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Mensajes - jbgg

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Foro general / Re: Numerabilidad
« en: 07 Mayo, 2019, 01:42 pm »
No, que el cardinal es \( 2^{\aleph_0} \) es verdad en ZFC. Si asumes la hipótesis del continuo, lo que tienes además es que \( 2^{\aleph_0} = \aleph_1 \).

Llevas razón, me he colado.

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Foro general / Re: Numerabilidad
« en: 07 Mayo, 2019, 01:27 pm »

Esta muy bien la demostración. Fíjate que en realidad pruebas que el cardinal del conjunto de biyecciones es al menos el de \( [0,1] \setminus \Bbb Q \), que es \( 2^{\aleph_0} \). Combinando esto con lo que puse antes se ve que el cardinal es exactamente \( 2^{\aleph_0} \). [...]


Bueno, yo solamente he dado lo que dice en la pregunta, viendo que en algún caso la respuesta no es afirmativa, esto es, el conjunto de las biyecciones entre dos numerables no es en general numerable.

Lo que comentas es cierto con la hipótesis del continuo, lo cual no sabemos si la persona que lo pregunta la está suponiendo o no.

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Foro general / Re: Numerabilidad
« en: 07 Mayo, 2019, 12:49 pm »
En realidad, ahora que lo pienso, también se puede hacer por un argumento similar al de la diagonal de Cantor. Lo único que hay construir la matriz adecuadamente. Me pongo a ello, ya que me acabo de dar cuenta.

Por contradicción supongamos que el conjunto \( A=\{\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} : \sigma\text{ es una permutación}\} \) es numerable, entonces numerémoslo como

\( A=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_k,\ldots\}. \)

Construimos la siguiente matriz

\( \begin{pmatrix} \sigma_1(1) & \sigma_2(1) & \cdots\\ \sigma_1(2) & \sigma_2(2) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}, \)

y cada entrada la modificamos poniendo el valor \( 0 \) si es par y el valor \( 1 \) si es impar, esto es queda la matriz

\( M = \begin{pmatrix} \phi(\sigma_1(1)) & \phi(\sigma_2(1)) & \cdots\\ \phi(\sigma_1(2)) & \phi(\sigma_2(2)) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}, \)

donde \( \phi(n) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ si } n \text{ es par,}\\ 1 & \text{ si } n \text{ es impar.}\\\end{array}\right. \)

Si aplicamos el argumento de diagonal de Cantor a la matriz \( M \), esto es quedarnos con la diagonal \( (\phi(\sigma_1(1)),\phi(\sigma_2(2)),\ldots) \) y cambiarle el valor, si es cero lo transformamos en 1 y si es 1 se transforma en 0, esto es consideramos el elemento \( v=(\overline{\phi(\sigma_1(1))},\overline{\phi(\sigma_2(2))},\ldots) \), donde \( \overline{0} = 1 \) y \( \overline{1}=0 \). Se verifica que \( v \) no puede ser ninguna columna de la matriz \( M \), pero esto contradice que no esté dicha combinación (¿esto se podría demostrar? Creo que no es inmediato...).

Perdón, pensé que funcionaría la idea, pero ahora que lo escribo me es difícil argumentar de que el elemento \( v \) deba ser una combinación válida (¿quién quita que no sea todo cero y por tanto no debería de estar en \( M \)?). El problema es que son biyecciones, con funciones en general el argumento sí es válido, pero al ser biyecciones no es inmediato (y de hecho no estoy seguro de que funciones) el argumento.

Pido disculpas por no completarlo, pensaba borrar este mensaje, pero por si acaso a alguien se le ocurre alguna forma de arreglarlo pues aquí lo dejo.



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Foro general / Re: Numerabilidad
« en: 07 Mayo, 2019, 12:03 pm »
Defino \( A \) como el conjunto de todas las biyecciones entre \( \mathbb{N} \), esto es \( A=\{\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}:\sigma\text{ es biyección}\} \).

Una forma de verlo es definiendo una función inyectiva de un conjunto no numerable en \( A \). Por ejemplo la que defino a continuación.

Voy a asociar a cada número \( x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q} \) una biyección \( \sigma_x\in A \). Esta asociación se puede llevar a cabo de la siguiente manera, considero la expresión de \( x\in [0,1]\setminus\mathbb{Q} \) en su expresión binaria como \( x = \sum_{k=1}^\infty x_k 2^{-k} \), y los conjuntos \( X_0 = \{k: x_k = 0\} \) y \( X_1=\{k : x_k = 1\} \), se verifica que \( X_0 \) y \( X_1 \) son conjuntos infinitos (esto es porque si no lo fueran entonces \( x \) sería racional) y además \( X_0\cup X_1 = \mathbb{N} \).

Defino \( \sigma_x(1) = \min X_1 \), y \( \sigma_x(2p+1) = \min X_1\setminus\{\sigma_x(1),\ldots,\sigma_x(2p-2)\} \), para \( p\geq1 \). Para los pares definimos \( \sigma_x(2) = \min X_0 \), y \( \sigma_x(2p) = \min X_0\setminus\{\sigma_x(2),\ldots,\sigma_x(2p-1)\} \), para \( p\geq2 \).

Definimos la función \( f:[0,1]\setminus\mathbb{Q}\rightarrow A \) por \( f(x) = \sigma_x \), donde \( \sigma_x \) está dada anteriormente. Se verifica que \( f \) es inyectiva y por tanto \( A \) es no numerable porque \( [0,1]\setminus\mathbb{Q} \) no es numerable.

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Ya que los elementos de \( \ell_\infty \) tienen coordenadas (reales o complejas), para la definición de un operador \( S:X\rightarrow\ell_\infty \) basta definirlo por coordenadas. Usando esta idea y que la norma en \( \ell_\infty \) es la norma infinito, puedes llegar a definir el operador \( S \) aplicando un teorema (bastante) conocido.

No voy a dar más pistas, pero si necesitas que lo detalle más me comentas.

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De oposición y olimpíadas / Re: Positive integer triplets
« en: 03 Mayo, 2019, 02:10 am »
Sorry, I made a mistake. I have just check it since I thought very fast.

Now I can confirm the solution is correct if the following is changed.

[...]

\(  |C_{12}| = |C_{13}| = |C_{23}| = \left\{\begin{array}{ll} n/2-2 & \text{ if } n\equiv 0 \pmod{2} \text{ and }n\equiv 0 \pmod{3},\\ n/2-1 & \text{ if } n\equiv 0 \pmod{2} \text{ and }n\not\equiv 0 \pmod{3},\\  (n-1)/2-1 & \text{ if } n\not\equiv 0 \pmod{2} \text{ and }n\equiv 0 \pmod{3},\\  (n-1)/2 & \text{ if } n\not\equiv 0 \pmod{2} \text{ and }n\not\equiv 0 \pmod{3},\\ \end{array}\right. \)

[...]

Sorry for the inconvenience.

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De oposición y olimpíadas / Re: Positive integer triplets
« en: 02 Mayo, 2019, 05:43 pm »
Thanks Jbgg. but how can i write ordered triplets \( (x,y,z) \) in \( n \) form.

Sorry, I don't get your question.

In order to solve the problem (number of triples) it must be calculated the number of elements of set \( A \) as defined in
We consider the following sets

\(  A =\{ (x,y,z) : 0<x<y<z\ \text{ and }\ x+y+z=n\} \)

[...]

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De oposición y olimpíadas / Re: Positive integer triplets
« en: 02 Mayo, 2019, 04:21 pm »
We consider the following sets

\(  A =\{ (x,y,z) : 0<x<y<z\ \text{ and }\ x+y+z=n\} \)

and

\(  B =\{ (x,y,z) : 0<x,y,z\ \text{ and }\ x\neq y\neq z\neq x\ \text{ and }\ x+y+z=n\}. \)

There is a relation between cardinals of both sets, which is

\( |B| = 3!\;|A|. \)

So we reduce the problem to count the number of element of set \( B \). In order to calculate the cardinal of \( B \), we decompose the set as

\( B = C \setminus (C_{12}\cup C_{13}\cup C_{23}\cup C_{123}), \)

where

\(  C = \{ (x,y,z) : 0<x,y,z\ \text{ and }\ x+y+z=n\}, \)

\(  C_{12} = \{ (x,y,z) : 0<x,y,z\ \text{ and }\ x=y\neq z\ \text{ and }\ x+y+z=n\}, \)

\(  C_{13} = \{ (x,y,z) : 0<x,y,z\ \text{ and }\ x=z\neq y\ \text{ and }\ x+y+z=n\}, \)

\(  C_{23} = \{ (x,y,z) : 0<x,y,z\ \text{ and }\ y=z\neq x\ \text{ and }\ x+y+z=n\}, \)

and

\(  C_{123} = \{ (x,y,z) : 0<x=y=z\ \text{ and }\ x+y+z=n\}. \)

We note that \(  C_{12},C_{13},C_{23},C_{123}\subset C \) and the sets \( C_{12},C_{13},C_{23},C_{123} \) are pairwise disjoint sets.

It turns out that \( |B| = |C| - |C_{12}| - |C_{13}| - |C_{23}| - |C_{123}| \).

We have to count the cardinal of \( B, C_{12},C_{13},C_{23} \) and \( C_{123} \).

It is easy (if not you can ask) to see that \( |C| = \binom{n-1}{2} \),

\(  |C_{12}| = |C_{13}| = |C_{23}| = \left\{\begin{array}{ll} k-1 & \text{ if } n\equiv 0 \pmod{2},\\ k & \text{ if } n\not\equiv 0 \pmod{2},\\\end{array}\right. \)

and


\(  |C_{123}| = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{ if } n\equiv 0 \pmod{3},\\0 & \text{ if } n\not\equiv 0 \pmod{3},\\\end{array}\right. \)

where \(  n = 2k + r \) with \( r=0,1 \).

Please, check my arguments in case I made a mistake.

NOTE: \( |C_{12}| \) is incorrect, see the answer #4.

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Exacto, hay que maximizarlo. O sea buscar el parámetro que hace que dicha muestra tendría máxima probabilidad de salir.

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En realidad mi solución anterior no está correcta, más bien se me han olvidado soluciones.

\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \).

Debería ser

\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y) + C(y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \) y \( C \) es una función arbitraria de la variable \( y \).

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Pues habrá que definir la función de máxima verosimilitud para dicha muestra, que no es más que la probabilidad de que saliera dicha muestra para un parámetro \( \theta \). La función de máxima verosimilitud será

\( \mathcal{L}(\theta) = f(x_1)\cdots f(x_n) = \frac{2x_1}{\theta^2}e^{-\frac{x_1^2}{\theta^2}}\cdots\frac{2x_n}{\theta^2}e^{-\frac{x_n^2}{\theta^2}} \)

para \( \theta \) un parámetro (supongo que el parámetro toma valores en todo \( \mathbb{R} \)).

Ahora habrá que buscar el mínimo de la función de máxima verosimilitud \( \mathcal{L}(\theta) \), o sea, el parámetro que minimiza el valor de la probabilidad de que se diera dicha muestra.

¿Hasta aquí lo sabías? ¿La duda es minimizando?

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Lo único que se me ocurre es considerar una nueva variable \( w=u+v \), y sacar las condiciones para \( w \), ya que la ecuación es equivalente, en este caso, a \( w_x(x,y) = f(x,y) \). En este caso se resuelve fácilmente.

Si por ejemplo se tuviera condiciones de contorno en \( w(0,y) \) para \( y \) en el dominio (esto sería equivalente a saber cuánto vale \( u+v \)), entonces se podría resolver por
\( \int_0^x w_x(t,y)\,\mathrm{d}t = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t, \)
y por tanto
\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \).

Nótese que se podría resolver si más generalmente se conoce \( u+v \) en una recta \( y=ax+b \) con \( a\neq0 \).

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Igualmente trataré de demostrarlo mediante la definición de límite a modo de reto, pues en ingeniería no es que abunden las definiciones formales... x'D.

A modo de pista, puede que te resulte útil la siguiente desigualdad
\( |x|\leq \sqrt{x^2+y^2} \)

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Otra opción de parametrización para esa parte es en polares como decías, usando la variable \( u \) como el ángulo y la variable \( v \) como la distancia (radial) del borde al punto (valdría 0 en el borde y positivo conforme se va adentrando).

Aunque la opción de polares no creo que convenga en las otras partes.

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Efectivamente, el conjunto \( \{(x,y):y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \) es abierto en la variedad con la topología relativa.

Por ejemplo para ese abierto, en la imagen te sugiero unos posibles parámetros para la parametrización. Ahora tienes que buscar el dominio de la parametrización y la expresión. Si tienes dudas puedes consultarlo y te ayudo. Espero que esto te sirva.


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Como sabrás, para una variedad sin borde la parametrización está dada de un abierto de \( \mathbb{R}^n \) a un abierto de la variedad, pero para una variedad con borde se da una parametrización se da de un abierto de \( H=\{(x_1,\ldots,x_n):x_n\geq0\} \) a un abierto de la variedad. En este caso la dimensión de la variedad es 2, por tanto \( H=\{(x_1,x_2):x_2\geq0\} \).

Para parametrizar, deberás cubrir con abiertos la variedad y dar parametrizaciones para estos abiertos. Por ejemplo, el conjunto \( \{(x,y): y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \) es un abierto de la variedad, ¿sabrías dar una parametrización definida en un abierto de \( H=\{(u,v):v\geq0\} \) (he cambiado las variables para no liar las variables de la parametrización) que tenga como imagen el conjunto \( \{(x,y): y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \)?

Por cierto, supongo que estás hablando de variedades topológicas porque esa variedad no es una variedad diferenciable (en el sentido de subvariedad diferenciable de \( \mathbb{R}^2 \), observa que el punto \( (0,1) \) no "tiene tangente").

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Mira que busqué en google pero no lo hice demasiado bien.

¡Muchas gracias!

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Hola,

sé que existe ejemplo de espacios no isomorfos con duales isomorfos, pero ahora mismo no recuerdo cuales pueden ser. No necesito demostración ni nada más que decir qué espacios son. Muchas gracias.

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Álgebra / Re: Encuentra una matriz
« en: 29 Junio, 2015, 07:43 pm »
Hola,

supongo que \( S(3) \) es definido cómo el espacio vectorial asociado a un autovalor. Si es así con esos datos puedes construir la matriz de paso y la diagonal, lo cual es suficiente para construir la matriz \( A \). ¿Estás de acuerdo conmigo? Si no entiendes algo lo puedes preguntar.

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Matemáticas Generales / Re: Determinar extremo y familia de cubos
« en: 28 Junio, 2015, 10:36 pm »
Parece que está bien los cálculos, espero que te haya servido.

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