Deduce la ley de Wien,:

\( \rho(\nu,T)=\nu^{3}f(\nu/T) \)

Me pueden ayudar como se puede demostrar, eh revisado en libros y solo muestran la ecuacion pedo me solo dan una explicacion pero, o me podrian decir que libros me puedo apoyar donde venga este tema de antemano gracias

Demuestre que la ley de Wien:



\( u=\alpha\nu^{3}e^{-\frac{\beta\nu}{T}}  \)



es igual a:



\( \frac{\partial^{2}S}{\partial u^{2}}=\frac{1}{u}  \)



Ademas demuestre la ley de Wien (experimental):



\( u=\nu^{3}f\left(\frac{\nu}{T}\right)  \)



es igual a:



\(  \frac{\partial^{2}S}{\partial u^{2}}=\frac{1}{u^{2}} \)



Bueno, para el primer caso se me ocurrio esto, de la ecuacion:



\(  u=\alpha\nu^{3}e^{-\frac{\beta\nu}{T}} \)



usaremos la formula de Rayleigh-Jeans:



\( u=\frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}U  \)



Igualamos ambas ecuaciones:



\( \frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}U=\alpha\nu^{3}e^{-\frac{\beta\nu}{T}}  \)



Despejamos a \( U \):



\( U=\frac{\alpha c^{3}\nu}{8\pi}e^{-\frac{\beta\nu}{T}}  \)


donde:



\(  b=\frac{\alpha c^{3}}{8\pi} \)



quedándonos:



\(  U=b\nu e^{-\frac{\beta\nu}{T}}  \)



Usamos logaritmos para tener a \( T \) y nos queda:



\(  -\frac{1}{\beta\nu}\frac{lnU}{b\nu}=\frac{1}{T} \)



Pero sabemos que:



\(  \frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U} \)



Igualamos:




\( \frac{\partial S}{\partial U}=-\frac{1}{\beta\nu}\frac{lnU}{b\nu}  \)



Hasta aqui he llegado, que debo de hacer para que esta ecuación llegue a la solución:




\( \frac{\partial^{2}S}{\partial U^{2}}=\frac{1}{U}  \)



También si me pueden explicar como le debo de hacer para demostrar el otro, de antemano gracias

De la ecuación:


\(  \tilde{u}(\xi ,t)=\tilde{f}(\xi)cos(ct\xi)+\tilde{g}(\xi)(c\xi)^{-1}sen(ct\xi)  \)


Use la transformada inversa de Fourier para obtener la ecuación de D’Alembert:


\(   \displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x-ct)+f(x+ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (y)dy \)


Bueno lo que he hecho fue primero usar la transformada inversa de Fourier:


\(  \displaystyle  u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\tilde{u}(\xi ,t)e^{-i\xi x}d\xi  \)


Sustituyo la ecuación que se me dio obteniendo:


\(  u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\left \{ \int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)+\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t) \right \}e^{-i \xi x}d\xi  \)


\(  u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi+\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi \)


Resuelvo la integral:


\(  u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi  \)



Uso la identidad: 


\(  \displaystyle  \cos(c\xi  t)=\frac{e^{ict\xi }+e^{-ict\xi }}{2}  \)


\(  \displaystyle  u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{f(\xi)}}{2}\left [ e^{ict\xi }+e^{-ict\xi } \right ]e^{-i \xi x}d\xi \)


\(  \displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2 }\left \{ \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)e^{-i\xi (x- ct)}d\xi+\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)e^{-i\xi (x+ct)}d\xi  \right \}  \)


\(  \therefore u(x,t)=\dfrac{1}{2}\left [ f(x-ct)+f(x+ct) \right ]  \)


Ahora resuelvo:


\(  u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi  \)


Pero no sé cómo hacerlo, me podrían ayudar como le hago para resolver esta integral para encontrar el factor:


\(  \displaystyle \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (y)dy \)


He estado investigando y según se usa la convolución, pero no me sale, me podrían ayudar, de antemano gracias

\( f(\theta )=\begin{cases} (2a)^{-1} & { (|\theta |<a)} \\0 & {(a<|\theta |<\pi )}\end{cases} \)\( .....(1) \)


\( \frac{1}{2\pi }+\frac{1}{\pi }\sum_{1}^{\infty }\frac{sen(na)}{na}cos(n\theta ) \)\( .....(2) \)


Mi duda es esta, de la función (1) que es una función a trozos debo de llegar a la serie de Fourier de (2), pero mi única duda es que limites debo de escoger para llegar a la serie de fourier que me piden.

Lo que hice primero es encontrar en cosficiente \( {a}_{0 } \) asi que uso el coeficiente:

\( a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx \)


\( a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\frac{1}{2a }dx \)



pero que limites debo de colocar en esta integral pata que llegue al coeficiente \( \frac{1}{2\pi } \) que esta en (2), me confunde el  \( (|\theta |<a) \)  de antemano muchas gracias

Una partícula cargada se inyecta a una región del espacio en el que existe un campo magnético uniforme  (\( B \)), pero su velocidad no es perpendicular a \( \vec{B} \).

Obtenga la trayectoria que describe la partícula

Calcular la integral:

\( \displaystyle\int_{C[0,2]}^{}= \)  \( \sqrt[ ]{z} \)\( dz \)

Me puede ayudar con este problema, lo que he hecho es:

\( C[0,2]=|z|=2 \)

La curva que tenemos es un circulo de radio 2 con centro en el origen. Asi que \( \sqrt[ ]{z} \) se encuentra dentro de la curva, mi problema es que nose como integrarlo, nose si se puede integrar con la integral de Cauchy Rieman, de antemano gracias

Dado que no existen los monopolos magnéticos, seria de esperarse que la intensidad polar total (carga magnética neta) de un trozo finito de material magnetizado fuese igual a cero. Demostrar que así es.

Encuentre la tangente unitario \( T \), la normal principal \( N \), la curvatura \( k \), y la longitud \( L \) de la curva descrita por:

    \( f(t)=(5\cos t - \ cos 5t, 5\sen t - \sen5t) \)



\( D_f=(0,\pi) \)

\( a>0 \)

Calcule el área del plano : \( \displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{6}+\displaystyle\frac{z}{3}=1 \), contenida en el primer octante.


 \( \displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{6}+\displaystyle\frac{z}{3}=1 \)  \( \Rightarrow{} \) \( 3x+2y+4z=12 \)


Parametrizamos el plano:

\( W(u,v)= \)\( (4u,6v,3-3u-3v) \)

La ecuación para calcular el área es:

\( A(s)= \)\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{} \)\( ||r_u \) X \( r_v|| \)\( dA \)


\( ||r_u \) X \( r_v|| \)\( =6\sqrt[ ]{29} \)

Mi duda que tengo es sobre los limites de integración porque mi profe puso estos:

\( 6\sqrt[ ]{29} \)\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-u} \)\( dvdu \)

nose porque el primer limite va de 0 a 1,y  el otro tambien va de 0 a \( 1-u \) me podrían explicar como es que se obtuvo esos limites, de antemano gracias

Evalué \( \displaystyle\int_{c}^{}f(\alpha (t)) \) \( ||\alpha´(t)|| \)dt

Donde :

\( f(x,y) = x^2+y^2 \)

c consiste en los segmentos del triangulo dado por, \( (-1,1), (1,0), (-1,-1) \)