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Temas - Bobby Fischer

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 ;D Hola,

Tengo un ejercicio que dice así:

Determinar las cónicas que tienen un contacto de segundo orden (osculatrices) con la cónica de ecuación \( x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=0 \) en el punto \( (0:1:0) \) y que pasa por los puntos \( (3:6:-2),\, (1:0:1). \) 

Obviamente el punto \( (0:1:0) \) pertenece a la cónica lugar del enunciado, pero el punto \( (3:6:-2) \) también.

Si llamamos \( Q \) a la cónica del enunciado, tenemos que la variedad \( polar_Q(P): \begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_0}\\{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=x_0+x_2=0 \)

A continuación, se tienen la recta \( x_0+x_2=0 \) que acabamos de obtener y la que pasa por los puntos \( (0:1:0),\, (3:6:-2) \), que tiene por ecuación \( 2x_0+3x_2=0 \), por lo que una cónica del haz podría considerarse \( (x_0+x_2)(2x_0+3x_2)=0 \), que tiene por matriz representante \( \begin{bmatrix}{4}&{0}&{5}\\{0}&{0}&{0}\\{5}&{0}&{6}\end{bmatrix} \).

Falta ahora la segunda cónica para formar el haz. La elección de dicha cónica no sé hacerla, no sé muy bien de qué depende su elección. Pero intuitivamente es coger la recta de ecuación \( (x_0+x_2)^2=0 \) y decir que es una recta doble. Tendríamos que una matriz representante es \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{1}\end{bmatrix} \), así que el haz viene dado por: \( \begin{bmatrix}{4\lambda_1+\lambda_2}&{0}&{5\lambda_1+\lambda_2}\\{0}&{0}&{0}\\{5\lambda_1+\lambda_2}&{0}&{6\lambda_1+\lambda_2}\end{bmatrix} \)

Por último queda imponer que el punto \( (1:0:1) \) pertenezca al lugar de dicha cónica, con lo que se obtiene \( 5\lambda_1+\lambda_2=0 \), consiguientemente la cónica buscada es \( (x_0+x_2)(x_0-x_2)=0 \).

Pero no me convence.

2
Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Determinar cónicas
« en: 10 Septiembre, 2020, 01:29 pm »
Hola,

Tengo que determinar las cónicas de \( \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \) que pasan por los puntos \( (1:0:1),\, (3:-2:0) \) y son tangentes a las rectas \( x_0+2x_1=0,\,x_1=0,\, x_0+x_1-2x_2=0 \).

Es fácil ver que el punto \( (1:0:1) \) está en la recta \( x_1=0 \), por lo que la cónica buscada es tangente a la recta en ese punto.

Me gustaría resolverlo usando haces de cónicas, pero no veo cómo.

3
Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Rectas proyectivas
« en: 05 Septiembre, 2020, 07:18 pm »
Hola,

Estoy con espacios proyectivos y por un lado tengo una recta \( r=P+Q \) con \( P=[1:0:1:0] \) y \( R=[0:1:0:1] \). Entonces hago como si estuviera en el espacio afín y digo que \( r:=[x_0\, x_1\, x_2\, x_3]=P+\lambda\vec{PR} \), después de lo cual los puntos de la recta quedan en función del parámetro lambda. E implícitamente, como son puntos del proyectivo, pues..., quedan en función de otro parámetro. 

Luego me encuentro con otra recta cuya ecuación es:

\( \begin{cases}x_0=-\lambda +2\mu\\x_1=\lambda+\mu\\x_2=-\lambda -\mu\\ x_3=\lambda+\mu\end{cases} \)

Aquí los puntos de la recta dependen de dos parámetros. Qué es lo que está pasando.

4
Ecuaciones diferenciales / Análisis solución ED.
« en: 30 Agosto, 2020, 08:35 pm »
Hola,

Tengo \( y'=-y+y^2 \) junto con la condición inicial \( y(0)=1/2 \).

Me preguntan por las soluciones constantes; trivialmente se calculan, son \( y=0 \) e \( y=1 \).
Me gustaría saber en primer lugar cómo se deduce que la solución \( \varphi \) del problema de Cauchy está acotada entre 0 y 1, sin dar solución explícita al problema (la cual es \( \varphi=\dfrac{1}{1+e^x} \)).

5
Hola,

Consideremos el problema de Cauchy: \( \begin{cases}y'=f(t,y),\\y(t_0)=y_0\end{cases} \)

donde \( f\in C^0(\Omega,\mathbb{R}^N),\: (t_0,y_0)\in \Omega \) y sea \( (I=(\alpha,\beta),\varphi) \) una solución del problema de Cauchy.

a) ¿Qué significa que \( (I,\varphi) \) sea prolongable por la derecha?

Significa que existe un intervalo \( J \) y una función \( \psi \) cuyo dominio es \( J \) solución del problema de Cauchy y tal que \( \sup I\in J \) y \( I\subset J \).

b) Probar que \( (I,\varphi) \) es prolongable por la derecha si y solo si existe \( \lim_{t\to\beta^-}\varphi(t):=y_{\beta} \) y \( (\beta, y_{\beta})\in\Omega \).

Esto tardo demasiado en darle forma.

c) ¿Es prolongable por la derecha la solución de \( y'=y^2, y(0)=1 \) en el intervalo \( I=(0,1) \)?

La solución es \( \varphi=\dfrac{1}{1-x} \) y \( \lim_{t\to1^-}=+\infty \). De acuerdo con la afirmación anterior, dicha solución no es prolongable por la derecha.

6
Ecuaciones diferenciales / EDO primer orden
« en: 28 Agosto, 2020, 08:49 am »
Hola,

Para resolver \( (2xy+y^4)+(3x^2+6xy^3)y'=0 \), si considero que se trata de una función en forma implícita \( \Phi(x,y)=0 \), debería tener, derivando respecto a x, \( \frac{\partial}{\partial x}\Phi(x,y)+\frac{\partial}{\partial y}\Phi(x,y)\frac{\partial y}{\partial x}=0 \)

Sin embargo,

\( \frac{\partial}{\partial y}\left ( \frac{\partial}{\partial x}\Phi\right)=2x+4y^3 \)

\( \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial y}\Phi\right)=6x+6y^3 \)

Aquí qué se hace.

Saludos.

7
Hola,

Si tengo \( y''+4y'+5y=e^{2x}\sen x \)

\( y(0)=a \)
\( y'(0)=b \)

\( a,b\in\mathbb{R} \)

La solución de la ecuación homogénea asociada es:

\( \varphi_{h}(x)=e^{-2x}(c_1\cos(x)+c_2\sen(x)) \)

La pregunta es cómo consigo una solución particular de la EDO.

Saludos.

8
Ecuaciones diferenciales / Ecuación diferencial ordinaria.
« en: 22 Julio, 2020, 06:12 pm »
Hola,

Se considera la EDO \( y'=2xy^2-2xy \)

a) Determinar las soluciones constantes:


Son de la forma \( \varphi=c \), que implica \( \varphi'=0 \). Sustituyendo, quedan \( \varphi_1=0 \) y \( \varphi_2=1 \).

b) Admitiendo que por cada punto del plano pasa una única solución, determinar las regiones donde las soluciones son crecientes y decrecientes, y los puntos de máximos y mínimos.

Estoy algo confundido porque tengo una expresión del tipo \( y'=f(x,y) \), y se supone que en general se busca \( y=\varphi(x) \), pero creo que la solución debería ser una función implícita del tipo \( \Phi(x,y)=0 \).

Igualando \( y' \) a cero, habría que considerar las regiones del plano limitadas por \( y=0 \), \( y=1 \) y por \( x=0 \). Quedan entonces 6 regiones donde se tiene de forma alternada que \( y'(x,y) \) es negativa, positiva, positiva, negativa y negativa y positiva.

 ???

9
Hola,

Iba a preguntar una duda sobre la demostración siguiente, pero creo que la he resuelto. De todas formas, ¿qué significa que "la integral está efectuada componente a componente"?

Vamos a demostrar en esta sección un resultado de existencia y unicidad de solución, en un intervalo suficientemente pequeño, para el problema de Cauchy

\begin{align*}(PC)\begin{cases}y'=f(x,y),\\ y(x_0)=y_0.\end{cases}\end{align*}

En concreto, vamos a demostrar el siguiente resultado:

(Teorema de Picard) Sean \( \Omega \subset \mathbb{R}^{N+1} \) un conjunto abierto no vacío, y \( f:\Omega \to \mathbb{R}^N \) tal que:

\( f\in C(\Omega; \mathbb{R}^N)\cap Lip_{loc}(y,\Omega) \).

Con estas condiciones, para cada \( (x_0,y_0)\in \Omega \), existe un \( \delta>0 \), tal que si denotamos \( I_{\delta}=[x_0-\delta,x_0+\delta] \), existe una y sólo una solución del problema (PC) en \( I_{\delta} \).

Demostración. Como \( \Omega \) es abierto y \( f\in Lip_{loc}(y,\Omega) \), existen \( a_0>0 \) y \( b_0>0 \), tales que si denotamos

\( R=[x_0-a_0,x_0+a_0] \times \overline B(y_0,b_0) \)

se satisfaga

\( R\subset \Omega \), y \(  f\in Lip(y,R) \).

Sea \( L>0 \) una constante de Lipschitz para \( f \) en \( R \), es decir, tal que \( |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L|y_1-y_2| \), \( \forall (x,y_1),(x,y_2)\in R \),

y denotemos

\( M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|  \),

máximo que se alcanza por ser \( f \) continua y \( R \) compacto.

Fijemos un número \( \delta \) tal que

\( 0<\delta<\min(a_0,b_0/M,1/L) \),

y consideremos el conjunto

\( X=\{\varphi \in C(I_{\delta};\mathbb{R}^N);\; |\varphi(x)-y_0|\leq b_0, \forall x \in I_{\delta}\}. \)

Evidentemente, \( X \) no es más que la bola cerrada en \( (C(I_{\delta};\mathbb{R}^N),||.||_{\infty}) \), de centro la función \( \varphi_0\equiv y_0 \), y radio \( b_0 \). En consecuencia, \( X \) es un subconjunto cerrado no vacío de \( (C(I_{\delta};\mathbb{R}^N),||.||_{\infty}) \), y por tanto \( (X,d) \), con \( d \) definida por

\( d(\varphi,\psi)=\max_{x\in I_{\delta}}|\varphi(x)-\psi(x)| \), \( \forall \varphi,\psi \in X \),

es un espacio métrico completo.

Nosotros ya hemos visto en el Tema 2 que \( \varphi \) es solución del problema de Cauchy en \( I_{\delta} \) si y sólo si satisface la formulación integral, es decir, es solución del problema

  • \( \varphi \in C(I_{\delta};\mathbb{R}^N) \),
  • \( (x,\varphi(x))\in \Omega \), para todo \( x \in I_{\delta} \),
  • \( \varphi(x)=y_0+\displaystyle\int_{x_0}^x f(s,\varphi(s))ds, \quad \forall x \in I_{\delta} \), donde la integral está efectuada componente a componente.

Ahora bien, por la elección de \( \delta \), si \( \varphi \) satisface los tres puntos anteriores, entonces \( \varphi \) satisface

\( |\varphi(x)-y_0|\leq b_0, \quad \forall x \in I_{\delta} \),

ya que, en caso contrario, como \( |\varphi(x_0)-y_0|=0<b_0 \), por continuidad de la función \( |\varphi(x)-y_0| \), existiría un punto \( \hat x \in I_{\delta} \), con \( \hat x\neq x_0 \), tal que

\(  |\varphi(\hat x)-y_0|=b_0 \), y \( |\varphi(x)-y_0|<b_0 \),

para todo \( x \) en el intervalo abierto de extremos \( x_0 \) y \( \hat x \). Entonces, por el punto 3, se tendría

\( b_0=|\varphi(\hat x)-y_0|=\left|\displaystyle \int_{x_0}^{\hat x}f(s,\varphi(s))ds\right|\leq M |\hat x-x_0|\leq M\delta <b_0 \), lo cual es un absurdo.

En consecuencia, resulta ahora evidente que \( \varphi \) es solución del problema de Cauchy en el intervalo \( I_{\delta} \), si y sólo si \( \varphi \) pertenece a \( X \) y satisface el punto 3.

Denotemos, para cada función \( \varphi \in X \), por \( T\varphi \) a la función definida por \( (T\varphi)(x)=y_0+\displaystyle \int_{x_0}^x f(s,\varphi(s))ds,\quad \forall x \in I_{\delta} \).

Es inmediato que \(  T\varphi \in C(I_{\delta}; \mathbb{R}^N) \). Además, para todo \(  x\in I_{\delta} \), se tiene

\( |(T\varphi)(x)-y_0|=\left| \displaystyle \int_{x_0}^x f(s, \varphi(s))ds\right|\leq M|x-x_0|\leq M \delta <b_0 \),

y en consecuencia, \( T\varphi \) pertenece a \( X \). Es decir, \( T:X\to X \).

Está claro de todas las consideraciones precedentes, que \( \varphi \) es solución del problema de Cauchy en el intervalo \( I_{\delta} \), si y sólo si \( \varphi \) es un punto fijo de la aplicación \( T \). En consecuencia, para terminar con la demostración del teorema, basta con comprobar que \( T \) es contractiva. Para ello, sean \( \varphi \) y \( \psi \) dos elementos de \( X \), y \( x\in I_{\delta} \). Entonces

\( |(T\varphi)(x)-(T\psi)(x)|=\left|\displaystyle \int_{x_0}^x f(s,\varphi(s))-f(s,\psi(s))ds\right|\leq \left|\displaystyle \int_{x_0}^x \left|f(s,\varphi(s))-f(s,\psi(s))\right|ds\right|\leq L\left |\displaystyle \int_{x_0}^x |\varphi(s)-\psi(s))|ds\right|\leq L |x-x_0|d(\varphi, \psi) \),

y por tanto,

\( d(T\varphi,T\psi)=\max_{x\in I_{\delta}} |(T\varphi)(x)-(T\psi)(x)|\leq L\delta d(\varphi,\psi) \),

siendo \( L\delta<1 \).

10
Hola,

Supongamos que tengo una variedad lineal afín \( Y=Y_1\cap Y_2 \) en \( \mathbb{A}^2(\mathbb{R}) \) dada por el sistema de ecuaciones: \( \begin{cases}-x_1+x_2=0\\-1-x_1+x_2=0\end{cases} \)

Ahora imaginemos que "homogenizo" las ecuaciones de \( Y_1 \) e \( Y_2 \) porque pretendo obtener sus clausuras proyectivas y hallar la intersección de ambas.

Entonces queda \( \overline{Y_1}\cap\overline{Y_2}=\begin{cases}-x_1+x_2=0\\ -x_0 -x_1+x_2=0\end{cases} \)

Resolver el sistema da como solución \( [x_0:x_1:x_2]=\alpha [0:1:0]+\beta[0: 0:1] \) dependiente de los parámetros \( \alpha \) y \( \beta \) (que es el plano del infinito \( H_\infty:\{x_0=0\} \))

Cuando empecé a escribir creía encontrar algo extraño en la escritura de \( [x_0:x_1:x_2]=\alpha [0:1:0]+\beta[0: 0:1] \), pero ahora veo que no. Así que duda resuelta.

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Ecuaciones diferenciales / Teorema de Picard
« en: 09 Junio, 2020, 10:06 am »
Hola, en un ejemplo de teoría sobre el teorema de Picard se indica que para la función:

\begin{align*}f(x,y)=\begin{cases}y & \text{si} & y\geq 1 \\
 x^3 & \text{si} &  y<1,\, y\geq x^2 \\
 xy & \text{si} &  y<1,\, y<x^2, x\geq 0 \\
0 & \text{si} & y<1,\, y<x^2,\, x<0\end{cases}\end{align*}

es sencillo comprobar que los conjuntos \( \Omega_1 \) y \( \Omega_2 \) dados por:

\( \Omega_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y>1\} \)
\( \Omega_2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y<1\}\setminus\{(x,x^2): x\in [-1,0]\} \)

son los correspondientes dominios maximales de existencia y unicidad, siendo \( \Omega_1\cup\Omega_2 \) el abierto maximal de existencia y unicidad para la ecuación diferencial \( y'=f(x,y) \).
Veo que las funciones son continuas y localmente lipschitz respecto a \( y \), pero no veo muy bien lo referido a los dominios.

12
Dudas y sugerencias del foro / Versión del foro
« en: 02 Junio, 2020, 10:49 pm »
Hola,

Nota importante: esta versión del foro no es práctica. Yo volvería a la versión anterior, la de "ealapi".

Saludos.

13
Probabilidad / Duda conceptual cambio de variables
« en: 31 Mayo, 2020, 11:44 am »
Hola,

Según el teorema del cambio de variables (todo esto explicado grosso modo y en dimensión \( 2 \) por ejemplo), si tengo las variables \( (X,Y) \) definidas en un abierto \( A \) de \( \mathbb{R}^2 \), una función biyectiva de \( A \) en otro abierto \( B \), \( g:(X,Y)\to (U,V) \) y las derivadas parciales de \( g^{-1} \) existen y son continuas, puedo calcular la función de densidad \( f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(g^{-1}(u,v))\cdot |\det Jg^{-1}| \).

Este es caso de la función de densidad \( f_V(v)=e^{-v}\chi_{(0,\infty)}(v) \) si \( V=-\ln Y \). En tal caso, el dominio de \( V \) se transforma en \( (0,1) \) para \( Y \), y aplicando el teorema a \( f_V \) quedaría \( f_{-\ln Y}(y)=y\, \chi_{(0,1)}(y) \), que habría que multiplicar por el valor absoluto de la derivada de \( g^{-1}(y)=-\ln y \), que es \( \dfrac{1}{|y|} \). Y efectivamente, \( f_{-\ln Y}=\chi_{(0,1)} \), es decir, \( -\ln Y\sim U(0,1) \)

AHORA por qué cuando se tiene e.g. \( h(x)=\cos(x^2) \) y se hace el cambio de variable \( t=x^2 \), y se obtiene \( h(\sqrt{t}) \) (que en definitiva es una función de \( t \)), \( h(t)=\cos(t) \), no hay que multiplicar por el valor absoluto del jacobiano.

14
Probabilidad / Función de densidad
« en: 30 Mayo, 2020, 11:06 am »
Hola,

Sea \( (X,Y) \) un vector aleatorio con función de densidad: \( f(x,y)=3x^2y^3 I_A(x,y) \), siendo \( A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0<xy<1, 0<y<1\} \)
¿Cómo se calcula la función de densidad marginal \( f_X(x) \)?
\( f_X(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \), pero no consigo entender la intersección con el recinto de la función indicadora.

15
Métodos Numéricos / Gram-Schmidt
« en: 26 Mayo, 2020, 08:01 pm »
Hola,

Curiosidad: pasando a Matlab el método de ortogonalización de Gram-Schmidt:

Código: [Seleccionar]
function [V]=a48(V)

% V: matriz de vectores a ortonormalizar dados por columnas
% Los vectores deben ser linealmente independientes
[~,n]=size(V);
V(:,1)=V(:,1)/norm(V(:,1));
for k=2:n
    S=0;
    for i=1:k-1
        S=S+V(:,k)'*V(:,i)*V(:,i);
    end
    V(:,k)=V(:,k)-S;
    V(:,k)=V(:,k)/norm(V(:,k));
end
end

Le doy un conjunto de 5 vectores linealmente dependientes y me devuelve un conjunto de 5 vectores linealmente independientes. ¿Qué ha pasado?

Que el método hace que aparezca una resta de dos cantidades 'iguales', lo que da lugar a un vector del orden del número máquina. Al normalizar queda un vector que debería ser cero pero que no lo es.

Saludos.

16
Métodos Numéricos / Ajuste mínimos cuadrados
« en: 25 Mayo, 2020, 12:58 pm »
Hola,

Aunque Matlab ya tiene la función 'polyfit', he escrito la mía propia para resolver un problema de cuadrados mínimos de tipo discreto, por si alguien lo quiere probar o aconsejarme algo.

Código: [Seleccionar]
function []=a49(x,y,n)
% El polinomio de ajuste es de grado <= n
vx=zeros(length(x),1);
vy=vx;
for i=1:length(x)
    vx(i)=x(i);
    vy(i)=y(i);
end
x=vx;
y=vy;

A=zeros(n+1);
b=zeros(n+1,1);
for i=0:n
    for j=i:n
        A(i+1,j+1)=(x.^i)'*x.^j;
    end
    b(i+1)=(x.^i)'*y;
end
A=A+triu(A,1)';
u=A\b;

ccs=zeros(n+1,1);
for j=1:n+1
    ccs(j)=u(n+2-j);
end
disp(ccs)
x1=linspace(min(x),max(x),1e3);
y1=polyval(ccs,x1);

close(figure(1))
figure(1)
hold on
plot(x,y,'rp')
plot(x1,y1,'b')
axis equal

% x=[2 4 6 8]; y=[2 11 28 40]; n=1;
% x=rand(4,1); y=rand(4,1); a49(x,y,length(x-1))


17
Hola,

El teorema de la divergencia dice \( \displaystyle \iint_{\partial M}f\cdot \vec{n}d\sigma=\iiint_M div(f)dm \)

Cuando tengo un sólido formado por distintas caras, tengo que hacer parametrizaciones de las mismas. De cada una de ellas he de obtener el vector normal, con sentido "hacia afuera" del sólido.

¿Hay algún truco para asegurarme desde un comienzo que con la parametrización que hago de la superficie el vector normal apuntará hacia afuera?

18
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Variable aleatoria
« en: 02 Mayo, 2020, 02:43 pm »
(Eliminar)

19
Foro general / Página del foro se cae periódicamente
« en: 25 Abril, 2020, 11:10 am »
Hola,

¿Por qué está teniendo estos problemas el foro últimamente? Me he quedado muchos días esperando a que volviera. Se me ha hecho una eternidad. 

Saludos.

20
Probabilidad / Esperanza matemática
« en: 13 Abril, 2020, 09:30 pm »
Hola,

"Para una variable aleatoria arbitraria con función de distribución \( F(x) \) por esperanza matemática se entiende la integral

\begin{align}M\xi=\int x dF(x)\end{align}

Utilizando la definición de integral de Stieltjes es posible dar una interpretación geométrica sencilla de esperanza matemática: ésta es igual a la diferencia de las áreas comprendidas entre el eje de coordenadas, la recta \( y=1 \) y la curva \( y=F(x) \) en el intervalo \( (0,+\infty) \), y entre el eje de abscisas, la curva \( y=F(x) \) y el eje de ordenadas en el intervalo \( (-\infty,0) \). [...] A propósito, advirtamos que la ilustración geométrica permite escribir la esperanza matemática con la forma

\begin{align}M\xi=-\int_{-\infty}^0F(x)dx+\int_0^\infty (1-F(x))dx\end{align}

Merced a esta observación, en muchos casos es posible determinar la esperanza matemática sin efectuar el cálculo."

Mi pregunta es cómo se obtiene (2) y si alguien quiere comentar brevemente el uso de la integral de Stieltjes.

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