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Temas - Héctor Manuel

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1
Análisis Matemático / Topología Vs álgebra
« en: 27 Enero, 2016, 07:40 am »
Hola. Estoy buscando un ejemplo de un álgebra que no es generada por una topología. Pensé en el conjunto \( X=\{a,b,c\} \). Se sabe que este conjunto genera 29 topologías, y un álgebra sencilla puede ser \( \mathcal{A}=\{\emptyset, X, \{a\},\{b,c\}\} \). Pero demostrar que esta álgebra no es generada por ninguna de las topologías sería ir a pie con cada una de las 29. ¿Alguien sabe de algún ejemplo de álgebra que no sea generada por alguna topología?

Gracias de antemano.

Saludos, Héctor.

2
Teoría de Conjuntos / Cardinalidad de un conjunto descriptible
« en: 18 Enero, 2016, 12:56 pm »
Hola foreros.

Platicando con alguien, caí en una duda que espero sea al menos descriptible:

Sea \( A\subset(0,1) \) el conjunto de todos los irracionales que podemos describir. Es decir, \( a=0.a_1a_2... \) es un elemento de \( A \) si, para cualquier \( n \), se conoce el valor de \( a_n \).

¿Es \( A=(0,1)\cap\mathbb{I} \)? o, por el contrario \( |A|=|\mathbb{N}| \).

Sé que no he descrito bien la idea del problema. Lo que sucede es que, en otro foro, preguntaban sobre alguna forma de medir la irracionalidad de un número. Es decir <<¿Qué tan irracional es?>>. Por supuesto, primero habría que definir un método de medición, y yo supondría que ese método tendría que ser a través de la representación decimal de los irracionales. Pero ¿cómo podría comparar la irracionalidad de estos entre sí si no conozco sus expansiones decimales?.

Espero que el contexto haya aclarado mejor mi planteamiento inicial.

Saludos. 

8
Álgebra / MOVIDO: Espacios Métricos
« en: 20 Diciembre, 2015, 07:13 am »

9
Teoría de la Medida - Fractales / Ínfimo esencial
« en: 28 Octubre, 2015, 01:32 am »
Hola amigos. Pues, como ustedes saben, en el espacio \( L^\infty(\mathbb{R},\mu) \) se puede "definir" el ínfimo esencial como \( \mathrm{ess}\inf f=\sup\{b\mbox{ }|\mbox{ }\mu(\{x\in X\mbox{ }|\mbox{ }|f(x)|\ge b\})>0\} \) siempre que el conjunto donde se toma este supremo sea no vacío.

Pero hace rato alguien me preguntó: ¿Por qué si se pide que \( \mu \) sea finita se garantiza que \( \mathrm{ess}\inf f \) siempre existe para cada \( f \)? y la verdad no lo pude contestar.

¿Alguno de ustedes sabrá la respuesta?

Saludos.

10
Teoría de la Medida - Fractales / Límite de funciones e integrales
« en: 18 Octubre, 2015, 06:50 am »
Hola estimados.

Quería ver si pueden revisarme una demostración. El problema dice:

Sea \( (X,\mathcal{A},\mu) \) un espacio de medida finita. Sea \( 0\le f\in\mathcal{L}^1(X,\mu) \). Definimos \( f_n(x)=f(x)^{1/n}. \) Calcular \( \lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu \)

Lo que sucede es que en la solución que propongo no ocupo de manera "decisiva" que el espacio tenga medida finita:

Sean \( A,B,C  \) y \( D \) los conjuntos
 
\( \begin{eqnarray*}
A&=&\{x\in X|f(x)=0\}\\
B&=&\{x\in X|0<f(x)<1\}\\
C&=&\{x\in X|f(x)=1\}\\
D&=&\{x\in X|1<f(x)\}.
\end{eqnarray*}\\
 \)

Nótese que \( X=A\cup B\cup C\cup D \) y que estos conjuntos son disjuntos uno a uno. Como \( f_n=f^{1/n}\ge 0 \), entonces la función \(  m_n:\mathcal{A}\to\mathbb{R} \) dada por \( m_n(Y)=\int_Yf_n\mathrm{d}\mu \) es una medida en \( (X,\mathcal{A}) \). Luego, para cada \( n \), se tiene que

\(
\begin{eqnarray*}\label{10.12}
\int_Xf_n\mathrm{d}\mu&=&\int_Af_n\mathrm{d}\mu+\int_Bf_n\mathrm{d}\mu+\int_Cf_n\mathrm{d}\mu+\int_Df_n\mathrm{d}\mu\nonumber\\
&=&\int_X1_Af_n\mathrm{d}\mu+\int_X1_Bf_n\mathrm{d}\mu+\int_X1_Cf_n\mathrm{d}\mu+\int_X1_Df_n\mathrm{d}\mu.........(1)
\end{eqnarray*}\\
 \)

Deducimos de esto que si el límite de cada uno de los sumandos del lado derecho de (1) existe como número real, podremos calcular \( \lim\int_Xf_n\mathrm{d}\mu \) simplemente como la suma de los límites.

Así, por una parte, notemos que para \( A \), \( \int_X1_Af_n(x)\mathrm{d}\mu=0 \), pues \( f_n(x)=f(x)^{1/n}=0 \) en \( A \). Por lo tanto
\( \begin{eqnarray*}\label{10.16}
\lim_{n\to\infty}\int_X1_Af_n\mathrm{d}\mu=0.\end{eqnarray*}\\ \).........(2)

De la misma manera, para \( C \), \( \int_X1_Cf_n(x)\mathrm{d}\mu=\mu(C) \), pues \( 1_C(x)f_n(x)=f(x)^{1/n}=1 \) para \( x\in C \) y 0 en otro caso. Por lo tanto
\( \begin{eqnarray*}\label{10.30}\lim_{n\to\infty}\int_X1_Cf_n\mathrm{d}\mu=\mu(C).\end{eqnarray*} \).........(3)

Para \( B \) procedemos de la manera siguiente: Si \( x\in B \), entonces por definición de \( B \) se tiene \( 0<f(x)<1 \). Luego, \( 0<f(x)^{\frac{1}{n}}<f(x)^{\frac{1}{n+1}}<1 \). Por tanto \( 0\le 1_Bf_1\le 1_Bf_2\le 1_Bf_3\le\cdots\le 1_B \). Así, para cada \( x\in X \), la sucesión numérica \( \{1_B(x)f_n(x)\} \) es creciente y acotada superiormente. Por tanto converge a una función \( g_B:X\to\mathbb{R} \). Luego se verifica que \( g_B=1_B \). En resumen: \( 0\le 1_B(x)f_n(x)\nearrow 1_B(x) \).

Luego, por el Lema de Levi de la Convergencia Monótona, se tiene que

\( \begin{eqnarray*}\label{11.10}
\mu(B)&=&\int_X1_B\mathrm{d}\mu\nonumber\\
&=&\lim_{n\to\infty}\int_X1_Bf_n\mathrm{d}\mu.........(4)
\end{eqnarray*}\\
 \)

Finalmente, para \( D \) observemos que si \( x\in D \), entonces por definición de \( D \) se tiene \( 1<f(x) \). Luego, \( 1<f(x)^{\frac{1}{n+1}}<f(x)^{\frac{1}{n}}<f(x)^1=f(x) \). Por tanto \( 0\le f-1_Df_1\le f-1_Df_2\le\cdots\le f-1_D \). Aplicando el mismo argumento que para \( B \) a la sucesión de funciones \( \{f-1_Df_n\} \), tendremos que \( 0\le f-1_Df_n\nearrow f-1_D \).

Luego, por el Lema de Levi de la Convergencia Monótona, se tiene que\\

\( \begin{eqnarray*}\label{11.09}
\lim_{n\to\infty}\int_X1_Df_n\mathrm{d}\mu&=&\lim_{n\to\infty}-\int_Xf-1_Df_n-f\mathrm{d}\mu\nonumber\\
&=&-\lim_{n\to\infty}\int_Xf-1_Df_n\mathrm{d}\mu+\int_Xf\mathrm{d}\mu\nonumber\\
&=&-\int_Xf-1_D\mathrm{d}\mu+\int_Xf\mathrm{d}\mu\mbox{ (aquí se utilizó el Lema de Levi)}\nonumber\\
&=&-\int_Xf\mathrm{d}\mu+\mu(D)+\int_Xf\mathrm{d}\mu\nonumber\\
&=&\mu(D)..........(5)
\end{eqnarray*}\\
 \)

Hemos demostrado usando (2),(3),(4) y (5) que cada uno de los sumandos en
(1) tiene límite y vienen dados por \( 0 \), \( \mu(B) \), \( \mu(C) \) y \( \mu(D) \), respectivamente.

Luego
\( \begin{eqnarray*}\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n(x)\mathrm{d}\mu=\mu(B)+\mu(C)+\mu(D),\end{eqnarray*}\\ \)

Y al ser los conjuntos \( A,B,C \) y \( D \) disjuntos y \( \mu(X)<\infty \), lo anterior puede escribirse también como \( \mu(X)-\mu(A) \).




Como puede verse, utilicé la "finitez" del espacio únicamente en la última línea, lo cual no me parece una justificación para pedir en el enunciado original que \( \mu \) sea finita.

Espero sus comentarios.

Saludos.



11
Discusiones semi-públicas / Máximo común divisor
« en: 08 Abril, 2015, 04:46 pm »
Los problemas son:
1) Sea \( n\in\mathbb{N} \). Entonces \( (n!+1,(n+1)!+1)=1 \).

Demostración

Usaremos el siguiente lema: "Si \( p \) es primo y \( a,b\in\mathbb{N} \) son tales que \( p|ab \), entonces \( p|a \) o bien \( p|b \)".

De esta forma, supongamos que \( (n!+1,(n+1)!+1)\neq 1 \), de modo que este mcd debe ser mayor que 1. Luego, por el Teorema Fundamental, existe un primo \( p \) tal que \( p|(n!+1,(n+1)!+1) \).

Así, como \( p|n!+1 \) y \( p|(n+1)!+1 \), entonces \( p|(n+1)!+1-(n!+1)=n!n \). Se concluye del lema anterior que, al ser \( p \) primo, entonces \( p|n! \) o \( p|n \). Veamos que necesariamente se cumple \( p|n! \). En efecto, si \( p|n! \) ya, y si \( p|n \), inferimos que \( p\le n \), resultando en \( p|n! \) por definición de factorial.

Luego, debido a que \( p|n! \) y \( p|n!+1 \), se ha de cumplir que \( p|n!+1-n!=1 \), por lo cual \( p=1 \). Pero \( p \) es primo. Esta contradicción muestra que \( (n!+1,(n+1)!+1)=1 \) \( \quad \).







2) Si \( a,b,c \) y \( d \) son naturales tales que \( ad-bc|a \) y \( ad-bc|c \), entonces para cualquier \( n\in\mathbb{N} \) se tiene que \( (an+b,cn+d)=1 \).

Demostración

Sea \( x=(an+b,cn+d) \).

Como \( x|an+b \), entonces \( x|c(an+b)=acn+bc \). Como \( x|cn+d \), entonces \( x|a(cn+d)=acn+ad \). Luego, \( x|acn+ad-(acn+bc)=ad-bc \).

Por transitividad, debido a que \( ad-bc|a \) y \( ad-bc|c \) se sigue que \( x|a \) y \( x|c \), y por cumplirse que \( x|an+b \) y \( x|cn+d \), nos damos cuenta de que \( x|b \) y \( x|d \).

Dado lo anterior, podemos escribir \( a=xa_1 \), \( b=xb_1 \), \( c=xc_1 \) y \( d=xd_1 \) para ciertos \( a_1,b_1,c_1,d_1 \).

Luego, \( ad-bc=x^2(a_1d_1-b_1c_1)|a=xa_1 \), de donde \( x|a_1 \), y análogamente, \( x|c_1 \), de modo que \( a_1=xa_2 \) y \( c_1=xc_2 \), por lo cual \( a=x^2a_2 \) y \( c=x^2c_2 \).

Pero esto último implica \( ad-bc=x^3(a_2d_1-b_1c_2)|a=x^2a_2 \), de donde \( x|a_2 \) y análogamente, \( x|c_2 \), de modo que \( a_2=xa_3 \) y \( c_2=xc_3 \), por lo cual \( a=x^3a_3 \) y \( c=x^3c_3 \).

Nuevamente, esto último implica \( ad-bc=x^4(a_3d_1-b_1c_3)|a=x^3a_3 \), de donde \( x|a_3 \) y análogamente, \( x|c_3 \), de modo que \( a_3=xa_4 \) y \( c_3=xc_4 \), por lo cual \( a=x^4a_4 \) y \( c=x^4c_4 \).

Como puede verse, podemos continuar con este proceso infinitamente, de modo que \( x,x^2,x^3,x^4,... \) son divisores de \( a \) (y de \( c \)). Así, si \( x\neq 1 \) entonces estas potencias de \( x \) son todas distintas, así que \( a \) tendría infinitos divisores, por lo cual necesariamente ha de ser \( x=1 \), lo que concluye la prueba.\( \quad \)

Saludos, Héctor.

12
Discusiones semi-públicas / Conjunto Potencia
« en: 15 Agosto, 2014, 09:52 pm »
Sea \( A\subseteq B \). Veamos que \( P(A)\subseteq P(B) \). Para ello, procedemos de forma usual: tomar un elemento de \( P(A) \) y ver que es elemento de \( P(B) \).

Sea así \( X\in P(A) \). Esto significa que \( X \) es un elemento del conjunto potencia de \( A \), el cual es la colección de subconjuntos de \( A \). Por lo tanto, \( X \) es un subconjunto de \( A \).

Como \( A\subseteq B \), entonces \( X\subseteq B \).

Luego, al ser \( X \) un subconjunto de \( B \) podemos terminar, ya que esto significa que \( X \) es elemento del conjunto potencia de \( B \). Es decir, \( X\in P(B) \), que es lo que se quería demostrar.

Saludos, Héctor.

13
Foro general / A-coeficientes
« en: 12 Abril, 2014, 11:15 pm »
Hola. Dentro de una investigación que estoy haciendo, tuve que desarrollar unos ciertos números que nadie me ha sabido identificar.

Dados \( 0\le r\le n \), con \( n,r\in\mathbb{Z} \), se definen los \( A- \)coeficientes como:

a) \( \begin{bmatrix}n\\{n}\end{bmatrix}=1 \)

b) \( \begin{bmatrix}n\\{n-1}\end{bmatrix}=0 \)

c) \( \begin{bmatrix}n+1\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n\\{1}\end{bmatrix} \)

d) \( \begin{bmatrix}n+1\\{r}\end{bmatrix}=(r+1)\begin{bmatrix}n\\{r+1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n\\{r-1}\end{bmatrix} \)

Esto nos genera un "Triángulo de Pascal"

\( \begin{tabular}{rccccccccccccccccc}
                               $n=1$: &   &   &   &   &   &   & 1 &   & 0\\
\noalign{\smallskip\smallskip} $n=2$: &   &   &   &   &   & 1 &   & 0 &   & 1\\
\noalign{\smallskip\smallskip} $n=3$: &   &   &   &   & 1 &   & 0 &   & 3 &   & 0\\
\noalign{\smallskip\smallskip} $n=4$: &   &   &   & 1 &   & 0 &   & 6 &   & 0 &   & 3\\
\noalign{\smallskip\smallskip} $n=5$: &   &   & 1 &   & 0 &   & 10&   & 0 &   & 15&   & 0\\
\noalign{\smallskip\smallskip} $n=6$: &   & 1 &   & 0 &   & 15&   & 0 &   & 45&   & 0 &   & 15\\
\noalign{\smallskip\smallskip} $n=7$: & 1 &   & 0 &   & 21&   & 0 &   &105&   & 0 &   &105&    &0\\
\noalign{\smallskip\smallskip}$\vdots$\vdots  &   &\vdots &   &\vdots &   &\vdots &   &\vdots &   & \vdots&   & \vdots&   &\vdots  &   &\vdots\\
\end{tabular} \)

Alguien reconoce estos números?

Saludos, Héctor.

14
Libros / Recomendación
« en: 04 Febrero, 2014, 06:48 pm »
Hola compañeros.

Necesito que me recomienden un buen libro sobre geometría hiperbólica que trate sobre el enfoque sintético, algebrista y analítico; es decir, de todos los enfoques.

Cuál me recomiendan?

Saludos.

15
Cálculo 1 variable / Derivadas como cocientes de Newton
« en: 17 Septiembre, 2013, 03:26 am »
Hola. Estoy trabajando con generadores de Stone (Teoría de Operadores). Necesito comprobar unas fórmulas que he conjeturado. Para comprobarlas, antes debo conocer si existe una forma de general de expresar una derivada de orden superior como cociente de Newton en términos de la función original.

Por ejemplo, con la suficiente suavidad local de \( f \), tenemos
\( f^\prime(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \) y \( f^\prime^\prime(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)`\color{red}{+}f(x-h)\color{red}{-}2f(x)}{h^2} \). Como se darán cuenta, usando la segunda fórmula se puede calcular \( f^{\prime\prime}(x) \) sin pasar por \( f^{\prime}(x) \).

Necesito saber si existe una fórmula general para calcular \( f^{(n)}(x) \).

Saludos, y gracias.

16
Ecuaciones diferenciales / Unicidad
« en: 23 Mayo, 2013, 10:43 am »
Hola. Tengo una duda teórica sobre una ecuación diferencial. Espero que puedan ayudarme: Si \( u,v,f,g:[0,\infty)\to\mathbb{C} \) son Lebesgue integrables, entonces la ecuación diferencial \( y^\prime(t)=(v(t)\overline{f(t)}+\overline{f(t)}g(t)+\overline{f(t)}g(t))y(t) \) tiene solución única.

Ya demostré que bajo las condiciones citadas, existe solución. Ahora quiero ver que la solución es única. El problema es que no tengo continuidad para asegurar con Picard.

Espero que me puedan ayudar.

Saludos.

17
Lo dejo por si a alguien le interesa (o si yo mismo lo necesito en algún momento).

El objetivo no es demostrar el TCD, sino ver una aplicación para un criterio de series.

El Teorema en su forma general dice:

Teorema de la Convergencia Dominada

Sea \( \{f_n\}\in L^1(\mu) \). Es decir, \( f_n:(X,\Omega)\to\mathbb{C} \) es medible e integrable. Si
a) \( f_n\to f \) puntualmente casi siempre y
b) Existe \( g\in L^1(\mu) \) tal que \( g\ge0 \) y \( |f_n|\le g \) casi siempre, para toda \( n \).

Entonces \( f\in L^1(\mu) \) y \( \displaystyle\int_{}^{}f=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{}^{}f_n} \)

18
Matemática Aplicada / Ley de Benford
« en: 30 Agosto, 2012, 02:53 am »
Hola.

Hace unas horas participé en otro post mencionando la Ley de Benford. Para quienes no la conocen, pueden buscarla en la red y seguro la encuentran. No es muy complicada de entender.

Mi duda surge por lo siguiente: Según esta ley, si tomamos datos numéricos arrojados por un fenómeno de la vida real, entonces más o menos la tercera parte de esos datos comenzará con el 1, el 17.6% de los datos comenzará con el dígito 2, etc...

Es claro que aquí interviene fuertemente el uso de un sistema decimal. La primer pregunta es entonces ¿Sigue siendo válida si tomamos cualquier base en el sistema?

En caso de que la respuesta sea afirmativa, y tomando base 12, ¿Podemos concluir que enero es el mes en que más gente nace, y luego febrero, y luego marzo, etc?
En esta segunda cuestión siento que la respuesta es negativa: no se puede concluir a partir de la ley de Benford, ya que estamos haciendo una biyección un tanto artificial entre el conjunto \( \{1,2,3,\cdots,9,A,B,C\} \) (omito el cero, pues no participa en esta ley) y el conjunto \( \{\mbox{enero, febrero,...,diciembre}\} \). Como dicha biyección no es única, entonces cualquier permutación en el conjunto de meses puede ser tomada y conservaría el mismo derecho a participar en la ley de Benford que tuvo la primer biyección.

Espero opiniones.

Saludos.

19
Discusiones semi-públicas / Derivada de Gateaux
« en: 27 Agosto, 2012, 04:29 am »
Tenemos que \( I(h)=\displaystyle\int_a^bF(x,y_0+h)dx \). Estamos tomando \( f_0=0 \).

 Por lo tanto \( I(f_0+th)=I(th)=\displaystyle\int_a^bF(x,y_0+th)dx \) para toda \( h\in C_0^\infty [a,b] \).  Ésta es una función que solo depende de \( t \) para \( h \) fija. Sea \( g \) dicha función.

Así, \( g^\prime(t)=\frac{dg}{dt}=\displaystyle\int_{a}^{b}\frac{dF(x,y_0+th)}{dt}dx \) si suponemos que \( F \) es continua (es un teorema clásico de derivación de integrales paramétricas).

Pero la derivada del lado derecho de la igualdad es sencilla de calcular: si \( F_y \) es continua, por la regla de la cadena, \( \frac{dF(x,y_0+th)}{dt}=F_y(x,y_0+th)*\frac{d(y_0+th)}{dt}=F_y(x,y_0+th)h \).

Por tanto \( \frac{dg}{dt}=\displaystyle\int_{a}^{b}F_y(x,y_0+th)hdx \). Basta ahora con evaluar en \( t=0 \) y obtenemos que \( I \) es Gateaux-derivable en \( f_0 \), en toda dirección \( h\in C_0^\infty [a,b] \) y su derivada es \( \displaystyle\int_{a}^{b}F_y(x,y_0)hdx \).

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Matemática Aplicada / Esperanza condicional
« en: 15 Julio, 2012, 08:05 pm »
Hola amigos. Tengo un problema de Probabilidad que no he podido terminar.

Supongamos que \( X,Y\in\mathcal{L}^1(\Omega,\mathfrak{F},P) \) son variables aleatorias reales, y que \( E(X|Y)=Y \) casi seguro y \( E(Y|X)=X \) casi seguro.

Demuestre que \( P(X=Y)=1 \).

Sugerencia: Considere \( E(X-Y;X>c,Y\le c)+E(X-Y;X\le c,Y\le c) \).

La notación \( E(X;A) \) significa \( E(X\mathrm{I}_A) \), donde \( \mathrm{I}_A \) es la función indicadora del evento \( A \).

No entiendo cómo usar la sugerencia. sencillo probar que la suma que sugieren es igual a \( E((X-Y)\mathrm{I}_{\{Y\le c\}}) \), pero esto no me dice mucho, además de que no puedo relacionarlo con lo que quiero probar: \( P(X=Y)=1 \).

Espero puedan ayudarme. Llevo varias horas intentándolo.

Saludos.

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