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Temas - Protágoras

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Hola a todos.

No entiendo la siguiente pregunta (sobre el problema de Sturm-Liouville).

Sea \( \{ f_n(x) \} \) una familia de funciones mutamente ortogonales de \( 0 \) a \( \infty \) con función peso \( e^{-x} \). Encuentre la ecuación diferencial de la forma \( xf''_n(x)+g(x)f'_n(x)+\lambda f_n(x)=0 \) que es satisfecha por \( f_n(x) \).

Yo intenté calcular la derivada respecto a \( t \) de \(  \int_0^t(f_n(x))^2e^{-x}dx=1 \) y finalmente comparar los coeficientes. Pero no estoy convencido de eso pues el producto interno es \( (f_n,f_m)=\int_0^{\infty}f_n(x)f_m(x)e^{-x}dx \), no es cierto?

Les agradezco su ayuda.

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Libros / Redacción matemática
« en: 17 Junio, 2018, 01:24 pm »
¡Buen día a todos!

¿Podrían darme referencias sobre libros de redacción matemática?

¡Se los agradezco de antemano!


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Álgebra / Imagen inversa de un sheaf
« en: 10 Diciembre, 2017, 02:19 am »
Hola a todos, mi problema es el siguiente:

Sea \( f:X\rightarrow Y \) y \( g:Y\rightarrow Z \) mapas continuos. Sea \( \mathcal{H} \) un sheaf sobre \( Z \). Tengo que probar que \( f^{-1}(g^{-1}\mathcal{H})=(g\circ f)^{-1}\mathcal{H} \). (Ejercicio 2.6 del capítulo 2 del libro de Qing Liu)

En el libro de Algebraic Geometry de Ulrich Görtz encontré una sugerencia de verificar primero que los pre-sheaves son iguales, es decir: \( f^{+}(g^{+}\mathcal{H})=(g\circ f)^{+}\mathcal{H} \) (donde \( f^{+}\mathcal{F}(U)=\displaystyle\varinjlim_{ V\supseteq{f(U)}}{\mathcal{F}(V)} \) con \( \mathcal{F} \) un sheaf). Para luego concluir que las sheafification son isomorfas \( f^{-1}(g^{-1}\mathcal{H})\cong (g\circ f)^{-1}\mathcal{H} \).

Mi primera duda es: ¿Cómo es una igualdad de pre-sheaves (o sheaves) \( \mathcal{F}=\mathcal{G} \)?,¿basta probar que para cada \( U\subset X \) se tiene que \( \mathcal{F}(U)=\mathcal{G}(U) \)? No encontré referencia sobre ello.

Y estoy tratando de "hacer las cuentas" y tengo dudas de si el camino es correcto. Pues no consigo dar la forma a la igualdad de los pre-sheaves: \( f^{+}(g^{+}\mathcal{H})(U)=\displaystyle\varinjlim_{V \supseteq{f(U)}}(\displaystyle\varinjlim_{W \supseteq{g(V)}}\mathcal{H}(W))=\displaystyle\varinjlim_{V\supseteq g(f(U))}\mathcal{H}(V)=(g\circ f)^{+}\mathcal{H}(U) \)

Tal vez hay alguna propiedad del límite directo?

Si alguien me puede dar más pistas sobre como resolver el problema se lo agradezco de antemano.

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Álgebra / Dimensión de un conjunto algebraico
« en: 20 Septiembre, 2017, 04:41 am »
Hola,

Tengo que calcular la dimensión del conjunto algebraico afin contenido en \( \mathbb{A}^{10} \) dada por las siguientes relaciones:

\( X_1X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4X_{10}+X_3X_9-X_6X_7=0 \)
\( X_1X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_1X_7=0 \)
\( X_2X_7+X_8X_9-X_4X_5=0 \)

Yo intento resolverlo viendo \( \mathbb{A}^{10}\equiv U_{1}=\{X_{1}\neq 0\}\subset \mathbb{P}^{10} \) por lo que reduzco las ecuaciones a:
\( X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_7=0 \)

Pero no consigo continuar con mi idea.

Les agradezco su ayuda y explicación



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Temas de Física / Movimiento armónico
« en: 08 Mayo, 2017, 03:55 pm »
Hola, por favor me ayudan con la siguiente pregunta

Una esfera muy pequeña de peso \( w \) está atada a un alambre de longitud \( l \) como se muestra en la figura (gráfico adjunto). Calcular la frecuencia de vibración si se desplaza una distancia horizontal \( x \) y se abandona.

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Hola, tengo la siguiente pregunta

Sea U una curva plana afín definida por \( x^2=3+10t^4+3t^8 \). Sea V la curva plana afín definida por \( w^2=z^6-1 \). Pruebe  que las curvas son suaves. Demuestre que la función \( F:U\rightarrow V \) definida por \( z=(1+t^2)/(1-t^2) \) y \( w=2tx/(1-t^2)^3 \) es holomorfa y no se ramifica siempre que \( t\neq{\pm{1}} \).

¿Cómo hago para determinar que la función \( F \) es holomorfa? ¿Tengo que tomar las cartas? ¿Puedo ver \( F:=(f_1,f_2) \)?

También les pido si tienen alguna otra referencia o notas, con ejemplos sobre este tema. ¡Muchas gracias!

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