Ya pude resolver el a)   

Espero puedan darme alguna sugerencia para b) y c) ; sobretodo para c)

Demostrar que la traza de la curva

a) \( \alpha (t)=(\displaystyle\frac{2t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t^3}{1+t^3}), t\in{\mathbb{R}} \) es la cisoide de Diocles.

b) El origen no es punto regular de \( \alpha (t) \)

c) Si \( t\longrightarrow{\infty} \), tanto \( \alpha (t) \) como \( \alpha^{\prime}(t) \) se aproximan al vector (0,2)

Hola Jabato!
Muchas gracias, tienes razón.

Lo que he intentado hacer es: la ecuación que me das la reescribo de la forma \( ma=-mg+kv^2 \)
De ahi tenemos que la acuación del movimiento se puede escribir como:
\( \displaystyle\frac{dv}{dt}=-g+\displaystyle\frac{k}{m}v^2 \)

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v en cualquier instante t.

\( \displaystyle\int_{v_0}^{v}\displaystyle\frac{dv}{-g+\displaystyle\frac{k}{m}}v^2=\displaystyle\int_{t_0}^{t}dt \)

¿Es eso correcto?

La parte donde debo hacer que \( t\longrightarrow{\infty} \) no me queda muy clara

En realidad lo que hice fue construir un paracaídas y quiero determinar su velocidad terminal. Pero la velocidad terminal la encontré utilizando la fórmula  \( V_l=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{mg}{k}}  \)

Los únicos datos que conocemos del paracaídas son: la altura de la cual fue lanzado, las masas utilizadas y el tiempo del recorrido.

De la manera como calculé la velocidad terminal no necesité el tiempo que medimos,solo la masa , asi que ahora ya no se en que o como debo utilizar el tiempo que medí. ¿Quizás haciendo una gráfica de la velocidad terminal respecto del tiempo?

El objetivo principal es determinar que la fuerza de arrastre depende de la velocidad.

Espero puedan orientarme acerca de los cálculos que hice     

HOla!

Perdón por omitir los acentos, pero mi teclado está desconfigurado y no puedo agregar signos de puntuación   

Corregido

Como se podrian reoslver las ecuaciones

\( f^{\prime\prime}(x)=-k^2f(x), \forall{x\in{\mathbb{R}}} \)

\( f^{\prime\prime}(x)=k^2f(x), \forall{x\in{\mathbb{R}}} \)


con ecuaciones diferenciales   

Es correcto si lo definimos de la siguiente manera:

\( d(c,(x,f(x))) \)
Por el teorema de Rolle:

\( d(c,(x_p,f(x_p))=d(c,(x_r,f(x_r))=d(c,f(x_q,f(x_q)) \)

Y de ahi encontramos que los 2 primeros son puntos criticos.

Gracias el_manco

Los unicos resultados que he visto es el teorema fundamental del cálculo en si; no hemos visto ninguna aplicación.
Tampoco he llevado ecuaciones diferenciales 

Sea \( R(x) \)la función

\( R(x)=\begin{Bmatrix} 1-\displaystyle\frac{1}{q} & \mbox{ si }& x=\displaystyle\frac{p}{q},(p,q)=1\\0 & \mbox{si}& En otros casos\end{matrix} \)

a) Sea \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}Rdx \), ¿es F(x) una función continua?
¿se puede decir que F(x) es antiderivada de R(x)?   

Si F(x) no es primitiva, ¿Existe una función G(x) derivable tal que G'(x)=R(x)?