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Temas - guillem_dlc

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Probabilidad / Ejercicio del Teorema de Bayes extendido
« en: 05 Julio, 2020, 03:48 pm »
Buenas, tengo una duda con este ejercicio de probabilidad:

Un test detecta el uso de esteroides en los "body builder" profesionales el \( 95\% \) de las veces. Sin embargo, el test presenta un \( 15\% \) de falsos positivos. Sabiendo que la probabilidad "a priori" de encontrar una persona que utiliza esteroides es el \( 10\% \), ¿cuál es la probabilidad de que una persona utilice esteroides sabiendo que el resultado del test es positivo?

En las soluciones pone que la respuesta es \( 0,85 \), pero a mí me sale \( 0,4130 \). Os paso mi procedimiento:

Valor Predictivo Positivo (VPP). Probabilidad de estar enfermo después de observar un resultado positivo en la prueba. Se tiene que aplicar el Teorema de Bayes extendido:

\( VPP=P(E|+)=\dfrac{P(E\cap +)}{P(+)}=\dfrac{\textrm{Prev}\cdot \textrm{Sen}}{\textrm{Prev}\cdot \textrm{Sen}+(1-\textrm{Prev})\cdot (1-\textrm{Esp})}=\dfrac{0,95\cdot 0,1}{(0,95\cdot 0,1)+(0,15\cdot 0,9)}=0,4130 \)

Muchas gracias

Saludos

2
En la siguiente definición: Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes, entonces la ecuación se llama ecuación en derivadas parciales (EDP) o PDE (Partial Differential Equation).

No sería variables independientes?

O sea que la ecuación contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o más variables independientes.

Saludos.

3
Buenas,

Estaría bien este ejercicio?

Estudiar la continuidad de la función \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \) definida por:

\( f(x,y)=\begin{cases} x^2\cos \left( \frac1x\right)+y & \text{si}& x\neq 0\\y & \text{si}& x=0\end{cases} \)


Mi intento:

\( f \) continua en \( \mathbb{R}^2\setminus \{ x=0\} \), ya que es combinación de funciones elementales y \( \dfrac1x \) no se anula. Sólo es necesario estudiar que pasa en la recta \( x=0 \): \( f(x,y) \) será continua si \( \displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x\neq 0}}f(x,y)=\lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x=0}}f(x,y) \)

\( \displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x\neq 0}}f(x,y)=\lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x\neq 0}}x^2\cos \left( \frac1x \right)+y=y_0 \), pues \( x^2\to 0 \) y \( \cos \left( \frac1x\right) \) acotada.

\( \displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x=0}}f(x,y)=y=y_0 \)

Entonces \( \exists \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}f(x,y)\rightarrow f \) continua en \( (0,y_0) \) ó \( x\neq 0 \)

Por tanto \( f \) es continua en \( \mathbb{R}^2 \)

Gracias

Saludos

4
Cálculo de Varias Variables / Curvas de nivel de una superficie
« en: 13 Abril, 2020, 10:04 pm »
Buenas,

Estoy haciendo este ejercicio: Hallar las curvas de nivel de la superficie \( z=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9} \) obtenidas al hacer cortes por planos paralelos a los planos coordenadas. Representar la superficie e identificarla.

Os paso lo que he hecho y me comentáis:

Curvas de nivel \( z=k\in \mathbb{R} \), \( C_k=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: \dfrac{x^2}{2^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=k\} \)

Entonces considero tres casos:

1. Si \( k<0 \), se trata de una hipérbola con asíntotas \( x=\pm \dfrac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}y \), \( C(0,0) \), \( V_1(0,3\sqrt{k}) \) y \( V_2(0,-3\sqrt{k}) \). Se trata de una hipérbola centrada en el eje OY.

2. Si \( k>0 \), se trata de una hipérbola con asíntotas \( y=\pm \dfrac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}x \), \( C=(0,0) \), \( V_1=(2\sqrt{k},0) \) y \( V_2(-2\sqrt{k}, 0) \). Se trata de una hipérbola centrada en el eje OX.

3. Si \( k=0 \), tenemos \( \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=0\rightarrow \left( \dfrac x2\right)^2-\left( \dfrac y3\right)^2 =0\rightarrow \left( \dfrac x2\right)^2 =\left( \dfrac y3\right)^2 \rightarrow \pm \sqrt{\left( \dfrac x2\right)^2}=\dfrac y3\rightarrow \pm \dfrac x2=\dfrac y3\rightarrow \dfrac x2 -\dfrac y3=0  \), \( \dfrac x2+\dfrac y3=0 \) que son rectas.

Gracias

Saludos.

5
A ver si alguien me puede ayudar con la siguiente demostración. No sé como empezarla:

Sea \( A\subset \mathbb{R} \) un subconjunto no vacío de números reales. Supongamos que \( A \) está acotado superiormente y sea \( (s_n) \) una sucesión convergente de cotas superiores de \( A \). Probar que el límite de esta sucesión es también una cota superior de \( A \).

Gracias

Saludos

6
Cálculo 1 variable / Curva de polares a paramétricas
« en: 14 Marzo, 2018, 06:20 pm »
Buenas,

A ver si me podéis ayudar a pasar esta curva de polares a paramétricas y a identificarla.

\( r=\theta \csc \theta \)

Lo que he intentado es esto:

\( r=\theta \csc \theta \rightarrow r=\theta \dfrac{1}{\sin \theta} \rightarrow r\cdot \sin \theta =\theta \rightarrow y=\theta \)

Pero ahora no sé qué mas hacer. En las soluciones pone que es la parábola \( y^2 = x \), pero no entiendo el porque.

Gracias

Saludos.

7
Probabilidad / Momentos
« en: 31 Agosto, 2017, 04:04 pm »
Hola,

Me pueden corregir la siguiente demostración del siguiente teorema para el caso discreto: Si \( \mathbb{E}(|X|^{k})<+\infty \) para un entero positivo \( k \), entonces \( \mathbb{E}(|X|^{j})<+\infty \) para todo entero positivo \( j<k \).

Ahí va mi demostración:

Sea \( |X|=\{x_{0},x_{1},x_{2},\cdots \} \), con \( 0\leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots \) y con \( p(|X|=x_{i})=p_{i} \) y \( \sum^{\infty}_{n=0}p_{i}=1 \)

\( \mathbb{E}(|X|^{k})=\sum^{\infty}_{n=0}|x_{n}|^{k}p_{n}<+\infty \)

Sea \( m\in \mathbb{N} \) tal que: \( 0\leq x_{n}\leq 1, \forall n\leq m \) y \( x_{n}>1, \forall n>m \)

Entonces: \( \left\{ \begin{array}{lcc}
             0\leq x_{n}^{j}\leq 1 & si & n\leq m\\
             \\ x_{n}^{j}<x_{n}^{k} &  si  & n\geq m
             \end{array}
   \right. \)

\( \mathbb{E}(|X|^{j})=\sum^{\infty}_{n=0}|x_{n}|^{j}p_{n}=\sum^{m}_{n=0}|x_{n}|^{j}p_{i}+\sum^{\infty}_{n=m}|x_{n}|^{j}p_{n}\leq \sum^{m}_{n=0}p_{n}+\sum^{\infty}_{n=m}|x_{n}|^{k}p_{i}\leq 1+\mathbb{E}(|X|^{k})<+\infty \)

Para el caso: \( 0\leq x_{n}\leq 1, \forall n\in \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{E}(|X|^{j})\leq 1 \)

Gracias

Saludos

8
Cálculo 1 variable / Verdadero o falso, función parte entera
« en: 31 Agosto, 2017, 03:48 pm »
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Verdadero o falso: ¿\( \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor \) para todo número real \( x \)?

Ahí va mi respuesta:

Parece verdadero:

\( \lceil -4,7 \rceil =-4 \) y \( -\lfloor 4,7 \rfloor =-4 \)

\( \lceil -6 \rceil =-6 \) y \( -\lfloor 6 \rfloor =-6 \)

\( \lceil -(-5,4) \rceil =6 \) y \( -\lfloor -5,4 \rfloor =-(-6)=6 \)

Gracias

Saludos

9
Probabilidad / Función de probabilidad y de distribución
« en: 20 Agosto, 2017, 11:39 pm »
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Supongamos que en una determinada especie de conejos el color negro es dominante sobre el color blanco. Tenemos un conejo y una coneja híbridos y, por tanto, negros. En esta situación sabemos que la probabilidad de que un hijo sea blanco es de \( \dfrac{1}{4} \).
Supongamos que esta pareja de conejos han tenido \( 4  \)hijos, y consideramos la variable aleatoria \( X \) número de conejitos blancos entre los \( 4 \). Calcular:

a) La función de probabilidad de la variable aleatoria \( X \).

b) La función de distribución de la variable aleatoria \( X \).


Ahí va mi respuesta:

a) \( X=B\left( 4,\dfrac{1}{4}\right) \rightarrow X=\{ 0,1,2,3,4\} ,n=4,p=\dfrac{1}{4}, q=\dfrac{3}{4} \)

\( p(X=0)=\binom{4}{0}\left( \dfrac{3}{4}\right)^{4}=\dfrac{81}{256}, p(X=1)=\binom{4}{1}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \left( \dfrac{3}{4}\right)^{3}=\dfrac{108}{256}, p(X=2)=\binom{4}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\cdot \left( \dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{54}{256}, p(X=3)=\binom{4}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \left( \dfrac{1}{4}\right)^{3}=\dfrac{12}{256}, p(X=4)=\binom{4}{4}\cdot \left( \dfrac{1}{4}\right)^{4}=\dfrac{1}{256} \)

b) \( 0\leq P(x=1)\leq 1, 0\leq P(x=2)\leq 1, 0\leq P(x=3)\leq 1, 0\leq P(x=4)\leq 1 \)

\( F(x)= p(X\leq x) = P(X\leq4) =\sum^{4}_{i=0} P(x_{i}) = P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4) = 81/256 + 108/256 + 54/256 + 12/256 + 1/256 = 256/256 = 1 \)

Gracias

Saludos

10
Probabilidad / Probabilidad condicionada
« en: 18 Agosto, 2017, 03:50 pm »
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: En una asamblea universitaria el \( 4 \)% de los alumnos asistentes son de primer curso, el \( 9 \)% son de segundo, el \( 41 \)% son de tercero y el \( 46 \)% son de cuarto. Hoy se discuten problemas de asignaturas de primer y tercero cursos y el \( 88 \)% de los alumnos asistentes de tercero han intervenido en la asamblea igual que un \( 4 \)% de los asistentes de segundo, un \( 4 \)% de los de cuarto y un \( 10 \)% de los de primero. Tomamos un alumno al azar que ha intervenido. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de tercer curso?

Ahí va mi respuesta:

P(Asistenteprimer)\( =0.04 \)

P(Asistentesegundo)\( =0.09 \)

P(Asistentetercero)\( =0.41 \)

P(Asistentecuarto)\( =0.46 \)

P(intervenidoprimero)\( = 0.04\cdot 0.1= 0.004 \)

P(intervenidosegundo)\( = 0.09\cdot 0.04= 0.0036 \)

P(intervenidotercero)\( = 0.41\cdot 0.88= 0.3608 \)

P(intervenidocuarto)\( = 0.46\cdot 0.04= 0.0184 \)


P(Asistente&intervenidoTercero)\( = \dfrac{0.3608}{0.004+0.0036+0.3608+0.0184}= \dfrac{0.3608}{0.3868}= 0.9327 \)

Gracias

Saludos

11
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Indique cuál es el efecto sobre la gráfica de una ecuación en \( x \) e \( y \) de sustituir simultáneamente \( x \) por \( -x \) e \( y \) por \( -y \).

Ahí va mi respuesta:

Doble simetría axial: gráfica simétrica (simetría puntual) respecto del origen de coordenadas de la gráfica inicial.

Gracias

Saludos

12
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Obtenga la ecuación de la gráfica que resulta de desplazar la gráfica correspondiente a la ecuación dada en la forma que se indica.

1. \( y=1-x^{2} \), abajo 1, izquierda 1

2. \( x^{2}+y^{2}=5 \), arriba 2, izquierda 4

3. \( y=(x-1)^{2}-1 \), abajo 1, derecha 1

4. \( y=\sqrt{x} \), abajo 2, izquierda 4


Ahí va mi respuesta:

1. \( y=-(x+1)^{2} \)

2. \( (x+4)^{2}+(y-2)^{2} =5 \)

3. \( y=(x-2)^{2}-2 \)

4. \( y=\sqrt{x+4} -2 \)

Gracias

Saludos

13
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Se modifica la escala de la gráfica \( y=\sqrt{x+1} \) en la forma indicada. Obtenga la ecuación de la gráfica resultante.

1. Las distancias horizontales se multplican por \( 3 \).

2. Las distancias verticales se dividen por \( 4 \).

3. Las distancias horizontales se multiplican por \( \dfrac{2}{3} \).

4. Las distancias horizontales se dividen por \( 4 \) y las verticales se multiplican por \( 2 \).


Ahí va mi respuesta:

1. \( y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{3} \)

2. \( y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{4} \)

3. \( y=\dfrac{3\sqrt{x+1}}{2} \)

4. No sé cómo cumplir los requisitos verticales y horizontales modificando sólo la escala...se podría hacer una gráfica aproximada supongo, pero se modificaría el trazado de la función \( y=\sqrt{x+1} \) y por lo tanto creo que no se puede satisfacer el enunciado.

Gracias

Saludos


14
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Indique qué ecuaciones resultan de desplazar la recta \( y=mx
 \)

(a)Horizontalmente para hacerla pasar por el punto \( (a,b) \).

(b)Verticalmente para hacerla pasar por el punto \( (a,b) \).


Ahí va mi respuesta:

(a) \( y= m(x-a)+b \)    para desplazarla horizontalmente hacia la derecha (cuanto mayor sea \( a \), más hacia la derecha en el eje de coordenadas estará situado el punto \( (a,b) \)).

\( y= m(x+a)+b \)   para desplazarla horizontalmente hacia la izquierda (cuanto mayor sea \( a \), más hacia la izquierda en el eje de coordenadas estará situado el punto \( (a,b) \)).

Con \( 0<a<+\infty \)

(b) \( y=mx+c \)

\( x=a, y=b \)

\( b=ma+c \)

\( c=b-ma \)

Resultado:

\( y=mx+(b-ma) \)

Gracias

Saludos

15
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (1,2) \) y por el punto de intersección de las rectas \( x+2y=3 \) y \( 2x-3y=-1 \).

Ahí va mi respuesta:

\( Q(1,2) \) y \( \left\{ \begin{array}{lcc}
             r\equiv x+2y=3 \\
             \\ s\equiv 2x-3y=-1
             \end{array}
   \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{lcc}
             x=1 \\
             \\ y=1
             \end{array}
   \right. \rightarrow P(1,1)=r\cap s \)

Recta pedida \( r(PQ)\equiv \dfrac{x-1}{1-1}=\dfrac{y-1}{2-1}\rightarrow x-1=0\cdot (y-1)\rightarrow x=1 \)

Gracias

Saludos

16
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: ¿Para qué valor de \( k \) es la recta \( 2x+ky=3 \) perpendicular a la recta \( 4x+y=1 \)? ¿Para qué valor de \( k \) son ambas rectas paralelas?

Ahí va mi solución:

\( 2x+ky=3 \) perpendicular a la recta \( 4x+y=1 \)

\( y=\dfrac{3-3x}{k}, y=\dfrac{1-4x}{1}\rightarrow y=\dfrac{3}{k}-\dfrac{3}{k}x, y=1-4x \)

si son paralelas \( m=m'\rightarrow -\dfrac{3}{k}=-4\rightarrow k=\dfrac{3}{4} \)

si son perpendiculares \( m=-\dfrac{1}{m'}\rightarrow -\dfrac{3}{k}=-\left( -\dfrac{1}{4}\right)\rightarrow k=-12 \)

Gracias

Saludos

17
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Interprete la ecuación como una aseveración sobre distancias y determine así la gráfica de la ecuación.

1. \( \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=4 \)

2. \( \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}} \)


Ahí va mi respuesta:

1. Puntos \( (x,y) \) cuya distancia a\(  (2,0) \) es \( 4 \). Esto es, circunferencia de centro \( (2,0) \) y radio \( 4 \).

2. En el primer miembro tenemos la expresión de la distancia entre un punto genérico \( P(x,y) \) y el punto fijo \( A(2,0) \).

En el segudo miembro tenemos la expresión de la distancia entre un punto genérico \( P(x,y) \) y el punto fijo \( B(0,2) \).

Luego, elevamos al cuadrado en ambos miembros de la ecuación del enunciado y queda:

\( (x - 2)^{2} + y^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} \), desarrollamos los binomios elevados al cuadrado y queda:

\( x^{2} - 4x + 4 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 4y + 4 \), hacemos pasajes de términos (observamos que tenemos cancelaciones de términos cuadráticos y de términos constantes) y queda:

\( - 4x + 4y = 0 \), dividimos en todos los términos de la ecuación por \( 4 \) y queda:

\( - x + y = 0 \), que es la ecuación cartesiana implícita de una recta,

hacemos pasaje de término y queda:

\( y = x \), que es la ecuación cartesiana explícita correspondiente.

Gracias

Saludos

18
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: El punto \( P \) está en el eje \( x \) y el punto \( Q \) está en la recta \( y=-2x \). El punto \( (2,1) \) es el punto medio del segmento \( PQ \). Calcule las coordenadas del punto \( P \).

Ahí va mi respuesta:

\( Q(x_{1},y_{1})\in r\equiv y=-2x\rightarrow Q(x_{1},-2x_{1}); P(x_{2},y_{2})\in OX\equiv y=0\rightarrow P(x_{2},0) \)

Punto medio de \( \bar{PQ}=\left( \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{-2x_{1}+0}{2}\right)=(2,1)\rightarrow \left\{ \begin{array}{lcc}
             \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2 \\
             \\ \frac{-2x_{1}+0}{2}=1
             \end{array}
   \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{lcc}
             x_{1}=-1 \\
             \\ x_{2}=5
             \end{array}
   \right.  \)

\( Q(-1,2) \) y \( P(5,0) \)

Gracias

Saludos

19
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Calcule las coordenadas del punto que en un segmento entre los puntos \( P_{1}(x_{1},y_{1}) \) y \( P_{2}(x_{2},y_{2}) \) está a dos tercios del recorrido desde \( P_{1} \) a \( P_{2} \).

Ahí va mi respuesta:

\( P_{1}(x_{1},y_{1}) \) y \( P_{2}(x_{2},y_{2}) \). Sea \( X(x,y) \) el punto pedido. Entonces: \( \vec{P_{1}X}=\dfrac{2}{3}\vec{P_{1}P_{2}}\rightarrow (x-x_{1}, y-y_{1})=\dfrac{2}{3}(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\rightarrow \left\{ \begin{array}{lcc}
             x-x_{1}=\frac{2}{3}(x_{2}-x_{1}) \\
             \\ y-y_{1}=\frac{2}{3}(y_{2}-y_{1})
             \end{array}
   \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{lcc}
             x=\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2} \\
             \\ y=\frac{1}{3}y_{1}+\frac{2}{3}y_{2}
             \end{array}
   \right. \rightarrow X\left( \frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}, \frac{1}{3}y_{1}+\frac{2}{3}y_{2}\right) \)

Gracias

Saludos

20
Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Calcule las coordenadas del punto medio del segmento \( P_{1}P_{2} \), entre los puntos \( P_{1}(x_{1},y_{1}) \) y \( P_{2}(x_{2},y_{2}) \).

Ahí va mi respuesta:

\( M \) punto medio del segmento \( P_{1}P_{2} \)

\( M=\dfrac{P_{1}+P_{2}}{2}=\dfrac{(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})}{2}=\dfrac{(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2})}{2}=\left( \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \)

Gracias

Saludos

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