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Temas - GMat

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1
¡Saludos! Me gustaría solicitar su ayuda con lo siguiente:

Estaba probando que el fibrado tangente \( TM \) es orientable sin importar si la variedad \( M \) lo es, para ello consideré el cambio de cartas en el fibrado \( (x_1,\ldots,x_n)\rightarrow((\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(x_1,\ldots,x_n),d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(v_1,\ldots,v_n)) \). Al escribirlo de esa forma el resultado sera una matriz dividida en 4 bloques. en el primer bloque quedaría la derivada de \( \phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( (x_1,\dots,x_n) \) que será precisamente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) y el segundo bloque (el \( A_{12} \)) sera \( 0 \) ya que es el resultado de derivar \( d\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \).

Mi duda viene al derivar \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \), Esta derivada debe de ser simplemente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) ahora bien, ¿Esto se debe porque al definir la diferencial sobre \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) lo hacemos sobre el punto \( v=(v_1,\ldots,v_n) \) y esto hace que el operador \( d(d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta))_v(v_1,\ldots,v_n) \) es la identidad?

Gracias de antemano por la ayuda que puedan brindarme.

2
Saludos. Me gustaría pedir su ayuda para entender una parte de la exposición del libro de Lee.

En el capítulo 7 "curvature", pagínas 116 y 117 John Lee escribe lo siguiente

"Given a Riemannian 2-manifold \( M \), there is an obvious way to attempt to construct such an extension of a vector \( Z_p\in T_pM \), Choose any local coordinates \( (x^1,x^2) \) centered at \( p \); first parallel translate \( Z_p \) along the \( x^1 \)- axis, and then parallel translate the resulting vectors along the coordinate lines parallel to the \( x^2 \)-axis. The result is a vector field \( Z \) that, by construction, is parallel along every \( x^2 \)-coordinate line and along the \( x^1 \)-axis. The question is whether this vector field is parallel along \( x^1 \)-coordinate lines other than the \( x^1 \)-axis itself, or in other words, whether \( \nabla_{\partial_1}Z=0 \).  Observe that \( \nabla_{\partial_1}Z \) vanishes when \( x^2=0 \),"

Mi pregunta es ¿por que \( \nabla_{\partial_1}Z \) se anula cuando \( x^2=0 \)?

Luego J. Lee continua con lo siguiente

"because \( \nabla_{\partial_2}Z = 0 \) everywhere by construction."

Tampoco me queda claro por que ese campo se enula. obviamente, no me quedó claro la construcción, ¿podrían ayudarme a comprenderla un poco mas?

Gracias de antemano por cualquier ayuda prestada.

3
¡Saludos! Me gustaría consultarles lo siguiente.

Cuando se intenta resolver una EDP lineal de primer orden \( A(x,y)u_y+B(x,y)u_x+C(x,y)u+D(x,y)=0 \) la manera general de resolverla es considerar la ecuación característica \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{A(x,y)}{B(x,y)} \)? La cual es una EDO de primer orden. Mi pregunta es: Si hacemos \( A(x,y)=dy,B(x,y)=dx \) ¿Como procedemos en este caso? Ya tomar la ecuación caracxteristica no me sirve de mucho ya que solo me dice que \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx} \).

Del mismo modo me gustaría saber que ocurre si \( A(x,y)=f(x,y)dy,B(x,y)=g(x,y)dx \), aquí me aparece al final que \( f(x,y)=g(x,y) \) lo cual tampoco veo como me podría ayudar ya que allí podría integrar con respecto a x ó y, como sabría cual tomar. Realmente no se como quedaría la solución de la ecuación caracteristica, que es la que se necesita para estos casos.

4
Saludos a todos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente:

Sea \( M \) una variedad diferenciable y \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) una carta coordenada alrededor de un punto \( p\in M \) el conjunto de 1-formas \( dx^1,\ldots,dx^n \) es un referencial móvil (frame) del fibrado cotangente \( T^*M \). El conjunto \( \{(dx^{i_1})\wedge\ldots\wedge(dx^{i_k}): i_1\leq\ldots\leq i_k\leq n\} \) es un referencial móvil para \( \Lambda^kT^*M \)

Si tengo otra carta coordenada \( (V,y^1,\ldots,y^n) \) alrededor de \( p \) y \( U\cap V\neq0 \) ¿Como puedo hacer el cambio de base de un sistema al otro?

Gracias de antemano por la ayuda.

Edito: Se que debe de aparecer el determinante de la matriz jacobiana, lo que deseo saber es como aparece.

5
Geometría Diferencial - Variedades / Cambio de coordenadas
« en: 17 Noviembre, 2019, 08:36 pm »
Saludos. estaba intentando probar lo siguiente: Dada una variedad riemanniana \( (M,g) \), \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) un abierto coordenado de \( M \) y \( p_0,p_1\in U \) ver que

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}g_{i,j}\dot{x}^i\dot{x}^j} \)

No depende de la parametrización. Para ello hice el los cambios de coordenadas de

\( g_{i,j}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}g'_{kl}\frac{\partial y^l}{\partial x^j} \)

 donde \( y^1,\ldots,y^n \) son las nuevas coordenadas. \( g'_{kl} \) es la métrica en estas nuevas coordenadas y

\( \frac{dx^i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\dot{y}^k \)

\( \frac{dx^j}{dt}=\sum_{l=1}^{n}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\dot{y}^l \)

Juntando todo ello obtengo

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j,k,l=1}^{n}\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right)\left(\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\right)g'_{kl}\dot{y}^k\dot{y}^l} \)

La principal pregunta es si lo que coloqué dentro de los parentesis se hace 1 y por que. Sino ocurre ¿Como podría seguir para probar que esa integral no depende de las coordenadas que escojamos?

La otra pregunta que quería hacerles es acerca de esa frase "no depende de la parametrización". En casi todos los ejemplos que he visto siempre aparece la matriz Jacobiana del cambio de cartas (de ser verdad lo que puse en el párrafo anterior este sería el primer caso que recuerdo que no ocurre esto). Realmente en esos casos lo que he visto es que las propiedades si cambian al cambiar la parametrización pero lo hacen de una manera muy especifica. Mi pregunta es ¿Siempre es posible escoger las nuevas coordenadas de manera tal que el determinante de la matriz Jacobiana del cambio de cartas se igual a 1? ¿A que se debe que yo siempre pueda "despreciar" este cambio al cambiar de coordenadas?

Muchas gracias de antemano

6
Saludos. Estaba probando que las geodésicas minimizan (localmente) distancias entre puntos como problema variacional. Uno de los puntos que me llamó la atención es que en dicho problema podemos tomar un lagrangiano \( L_1 \) que es la raiz cuadrada de la métrica Riemanniana y otro lagrangiano \( L_2=\frac{1}{2}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j \) (no estoy explicando mucho la notación pero creo que estoy usando la notación estándar para estos tópicos).

No me quedó del todo claro por que podía escoger \( L_2 \) para tratar el problema de minimizar distancias así que intenté ver que podía llegar a la ecuación de las geodésicas con los dos lagrangianos. Para el lagrangiano \( L_2 \) logré resolverlo (con la ayuda geómetracat en un hilo anterior), cuando quise hacerlo para el lagrangiano \( L_1=\sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j} \) vi que una parte de las ecuaciones de Euler-Lagrange (y suponiendo que la curva que deseo minimizar está parametrizada por longitud de arco) me quedaba igual que para el lagrangiano \( L_2 \). Pero tuve problemas con \( \partial L_1/\partial\dot{q}^k \). Este fue el problema

\( \frac{\partial L_1}{\partial\dot{q}^k}=\frac{g_{kj}\dot{q}^j}{2\sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}} \)

Allí apliqué la regla básica de diferenciación de la raíz, pero para obtener el resultado deseado ese factor \( 1/2 \) me estorba ¿Podrían indicarme que estoy haciendo mal en este caso? ¿El enfoque que tomé no es el correcto? Cuando hice la derivada \( \partial L_1/\partial q \) me apareció el factor \( 1/2 \) pero en ese caso si lo necesitaba allí

Saludos

7
Saludos. intentando demostrar la propiedad de las geodésicas de minimizar distancias localmente usando usando las ecuaciones de Euler-Lagrange me encontre con lo siguiente:

\( \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk}=\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk} \)

No veo por que se da la igualdad. ¿Tiene que ver con el hecho de que la conexión que se utiliza es la de Levi-Civita?

También me gustaría recibir su ayuda con lo siguiente: AL hacer los cálculos para demostrar resolver el problema me quedo la siguiente expresión:

\( \sum_{i,j=1}^n(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})(x^i)'(x^j)'+\sum_{j=1}^n g_{kj}(x^k)''=0 \)

Donde la prima denota la diferenciación con respecto a \( t \). Intente llegar a la expresión que coloqué al inicio multiplicando por \( g^{jk} \) pero al hacerlo directo me quedo muy mal. ¿De que manera me recomiendan renombrar los indices para pasar de esta última ecuación a la primera?

Gracias de antemano por la ayuda.

8
Geometría Diferencial - Variedades / Dudas sobre el Lema de Gauss
« en: 04 Noviembre, 2019, 04:26 am »
Saludos. Estaba viendo la demostración del lema de Gauss en el libro "Riemannian Geometry" de Manfredo Do Carmo y me surgió algunas dudas al intentar llenar detalles de la prueba.

La primera es con la prueba de \( (\mathrm{d}\exp_p)_v(v)=v \). Do Carmo no lo prueba y yo intente hacer lo siguiente: Tome la curva \( \alpha:I\to TM \) (\( TM \) fibrado tangente a la variedad \( M \)) como \( \alpha(t)=(t+1)v \) con \( v\in T_pM \) y apliqué la aplicación exponencial

\( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=\frac{d}{dt}(exp_p\circ\alpha(t))|_{t=0}=\frac{d}{dt}(exp_p((t+1)v)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma(t+1,p,v)1_{t=0} \). Según vi eso me da el rsultado \( v \) pero según entiendo la última expresión seria el transporte paralelo de \( v \) a lo largo de la geodésica \( \gamma(t) \) en \( t=1 \) ¿El hecho de ser geodésica y tener el transporte paralelo me garantiza que el resultado sea \( v \)? ¿Por que?

La siguiente es sobre diferenciación en la función exponencial de la siguiente manera: \( \frac{\partial}{\partial t}(exp_p(tv+tsw_N))|_{t=1,s=0}=\frac{\partial}{\partial t}(\gamma(1,p.tv+tsw_N))|_{t=1,s=0} \) donde \( t,s\in\mathbb{R} \) y \( w_N\in T_pM \) es un vector normal a \( v \), ¿Eso es lo mismo que \( (\gamma_t(1,p.v+sw_N))|_{t=1,s=0} \)? Es decir, al diferencial parcialmente en la función exponencial ¿puedo simplemente derivar el termino que involucra la variable con la que se deriva? ¿Por que?

La última duda es algo que no terminé de comprender, al buscar el lema de Gauss en internet aparece lo siguiente "Gauss' lemma asserts that the image of a sphere of sufficiently small radius in TpM under the exponential map is perpendicular to all geodesics originating at p" no logro ver el por que dela afirmación, aunque s¿estoy seguro de que debe ser evidente de lo que se demuestra en el Do Carmo.

Gracias de antemano por la ayuda

9
Saludos. He estado leyendo el Do Carmo de Geometría Riemanniana, la sección de geodesicas y me surgieron estas dudas:

1) En la proposición 2.5 aparece: Dado \( p\in M \), existe un abierto \( V\subset M \), \( p\in V \), números \( \delta,\epsilon \) positivos y un mapa \( C^\infty \) \( \psi(-\delta,\delta)\times U\to M \) con \( U=\{(q,v): q\in V, v\in T_qM, \epsilon>|v|\} \) tal que la curva \( t\to\psi(t,q,v) \), \( t\in(-\delta,\delta) \) es la única geodésica que en \( t=0 \) pasa por \( q \) con velocidad \( v \) y \( (q,v)\in U \).

No me queda claro como debe de ser tomado ese \( V \) para que eso tenga sentido, allí aparece que existe pero en el libro no demuestra eso,  ni tampoco dice que clase de propiedades o forma debe tener \( V \) para que se de la existencia del \( U \). ¿Podría slguien explicarme eso?

2) En la pagina 69 se enuncia y demuestra el lema de Gauss (lema 3.5) y establce lo siguiente:

Dado que \( w\in T_pM\approx{T_vT_pM} \) podemos tomaqr \( w=w_T+w_N \). Donde \( w_T \) es paralelo a \( v \) y \( w_N \) es normal a \( v \). ¿Podrian decirme por que \( w=w_T+w_N \)?

También me dice que \( (d\mathrm{exp}_p)_v(w_T)=w_T \). ¿Por que es esto?

Gracias de antemano y disculpen que pregunte tanto acerca de razonamientos de un libro, pero no tengo profesor al que preguntarle.

10
Saludos a todos. Colocó  esto aqui ya que no se en que subsección iría mejor.

Mi duda es sobre la interpretación  geométrica  de las cantidades \( x+y, x-y, x.y \) en un plano de Minkowski. No se si representa lo mismo si en geometría  analítica o si tiene alguna interpretación diferente.

Es claro que me falta la base de estos temas, es algo que me dió curiosidad. ¿Me podrían  recomendar libros introductorios al tema? Que hablen sobre planos de Minkowski.

Gracias de antemano  por la ayuda.

11
Geometría Diferencial - Variedades / Símbolos de Christoffel
« en: 21 Octubre, 2019, 07:34 am »
Saludos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente: Leyendo el libro de Mandredo de geometría riemanniana llegue a la parte donde define los símbolos de Christoffel y llega a la expresión:

\( \sum_l\Gamma^l_{ij}g_{lk}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\} \).

Esa parte la comprendo pero luego dice: "Dado que la matriz \( (g_{km}) \) es admite una inversa \( (g^{km}) \), obtenemos

\( \Gamma^l_{ij}=\frac{1}{2}\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \).

Pero no lo pille bien. ¿Podrían explicarme con mas detalle lo que ocurrió allí? Supongo que debió ser una multiplicación por la inversa pero no lo comprendí bien.

12
Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \). Sea \( D \) la derivada direccional de \( M \). Sea \( T \) el campo de vectores tangentes unitarios del circulo \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

Realmente no se como proceder con el problema, la primera duda que tengo es referente a la dimensión, cuando tome el campo vectorial, ´¿los vectores de la base serán de dimensión \( n \) o de dimensión \( 2 \)? Otra duda que tengo es sobre la definición de derivada direccional \( D_TT \), en la definición, si \( T=\sum v^i\partial_i \), ¿cómo sería \( T(v^i) \)? Tomando \( T(x,y)=(-y,x) \) y ¿como sería este campo expresado en la forma \( T=\sum v^i\partial_i \)?.

Pido disculpas ya que posiblemente esto sea solo un problema de cuentas y se que las dudas que planteé son problemas conceptuales pero como tuve varias dudas preferí preguntar.

Gracias de antemano por toda la ayuda que me puedan dar.

13
Saludos. Me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas:

1) Considere el conjunto \( S \) de todos los números reales \( x\in[0,1] \) que tienen una expansión decimal de la forma \( x=0,d_1d_2\ldots d_n\ldots \) donde los \( d_i \) están en el conjunto\( \{2,3,4,6,7,9\} \). Pruebe o refute que \( S \) es un conjunto cerrado.

Gracias de antemano

14
Saludos. Me gustaría pedir su ayuda con el siguiente problema:

Sea \( V \) un espacio vectorial real y \( T:V\rightarrow V \) un operador lineal que cumple \( T^2=T-I \) donde \( I \) denota el operador identidad en \( V \). Pruebe que \( T \) no es diagonalizable.

No se me ocurrió como resolverlo y he visto varios ejercicios donde colocan un operador que cumple alguna ecuación como la de arriba y aparece probar cosas como calculo de valores propios y lo que pregunte arriba. Me gustaria que me ayudaran no solo a responder esa pregunta sino en general, que tipo de resultados puedo utilizar para responder preguntas referentes a un operador cuando cumple alguna ecuación, me conformo con el capitulo(s) de algún libro que pueda usar de referencia.

Gracias de antemano.

15
Estructuras algebraicas / Dos problemas de álgebra
« en: 26 Septiembre, 2019, 10:26 pm »
Saludos, me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas

1) Sea \( G \) un grupo abeliano finito. Pruebe que si \( n\ |\ |G| \), entonces el número de soluciones a la ecuación \( x^n=1 \) en \( G \) es múltiplo de \( n \).

Coloqué la pregunta tal cual como la vi pero me supongo que al no dar ninguna caracterización de \( G \), \( 1 \) se refiere a la identidad. Se probar que si \( n\ |\ |G| \) entonces existe un subgrupo \( S \) de orden \( n \). Suponiendo que \( 1 \) es la identidad el resultado me parece claro si \( x\in S \) ya que seria por definición pero no vi como resolver el problema en el caso en \( x \) no es un elemento de \( S \).

2) Esta duda es mas de ayuda para entender una notación: ¿Como se ven los elementos del ideal de \( \mathbb{Z}[X] \), \( \langle 7,X^2+1\rangle \)?. ¿Podrían dar un ejemplo de un ideal de esa forma que sea primo o maximal? (puede ser el mismo que coloqué). Esto último lo pido porque alguien me dijo que en ese caso debia de considerar \( \mathbb{Z_7}/\langle X^2+1\rangle \) pero no estoy 100% de por que y como se puede hacer eso.

Gracias de antemano por la ayuda.

16
Saludos a todo. me gustaría que me ayudaran con estos dos problemas:

1) Sea \( V \) el espacio vectorial de polinomios \( p(x)\in\mathbb{R}\left[x\right] \) con grad \( \leq{15} \) y sea \( W=\{p(x)\in V: \displaystyle\int_{0}^{3}p(x)dx=0 y p^{\prime}(3)=0\} \) pruebe que la dimensión de \( W \) es igual a \( 14 \).

Siento que este problema es sencillo pero no vi como resolverlo, se que lo ideal seria encontrar una base y ver que tiene \( 14  \) elementos, se que la dimensión de \( V \) debe de ser \( 16 \) por lo que solo tendría (pienso yo) que ver que en \( W \) los mismos vectores que generan a \( V \) salvo dos de ellos, generan a \( W \). Pero no vi como hacerlo.

2) Sea \( M \) una matriz cuadrada de orden \( 1000 \) con entradas todas iguales a \( 1 \), pruebe que el polinomio característico en la variable \( t \) es \( t^{999}(t-1000) \).

En este problema me pareció correcto usar inducción y probar que el resultado era cierto para cualquier \( n \) pero cuando estaba sacando las cuentas me quedaron cosas que me confundieron mucho, ademas que al parecer siempre me aparecía al aplicar el método de Laplace que todas las matrices (salvo una) tenían toda una fila cuyos elementos son iguales a \( 1 \) y sentí que el proceso iba mal. En este problema, ¿Esta mal intentar hacerlo por inducción? ¿deberia de hacerlo directamente para 1000? ¿Cual seria mas sencilla? ¿Hay una manera de resolver el problema sin sacar demasiadas cuentas?

Gracias de antemano por toda la ayuda que puedan darme.

17
Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow[0,+\infty) \) continua. Si \( \underset{n\rightarrow+\infty}{\textrm{Lim}}\int_a^b{(f(x))}^ndx=L\in\mathbb{R} \), ¿es cierto entonces que \( f(x)\leq{1} \) para todo \( x\in[0,1] \)?

De ser cierto ¿Como podría probarlo? y si es falso, ¿Cual seria el contra-ejemplo?

18
¡Saludos! Me gustaría que me ayudaran con otra duda teórica sobre geometría.

Leyendo el libro de Do Carmo de curvas y superficies, sección 2.3, habla sobre el cambio de parámetros en una superficie regular. Mas concretamente aparece que dada una superficie regular \( S \)  y dos parametrizaciones \( \phi:U\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S \), \( \psi:V\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S \) definidas como

\( \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \)
\( \psi(\mu,\eta)=(x(\mu,\eta),y(\mu,\eta),z(\mu,\eta)) \)

Con \( U\cap V\neq\emptyset \), entonces, existe el cambio de parámetros (me salto todo lo que dice antes de eso para no hacer el post muy largo)

\( u=(\mu,\eta) \)
\( v=(\mu,\eta) \)
\( \mu=(u,v) \)
\( \eta=(u,v) \)

Mi pregunta es: Mas allá de la utilidad del cambio de base en el espacio tangente o los teoremas que surgen a partir de eso ¿Hay una manera explicita de determinar el cambio de parámetros en la superficie?

Quiero aclarar bien mi duda, se trata simplemente si al tener dos parametrizaciones de la misma superficie, hay una manera explicita de hacer los cambio del tipo \( u=(\mu,\eta) \). ya que al priori uno toma \( u \) como una variable, ¿Como se hace el cambio \( u=(\mu,\eta) \)? Estoy casi seguro de que el cambio de parametros en la superficie es mas una cuestión teórica que una practica (en el sentido de encontrar problemas donde establecer el cambio de parámetros en la superficie sea un problema importante) pero aun así me dio curiosidad.

Gracias de antemano por cualquier respuesta dada.

19
Hola me gustaría consultarle sobre lo siguiente: Cuando uno tiene un EDP de primer orden con coeficientes constantes o coeficientes funcionales

\( A(x,y)f_x(x,y)+B(x,y)f_y(x,y)+C(x,y)f(x,y)+D(x,y)=0 \)

es "sencillo" hallar una solución general y una solución mas precisa si damos condiciones iniciales (la manera de serlo por lo que he visto es casi estándar). Mi pregunta es, ¿existe una tecnica o metodo estándar para resolver variaciones de la ultima ecuación? como por ejemplo:

\( A(x,y)f_x(x,y)+B(x,y)f_y(x,y)+\Psi(f(x,y),x,y)=0 \)

Es decir, una ecuación donde el "coeficiente" que no acompaña ninguna derivada parcial, es una función de $f$ y de sus variables $x,y$. y otra ecuación seria:

\( A(x,y)(f_x(x,y))^2+B(x,y)(f_y(x,y))^2+D(x,y)=0 \)

¿Existen métodos estándares para resolver esos dos tipos de EDP? Si la respuesta es no, ¿De que manera buscarian encontrar la solución a esas ecuaciones? ¿Se tendrían que colocar condiciones de contorno?

Saludos y gracias de antemano por la ayuda.

20
Hola me gustaria hacer una pequeña consulta. Sea \( S \) una superficie y \( \alpha(t),\beta(t) \) dos curvas en \( S \) y \( X  \)un campo vectorial en \( S \). Mi pregunta puede que sea algo obvia pero ¿se cumple que \( X\left(\left\langle\alpha(t),\beta(t)\right\rangle\right)=\left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle+\left\langle\alpha(t),X(\beta(t))\right\rangle \)?

¿Cual es la interpretación geométrica de esto ultimo? mas concretamente, ¿cual es el significado geométrico de \( \left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle \)? Un vector tangente a una curva en una superficie es un objeto que pertenece al plano tangente, si se toma un vector este tiene su punto de origen el punto de tangencia mientras que si tomamos cada punto de la curva en \( S \), el vector seria el que va desde el origen hasta ese punto. ¿Que significado geométrico tiene entonces \( \left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle \)? visto cada uno de esos objetos como vectores.

Gracias de antemano por la ayuda.

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