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Temas - ciberalfil

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Foro general / Números primos y más.
« en: 09 Octubre, 2020, 11:46 pm »
Tengo actualmente tres programas en ejecución:

Uno que cuenta números primos menores o iguales que uno dado \( n \), al contador lo llamaré \( c_1 \).
Otro que cuenta el número de pares gemelos hasta uno dado \( n \), al contador lo llamaré \( c_2 \).
Y otro que cuenta el número de pares primos cuya suma es un par dado, \( n \), al contador lo llamaré \( c_3 \)

En los tres se calcula el parámetro:

\( \displaystyle d_i=Log_n(c_i)=\frac{log(c_i)}{log(n)} \)

y en los tres programas dicho parámetro 'parece estabilizarse' alrededor de un determinado valor, al crecer \( n \), valor que resulta ser en cada caso:

[
\( d_1\sim{}0,85 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_1\sim{}\displaystyle n^{0'85 ...} \)

\( d_2\sim{}0,71 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_2\sim{}n^{0'71 ...} \)

\( d_3\sim{}0,60 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_3\sim{}n^{0'60 ...} \)

¿Tiene esto algún sentido para vosotros?

Salu2.

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Foro general / Primos e irracionales
« en: 02 Octubre, 2020, 02:08 pm »
¿Hay similitudes entre los primos y los irracionales positivos? Pues veamos que son los números primos, son aquellos que solo son divisibles por si mismos y por la unidad. Eso nos dice poco. Hay un algoritmo que pone de manifiesto el aspecto que más nos interesa de ellos. Me refiero al algoritmo de Eratóstenes, que establece un método para eliminar de la lista de los naturales aquellos que no son primos, se denominan compuestos de forma que una vez eliminados todos los compuestos los que quedan serían los primos, es decir los números primos son los naturales que no son compuestos. Bonita definición, que tampoco sirve de mucho.

¿Y que son los irracionales positivos? Pues si pudiéramos poner la lista de los números reales positivos (por desgracia no podemos) y mediante un algoritmo parecido al de Eratóstenes ir eliminando los números racionales de la lista, al final solo quedarían los números irracionales. Es decir los irracionales son aquellos números reales que no son racionales. Otra bonita definición que tampoco sirve de mucho, la verdad.

Pero ambas definiciones tienen algo en común, su forma de definirlos. Y dichos conjuntos también tienen otra cosa en común, y es que son dos conjuntos intratables. No se ha podido establecer para ellos otra forma más manejable de definirlos. Ni para los primos ni para los irracionales. Lo que hace que demostrar otras propiedades para ambos conjuntos sea realmente complicado. Verdaderamente no se conocen propiedades que sirvan para definirlos.

La forma de construirlos es muy similar. Tomando como \( {n_i\geq{}2} \) cualquiera de los naturales mayores o iguales que 2, resulta que:

Los naturales compuestos, \( N_c \), se pueden construir como el producto de dos cualesquiera de sus elementos \( \displaystyle c_{ij}=n_i\times{}n_j \) y los primos serían los huecos que quedarían entre ellos.

Los racionales positivos, \( Q^+ \), se pueden construir como el cociente de dos cualesquiera de sus elementos \( \displaystyle q_{ij}=n_i/n_j \) y los irracionales serían los huecos que quedarían entre ellos.

Es solo una curiosidad y este mensaje no tiene más aspiraciones que mostrarla, pero es muy interesante creo yo. Ambos tipos de números son como los agujeros negros de las matemáticas. Sabemos que están ahí pero no resulta fácil identificarlos. Os pongo un ejemplo de cada tipo:

\( 37^{37}+8\qquad\qquad e^{\pi}+cos(7) \)

El primero probablemente sea primo y el segundo probablemente irracional pero una cosa es suponerlo y otra muy distinta demostrarlo rigurosamente.

Salu2  ;D ;D ;D

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Foro general / Linealidad
« en: 27 Septiembre, 2020, 01:31 pm »
No sé si es casualidad o existe alguna causa que lo justifique, probablemente sea mas cierta la segunda, por lo que ahora explicaré. Me refiero a los sistemas lineales. Resulta que la mayoría de las transformaciones que se estudian en matemáticas son lineales es decir satisfacen las siguientes propiedades:

\( T(f_1+f_2)=T(f_1)+T(f_2)\qquad\qquad T(kf)=kT(f) \)

por ejemplo los incrementos de funciones, los diferenciales, las derivadas totales y parciales de cualquier orden, las integrales simples, curvilíneas, múltiples, las matrices, los tensores, etc.

Las ecuaciones que se obtienen de aplicar estos operadores a funciones diversas son también lineales, y los sistemas que regulan estas ecuaciones tiene unas propiedades realmente curiosas. La principal de ellas es que son susceptibles de aplicarles el principio de superposición que establece que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B. Esto permite que se utilicen estos sistemas para modelizar multitud de problemas físicos y tecnológicos de múltiple índole. En general la búsqueda de soluciones a muchas de las aplicaciones de la matemática pasan por este tipo de sistemas lineales, que permiten crear modelos sencillos que se comportan en general bastante bien respecto de los resultados obtenidos y sus soluciones en general se obtienen fácilmente mediante la aplicación de operadores y ecuaciones lineales.

Son ejemplos muy representativos la mecánica y la gravitación clásicas, la relatividad y el electromagnetismo moderno e incluso la mecánica cuántica, que presentan ejemplos típicos tales como la ecuación de propagación de las ondas electromagnéticas, las ecuaciones de Maxwell y de Schrödinger, las de campo de Einstein y otros muchos casos que creo que no hace falta relacionar aquí.

Pero la realidad, en general, no es lineal, es más bien caótica y muestra casi siempre fenómenos no lineales como la saturación o el retardo (la histéresis) o la plasticidad de los materiales, y su comportamiento dista mucho de un comportamiento tan sencillo como la linealidad. No será que buscamos la linealidad en los modelos porque son mucho más fáciles de tratar e incluso forzamos la tecnología para que las máquinas funcionen dentro de rangos de trabajo en los que la linealidad es razonable, como el comportamiento elástico de los materiales, evitar la saturación de los materiales, obtención ciclos de histéresis mínimos, etc. Cuando oigo decir que las matemáticas se ajustan bien a la naturaleza de las cosas tengo que sonreir porque no existe probablemente nada más lejos de la realidad que una afirmación como esa. Quizás sea más correcto decir que las matemáticas se ajustan bien a nuestra percepción o incluso que nuestra percepción se ajusta más bien a las matemáticas pero la realidad es otra cosa.

Salu2

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Cálculo 1 variable / Incrementos de una función.
« en: 25 Septiembre, 2020, 01:42 pm »
Es muy conocido el tema para funciones de una sola variable, pero que ocurre cuando las funciones a las que se aplican dichos incrementos son multivariable, por ejemplo:

\( \displaystyle\Delta F(x,y,z)=F(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-F(x,y,z) \)

¿Que ocurre en el entorno de \( F(x,y,z) \) cuando los incrementos de las variables tienden a 0?

Si los incrementos se producen de uno en uno creo que los resultados conducen a las derivadas parciales, tema que también es muy conocido, pero ... hay más posibilidades. ¿Están exploradas?

¿Si \( F(x,y,x) \) es continua entonces \( \Delta F(x,y,z) \) sería un infinitésimo equivalente a la forma \( G(x,y,z)\Delta x\Delta y\Delta z \)? ¿tendría otra forma?

¿Que propiedades tendría G(x,y,z) si existe?

Salu2


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- Otros - / Iteración en el campo real
« en: 20 Septiembre, 2020, 09:49 am »
Alguien tiene o puede suministrar información, de cualquier tipo, sobre la iteración de funciones reales de una variable real.
Gracias.

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Análisis Matemático / igualdad diferencial
« en: 01 Septiembre, 2020, 06:40 pm »
Quería que alguien pudiera explicarme de dónde sale esta ecuación, es decir como se demuestra la archiconocida la igualdad:

\( dy=y'(x)dx \)

ya que debo utilizarla para resolver algunos tipos de integrales, pero no encuentro la forma de demostrarla.

Muchas gracias.

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Foro general / Iteración de funciones
« en: 07 Mayo, 2019, 07:04 pm »
Buenas, estoy tratando de documentarme sobre la iteración de funciones en matemáticas, y tengo algunas cosas interesantes en el campo de los números naturales, en el de los racionales, no demasiado, y en el campo complejo sobretodo debido al desarrollo de los fractales, pero la verdad es que no encuentro documentos matemáticos específicos con cierta extensión y rigor que hablen de asunto propiamente dicho.

¿Saben indicarme algo al respecto de este asunto? La verdad es que parece un campo muy árido, donde no hay casi nada a lo que agarrarse y en el que la documentación existente es casi nula.

Salu2 y gracias.

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