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Teoría de números / Conjetura Goldbach por el absurdo
« en: 24 Diciembre, 2019, 03:23 am »
Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Esto es muy fácil, así que omití o erré en algo  obvio, pero dónde?

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Teorema de Fermat / UTF por fuerza bruta !!! re bruta...
« en: 19 Diciembre, 2019, 02:32 am »
Hola, se me a ocurrido la feliz idea de probar unos algoritmos de suma ,resta, multiplicación y división, para números muy grandes, ahora que me creo un poco más ayornado intentar con el UTF, a ver que pasa y analizar los datos que arroje .

Pero me pregunte...porque probar con todos los números y cada uno de los \(  x,y,z , n\in \mathbb N \) si es posible, eliminar de la lista unos cuantos, e ir a los que si tienen soluciones posibles.

Para eso  me he planteado como desarrollar números que tengan dicha posibilidad.

0)eliminemos  lo obvio

\( n>2 \)
\( x,y,z\geq1 \)

1) Si \( x^n+y^n=z^n \Longleftrightarrow{}\dfrac{x^n}{z^n}+\dfrac{y^n}{z^n}=1=\left(\dfrac{x}{z}\right)^n+\left(\dfrac{y}{z}\right)^n \)

2)por aritmética modular tenemos \( n\cdot x \mod z+n\cdot y \mod z\equiv{}1 \mod z \)

3) entonces \(  \exists K,a,b \in \mathbb N / \quad n(x+y)=b=a(zK+1) \)

4) sabemos que \( z>x \) y que \( z>y \) y que como\(  x\neq y \) porque el 2 no tiene raíz enésima entera, podemos limitar la búsqueda a \( x<y \) ya que es indistinta una solución \( x=x_o \) y \( y=y_0 \) que \( x=y_0 \) e \( y=x_0 \)

5) si \( n(x+y) \) es \( 0\mod n \) entonces \( K \) es \( \dfrac{n-1}{z} \mod n \)

lo que me indica que  debo hacer una búsqueda tal que

mi variable será z como un contador empiezo en \( z=2\Rightarrow{ } \)  y \( n>3 \) , pero la idea es solo probar para \(  Kz+1 \equiv{}0 \mod n \forall K\geq 1 \) osea para valores

\( b=\dfrac{a}{n}(Kz+1) \) donde \( n|a \)

luego tenemos \( x+y=b \) y haría un bucle en \( y \) desde 2 a \( b/2 \) donde tomando \( x=b-y \) y probando sobre la fórmula del teorema...\( x^n+y^n=z^n \) para ver si la pego!!! ;D

bueno por lo pronto quisiera saber si hay error troncal.... en eliminar de este modo al resto de los candidatos a solución, o me pierdo una parte importante.

también quisiera saber  hasta donde se ha probado por fuerza bruta, es decir para que el intento tenga sentido, espero que sea menor al millón de cifras... digamos una 10-20 cifras talvez ... :-\



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Teoría de números / Número perfectos impares ...existen o no?
« en: 21 Octubre, 2019, 04:50 am »
Gracias a lo conversado en el hilo http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110944.0

He podido modificar parte del desarrollo de un artículo de Blog que publicara en otra web, de la cual ahora hago copia.


Al no ser matemático de carrera, desconozco el rigor necesario para una demostración, pero para eso presento esta entrada, esperando que se me indique donde mi razonamiento falla, y si no es posible, entonces si habré demostrado que es no posible que existan números perfectos impares.

Para los que no sepan que es un número perfecto daré la definición:

Una primera aproximación sería un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Pero qué es un divisor propio positivo, bueno es otro número también entero que es divisor de otro natural \( N \), pero que es diferente de \( N \).

Los divisores de \( N \) como el \( 1 \) y \( N \) se los llaman impropios.

Pero una mejor definición de Número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos...más el impropio \( 1 \)

Un ejemplo sencillo de número perfecto es el \( 6 \) ya que es el producto de \( 1\cdot 2\cdot 3 \) y esos tres números el \( 1 \), \( 2 \) y \( 3 \) son los divisores propios e impropios que no son el mismo \( 6 \).
Luego al sumar todos ellos \( 1+2+3=6 \) también tenemos como resultado al número perfecto.

Existen otros números perfectos como el \( 28 \) que es \( 2^2\cdot 7=1+2+4+7+14=28 \) pero de los \( 51 \) que se encontraron la actualidad todos ellos son pares.

Los desafíos matemáticos abiertos sobre esta temática son:
Demostrar que los números perfectos son infinitos en cantidad.
Que se encuentre uno que sea impar o bien se demuestre que no existe ninguno.
Este último desafío me cautivó y empecé a dedicarle un poco de tiempo, con lápiz y papel.

Veamos si he podido sacarle el jugo...

Un número perfecto es el que cumple que

\( N= \displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

los \( P_w \) son números primos resultantes de la descomposición en factores primos de \( N \)
y los \( e_w \) son los exponentes a los cuales esta elevado el número primo \( P_w \)

Donde el segundo término de la igualdad es la representación del número perfecto como la productoria de todos los factores primos en que se puede descomponer el Número perfecto, cada uno elevado a su respectivo exponente. El tercero consta de la agrupación en dos sumandos, de todos los factores propios y no propios posibles de obtener como permutación de los factores primos elevados como máximo a la respectiva potencia dentro de la productoria y el otro sumando de valor negativo es la multiplicación de todos los factores primos a la máxima potencia. Si se desarrolla la primer serie de sumandos se ve que para eliminar de la lista el propio valor \( N \) hace falta restarlo y es lo que se hace con el último sumando

Otra forma más sencilla de desarrollar la expresión es

\( 2N= 2\displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)

Es sencillo darse cuenta que si cualquier \( P_w \) se le asigna el número primo \( 2 \) entonces el número perfecto buscado será par, luego el primo \( 2 \) y al \( 1 \) por razones obvias ,no los vamos a considerar en como posibles valores de \( P_w \) de la productoria.

También podemos prestar atención que la cantidad de sumandos del tercer término de la última ecuación, deberá ser par para que haya una solución posible, esto es que

\( (e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot....(e_n+1) \) sea par .... Luego es necesario que alguno de los \( e_w \) sea impar para que haya solución,(esto reduce las combinaciones posibles de búsqueda por fuerza bruta), pero no nos será de mucha utilidad si queremos avanzar en una demostración general.

Un resultado previo

Analicemos si el sumatorio de un primo elevado a todos los exponentes entre \( 0 \) y \( n \) es menor mayor o igual que ese primo elevado a un exponente una unidad mayor a \( n \).. en fórmulas

\( P^{n+1}\gtreqqless P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

La finalidad es analizar siempre que \( n>0 \)

Es fácil observar que si \( P=1 \) el resultado es que el símbolo a usar en la ecuación es el \( < \) para todo \( n>0 \).

\( 1^{n+1}< 1^{n}+1^{n-1}+1^{n-2}+....+1^{1}+1^{0} \)


También que si \( P=2 \) el resultado es que el símbolo a usar es el \( > \) para todo \( n\geq1 \).

\( 2^{n+1}> 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

Porque a la vez sucede que

\( 2^{n+1}-1= 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

por lo que

\( 2\cdot2^n-1=2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

luego \( \displaystyle 2\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w}\cdot2^n=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}2^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}= \)\( \displaystyle\left(2^{n+1}-1\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\right) \)

llamando \( Q=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

y \( R=\displaystyle\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w} \)


\( 2N=\displaystyle 2R\cdot2^n=\left(2^{n+1}-1\right)Q \)

luego

\( R\cdot2^{n+1}=2^{n+1}Q-Q=^{n+1}Q-Q \)

\( Q=2^{n+1}\left( Q-R\right) \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{Q}{Q-R} \)

mientras se cumpla esta relación habrá soluciones de números perfectos pares...

ej \( p_2=3 \)

\( Q= (1+3)=4 \)

\( R=(1*3)=3 \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{4}{4-3}=4\quad\to\quad n=1 \)

\( N=1\cdot2^1\cdot 3=2^03^0+2^13^0+2^03^1+2^13^1-1\cdot2^1\cdot 3=6 \)

Del mismo modo

\( p_2=7 \)

\( Q= (1+7)=8 \)

\( R=(1*7)=7 \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{8}{8-7}=8\quad\to\quad n=2 \)

\( N=1\cdot2^2\cdot 7=2^07^0+2^17^0+2^07^1+2^17^1+2^27^0+2^27^1-1\cdot2^2\cdot 7=28 \)

dicha relación se puede comprobar seguro con los 49 números perfectos pares restantes conocidos.

Por eso el primo \( 2 \) a partir de ahora no lo vamos a utilizar en el análisis posterior que limitaremos a sólo primos mayores o iguales a \( 3 \) pero bien vale tener en cuenta sus resultados.

Entonces para \( P\geq3 \) para todo \( n\geq1 \) siempre sucede que

\( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i \quad \forall P\geq3 \wedge n\geq1  \)

luego al multiplicar en los dos lados por un primo arbitrario \( P_2  \) sigue cumpliéndose

\( P_2\cdot P_1^{n+1}> P_2\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)

\( P_2^m\cdot P_1^{n+1}> P_2^m\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)

\( P_2^{m+1}\cdot P_1^{n+1}> \left(\displaystyle\sum \limits_{j=0}^m P^j\right)\cdot \left(\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i\right)=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n\sum \limits_{j=0}^m P_2^j\cdot P_1^i\quad \Longleftrightarrow \quad \forall P_i\geq3 \)

esto se puede generalizar para la multiplicación de cualquier otro primo


\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w+1}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\Longleftrightarrow \quad \forall P_w\geq3
 \)

Otro resultado útil es

si \( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

entonces \( P^{n+1}+P^{n+1}=2P^{n+1}> P^{n+1}+P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{n+1} P^i \)

es posible hacer el cambio de variable en los sumatorios cambiando la variable n por una unidad inferior si \( t=n+1 \) quedaría


\( 2P^{t}> \displaystyle\sum \limits_{i=0}^{t} P^i \) y luego reemplazar \( t \) por cualquier otro símbolo

aqui ya no hay una relación dependiente del numero 2, donde despejar \( n \)

ahora es más fácil ver que

\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w\color{red}{\cancel{+1}}}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)

luego que

\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

quedando

\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

y sabiendo que \( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}=P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n}
 \)

He llegado a que siempre la productoria de números primos mayores a \( 2 \) elevados a cualquier exponente es mayor que la sumatoria de todos sus factores propios más el \( 1 \) que surge naturalmente de la productoria de primos elevado a exponente cero.

Conclusión no puede existir un número perfecto impar.... ya que no hay forma de lograr la igualdad de términos si los primos son mayores o iguales a \( 3 \) y los exponentes mayores o iguales a \( 1 \).


Esta demostración, si se puede llamar así, me ha resultado fácil, me temo que seguramente el ojo entrenado de los matemáticos del foro verán dónde me se halla algún error importante, que la rigurosidad necesaria no se cumpla, que desvirtúe la lógica y lo haga falaz.

De hecho de la crítica  a la primera lectura, he podido mejorar mi original y llegar a este desarrollo, espero que los errores que queden sean de forma y no de fondo, o viceversa y todo quede en la nada.


Gracias por tomarse el tiempo leerme y mucho mas agradecido, de que me cuenten su parecer.


*Modificado luego del recordatorio de Luis Fuentes...



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Teoría de números / Número perfectos impares
« en: 17 Octubre, 2019, 05:36 am »
He visto y leído que los números perfectos que se conocen, son solo 51, todos ellos pares y siguen algún tipo de regla de construcción, respecto de potencias de primos.

Según entendí hay dos temas abiertos, al momento de la lectura y vista de un video eran

1) Demostrar que los números perfectos pares, son infinitos....

2) Encontrar un número perfecto impar o bien demostrar el porque no hay números perfectos impares.

respecto a esto último alguien lo ha logrado esto últimamente?
hay trabajos respecto a este tema aquí en el foro?

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Teoría de números / Números Primos, acotación de gaps
« en: 13 Octubre, 2019, 09:03 pm »
Hola, saludos a todos, este es mi primer mensaje.

Quisiera  si es posible me expliquen la definición de cota general a los gaps entre números primos.

Creo que por definición un gap es la diferencia entre dos números primos consecutivos,  dada esta definición es obvio que existe siempre un número primo superior, que es mayor al tamaño del gap...por ende sabemos que tiene cota.

Bien pero también sabemos que el contable del conjunto de los números primos es infinito y aplicando la definición de infinito como " un número tan grande como yo quiera" ,me pregunto cual es la cota para los gaps en dicho conjunto.

Bueno mi respuesta sería un número tan grande como yo quiera, por lo tanto es infinito, en definitiva los gaps como conjunto no tienen cota.

Entiendo claramente que dado un conjunto de números primos de \( N \) elementos , entonces si existe una cota para los \( N-1 \) gaps que se pueden formar...

La pregunta es porque ese paso de lo particular a lo general , hace que que conjunto no tenga cota...


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