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Temas - Mariomarquez

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1
Hola, tengo una duda con el siguiente ejercicio, se trata de calcular el límite de la siguiente sucesión:

\( \frac{1^p+2^p+...+n^p}{n^{p+1}} \),  \( p\in\mathbb{N} \) y \( n\in \mathbb{N} \)

Entonces tomando

\( a_n=1^p+2^p+...+n^p \)  y \( b_n=n^{p+1} \)

tenemos que
\(
   a_n-a_{n-1}=n^p \)  y
   
     \( b_n-b_{n-1}= \)(adjunto foto porque me da error al escribir el coeficiente binomial en latex)



El caso es que no entiendo el resultado de \( b_n-b_{n-1}= \), porque estoy muy pegado en el uso de estos coeficientes binomiales.¿Alguien podría
explicarmelo? Gracias, un saludo.


2
Matemáticas Generales / Determinante de Vandermonde-Producto
« en: 30 Octubre, 2020, 04:51 pm »
Hola, me ha surgido una duda con la fórmula del determinante de Vandermonde.
Justo al final de la demostración del libro pone lo siguiente:

\( det(B)=\displaystyle\prod_{j=2}^{n}(\alpha_j-\alpha_1)\displaystyle\prod_{2\leq{i}<j\leq{n}}(\alpha_j-\alpha_i)=\displaystyle\prod_{1\leq{i}<j\leq{n}}(\alpha_j-\alpha_i) \)

No entiendo como se interpretan esos subíndices con desigualdades para el producto y tampoco por que el producto de los dos primeros da el tercero. ¿Alguien sabría explicarmelo?

Gracias, un saludo.

3
Matemáticas Generales / suma de fracciones
« en: 05 Octubre, 2020, 06:25 pm »
Hola, me encontré esto en una demostración por inducción:

\( (2-\dfrac{n+2}{2^n})+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}=2-\dfrac{2n+4-n-1}{2^{n+1}} \)

¿No hay un error?¿El numerador de la fracción del miembro de la derecha no debería ser \( 2n+4+n+1 \)?

4
Matemáticas Generales / factorizar
« en: 05 Octubre, 2020, 12:05 pm »
Hola, me encuentro lo siguiente en una demostración por inducción:

\( n(2n+1)+2n+1=(n+1)(2n+1) \)

¿Cómo se pude pasar del miembro izquierdo de la igualdad al segundo?

Gracias. Un saludo.

5
Matemáticas Generales / Puntos de red función no negativa
« en: 22 Septiembre, 2020, 03:16 pm »
Hola, alguien sabe demostrar lo siguiente:

 Sea\(  f  \)una función no negativa cuyo dominio es el intervalo \( [a,b]  \)donde \( a \) y \( b \) son enteros, \( a<b \). Sea \( S \) el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( a\leq{x}\leq{b},0\leq{y}\leq{f(x)} \). Demostrar que el numero de puntos de red pertenecientes a \( S \) es igual a la suma:

   \( S=\sum_{i=a}^b{E[f(i)]} \)

Gracias, un saludo.

6
Hola, el ejercicio es el siguiente:

Se pide calcular los polinomios de grado \( n\leq{2} \) que cumplan que \(  p(x)=p(1-x) \).

Para ello he igualado un polinomio de la forma general a uno de la forma \( p(1-x) \)


   \( p(x)= ax^2+bx+c=a(1-x)^2+b(1-x)+c=a(1-2x+x^2)+b-bx+c=a-2ax+ax^2+b-bx+c \)

 Y simplificando queda:

    \( 2ax+2bx+(-a-b)=(2a+2b)x+(-a-b) \)

Como el polinomio resultante es de grado 1, creo que no tiene sentido lo anterior así que he probado con un polinomio de grado 1:

   \( p(x)=ax+b=a(1-x)+b \)

y sale que el polinomio es de la forma

   \( p(x)=a(2x-1) \)
Pero la solución que da el libro es diferente:

  \( p(x)=ax(1-x)+b \)

¿Alguien me aclara que estoy haciendo mal y el por qué de esa solución?
Gracias. Un saludo!


7
Matemáticas Generales / Demostrar igualdad
« en: 26 Agosto, 2020, 11:18 am »
Hola, se trata de probar que dada la función \( g(x)=\sqrt[ ]{4-x^2} \) para \( |x|\leq{2} \) la siguiente igualdad es cierta;

\[   \frac{1}{2+g(x)}=\frac{2-g(x)}{x^2} \]

Un saludo.

8
Esquemas de demostración - Inducción / Demostración
« en: 11 Agosto, 2020, 09:58 pm »
Hola! Alguien sabe resolver el siguiente ejercicio:


Demostrar que \( 2(\sqrt[ ]{n+1}- \sqrt[ ]{n})<\frac{1}{\sqrt[ ]{n}}<2(\sqrt[ ]{n}-\sqrt[ ]{n-1}) \) para \( n\geq{1} \). Utilicese luego este resultado para demostrar que

\( 2\sqrt[ ]{m}-2<\sum_{n=1}^m{\frac{1}{\sqrt[ ]{n}}}<2\sqrt[ ]{m}-1 \) si \( m\geq{2} \).En particular, cuando \( m=10^6 \), la suma esta entre \( 1998 \) y \( 1999 \).

La primera demostración conseguí hacerla, pero no se demostrar la segunda a partir de la primera.

Gracias. Un saludo!


9
Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

Un saludo.

10
Hola, leyendo un articulo sobre sumas telescópicas https://www.rinconmatematico.com/series/sumastelescopicas.htm he encontrado en el ejemplo 2 la siguiente igualdad:

\( \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \)

Si me hubieran dado la primera fracción no habría podido saber como transformarla en la del lado derecho¿Alguien sabe si hay alguna regla para pasar la fracción del lado izquierdo a una del tipo del lado derecho?

Gracias. Un saludo!

11
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Linear Dependence Lemma
« en: 28 Julio, 2020, 02:54 pm »
Hola, estoy estudiando el libro de Linear Algebra Done Right y me he atrancado en este lema :banghead:

Citar
Linear Dependence Lemma:

If \( (v_1, . . . , v_m) \) is linearly dependent in \( V  \) and \(  v_1 \neq 0 \), then there exists \( j \in{} \){\( 2, . . . , m \)} such that the following hold:

a)\( v_j ∈ span(v_1, . . . , v_{j−1}); \)

b)if the \( jth \) term is removed from \( (v_1, . . . , v_m) \), the span of the remaining list equals \( span(v_1, . . . , v_m) \).
La prueba de a es:

Citar
Proof:Suppose\(  (v_1, . . . , v_m) \) is linearly dependent in \( V \) and \( v_1 \neq 0 \). Then there exist \( a_1, . . . , a_m \in{} F \), not all 0, such that


       \( a_1v_1 + ··· + a_mv_m = 0. \)

Not all of \( a_2, a_3, . . . , a_m \) can be \( 0 \) (because \( v_1 \neq 0 \)). Let \( j \) be the largest element of {\( 2, . . . , m \)} such that \( a_j \neq 0 \). Then

       \( v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1} \)

 proving (a).

Lo que no entiendo es por qué \( v_1 \) tiene que ser distinto de\(  0 \)??

Tampoco entiendo esta igualdad:

    \( v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1} \)

¿Por qué se restan los vectores, se dividen por \( a_j \) y se toma hasta \( v_{j-1} \)?

 Gracias. Un saludo!

12
¿Alguien sabe como resolver este problema sacado del libro calculus de Apostol?

Demostrar por inducción la siguiente proposición: dado un segmento de longitud unidad, el segmento de longitud \( \sqrt[ ]{n} \) se puede construir con regla y compás para cada entero positivo n.

Gracias. Un saludo.

13
Hola. ¿Alguien sabe como demostrar por inducción las siguientes igualdades?

\( 1-4+9-16+...+(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{n+1}(1+2+3+...+n) \)

\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=2-\frac{1}{2^n} \)

\( (1+x)^n>1+nx+nx^2 \)(para todo \( x>0 \)  y \( n\geq{3}) \)

Gracias. Un saludo!

14
Álgebra / Demostrar que p es un subespacio
« en: 09 Julio, 2020, 08:03 pm »
Hola!He encontrado lo siguiente en un libro sobre vectores que esta escrito en inglés:

\( \{p\in{P(F)}:p(3)=0\} \)

¿ Alguien sabe que significa?¿y como demostrar que \( p \) es un subespacio vectorial?

Un saludo.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Duda sobre el conjunto R2
« en: 29 Junio, 2020, 02:47 pm »
Hola! Me he topado con este enunciado en un problema:

En el conjunto \( \mathbb{R^2}=\mathbb{R}\times{}\mathbb{R} \) se definen las siguientes operaciones...

¿Que es \( \mathbb{R}\times{}\mathbb{R} \)?¿Es el producto cartesiano?¿Como sería un conjunto  \( \mathbb{R^2} \) en general?


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Hola,¿ alguien sabe como se demuestra esta desigualdad por inducción?

\(  n^4/4<1^3+2^3+...+n^3 \)

Gracias, un saludo.

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Matemáticas Generales / Problema de geometría
« en: 23 Junio, 2020, 02:59 pm »
Hola! Este es mi primer mensaje en el foro, estoy empezando a estudiar matemáticas por gusto. Tengo un nivel de bachillerato algo oxidado por el tiempo
y ahora estoy con libros de calculo de primero de grado en matemáticas.

 Dicho esto, tengo dudas con el siguiente problema:

Demuestre que los puntos \( A(2, -1), B(1, 3)  \text{ y } C(-3, 2) \) son tres vértices de un cuadrado y calcule el cuarto vértice.

He solucionado la primera parte del ejercicio (demostrar que los tres puntos son los vértices de un cuadrado). Las rectas \(  AB \text { y } BC  \) son perpendiculares y tienen la misma longitud. Ahora queda calcular el cuarto vértice y aquí es donde no se como seguir.

Espero respuestas. Un saludo.

   

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