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Temas - micabua

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Análisis Funcional - Operadores / Maximizar un funcional
« en: 14 Enero, 2020, 01:37 pm »
Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea \( \mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\} \). Maximizar el funcional

\( J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt \)

sujeto a \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2 \) en  \( \mathcal{M} \).

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud \( l \) i son nulas en los puntos \( -1 \) y \( 1 \).

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si \( l\leq  \pi \). Es decir, el Teorema no da solución cuando \( l>\pi \).

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional \( J \) cuando \( l=4 \), por ejemplo?

Un saludo y gracias

2
Hola,

Sea \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathbb{R} \). Si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) diverge, ¿se puede decir algo acerca de la convergencia/divergencia de la serie

\(  \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{|a_n|}{\displaystyle\sum_{i=1}^n|a_i|}\right)=\frac{|a_1|}{|a_1|}+\frac{|a_2|}{|a_1|+|a_2|}+\frac{|a_3|}{|a_1|+|a_2|+|a_3|}+\cdots ? \)

Muchas gracias de antemano.


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Análisis Matemático / Relación productos infinitos y series
« en: 06 Junio, 2019, 03:31 pm »
Hola,

El otro día leí que, en general, la convergencia de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) no es necesaria ni suficiente para la convergencia de \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \). ¿Podríais darme algún ejemplo? Se entiende la convergencia del producto infinito como que la sucesión de los productos parciales tiende a un valor no nulo o si alguno de sus factores es 0.

Yo sé que si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|) \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \) converge. Luego necesitaría una sucesión que sea convergente pero no absolutamente convergente, pero no se me ocurre ninguna.

Un saludo y gracias.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Definición de aleph-1
« en: 11 Julio, 2018, 07:45 pm »
Hola,

Estoy trabajando en la hipótesis del continuo y no tengo muy clara la definición de \( \aleph_1 \). Se define \( \aleph_0:=|\mathbb{N}| \) como el cardinal de los naturales. De esto se sigue con una serie de definiciones de los "alephs" que desconozco, y es lo que quiero saber.

La hipótesis del continuo dice que no existe ningún conjunto con cardinal entre \(  \aleph_0 \) y el cardinal de los reales \( c \). Asumiendo el axioma de elección los únicos infinitos son los aleph y entonces la hipótesis del continuo se vuelve en: \( c=\aleph_1 \).

Ahora bien, no sé de dónde sale la definición de \( \aleph_1 \). No puede ser el conjunto partes de los naturales, ni tampoco el conjunto potencia \( 2^{\mathbb{N}} \) (que es lo mismo).

Si la definición es el cardinal "siguiente" al de los naturales, no lo tengo muy claro si no usas el axioma de elección. Sería algo como el número real siguiente al 0.

Gracias!

5
Hola,

¿Cómo definiríais de forma simple un número real a partir del conjunto de los racionales? He construido el conjunto de los naturales, enteros y racionales a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, así que no me vale algo como "son números que tienen infinitos decimales no periódicos", puesto que estoy trabajando con conjuntos y ni siquiera se ha definido nada de decimales.

Entiendo que tiene que ver de alguna forma con el menor conjunto que contiene a los racionales que es completo respecto a sucesiones de Cauchy, pero desconozco algún teorema que pruebe la existencia y unicidad de esto.

Un saludo y gracias!

PD: Pido disculpas porque seguramente este tema se ha tratado con anterioridad. Aún así, la búsqueda del foro me resulta un poco extraña y no he conseguido encontrar nada.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Lógica y axiomas
« en: 06 Junio, 2018, 01:59 pm »
Hola. Me ha surgido una duda sobre los axiomas de teoría de conjuntos.

Supongamos que tenemos un conjunto de axiomas definidos. Yo me lo imagino cómo una hoja totalmente en blanco a la que le has añadido unas normas. Ahora, la pregunta es: ¿la lógica matemática está definida antes de enunciar los axiomas o se deduce de estos? Me refiero a que si puedes hacer afirmaciones del tipo:

\(  A \Rightarrow B  \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A \)

Sin tener ningún axioma antes definido sobre, por ejemplo, teoría de conjuntos.

Gracias.


7
Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Números transfinitos
« en: 03 Junio, 2018, 06:09 pm »
Hola,

He estado últimamente interesado en los números transfinitos, pero todo lo que he leído no es lo suficientemente riguroso.

Casi todos empiezan definiendo \( \omega \) como un elemento más grande que todos los naturales. Luego empieza a operar con la suma, la multiplicación y la potencia sin decir si quiera cómo está definido esto, puesto que no es un natural.

¿Alguien que me puedo ayudar?

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Cálculo de residuos
« en: 27 Abril, 2018, 11:52 am »
Hola. A ver si me podéis ayudar en un problema en el cual me he atascado. Resulta que se me pide calcular:

\( \displaystyle \int_0^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx \)

Para ello he considerado la función \( \displaystyle f(z)= \frac{\ln(1+z^2)}{1+z^2} \) y estoy intentando calcular la integral:

\( \displaystyle \int_\gamma \frac{\ln(1+z^2)}{1+z^2}dz \) donde \( \gamma \) es el camino que une la semicircunferencia superior centrada en 0 y de radio R mayor que 1 (\( \gamma_R \)) y el segmento \( [-R,R] \).

Si consigo calcular el valor de esta integral puedo separarla:

\( \displaystyle \int_\gamma \frac{\ln(1+z^2)}{1+z^2}dz= \int_{\gamma_R} \frac{\ln(1+z^2)}{1+z^2}dz+ \int_{-R}^R \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx= \int_{\gamma_R} \frac{\ln(1+z^2)}{1+z^2}dz+2 \int_{0}^R \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx \)

La primera integral imagino que se puede acotar fácil y ver que tiende a 0 cuando R tiende a infinito, así que ya tendríamos calculado lo que queríamos.

El problema es entonces calcular esto: \( \displaystyle \int_\gamma \frac{\ln(1+z^2)}{1+z^2}dz \). Obviamente la única singularidad en la región interna de \( \gamma \) es \( i \), pero no estoy seguro de si es un polo o una singularidad esencial, puesto que \( \displaystyle \lim_{z->i} f(z)(z-i)^2=0 \).

Calcular la serie centrada en \( i \) no sabría cómo hacerlo.

Gracias.

PD: Fernando Revilla, si me lees, es un ejercicio de tu blog (http://fernandorevilla.es/blog/2015/10/10/integral-int_0inftyfraclog-x21x21dx-por-residuos/), pero lo solucionas considerando otra función. Considerar esta me parece más intuitivo.

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Hola,

He empezado a estudiar variable compleja hace poco y me sorprenden muchas de las propiedades que tienen las funciones holomorfas en comparación a las funciones diferenciables de \( \mathbb{R}^2 \) (como por ejemplo el principio del módulo máximo). Mi pregunta es la siguiente: ¿A partir de qué momento se da esta diferencia? No sé si se debe a la estructura de \( \mathbb{C} \) o a la propia definición de función \( \mathbb{C} \) -derivable (puesto que en el denominador tenemos un término complejo a diferencia de un módulo de un vector en el caso de las funciones diferenciables de \( \mathbb{R}^2 \)).

Gracias.

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