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Cálculo 1 variable / Integral curvilínea
« en: 22 Febrero, 2010, 02:57 pm »
Sea

Sea \( \vec{F} \) un campo vectorial que presenta una discontinuidad en el punto \( (0,0) \). Calcular \( \displaystyle\oint_{C}^{} \vec{F} \cdot{} d\vec{r} \) para:

1) una curva \( C \) que contiene al origen. Rta: \( 2 \pi \)
2) una curva \( C \) que NO contiene al origen. Rta: 0

Supongo que el problema está orientado a aplicar el teorema de Green en el apartado b) y resolver por algún otro método (parametrizando la curva) en el apartado a).

Quisiera su opinión.

Gracias, saludos :)

2
Temas de Física / Momento de torsión sobre una espira de corriente
« en: 07 Febrero, 2010, 09:58 pm »
Hola.

La espira rectangular de alambre de la figura tiene una masa de \( m=0,19g \) por centímetro de longitud y está fija en el lado ubicado sobre el eje \( z \) a un eje de rotación sin fricción. La corriente en el cable es \( I=6,8A \) en la dirección mostrada. Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético paralelo al eje y que ocasionará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30º con el plano \( yz \).



Para que esté en reposo tengo que exigir:

  • \( \displaystyle\sum_{i}{\bar{F_i} = \bar{0}} \Longrightarrow{} \bar{a} = \bar{0} \) (aceleración lineal nula, para que no se desplace)
  • \( \displaystyle\sum_{i}{\bar{M_i} = \bar{0}} \Longrightarrow{} \bar{\alpha} = \bar{0} \) (aceleración angular nula, para que no rote)

pero cuando planteo estas ecuaciones el peso de la espira (componente sobre el eje \( y \)) no se me compensa con ninguna otra fuerza. Distinto sería si el campo tendría componente únicamente paralela al eje \( x \), pero no es así. No quiero abusar, pero me gustaría que me ayudasen a resolverlo, porque realmente no pude.

Gracias de antemano, saludos :)

3
Temas de Física / Desviación de un haz de electrones
« en: 05 Febrero, 2010, 02:49 pm »
En el cañón de electrones de un tubo de imagen de TV los electrones son acelerador po un voltaje \( V=7500V \). Después de salir del cañón, el haz de electrones recorre 0,40m hacia la pantalla; en esta región existe un campo magnético transversal de \( 5 \times 10^3 T \) de magnitud (comparable con el campo terrestre) y no hay campo eléctrico. Calcule la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético. ¿Es significativa? Rta: 13,7mm.

Sinceramente, no tengo ni idea cómo calcular la desviación. ¿Hay alguna fórmula?

Gracias de antemano, saludos ;)

4
Temas de Física / Fuerza magnética por unidad de longitud
« en: 04 Febrero, 2010, 04:53 am »
Hola.



Tres cables paralelos tienen cada uno una corriente \( I \) en la dirección que se muestra en la figura. Si la separación entre cables adyacentes es \( d \), calcule la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta por unidad de longitud de cada cable.

Tengo que calcular \( \displaystyle\frac{F}{L} \) sobre cada cable. Si llamamos "cable 1" al cable superior, "cable 2" al cable del medio y "cable 3" al cable inferior, tenemos:

\( F/L_{cable \; 1} = \displaystyle\frac{\mu_0}{2 \pi} (- \displaystyle\frac{I^2}{d} + \displaystyle\frac{I^2}{2d}) = - \displaystyle\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi d} \)

Pero el resultado correcto es:

     > módulo: \( F/L_{cable \; 1} = \displaystyle\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi d} \)
     > dirección y sentido: "hacia arriba"

La pregunta es, ¿estamos diciendo lo mismo con otras palabras, o mi respuesta es incorrecta?

Gracias, saludos.

5
Temas de Física / Campo magnético
« en: 04 Febrero, 2010, 04:40 am »
Hola.

Calcule la magnitud del campo magnético en el punto P de la figura en términos de \( R \), \( i_1 \) e \( i_2 \).



Para una espira circular de radio \( R \) con corriente \( i \) en un punto de su eje a una distancia \( x \) de su centro se tiene: \( B = \displaystyle\frac{\mu_0 * i * R^2}{2(x^2+R^2)^{3/2}} \)

Si consideramos el punto P en el centro de la bobina (esto es: \( x=0 \)) la expresión se reduce a: \( B = \displaystyle\frac{\mu_0 * i}{2R} \), resultado que no coincide con el del libro, que es: \( B = \displaystyle\frac{\mu_0 * |i_1 - i_2|}{4R} \).

Quisiera que me expliquen qué estoy haciendo mal. Gracias de antemano, saludos :)

6
Temas de Física / Teclados de computadoras (capacitancia)
« en: 01 Febrero, 2010, 09:55 pm »
Hola.

En cierto tipo de teclado de computadora, cada tecla está conectada a una pequeña placa de metal que sirve como una de las placas de un capacitor de aire de placas paralelas. Cuando se presiona una tecla, la separación entre las placas disminuye y aumenta la capacitancia. Se utiliza un circuito electrónico para detectar el cambio de capacitancia y determinar qué tecla se presionó. En un teclado determinado el área de cada placa metálica es \( A=49mm^2^ \) y la separación entre las placas es \( d_1=0,6mm \) antes de que se presione la tecla. Si el circuito puede detectar un cambio de capacitancia \( \Delta C = 0,3pF \), ¿cuánto debe presionarse la tecla antes de que el circuito detecte la presión?

Lo encaré así:

\( \Delta C = \epsilon_0 \epsilon_r \displaystyle\frac{A}{\Delta d} \)

Y llego a que: \( d_2 = 2,0455 mm \). Por lo tanto el resultado sería: \( \Delta d = 1,4455 mm \). Pero el resultado del libro es: 0,176mm. Estoy haciendo algo mal pero no me doy cuenta qué. ¿Alguna idea?

Gracias, saludos.

7
Temas de Física / Ley de Gauss
« en: 01 Febrero, 2010, 09:34 pm »
Hola. Quisiera que alguien me explique cómo resolver este ejercicio aplicando la Ley de Gauss.

Un conductor con una cavidad interior tiene una carga total de 7nC. La carga dentro de la cavidad, aislada del conductor, es de 5nC. Diga cuánta carga hay:
a) sobre la superficie interior del conductor (rta: -5nC)
b) sobre la superficie exterior del conductor (rta: 12nC)


Gracias de antemano, saludos :)

8
Temas de Física / Campo de ruptura y área mínima
« en: 01 Febrero, 2010, 09:27 pm »
Hola.

Tengo éste problema:

El dieléctrico que se va a utilizar es un capacitor de placas paralelas es una variedad de goma que tiene una constante dieléctrica de \( \epsilon_r = 3,40 \) y un campo de ruptura de \( 2 \times 10^7 V/m \). El capacitor debe tener una capacitancia de \( 1,37 nF \) y debe soportar una diferencia de potencial máxima de 6000 V. ¿Cuál es el área mínima que deben tener las placas?

Mi duda es cómo se relaciona el campo de ruptura / diferencia de potencial máxima con el área mínima.

Gracias, saludos ;)

9
Hola.

Hace un tiempo pregunté, en este hilo, por el libro de Cálculo I de Rabuffetti. Está agotado, por el momento no se vuelve a editar y no lo había encontrado digitalizado hasta hoy.

El libro es este:



Título: Introducción al Análisis Matemático (Cálculo I)
Autora: Hebe T. Rabuffetti
Editorial: El Ateneo

Índice de temas:
- Nociones previas
- Conjuntos de puntos
- Funciones escalares
- Límite funcional
- Continuidad
- Derivada
- Máximos y mínimos
- Fórmula de Taylor
- Sucesiones numéricas
- Series numéricas
- Primitivas
- Integral definida

La calidad no es muy buena pero se entiende lo mismo.

El link de descarga: http://www.megaupload.com/?d=BX4CRWYB

Quizás puedan agregarlo a la sección Libros de la web.

Saludos :)

10
Matemática Aplicada / Muestreo con y sin reemplazamiento
« en: 20 Diciembre, 2009, 11:28 pm »
Hola.

Quisiera saber de dónde sale el factor de corrección para poblaciones finitas.

  • Muestro sin reposición: \( \overline{X} \sim{} N(\mu \; ; \; \displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \)
  • Muestro con reposición: \( \overline{X} \sim{} N(\mu \; ; \; \displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \color{blue} \sqrt{\displaystyle\frac{N-n}{N-1}} \color{black}) \)

donde N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra.

Gracias de antemano, saludos.

11
Matemática Aplicada / Mediana y modo de una variable más una constante
« en: 18 Diciembre, 2009, 02:57 pm »
Hola.

Si una variable es en realidad una variable más una constante, demuestre:
a) cuánto vale la media
b) cuánto vale la mediana
c) cuánto vale el modo
d) cuánto vale el desvío


Eso dice el enunciado, nada más. Supongo que hace referencia a una variable \( Y_i = X_i + c \) donde \( X \) e \( Y \) son variables y \( c \in \mathbb{R} \). Supongo también que conozco la media, mediana y modo de la variable \( X \), que son \( \overline{X} \), \( \widetilde{X} \) y \( Mo_X \), respectivamente.

a) \( \overline{Y} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{Y_i} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i+c)} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i} + \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{c} = \overline{X} + \displaystyle\frac{n \cdot c}{n} = \overline{X} + c \)

b) y c) Supongo que si corremos la distribución \( c \) unidades, el modo y la mediana también se correrán \( c \) unidades, por lo que \( \widetilde{Y} = \widetilde{X} + c \) y \( Mo_Y = Mo_X + c \), pero no sé cómo demostrarlo.

d) \( {\sigma_Y}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(Y_i - \overline{Y})^2} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i + c - \overline{X} - c)^2} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \overline{X})^2} = {\sigma_X}^2 \). Luego \( \sigma_X = \sigma_Y \).

Gracias de antemano, saludos.

12
Cálculo 1 variable / Límite con factoriales
« en: 16 Diciembre, 2009, 05:39 am »
Hola.

Quisiera que me den una mano con este límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n!}{n^x (n-x)!}} \) con \( x \in \mathbb{R} \)

Lo que tengo es:

\( \displaystyle\frac{n!}{n^x (n-x)!} = \displaystyle\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot \cancel{(n-x) \cdot (n-x-1) \cdot (n-x-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{n^x \cdot \cancel{(n-x) \cdot (n-x-1) \cdot (n-x-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \)

\( \displaystyle\frac{n!}{n^x (n-x)!} =  \displaystyle\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-x+1)}{n^x} \)

Pero no sé cómo seguir.

Gracias de antemano. Saludos :)

13
Matemática Aplicada / Interpolación vs. Ajuste
« en: 14 Diciembre, 2009, 02:24 am »
Hola.

¿Me podrían explicar, a grandes rasgos, cuál es la diferencia entre ajuste e interpolación?

Las definiciones que aparecen en Wikipedia son:

Citar
Ajuste (por mínimos cuadrados): [...] dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

Citar
[...] se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

Pero no veo muy bien la diferencia. Según entiendo, cuando ajusto creo una función, y cuando interpolo calculo nuevos puntos a partir de los existentes, pero si ajusto ésto me permite calcular nuevos puntos, lo que me hace pensar que la técnica de interpolación es una aplicación de la técnica de ajuste.

Gracias de antemano, saludos :)

14
Matemática Aplicada / Inferencia estadística
« en: 28 Noviembre, 2009, 03:39 pm »
Hola.

Un biólogo desea verificar los resultados obtenidos por otro científico que indican que la longitud del ala de los insectos tiene en promedio 13,4mm.
a) Formular las hipótesis correspondientes
b) Para verificar tal afirmación, toma una muestra de 40 insectos con la intención de aceptar la hipótesis si la longitud promedio de las alas varían en promedio entre 13,2mm y 13,6mm. De lo contrario la rechazará. Grafique las zonas de aceptación y de rechazo.
c) Analizaremos ahora la posibilidad de que el verdadero valor sea \( \mu=13,6mm \). Superponga el gráfico correspondiente al valor verdadero con el gráfico anterior y calcule la probabilidad de rechazar la hipótesis anterior.


Tengo algunas dudas, agradecería si alguien me da una mano.

a) Planteo la hipótesis nula y la alternativa.

\( H_0) \mu = 13,6mm \)
\( H_A) \mu \neq 13,6mm \)

b) Si \( n \geq 40 \) la distribución (por el teorema central del límite) ya se aproxima bastante bien a una normal. Los datos que tenemos son: \( n=40 \); \( L_i = 13,2mm \) y \( L_s=13,6mm \). Según el enunciado, acepto \( H_0 \) si \( \bar{X} \in [13,2;13,6] \).



  • La zona de aceptación es \( x \in [13,2;13,4] \)
  • La zona de rechazo es \( x \in (-\infty;13,2) \cup{} (13,4;\infty) \)

Mi dudas acá son:
* la variable de la gráfica de la distribución normal, es \( \color{red} \bar{X} \) (media muestral)?
* al conocer \( \color{red} L_i \) y \( \color{red} L_s \), conozco también indirectamente el desvío muestral \( \color{red} \hat{S} = 0,2 \)


3) Ahora conocemos el desvío poblacional: \( \sigma = 0,8 \)

Tengo que calcular la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. Como \( n=40 \) la variable \( \bar{X} \) se ajusta a una distribución normal de media cero y desvio uno, así que, estandarizando la variable tengo:

\( z = \displaystyle\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \displaystyle\frac{\bar{x} - 13,4}{0,8 / \sqrt{40}} \sim N(0,1) \)

y la gráfica quedaría:



Ahora bien, marqué como límites -0,2 y 0,2 (desvío muestral). Están bien, o debería haber marcado -0,8 y 0,8 (desvío poblacional)?

Busco la probabilidad:

\( Pr(13,2 \leq \bar{X} \leq 13,6) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,2 \leq z \leq 0,2) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,2 \leq  \displaystyle\frac{\bar{x} - 13,4}{0,8 / \sqrt{40}} \leq 0,2) = 1 - \alpha \)

\( Pr(13,4 - 0,2 \cdot 0,8 / \sqrt{40} \leq \bar{x} \leq 13,4 + 0,2 \cdot 0,8 / \sqrt{40}) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,0253 \leq \bar{x} \leq 0,0253) = 1 - \alpha \)

Llegando prácticamente a lo que tenía antes ???

Si busco en la tabla de la distribución normal, tengo:

\( \displaystyle\frac{ 1 - \alpha}{2} = Pr(\bar{x} \leq 0,0253) = F(0,0253) = 0,0080 \)

obteniendo un grado de significación del \( \alpha = 0,984 \) y un nivel de confianza bajísimo del \( 1-\alpha = 0,016 \).

Me pueden marcar mis errores?

Gracias de antemano, saludos.

15
Matemática Aplicada / Intervalos de confianza
« en: 27 Noviembre, 2009, 11:36 pm »
Hola.

Tengo una consulta sobre un problema de intervalos de confianza.

La duración de unas determinadas baterías es una variable aleatoria normal, cuya media se desea estimar, para lo cual se toma una muestra de 9 baterías, cuyas duraciones, en horas, resultan: 6.3, 6.8, 7.3, 5.4, 8.1, 7.9, 6.9, 6.2, 8.3.

Se pide:

a) Calcular el intervalo del 95% de confianza para estimar la media.
b) Suponga que se averigua que el desvío poblacional de la duración es 1, ¿cómo sería el intervalo de confianza?
c) Si se desea reducir un 20% el intervalo obtenido en b), manteniendo el nivel de confianza, ¿cuántas baterías adicionales se deberían probar?
d) Si se desea que el máximo error sea 0.15, ¿cuántas baterías se deberían probar en total?
e) Volviendo a la situación que teníamos en b, ¿cuántas baterías adicionales debemos revisar, para aumentar la confianza al 99%?


Tengo dudas con el último apartado. La solución propuesta plantea:

"Para que se cumpla lo que piden, debemos escribir la siguiente inecuación: \( \displaystyle\frac{z_{1-\alpha/2} \cdot \sigma}{\sqrt{n'}} = \displaystyle\frac{z_{1 - 0,01 / 2} \cdot 1}{\sqrt{n'}} \leq 0,65 \) (porque debemos interpretar al menos el 99% de confianza)".

No veo por qué resuelve de ese modo. Lo que entiendo que propone es reducir el error máximo. Pero ésto no garantiza que el nivel de confianza sea del 99% (solamente podemos estar seguros que va a ser mayor que 95%, que fue el nivel de confianza que obtuvimos en el apartado (b) con n=9).

Gracias de antemano, saludos :)

16
Probabilidad / Distribución muestral de medias
« en: 14 Noviembre, 2009, 07:17 pm »
Hola.

Tengo una duda con el apartado b) de este problema:

Supóngase que la estatura de 3000 estudiantes universitarios se distribuyen normalmente, con una media de 68 pulgadas y una desviación estándar de 3 pulgadas. Si se obtienen 80 muestras de 25 estudiantes cada una, a) ¿cuáles serían la media y la desviación estándar de la distribución muestral de medias resultante si los muestreos se hubieran hecho con y sin reemplazamiento? b) ¿En cuántas muestras esperaría encontrar la media entre 66,8 y 68,3 pulgadas?

Tengo que calcular la probabilidad: \( Pr(66,8 < \overline{X_i} < 68,3) \). Lo hago estandarizando la variable, y llego a que esa probabilidad (ó el área bajo la curva normal) vale 0,6687.

Y dice: "Entonces, el número esperado de muestras es \( 80 \cdot 0,6687 \approx{} 53 \)"

No entiendo por qué multiplica por 80.

Gracias de antemano, saludos.

17
Cálculo 1 variable / Integral simple
« en: 11 Noviembre, 2009, 03:38 pm »
Hola.

Quisiera saber cómo resolverían ésta integral:

\( \displaystyle\int_{}^{} e^x tg(x) dx \)

Si la resuelvo por partes, llego a que \( 0=0 \) ???

Gracias de antemano, saludos.

18
Hola.

Tengo una duda. ¿Todos los ejercicios de EDOs lineales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes se pueden resolver con el método de variación de parámetros? ¿O hay ejercicios que solamente se puedan resolver por medio del método coeficientes indeterminados?

Quizás sea muy general la pregunta, espero que me puedan responder.

Gracias de antemano, saludos :)

19
Ecuaciones diferenciales / Sistema de ecuaciones diferenciales
« en: 10 Noviembre, 2009, 02:06 am »
Hola.

Quisiera saber cómo se resuelven ejercicios de este tipo:

Integrar el sistema:

\( \begin{Bmatrix} \frac{dy}{dx}=y+z+x & \mbox{ }& \\ \frac{dz}{dx}=-4y-3z+2x & \mbox{ }& \end{matrix} \)

con las condiciones iniciales: \( y(x=0)=1 \) y \( z(x=0)=0 \)

Gracias, saludos.

20
Hola.

Sigo con coeficientes indeterminados.

Tengo que proponer una solución para la ecuación \( y''+2y'=1-5sen(x) \).

Pensaba en \( y(x) = x(Ax²+Bx+C) + a cos(\beta x) + b sen(\beta x) \), pero no sé si es correcto.

Cuál es el método general para proponer una solución en el caso que el segundo miembro de la EDO sea una combinación de dos tipos de funciones?

Gracias de antemano, saludos.

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