y es un libro que merece la pena tener: claro, completo y fácil de seguir. Me lo leí un poco por encima en el verano de antes de entrar a la universidad y me dejó todo mucho más fácil en mi caso.

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