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« en: 03 Junio, 2019, 06:17 am »
De la ecuación:
\( \tilde{u}(\xi ,t)=\tilde{f}(\xi)cos(ct\xi)+\tilde{g}(\xi)(c\xi)^{-1}sen(ct\xi) \)
Use la transformada inversa de Fourier para obtener la ecuación de D’Alembert:
\( \displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x-ct)+f(x+ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (y)dy \)
Bueno lo que he hecho fue primero usar la transformada inversa de Fourier:
\( \displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\tilde{u}(\xi ,t)e^{-i\xi x}d\xi \)
Sustituyo la ecuación que se me dio obteniendo:
\( u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\left \{ \int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)+\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t) \right \}e^{-i \xi x}d\xi \)
\( u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi+\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi \)
Resuelvo la integral:
\( u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi \)
Uso la identidad:
\( \displaystyle \cos(c\xi t)=\frac{e^{ict\xi }+e^{-ict\xi }}{2} \)
\( \displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{f(\xi)}}{2}\left [ e^{ict\xi }+e^{-ict\xi } \right ]e^{-i \xi x}d\xi \)
\( \displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2 }\left \{ \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)e^{-i\xi (x- ct)}d\xi+\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)e^{-i\xi (x+ct)}d\xi \right \} \)
\( \therefore u(x,t)=\dfrac{1}{2}\left [ f(x-ct)+f(x+ct) \right ] \)
Ahora resuelvo:
\( u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi \)
Pero no sé cómo hacerlo, me podrían ayudar como le hago para resolver esta integral para encontrar el factor:
\( \displaystyle \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (y)dy \)
He estado investigando y según se usa la convolución, pero no me sale, me podrían ayudar, de antemano gracias