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Temas - chien-chat

Páginas: [1] 2
1
Sean \( X,Y \) dos espacios vectoriales, \( A\subset X \). Considere la aplicación lineal \( T:X\rightarrow Y \). Pruebe que \( T^{-1}(T(A))=T^{-1}(0)+A \).

Hola, he intentado una inclusión:

Se tiene \( A\subset T^{-1}(T(A)) \).
Sea \( u\in T^{-1}(T(A)) \Rightarrow T(u)\in T(A) \Rightarrow T^{-1}(T(u))\in A \subset
A+T^{-1}(0) \).
Por tanto \( T^{-1}(T(A))\subset T^{-1}(0)+A \).

Si mi prueba es correcta, podrían ayudarme a demostrar la otra inclusión?
Saludos.

2
Geometría Diferencial - Variedades / Curva parametrizada
« en: 23 Noviembre, 2018, 12:16 am »
Una curva parametrizada \( a(t) \) tiene la propiedad que su segunda derivada \( a''(t) \) es identicamente cero. ¿que puede decir de \( a \)?

Int: Sea \( a(t) = (a_1(t),a_2(t),a_3(t))\in \mathbb{R}^3 \Rightarrow a''(t)=(a_1''(t),a_2''(t),a_3''(t)) \Rightarrow a'' \equiv 0 \Leftrightarrow a_i'' = 0; i=1,2,3 \Rightarrow a_i = m_it+n_i; i=1,2,3 \). Es decir, la curva \( a \) es la ecuación de una recta.  ???

3
Matemática Discreta y Algoritmos / Factorización en Fq[x]
« en: 03 Septiembre, 2018, 06:51 pm »
Hola, estoy teniendo problemas al factorizar el siguiente polinomio en \( \mathbb{F}_5\left [ x \right ] \), alguien podria orientarme por favor :'(
\( x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \).

He aquí mi intento de lo que he podido entender: La idea es usar el algoritmo de Cantor&Zasenhauss.

Sea \( f(x) := x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \Rightarrow f'(x) = 3x^3+4x^2+2x+2 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \). Luego, comprobamos que \( f(x) \) sea libre de cuadrados, ie que \( \gcd(f(x),f'(x))=1 \), lo cual no se verifica, ya que \( \gcd(f(x),f'(x))=x+2 \), por ende, hacemos \( g(x) := \dfrac{f(x)}{\gcd(f(x),f'(x))}=x^4+3x^2+2 \Rightarrow g'(x)=4x^3+x \) y así obtenemos que \( \gcd(g(x),g'(x))=1 \), ie \( g(x) \) es libre de cuadrados.

De aquí me empiezo a complicar: (Para los sgtes pasos me estoy guiando de acá http://planetmath.org/cantorzassenhaussplit)
Usaré las mismas notaciones de la página anexa:

\( B_1 = A, \ B_{k+1} := \displaystyle\frac{A}{\gcd(B_k, x^{5^k}-x)}   \)

Entonces, tenemos:

\( B_1 := x^4+3x^2+2  \)
\( B_2 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^5-x)}=x^3+2x^2+2x+4 \)
\( B_3 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^{25}-x)}=x^2+1 \)

Y luego cómo prosigo?? alguien puede ayudarme por favor
de antemano gracias
saludoss  :laugh:

4
Ecuaciones diferenciales / Sistema hiperbólico
« en: 21 Agosto, 2018, 05:34 pm »
Sea \( \mathcal{M}_n \) el conjunto de todas las matrices \( n\times n \) identificadas con \( \mathbb{R}^{n^2} \) y \( S:=\lbrace A\in \mathcal{M}_n : x′=Ax \text{ es hiperb[b]ó[/b]lico}\rbrace. \) Muestre que \( S \) es abierto y denso en \( \mathcal{M}_n \).

¿Alguien puede ayudarme con este problema, por favor?  :'( El ejercicio es extracto del libro: Lições de equações diferenciais ordinárias - Jorge Sotomayor: exercise 28, page 101.
De antemano muchas gracias.

5
Topología (general) / Espacio metrizable
« en: 13 Agosto, 2018, 05:56 pm »
Sean \( X,Y \) espacios topológicos. Let \( f:X\rightarrow Y \) función tal que para cada sucesión convergente \( x_n\rightarrow x \) en \( X \), \( (f(x_n)) \) converge a \( f(x) \). Demuestre que si el espacio \( X \) es metrizable \( \Rightarrow f \) es continua.

6
Matemática Discreta y Algoritmos / Regla de Cramer con magma
« en: 28 Junio, 2018, 10:52 am »
Hola.

Estoy estudiando aplicaciones de la aritmética modular, en particular sistemas lineales sobre los racionales.
 
Tengo un lío con este problema: La idea es que, con ayuda de MAGMA calculator, se resuelvan sistemas lineales sobre los racionales \( \mathbb{Q} \) con la regla de Cramer y el método de computación modular (más bien diría yo entender el proceso que hace la calculadora magma).

El primer ejercicio que se da es para una matriz \( A\in \mathcal{M}_{7\times 7}(\mathbb{Q}) \) y un vector \( b\in \mathbb{Q}^7 \) para el cuál se pide encontrar lo siguiente:
1) un sistema equivalente con coeficientes enteros.   (LISTO) \( \checkmark \)
2) una cota para valores absolutos de numeradores y denominadores reducidos de cada \( x_i \).   (LISTO) \( \checkmark \)
3) un conjunto de números primos \( p_j \) para resolver el sistema\( \mod p_j \).

Con este último ítem tengo problemas. Como ahora el nuevo sistema matriz-vector se trabaja en enteros, tenemos \( A'\in \mathcal{M}_{7\times 7}(\mathbb{Z}) \) y \( b'\in \mathbb{Z}^7 \), entonces ¿cuáles números primos elijo?.
Mi idea es encontrar \( p_1,p_2,...,p_n \) enteros positivos tales que \( gcd(p_i,p_j)=1 \) para \( i\neq j \). Luego, tenemos los números enteros \( b_1,b_2,...,b_7 \) del vector \( b' \), por lo que el sistema formado por las congruencias \( x_i\equiv b_1(\mod m_1) \), \( x_i\equiv b_2(\mod m_2) \),...,\( x_i\equiv b_7(\mod p_n) \) (\( i=1,...7 \)) tiene sol. única salvo \( p=p_1p_2...p_n \) (Esto último que escribí lo saqué de un corolario en internet --- Teo. chino de los restos).

Estoy en confusión con este apartado 3, ¿alguién podría orientarme mejor? o ayudarme verlo de otra mejor manera para abordarlo mejor, porfavor, de antemano gracias.

Saludos cordiales.

7
Topología (general) / Topología sobre e.v.
« en: 31 Marzo, 2018, 11:20 am »
Sea \( X \) un conjunto y \( d:X\times{X}\rightarrow{\mathbb{R}} \) una distancia en \( X \), donde \( (X,d) \) es un espacio métrico. Demuestre que \( \tau_d=\left\{A\subseteq{X}\ ;\  \forall{a\in A},\ \exists{r>0}\ \text{tal que}\ B(a,r)\subset{A}\right\}  \) es una topología sobre \( X \).

Hola, tengo un enredo con este problema. He intentado lo siguiente:
Notemos primero que \( \emptyset \in{\tau_d},\ X\in \tau_d \). Ahora, consideremos una familia \( \left\{{A_\alpha}\right\}_{\alpha \in I} \subset{\tau_d} \). Debemos demostrar que \( \displaystyle \bigcup_{\alpha}A_\alpha \in \tau_d \) y también que \( \displaystyle \bigcap_{\alpha}A_\alpha \in \tau_d \).
Sabemos que \( B(a,r)=\left\{{x\in X;\ d(a,x)<r}\right\} \). Como \( A_\alpha \in \tau_d \Rightarrow A_\alpha \subseteq{X}\ ;\  \forall a\in A_\alpha,\ \exists r>0 \ \text{tal que } B(a,r)\subset{A_\alpha} \), es decir, podemos considerar que para cada \( i=1,...,n \) se tiene \( A_i\in \tau_d \Longleftrightarrow A_i \subseteq{X};\ \forall a_i\in A_i,\ \exists r_i>0\ \text{tal que}\ B(a_i,r_i)\subset{A_i} \). Primero demostraremos que \( \displaystyle \bigcup_\alpha A_\alpha \in \tau_d \), donde \( \displaystyle \bigcup_{i=1}^nB(a_i,r_i)\subset \bigcup_{i=1}^nA_i \). Notemos que \( \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B(a_i,r_i)=\bigcup_{i=1}^n \left\{{x\in X: d(a_i,x)<r_i}\right\} \).

Y aquí he quedado, no he logrado finalizar esa parte de la demostración.
Algún hint? ??? De antemano gracias

8
Geometría Diferencial - Variedades / Ecuación del calor
« en: 03 Diciembre, 2017, 08:17 pm »
Sea \( M\subset \mathbb{R}^n \) una variedad compacta y orientada, y asuma que \( f:M\times{[0,\infty)} \rightarrow{\mathbb{R}} \) es suave. La ecuación de calor es \( \Delta_x f(x,t)=\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t} \). Pruebe que si \( f \) es una solución de la ecuación de calor que satisface \( f(x,0)=0, \forall{x\in M} \) y \( f(y,t)=0, \forall{y\in \partial M}, \forall{t\in [0,t_0]} \), entonces \( f\equiv{0} \) en el conjunto \( M\times [0,t_0] \).

Hola, alguien podría darme una mano con este problema?
He intentado lo siguiente: \( f(x,t)=\displaystyle \int_{M\times [0,\infty)} \Delta_x f(x,t) \partial t = \int_{M\times [0,\infty)} \dfrac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2} \partial t =
 \int_{M\times [0,\infty)} div_x(grad_x (f(x,t))) \partial t \)   ???

De aquí me complico, no se me ocurre una idea de como seguir  :'(
Saludos y gracias deantemano

9
Geometría Diferencial - Variedades / Subvariedad compacta
« en: 30 Noviembre, 2017, 12:25 am »
Sea \( M^{n-1} \) la frontera de una subvariedad compacta \( n- \)dimensional de \( \mathbb{R}^n \) y \( N(x) \) el campo de vectores normal unitario (exterior).
Si \( V\in \mathbb{R}^n \) es un vector constante, entonces \( \displaystyle \int_{M^{n-1}} \left<{N(x),V}\right>dM^{n-1} = 0 \)

Hola, estoy algo complicada con este ejercicio, espero puedan ayudarme.
Verán, sea \( V = (v_1,...,v_n) \in \mathbb{R}^n \) el vector constante, \( \displaystyle X = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n \Rightarrow N(X)=x_1 \frac{{\partial}}{{\partial x_1}}+...+x_n\frac{{\partial}}{{\partial x_n}} \) será el campo vectorial exterior normal unitario.
Aquí es donde me complico, en el producto interior:
Spoiler
No estoy segura de esto  :'(: \( \displaystyle \left<{N(x),V}\right> = \left< \left ( x_1 \frac{{\partial}}{{\partial x_1}}+...+x_n\frac{{\partial}}{{\partial x_n}} \right ) ,(v_1,...,v_n)\right> = x_1\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+...+x_n\frac{\partial v_n}{\partial x_n} = x_1*0+...+x_n*0=0 \), entonces \( \displaystyle \int_{M^{n-1}} \left<{N(x),V}\right>dM^{n-1} = 0 \)  ???
[cerrar]

Saludos

10
Geometría Diferencial - Variedades / Integrales en variedades
« en: 22 Noviembre, 2017, 08:25 am »
Calcule las siguientes integrales de superficie:
a) \( \displaystyle \int_M(x+y+z)\ dM \) para \( M=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=a^2, z \geq 0}\right\} \)
b) \( \displaystyle \int_M (x^2+y^2)\ dM \), donde \( M \) is the boundary del subconjunto de \( \mathbb{R}^3 \) descrito por la desigualdad \( \sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 1 \).

Para la a) he hecho lo siguiente: corregirme por favor :(
Hay que integrar en variedades.

\( M=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\geq 0, x^2+y^2\leq a^2}\right\} \) es una superficie compacta orientable con borde.
Si \( h:V\subset{\mathbb{R}^2} \rightarrow M \) es una parametrización de \( M \), entonces, usando los coeficientes de la métrica Riemanniana, se tiene que \( \sqrt{g} = a^2 cos(\phi)  \), donde \( h(a,\theta,\phi)=(asin(\theta)cos(\phi),asin(\theta)sin(\phi),acos(\phi)); a>0, \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0, \pi /2]  \)

Acá no estoy muy segura de mi procedimiento:
Sea \( f:M\rightarrow{\mathbb{R}} \) definida por \( f(x,y,z)=x+y+z \Rightarrow \displaystyle \int_MfdM=\int f(h(r,\theta,\phi))\sqrt{g(r,\theta,\phi)}drd\theta d\phi; r\in [0,a], \theta \in [0, 2\pi], \phi \in [0, \pi /2] \)
En donde esta última integral es 0.  ??? ???
Para la b) podrían darme algún hint?

gracias de antemano
Saludos,

11
Geometría Diferencial - Variedades / n-forma exterior dV
« en: 31 Agosto, 2017, 10:32 pm »
Demuestre que \( dV\in \Lambda^n(V^*) \) y que su definición es independiente de la base ortonormal positiva que se considere.

Idea: Sea \( (V,g) \) espacio vectorial sobre \( \mathbb{R} \) con un producto escalar no degenerado \( g \), y \( e_1,...,e_n \) base ortonormal de \( V \) con respecto a \( g \) positivamente orientada.
Sea \( dV: \underset{n-veces}{\underbrace{V\times ... \times V}} \rightarrow \mathbb{R} \) la aplicación definida por \( dV(v_1,...,v_n)=det \begin{pmatrix}
g(v_1,e_1) & ... & g(v_n,e_1)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
g(v_1,e_n) & ... & g(v_n,e_n)
\end{pmatrix} \Rightarrow dV \in \Lambda^n(V^*) \)
Ahora, el lío es el siguiente ¿porque es independiente de la base ortonormal positiva que se considere? :o Saludos...

12
Sea \( \omega \in \Lambda^k(V^*) \) y \( v_o\in V \). Pruebe que \( i_{v_0}(\omega)\in \Lambda^{k-1}(V^*) \).

\( i_{v_0}(\omega) \) se llama el producto interior del vector \( v_0 \) con la \( k- \)forma exterior \( \omega \).
A ver, por la definición supongo debiera bastar.. es decir, si dados \( \omega \in \Lambda^k(V^*) \) y \( u_0 \in V \) se define
\( i_{u_0}(\omega):\underset{(k-1)-veces}{\underbrace{V\times ... \times V}} \rightarrow \mathbb{K} \) por \( i_{u_0}(\omega)(v_1,...,v_{k-1})=\omega(u_0,v_1,...,v_{k-1}) \Rightarrow i_{u_0}(\omega) \in \Lambda^{k-1}(V^*) \), luego si \( u_0=v_0 \) estamos.   ???

13
Geometría Diferencial - Variedades / forma de volumen
« en: 31 Agosto, 2017, 09:10 pm »
Sea \( e_1,...,e_n \) base ortonormal positiva de \( V \) con respecto a un producto escalar no degenerado \( g \) de índice \( q \). Demuestre que \( g(dV,dV)=(-1)^q \) y además, si \( \sigma_1,...,\sigma_n \) es la base dual correspondiente, entonces \( dV=(-1)^q\sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n \)

Tengo lo siguiente: \( M(g)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\
\vdots  & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & ... & 1 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & -1 & 0 & ... & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & 0 & -1 & ... & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & -1
\end{pmatrix}, \ dV(e_1,...,e_n)=det(M(g))=(+1)^p(-1)^q=(-1)^q \), ya que hay \( p \) entradas \( +1 \) y \( q \) entradas \( -1 \) en la diagonal.
Luego, \( (\sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n)(e_1,...,e_n)=1 \) y \( \sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n \) es base de \( \Lambda^n(V^*) \), por lo tanto \( dV \) es base de \( \Lambda^n(V^*) \Rightarrow{} dV=(-1)^q \sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n \)

14
Geometría Diferencial - Variedades / (n-1)-forma
« en: 30 Agosto, 2017, 01:31 am »
Sea \( w\in \Lambda^{n-1}(V^*) \). Demuestre que existen \( f_1,...,f_{n-1} \in V^* \) tal que \( w=f_1\wedge f_2\wedge ...\wedge f_{n-1} \).

Hola, tengo esta idea de solución:
Si \( w\in \Lambda^{n-1}(V^*) \Rightarrow w(v_1,v_2,...,v_{n-1})=\displaystyle \sum_{\sigma \in S_{n-1}}sgn(\sigma)w\left (v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},...,v_{\sigma(n-1)}  \right ) \) para todo \( v_1,v_2,...,v_{n-1} \in V \).
\( \Longleftrightarrow w(v_1,v_2,...,v_{n-1})=\displaystyle \sum_{i_1,i_2,...,i_{n-1}}a_{i_1}a_{i_2}...a_{i_{n-1}}\left (\sigma_{1}\wedge\sigma_{2}\wedge...\wedge\sigma_{n-1}  \right )=\displaystyle \sum_{i_1,i_2,...,i_{n-1}}\left (a_{i_1}\sigma_{1}  \right )\wedge\left (a_{i_2}\sigma_{2}  \right )\wedge...\wedge\left (a_{i_{n-1}}\sigma_{n-1}  \right ) \)
\( =\displaystyle \left (\sum_{i_1} a_{i_1}\sigma_{1}  \right ) \wedge \left (\sum_{i_2} a_{i_2}\sigma_{2}  \right )\wedge \left (\sum_{i_{n-1}} a_{i_{n-1}}\sigma_{n-1}  \right ) \).
Luego, si se define \( f_i=\displaystyle \sum_{j=1}^{n-1} a_{i_{j}} \sigma_{j} \) se tiene que \( w=f_1\wedge f_2\wedge ...\wedge f_{n-1} \), como se quería probar.

 ??? ???

15
Geometría Diferencial - Variedades / 2-forma
« en: 29 Agosto, 2017, 04:47 am »
Sea \( w\in \Lambda^2\left ( \left ( \mathbb{R}^n \right )^* \right ) \) con \( n \) impar. Demuestre que existe vector no nulo \( u\in \mathbb{R}^n \) tal que \( w(u,v)=0 \) para todo \( v\in \mathbb{R}^n \).

16
Probabilidad / Modelo de Laplace
« en: 23 Agosto, 2017, 04:41 am »
En una fiesta de cumpleaños, donde hay \( n \) niños, se reparten al azar \( c \) caramelos.  Estudiar la probabilidad de que al festejado le toque al menos un caramelo.

Hola, alguien me puede ayudar a entender este problema? porfavor  ???

La pauta lo hace de la siguiente manera, la primera parte dice lo siguiente:
Si al festejado no le toca ningún caramelo, entonces los casos posibles serían \( n^c \), pues cada niño puede recibir cualquiera de los \( c \) dulces.

Ahí me pierdo, no entiendo porqué es \( n^c \)...
Si ud. conoce otra manera de abordarlo, que no sea con el complemento, lo agradeceré jeje saludos!  :laugh:


17
Geometría Diferencial - Variedades / Producto exterior
« en: 20 Agosto, 2017, 07:36 pm »
Sea \( e_1,e_2,...,e_n \) base de \( V \) y sea \( \sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_n \) la base dual de \( V^{*} \) correspondiente. Sean \( f_1,...,f_k \in V^{*} \) y suponga \( \displaystyle f_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\ \sigma_j \). Sea \( A \) la matriz con \( k \) líneas y \( n \) columnas con entradas \( a_{ij} \). Dada una \( k- \)upla creciente \( J=\left \{ {j_1<...<j_k} \right \} \) sea \( A_J \) la matriz \( k\times k \) formada por las columnas \( j_1,...,j_k \) de \( A \). Demuestre que \( \displaystyle f_1\wedge ... \wedge f_k=\sum_{J}^{ } det(A_J)e_J \).

Hola, estoy en un enredo con este problema, he intentado lo siguiente:
\( \displaystyle f_1\wedge ... \wedge f_k=\left ( \sum_{j_1=1}^{n} a_{1 j_1} \sigma_{j_1} \right )\wedge \left ( \sum_{j_2=1}^{n} a_{2 j_2} \sigma_{j_2} \right )\wedge ...\wedge \left ( \sum_{j_k=1}^{n} a_{k j_k} \sigma_{j_k} \right )=\sum_{j_1=1}^{n} \sum_{j_2=1}^{n} ... \sum_{j_k=1}^{n} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{kj_k}\left ( \sigma_1 \wedge \sigma_2 \wedge ... \wedge \sigma_k \right ) \)
Luego intenté por brute-force, es decir expandir las sumas, pero llego a algo muy engorroso y no creo que sea la misión del problema. Algún hint que me puedan dar?  ??? De antemano gracias!

Saludos!  :D

18
Análisis Real - Integral de Lebesgue / Homeomorfismo y compacidad
« en: 28 Junio, 2017, 11:53 pm »
Sea \( E \) espacio vectorial de dimensión finita \( n \) y \( \left \{ a_1,...,a_n \right \} \) base para \( E \). Entonces cada \( x\in E \) se escribe de manera
única de la forma \( x=\lambda _1a_1+...+\lambda _na_n \). Definamos entonces \( ||x||_1=|\lambda _1|+...+|\lambda _n| \). Pruebe que \( ||\ ||_1 \) es una norma sobre \( E \),
pruebe además que \( (E,||\ ||_1) \) es homeomorfo a \( (\mathbb{R}^n,||\ ||_s) \). Conluya que \( (E,||\ ||_1) \) es localmente compacto.

Hola, no he podido resolver bien que \( E \) sea homeomorfo a \( (\mathbb{R}^n,||\ ||_s) \) y que \( (E,||\ ||_1) \) sea compacto.
He hecho lo siguiente: Notar que, si \( x\neq 0 \Rightarrow ||x||_1=\underset{\overbrace{>0}}{|\lambda _1|}+...+\underset{\overbrace{>0}}{|\lambda _n|}>0 \).
Por otro lado, si \( ||x||_1=|\lambda _1|+...+|\lambda _n|=0 \Rightarrow |\lambda _i|=0, \ i=1,...,n \Rightarrow \lambda_i=0, \ i=1,...,n \Rightarrow x=0 \)
Si \( t\in \mathbb{R} \Rightarrow ||tx||_1=|t\lambda _1|+...+|t\lambda _n|=|t||\lambda _1|+...+|t||\lambda _n|=|t|(|\lambda _1|+...+|\lambda _n|)=|t|||x||_1 \)
Luego, dados \( x,y\in E \) se tiene que \( ||x+y||_1=|\lambda _1+\lambda^{'} _1|+...+|\lambda _n+\lambda^{'} _n|\leq (|\lambda _1|+...+|\lambda _n|)+|\lambda^{'} _1|+...+|\lambda^{'} _n|=||x||_1+||y||_1 \)
Por lo tanto, \( ||\ ||_1 \) define una norma sobre \( E \).

Me podrian ayudar con un hint, porfavor? :)
Saludos..

19
Sean \( (E,\left \| \ \right \|_1) \) y \( (F,\left \| \ \right \|_2) \) espacios vectoriales normados. Para todo \( u\in L(E,F) \) demuestre que: \( sup\left \{ \left \| u(x) \right \|_2: \left \| x \right \|_1=1 \right \}=sup\left \{ \left \| u(x) \right \|_2: \left \| x \right \|_1\leq{1} \right \} \).

Hola, he intentado hacer lo siguiente: Sean \( A=\left \{ a>0: ||u(x)||_2\leq a||x||_1, \forall{x\in E} \right \}, b=sup\left \{ ||u(x)||_2: ||x||_1\leq 1 \right \}, c=sup\left \{ ||u(x)||_2: ||x||_1=1 \right \} \),
y definamos \( \forall{u\in L(E,F)}: \ n(u)=inf\left \{ a>0: ||u(x)||_2\leq a||x||_1, \forall x\in E \right \} \) \( \Rightarrow \) Si \( a\in A \), para \( ||x||_1\leq 1 \) se tiene \( ||u(x)||_2\leq a \Rightarrow ||u(x)||_2 \) es cota inferior de \( A, \ \forall ||x||_1\leq 1 \)
\( \Rightarrow ||u(x)||_2\leq n(u), \ \forall ||x||_1\leq 1 \Rightarrow b=sup\left \{ ||u(x)||_2: ||x||_1\leq 1 \right \}\leq n(u) \). Por otro lado, \( \forall x\neq 0 \) se tiene \( \left \| {u\left ( \dfrac{x}{||x||_1} \right )} \right \|_2\leq b \Rightarrow ||u(x)||_2\leq b||x||_1 \Rightarrow b\in A \Rightarrow n(u)\leq b. \)
Por lo tanto, \( n(u)=b \).
Análogamente, si \( a\in A \), para \( ||x||_1=1 \) se tiene \( ||u(x)||_2\leq a \Rightarrow ||u(x)||_2 \) es cota inferior de \( A, \ \forall ||x||_1=1 \) \( \Rightarrow ||u(x)||_2\leq n(u), \ \forall ||x||_1=1 \Rightarrow c=sup\left \{ ||u(x)||_2: ||x||_1=1 \right \}\leq n(u) \).
Por otro lado, \( \forall x\neq 0 \) se tiene \( \left \| {u\left ( \dfrac{x}{||x||_1} \right )} \right \|_2\leq c \Rightarrow ||u(x)||_2\leq c||x||_1=c \Rightarrow c\in A \Rightarrow n(u)\leq c. \)
Por lo tanto, \( n(u)=c \). Finalmente \( b=sup\left \{ ||u(x)||_2: ||x||_1\leq 1 \right \}=c=sup\left \{ ||u(x)||_2: ||x||_1=1 \right \} \)

Alguna opinion? :D
Saludos cordiales... :)

20
Considere la aplicación \( T:\mathbb{R}^\infty \rightarrow{\mathbb{R}^\infty} \) definida por \( T(x_1,x_2,...,x_n,...)=\left ( x_1,\dfrac{1}{2}x_2,...,\dfrac{1}{n}x_n,... \right ) \).
a) Demuestre que \( T \) es un isomorfismo de espacios vectoriales.
b) Demuestre que \( T:(\mathbb{R}^\infty,\left \| \  \right \|) \rightarrow{(\mathbb{R}^\infty,\left \| \  \right \|)} \) es continua pero no es homeomorfismo.



a) Sean \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}},\lambda \in \mathbb{R} \) tales que \( T(x_1,x_2,...,x_n,...)=\left ( x_1,\dfrac{1}{2}x_2,...,\dfrac{1}{n}x_n,... \right ) \) y \( T(y_1,y_2,...,y_n,...)=\left ( y_1,\dfrac{1}{2}y_2,...,\dfrac{1}{n}y_n,... \right ) \). Entonces:
\( T[(x_1,x_2,...,x_n,...)+(y_1,y_2,...,y_n,...)]=T(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n,...)=\left ( (x_1+y_1),\dfrac{1}{2}(x_2+y_2),...,\dfrac{1}{n}(x_n+y_n),... \right )=... \)
\( ...=\left ( x_1,\dfrac{1}{2}x_2,...,\dfrac{1}{n}x_n,... \right )+\left ( y_1,\dfrac{1}{2}y_2,...,\dfrac{1}{n}y_n,... \right )=T(x_1,x_2,...,x_n,...)+T(y_1,y_2,...,y_n,...) \).
Además, \( T(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n,...)=\left ( \lambda x_1,\dfrac{1}{2}\lambda x_2,...,\dfrac{1}{n}\lambda x_n,... \right )=\lambda \left ( x_1,\dfrac{1}{2}x_2,...,\dfrac{1}{n}x_n,... \right )=\lambda T\left (  x_1,x_2,...,x_n,...\right ) \).
Por lo tanto \( T \) es un isomorfismo de espacios vectoriales.

b) Sea \( \epsilon >0 \Rightarrow{\exists \delta =\epsilon >0} \) tal que \( \left \| (x_1,x_2,...,x_n,...)-(y_1,y_2,...,y_n,...) \right \|<\delta \Rightarrow \left \| T(x_1,x_2,...,x_n,...)-T(y_1,y_2,...,y_n,...) \right \|=... \)
\( ...=\left \| \left ( x_1,\dfrac{1}{2}x_2,...,\dfrac{1}{n}x_n,... \right )-\left ( y_1,\dfrac{1}{2}y_2,...,\dfrac{1}{n}y_n,... \right ) \right \|<\left \| (x_1,x_2,...,x_n,...)-(y_1,y_2,...,y_n,...) \right \|<\delta =\epsilon \)
Por lo tanto \( T \) es continua. Luego si \( T^{-1} \) no es continua, \( T \) no es homeomorfismo.

Hola, eso he intentado hacer! lo otro, me pueden dar un hint para lo que marqué con azul porfavor, nosé como proseguir...
Saludos cordiales..  ;D




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