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Mensajes - einstenio16

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Métodos Numéricos / Re: Newton Raphson y Sector Circular
« en: 09 Julio, 2019, 05:38 am »
Gracias Chicos!!!! Son geniales :aplauso: :aplauso:

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Métodos Numéricos / Re: Newton Raphson y Sector Circular
« en: 08 Julio, 2019, 08:02 pm »
Tranquilo... Jajajaja me he dedicado a entender y lograr sacar algo en limpio... Estoy retomando luego de un buen tiempo sin estudiar mates que esto ha sido un poco difícil.

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Métodos Numéricos / Newton Raphson y Sector Circular
« en: 07 Julio, 2019, 05:32 am »
Chicos... Resulta que entre los ejercicios que me entrego el profesor, me salió el siguiente:

El sector \( A(2\theta) \) de un círculo de radio \( r=2 \) y centro \( (0,a) \) se hace rotar respecto al eje \( OX \) generando un volumen \( V(2\theta) \). Calcule \( V(\theta) \) para\( \theta\in{[0,\frac{\pi}2}] \). Usando Newton Raphson determinar el ángulo para el cual \( V(\theta) \) es igual a la mitad del volumen del toro.

Prometo que llevo más de 5 días intentando... Lo que he hecho solo se traduce en tratar de calcular el volumen aplicando integrales pero en sí no sé plantear el problema. Siempre he ocupado Newton Raphson con polinomios pero en este caso no lo sé. Ayuda por favor.


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Disculpen la demora enorme... pero la verdad este semestre que pasó fue uno de los más difíciles que he tenido... entre tanto estudio y ajetreo, vuelvo a retomar el curso.

Continuando, podemos decir sin sentimiento de culpa que:

\( \sin(\alpha)=2\sin(\dfrac{\alpha}2)\cos(\dfrac{\alpha}2)=2\sqrt{\dfrac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{b^2c^2}} \)

Por lo que \( \sin \alpha =\dfrac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)

Pero el área de un triángulo viene dado por \( A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (la famosa y conocidísima fórmula de Herón), por lo que:

\( A=\dfrac{bc\sin \alpha}{2} \)

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De oposición y olimpíadas / Problema de bases
« en: 07 Abril, 2013, 06:03 am »
Un número se llama sonriente si la suma de sus dígitos en una base k arbitraria equivale al doble de la suma de sus dígitos en base 10. Se pide lo siguiente:

  • ¿Un número sonriente puede ser capicúa? Si es así, de al menos dos ejemplos
  • ¿Cuántos números sonrientes existen desde 1200 a 2200?
  • ¿Si yo sumo dos números sonrientes el resultado también será sonriente? ¿Y si los multiplico?[\li]

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Cálculo 1 variable / Re: Ayuda con volumenes por favor
« en: 29 Enero, 2013, 12:42 am »
Primero saber que el volumen del cuerpo de revolución en cuestión al girar alrededor del eje de las abscisas es:

\( V=\pi \displaystyle\int_{0}^1 \frac{1}{x+1}dx \)

Ahora, la antiderivada de \( \dfrac{1}{x+1} \) es \( \ln \left |{x+1}\right | \), por lo que \( V= \pi \left(\ln 2 - \ln 1 \right)= \pi \ln 2 \)

Saludos!

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I. EL TRIÁNGULO GENERAL Y LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Muy bien, luego de meses de estudio he podido volver para dictar el curso. Lamento lo sucedido con mi ausencia, pero espero que me entiendan.

Sea un triángulo \( ABC \).

Se cumplirá:

A) Teorema del Seno: \( \displaystyle \frac{\sin \alpha }{a}=\frac{\sin \beta }{b}=\frac{\sin \gamma }{c} \)

B) Teorema del Coseno:

\( a^2=b^2+c^2-2bc \cos \alpha  \)
\( b^2=a^2+c^2-2ac \cos \beta \)
\( c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma \)

De la igualdad \( \cos \alpha =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \) y de \(  2 \sin ^2 \left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=1-\cos \alpha  \) se tiene:

\( 1-\cos \alpha =1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{a^2-\left(b+c \right)^2}{2bc}=\dfrac{\left(a+b-c \right)\left(a-b+c \right)}{2bc} \)

Definición 1.29: Se define el semiperímetro de un triángulo de lados \( a \), \( b \) y \( c \) como:

\( s=\dfrac{a+b+c}{2} \)

Entonces: \( 2 \sin ^2\left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=\dfrac{\left(a+b+c-2c \right)\left(a+b+c-2b \right)}{2bc}=\dfrac{4\left(s-c \right)\left(s-b \right)}{2bc} \)

Por lo tanto: \( \sin \left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=\sqrt{\dfrac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{bc}} \)

De esto se extiende que: \( \cos \left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=\sqrt{\dfrac{s\left(s-a \right)}{bc}} \)

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GUÍA Nº 2 -  TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

P1. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

  • \( \tan 2x=\sin 4x \)
  • \( \cos 3x + \sin 3x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
  • \( \sec \left(x^2+\dfrac{\pi}{2} \right)=\tan 3x  \)
  • \( \csc x \sec x \cos ^2 x + \tan x=\cotg x  \)
  • \( \arccos \left(x-1 \right)- \arccos x= \pi \)
  • \( 2\arctan \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)=\arctan x \)
  • \( 2\cos ^2x + \sin ^2x = \tg x + \cotg x \)
  • \( \cot \left(\dfrac{\dfrac{x+\pi}{3}-1}{x-\dfrac{\pi}{2}} \right)=\cos ^2 x - 1 \)

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Ejercicio 1.28: Resuelva la ecuación \( \arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)=\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \)

\( \arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)=\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right)\\
\Rightarrow \arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)- \arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right)=0\\
\Rightarrow \tan \left(\arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)- \arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)=0\\
\Rightarrow \dfrac{\tan \left(\arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)-\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)}{1-\tan \left(\arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right) \right)\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)}}=0  \)
\( \Rightarrow \dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}-\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)}{1-\dfrac{x+1}{x-1}\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)} \)

Sea \( u=\displaystyle\frac{x+1}{x-1} \), entonces:

\( \dfrac{u-\dfrac{3}{4}}{1-\dfrac{3}{4}u}=0\Rightarrow \dfrac{4u-3}{4-3u}=0
 \)

Imponemos que \( u\neq{\displaystyle\frac{4}{3}} \), entonces nos queda:

\( \dfrac{4u-3}{4-3u}=0\Longrightarrow{4u-3=0\Longrightarrow{u=\displaystyle\frac{3}{4}}} \)

Esto implica que \( \displaystyle\frac{x+1}{x-1} =\displaystyle\frac{3}{4} \)

\( \Rightarrow{4\left(x+1 \right)=3\left(x-1 \right)\Rightarrow 4x+4=3x-3\Rightarrow x=-7} \)

¿Será este la única solución o habrá otra? si hay otra solución trate de encontrarla.


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Algunas expresiones que ayudarán a hacer ecuaciones con trigonométricas inversas:

\( \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \)

\( \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} \)

\( \tg(\arcsin x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( \tg(\arccos x)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-x^2}}{x} \)

\( \sin(\arctg x)= \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

\( \cos(\arctg x)= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)

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H. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Si se dieron cuenta ocupamos indistintamente en las ecuaciones trigonométricas las funciones "arco" o trigonométricas inversas, pero sin definirlas.

Definición 1.25: Sea \( y= \sin x \), se define la función arcoseno de x como:
 
\( \begin{matrix}
f :&\left[-1,1 \right] &\rightarrow   &  \mathbb{R} \\
 &x  & \rightarrow  & \arcsin x &
\end{matrix}  \)

Es decir \( y= \sin x \Leftrightarrow x= \arcsin y \).

Definición 1.26: Sea \( y= \cos x \), se define la función arcocoseno de x como:
 
\( \begin{matrix}
f :&\left[-1,1 \right] &\rightarrow   &  \mathbb{R} \\
 &x  & \rightarrow  & \arccos x &
\end{matrix}  \)

Es decir \( y= \cos x \Leftrightarrow x= \arccos y \).

Definición 1.27: Sea \( y= \tg x \), se define la función arcotangente de x como:
 
\( \begin{matrix}
f :&\mathbb{R} &\rightarrow   &  \mathbb{R}-\left\{{\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{2}}; k\in{\mathbb{Z}}\right\} \\
 &x  & \rightarrow  & \arctg x &
\end{matrix}  \)

Es decir \( y= \tg x \Leftrightarrow x= \arctg y \).

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Ejemplo 1.24: Resolver \( \left(1+\tg x \right)\left(\sin x + \cos x \right)^2=1+\tg x \)

\( \left(1+\tg x \right)\left(\sin x + \cos x \right)^2=1+\tg x\\
\Rightarrow \left(1+\tg x \right)\left(1+2\sin x \cos x \right)=1+\tg x\\
\Rightarrow \left(1+\dfrac{\sin x}{\cos x} \right)\left(1+2\sin x \cos x \right)=1+\dfrac{\sin x}{\cos x}\\
\Rightarrow 1+2\sin x \cos x+ \dfrac{\sin x}{\cos x}+ 2 \sin ^2 x=1+\dfrac{\sin x}{\cos x}\\
\Rightarrow 2\sin x \cos x+  2 \sin ^2 x=0\\
\Rightarrow 2\sin x \left(\sin x + \cos x \right)=0\\
\Rightarrow \sin x =0 \vee \sin x + \cos x=0\\ \)

Para la segunda ecuación, ocupamos el análisis hecho en el ejemplo 1.22, donde \( a=1, b=1, c=0 \)

\( \sin x + \cos x=0 \Leftrightarrow \left(1^2 + 1^2\right)\cos ^2x + 2\cdot 1\cdot 0 \cos x -1^2+0^2=0\\
\Rightarrow 2\cos ^2 x-1=0\\
\Rightarrow \cos 2x = 0\\
\Rightarrow 2x= \arccos 0\\
\Rightarrow 2x=\dfrac{\pi }{2}\\
\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\\
 \)
Entonces \( S=\left\{{k \pi; \pm  \dfrac{\pi}{4}+2k\pi}\right\} \)

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Ejemplo 1.23:Resolver \( \tg x + \cotg x =5 \)

\( \tg x + \cotg x =5\\
\Rightarrow \tg x + \dfrac{1}{\tg x}  =5\\
\Rightarrow \tg ^2 x + 1 =5 \tg x\\
\Rightarrow \tg ^2 x - 5 \tg x+ 1 =0\\
 \)

Es una cuadrática en tangente, por lo tanto:

\( \tg x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-4}}{2}=\dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \)

Luego

\( x=\arctg \left(\frac{5+\sqrt{21}}{2} \right) \vee x=\arctg \left(\frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)\\
\Rightarrow x=78,21º \vee x=11,79º \)

\( S=\left\{{11,79º+k\pi; 78,21º+k\pi}\right\} \)

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Cálculo 1 variable / Integral de Riemann
« en: 31 Octubre, 2012, 05:01 am »
Expresar el límite de las siguientes sumas como una integral defi nida:

A) \( \displaystyle\lim_{\left |{P}\right | \to 0}{\sum_{i=1}^n{(x_i^2-x_{i-1}^2)}} \), \( \mathbb{P} \) partición de \( [-4,12] \)

B) \( \displaystyle\lim_{\left |{P}\right | \to 0}{\sum_{i=1}^n{\frac{2x_i}{1+x_i}(x_i-x_{i-1})}} \), \( \mathbb{P} \) partición de \( [0,\sqrt{2}] \)

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Obvio! eres muy bienvenido!

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Ejemplo 1.22 Analice las soluciones de la ecuación \( a \sin x + b \cos x =c \)

\( a \sin x + b \cos x =c \)

\( \Rightarrow{a \sin x=c-b \cos x} \)

\( \Rightarrow{a^2 \sin ^2 x=c^2 - 2bc \cosx +b^2 \cos ^2 x} \)

\( \Rightarrow{a^2 (1 - \cos ^2 x)=c^2 - 2bc \cosx +b^2 \cos ^2 x} \)

\( \Rightarrow{(a^2 + b^2) cos^2 x -2bc \cos x - a^2 + c^2=0} \)

Se forma una cuadrática, por lo que la ecuación tendrá solución real ssi \( \Delta \geq{} 0 \)(discriminante)

Entonces: \( \Delta = 4b^2 c^2 - 4(a^2 +b^2)(a^2 - c^2) \geq{0} \)

Nos queda finalmente que \( 4a^2 (a^2+b^2 - c^2)\geq{0} \), por lo tanto, la ecuación tiene solución sin \( c^2\leq{a^2 + b^2} \)

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Ejemplo 1.21: Resolver la ecuación \( (2 \sin x - 1)(2 \cos x +3)=0 \)

\( (2 \sin x - 1)(2 \cos x +3)=0 \)

\( 2 \sin x - 1=0 \vee 2 \cos x +3=0 \)

\( \sin x=\displaystyle\dfrac{1}{2} \vee  \cos x = \displaystyle\dfrac{-3}{2} \)

\( x=(-1)^k \cdot \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee \emptyset \)

\( x=(-1)^k \cdot \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k \pi \)

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gracias, me encanta demasiado el tema, asi que lo hago con agrado

saludos!

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G. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sea \( y_0 \in \mathbb{R} \) con \( \left |{y_0}\right |\leq{1} \)

A) La ecuación \( y_0=\sin x \) posee una solución \( x_0 \in [-\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}] \). Pero recordar que \( \sin (\pi - x)=\sin x \), por lo que \( \pi - x_0 \) es una solución distinta. En resumen, si C.S. es el conjunto solución de la ecuación:

\( \[C.S. = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} + 2k\pi }&{k \in \mathbb{Z}}\\
{\left( {\pi  - {x_0}} \right) + 2k\pi }&{k \in Z}
\end{array}} \right.\] \)

Esta solución se reescribe \( \[C.S. = {\left( { - 1} \right)^k}{x_0} + k\pi \] \)

B) La ecuación \( y_0=\cos x \) posee una solución \( \[{x_0} \in \left[ {0,\pi } \right]\] \), pero la paridad del seno me dice que \( \cos x = \cos (-x) \), por lo que \( -x_0  \) es otra solución distinta. En resumen, si C.S. es el conjunto solución de la ecuación:

\( \[C.S. = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} + 2k\pi }&{k \in \mathbb{Z}}\\
{\left( {- {x_0}} \right) + 2k\pi }&{k \in Z}
\end{array}} \right.\] \)

Esta solución se reescribe \( C.S.=\pm x_0 + 2k \pi \)

C) La ecuación \( y_0=\tg x \) posee una única solución \( x_0 \in [-\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}] \).

\( C.S.=\left\{{x_0 +k \pi : k \in \mathbb{Z}}\right\} \)

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