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Temas - sedeort

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Temas de Física / Caída de una pompa de jabón
« en: 26 Noviembre, 2020, 01:03 pm »
Se pide la aceleración inicial de caída, partiendo del reposo, de una pompa de jabón.

Datos:
La densidad de la película líquida de la pompa se aproxima a la del agua: 1 g/cc.
El volumen de esta película es del 0'1% del total de la pompa.
La densidad del aire interior en la pompa se aproxima a la del aire exterior: 1'2 g/l
Gravedad: 9'8 m/s2

Posibles soluciones:
a = 9'788 m/s2
a = 4'452 m/s2
Cuál creéis que es la correcta?



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Temas de Física / Choque de bala con extremo de varilla
« en: 02 Noviembre, 2020, 10:49 pm »
Hola. Un problema que me ha surgido y que me está creando un dilema.

Sea una varilla delgada de masa M y longitud L, inicialmente en reposo y sin fuerzas externas sobre ella (ingravidez).
Una bala de masa m y velocidad v choca perpendicularmente sobre uno de sus extremos.
Calcula las características del movimiento tras el impacto, suponiendo:
a) choque totalmente inelástico (la bala queda unida a la varilla)
b) choque perfectamente elástico (la bala rebota conservándose la energía)


Datos numéricos
masa bala, 10 g
velocidad inicial bala, 100 m/s
Masa varilla, 1 kg
Longitud varilla, 1 m



Mi dilema es que, por un lado, creo que no debe haber rotación ya que veo una sola fuerza sobre la varilla en el momento del choque (y no el par de fuerzas necesario para una rotación). En cambio, la intuición en la experiencia me dice que sí debe haber rotación en torno al CDM (aparte de una traslación del CDM, claro).
Gira o no gira la varilla?


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Propuestos por todos / Fraccionamiento de moneda
« en: 06 Septiembre, 2020, 10:56 am »
Hola. Una ocurrencia de las mías.
Os pregunto qué fraccionamiento de moneda sería mejor y por qué (en una década sólo habrá "dos monedas interiores")
Por ejemplo:

- 1 - 2 - 5 - 10 - 20 - 50 - 100 - etc
(ésta se utiliza en el euro)

- 1 - 2.5 - 5 - 10 - 25 - 50 - 100 - etc
(ésta coincidía bastante con la del siglo pasado)

- Proponed alguna otra si la veis interesante.

P.D. Los dos sistemas que he puesto creo que realmente son equivalentes (sólo cambia el origen en la escala logarítmica?)

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Temas de Física / Acertar al mono
« en: 01 Septiembre, 2020, 10:33 am »
Justamente en el instante en que un indio dispara un dardo, apuntando con la cerbatana directamente hacia un mono que está colgado de una rama, el mono se suelta y cae libremente. Demostrar que cualquiera que sea la velocidad de salida del dardo, el mono será siempre alcanzado.

Este problema de cinemática es un clásico. Lo encontré en el también clásico "Lecciones de Física" de M.R. Ortega (1982).
Es curioso, porque los "errores a priori" de apuntar directamente por parte de indio y el de soltarse por parte del mono acaban siendo la clave para el acierto.

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Temas de Física / Polarización de varilla metálica
« en: 08 Diciembre, 2019, 07:29 am »
Hola. El tema de la placa metálica infinita y "aislada" fue apasionante y la resolución de Richard aún sigue coleando.
En ese tema propuse otro problema en el que estoy interesado y que tampoco encuentro la solución (porque me atranco en lo que podría llamar una  "ecuación integral" que no sé resolver).
Pasamos de la infinitud bidimensional a la discreción en una.


Calcular la distribución lineal de carga \( \lambda (x) \) en una varilla metálica de longitud \( L \), neutra, aislada y alineada con un campo eléctrico externo \( E \) constante en módulo y sentido (por ejemplo, el creado en el interior de un condensador).
Si lo veis necesario podéis considerar que la carga eléctrica total, de cada signo, que contiene la varilla es \( Q \).

El sistema de referencia es arbitrario. Por ejemplo, colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la varilla de longitud \( L \) y el eje \( X \) coincidiendo con ella.
El campo eléctrico externo es constante y le damos la forma \( \vec{E}=E_0\hat{i} \) , con \( E_0>0 \). (campo y varilla están alineados).
En estas condiciones, en la varilla se inducirá una polarización, los fluidos de carga  se moverán y en cada punto aparecerá una densidad lineal de carga \( \lambda (x) \). Esta función es la que pretendemos determinar.

El planteamiento físico que propongo se basa en suponer (¿posiblemente sea erróneo?) que a lo largo de la varilla se generará un campo eléctrico que llamo "interno", \( E_i \), debido a la polarización, que intenta contrarrestar al externo. Estos dos campos deberán ser de igual módulo pero diferente sentido (¿?).

Resolución:
El campo eléctrico interno en un punto genérico \( a \) de la varilla se obtiene integrando a lo largo de toda la varilla y debe ser el opuesto a \( E_0 \)
\( E_i(a)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\frac{\lambda(x)  dx}{(x-a)^2}=-E_0 \) ; cumpliéndose esta ecuación \( \forall{}a\in{}(0,L) \)
Y otra condición es que la carga total de la varilla sea nula. O sea:
\( \displaystyle\int_{0}^{L}\lambda (x) dx =0 \)

¿Cómo saco de aquí la expresión analítica de la función \( \lambda(x) \)? Será necesario aplicar métodos numéricos?

Vosotros diréis cómo haríais esta "ecuación integral" o si hay que cambiar el planteamiento...
Un saludo.


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Temas de Física / Carga frente a plano metálico.
« en: 06 Diciembre, 2019, 09:48 am »
Hola. Estoy dándole vueltas a un sencillo problema, en apariencia, pero que de momento no le consigo encontrar el planteamiento de resolución.

Se trata de una carga puntual +Q situada  a una distancia d de un plano metálico infinito aislado y neutro. Calcular la distribución de carga inducida en el plano.

Este problema lo he encontrado en la red, pero con la placa conectada a tierra, \( V=0 \). Aquí, la resolución es ayudándose del método de las imágenes. El resultado es que el campo y potencial eléctricos se pueden calcular sencillamente sustituyendo la placa por una carga \( -Q \) equivalente situada simétricamente al otro  lado. Queda finalmente que la placa se carga con esa \( -Q \) neta a través de su conexión con tierra y con una distribución no muy difícil de calcular. Pondré la resolución al final de este mensaje.

Pero en mi problema propuesto no existe tal conexión, la placa la consideramos aislada y neutra. La carga neta total será cero aunque sí se polarizará.
Y no creo que pueda aplicarse el método de las imágenes en este caso. Cómo  plantearíais vosotros?

Resolución del caso con la placa conectada a tierra
El método de las imágenes en este caso consiste en sustituir la placa metálica, coincidente con el plano \( z=0 \) y conectada a tierra \( (V=0) \), por una carga \( -Q \) en situada simétricamente al otro lado, \( -d \). De esta forma se sigue manteniendo que en la posición en la que estaba el plano el potencial eléctrico sigue siendo nulo. Pero este método va más allá y pronostica que en el resto del espacio también coinciden \( V \) y el vector \( E \) con esta sustitución.
Con las dos cargas únicamente es fácil calcular el potencial en cualquier punto \( P (x,y,z) \).
 \(  V= V_+ + V_-  \) ; con \( V_+ = \displaystyle\frac{+Q}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x^2+y^2+{(d-z)}^2}} \)      y       \( V_- = \displaystyle\frac{-Q}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x^2+y^2+{(d+z)}^2}} \)
Derivando esta función \( V(x,y,z) \) respecto a z podemos obtener la componente z del vector campo eléctrico ya que  \( E_z=- \displaystyle\frac{dV}{dz} \)
Evaluándola en \( z=0 \) obtenemos el valor del campo eléctrico en la superficie de la placa.
                    \( E_z(z=0)=-\displaystyle\frac{2dQ}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\frac{1}{{(x^2+y^2+d^2)}^{3/2}} \)

Por otro lado, por la ley de Gauss, \( E_z(z=0)=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_0} \)
Igualando obtenemos la densidad superficial de carga sobre la placa:
\( \sigma=- \displaystyle\frac{Qd}{2 \pi}\displaystyle\frac{1}{{(r^2+d^2)}^{3/2}} \)
donde \( r \) es la coordenada radial con origen el punto del plano más próximo a +Q  \( (r^2=x^2+y^2) \)

Si integramos a toda la superficie obtenemos la carga total \( Q_s \) contenida en esta superficie y dada la evidente simetría radial \( \sigma=\sigma(r) \):
\( Q_s=\displaystyle\int_{S}^{}\sigma dS=2 \pi \displaystyle\int_{0}^{\infty} \sigma(r) r dr = -Q \)
O sea, la carga -Q ficticia que habíamos colocado en el otro semiespacio es con la que se carga realmente la placa a través de su conexión con la tierra cuando se alcanza el equilibrio.


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Propuestos por todos / Cuadratura del círculo
« en: 11 Septiembre, 2019, 07:50 pm »


Hola. Hace poco me llegó este curioso GIF.
Alguien se atreve a calcular la función matemática de la curva de ese objeto. Y bajo qué ángulos se debe observar para conseguir esa ilusión visual.

Creéis que esta "obra de museo" ha sido diseñada por un matemático que previamente ha calculado lo que pido yo aquí?

Es posible crear este mismo efecto a partir de un "triángulo" en vez de un cuadrado?

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Temas de Física / Penetración de una bala
« en: 08 Agosto, 2019, 09:47 pm »
Supongamos que una bala de masa \( m \) puede penetrar una distancia \( x_0 \) al ser disparada sobre un cuerpo infinitamente masivo (o lo suficientemente sujetado como para no moverse con el impacto).
La pregunta es: cuánto penetrará la misma bala en un cuerpo libre de masa \( M \)?

Supondremos que sólo existe la fuerza media de fricción entre los cuerpos, y que es la misma en los dos casos.

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Temas de Física / Tiempo en chocar Tierra y Luna
« en: 14 Julio, 2019, 10:55 am »
Hola. Planteo en esta sección de Física una aplicación práctica al problema teórico que propuse en Desafíos matemáticos.

Pues eso, se trata de calcular el tiempo que tardarían en chocar Tierra y Luna, suponiendo que dejaran de orbitar, claro.

Los datos físicos necesarios para dar una solución numérica al problema se pueden consultar y están disponibles fácilmente:

\( G=6.674·10^{-11}  Nm^2/kg^2 \)  (Cte de gravitación universal)
\( M=5.974·10^{24}  kg \)  (Masa de la Tierra)
\( m=7.349·10^{22}  kg \)  (masa de la Luna)
\( r_0=3.844·10^8 m \)  (distancia orbital media)
\( R_T=6.371·10^6 m \)  (Radio de la Tierra)
\( R_L=1.737·10^6 m \)  (Radio de la Luna)

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Propuestos por todos / Ecuación diferencial gravitacional
« en: 13 Julio, 2019, 09:44 pm »
Quisiera saber si existe una solución analítica a la simple ecuación diferencial:

                  \( r'' = - k / r^2 \)         con k>0



Os dejo la interpretación física de esta expresión:
\( r(t) \) sería la distancia de separación en función del tiempo de dos cuerpos que se atraen gravitatoriamente según la teoría elemental de Newton.
k es una constante positiva que depende de las masas que interaccionan, \( k=G(M+m) \)

En el subforo de Física también he abierto un problema práctico relacionado con esta ecuación.

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Propuestos por todos / Cuerpos rechonchos
« en: 11 Junio, 2019, 04:25 pm »
Últimamente estoy liado calculando dimensiones de determinadas figuras tridimensionales para que presenten el aspecto lo más "rechoncho" posible.
Con este curioso calificativo me refiero a los cuerpos que presentan la menor relación superficie / volumen.

Está claro que el objeto campeón absoluto en esta competición es la esfera.
Y por ejemplo, dentro de la familia de los paralelepípedos el cubo sería el más "gordito", jeje.
Generalmente los poliedros regulares son bastante rechonchos, unos más que otros , claro (el icosaedro es más "revolondo" que el tetraedro)

De entre la familia de los cilindros no es muy complicado calcular qué proporcion debe guardar el diámetro y la altura del más "boludo", :). Podéis intentarlo como entrenamiento en este tipo de problemas.

Más complicado, a mí me lo ha parecido, es el caso de los conos. Os reto a que lo hagáis. Cuál es el cono más "esférico" posible? Qué proporciones debe tener?

Este problema es de aplicación en la vida real. Así se explica porqué las burbujas o pompas de jabón son esféricas, o porqué los cuerpos esféricos son los que se enfrían más lentamente, etc

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Aplicados a la vida diaria / Empaquetamiento de lápices
« en: 23 Noviembre, 2018, 08:42 am »
Sean dos tipos de lápices: los que venden sin punta (cilíndricos) y los que sí tienen una punta cónica.
Cuáles de ellos se pueden empaquetar con mayor compacidad o densidad (fracción de volumen ocupado)?


Igual estoy equivocado y es curioso pero la solución que a mí me sale no depende absolutamente de nada.  :o
(Todo tipo de lápices, con o sin punta, más o menos afilados, más o menos largos, se pueden apilar con la misma densidad. ???

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Después de resolver la distancia media entre dos puntos cualesquiera de una circunferencia, ahora estoy enfrascado con este reto.
El problema parece más complejo porque en el caso de la circunferencia todos los puntos son equivalentes pero en el segmento no.

Tengo una primera solución, de 1/3, pero no estoy seguro y me gustaría que hubiese aportaciones por aquí.
Un saludo.

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Hola. Pues eso, ayer me desafió mi hijo a que calculara este valor para una circunferencia de radio R.
Hoy he estado dándole vueltas y lo he hecho de dos formas diferentes, ambas con el mismo resultado.
Traslado aquí este pequeño reto (y que ya estoy ampliando para otras figuras geométricas).
Espero que os llame la atención como a mí.

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Análisis Matemático / Distancia media de una curva a un punto
« en: 09 Mayo, 2016, 05:44 pm »
Hola. Quería que me ayudaseis a encontrar la expresión para este cálculo.
Siendo la curva f(x), entre los extremos a y b. Y el punto, el origen de coordenadas O (0,0).
La expresión debe incluir una integral definida, creo

Ideé una expresión, más abajo la teneis, pero dudo que parta de una hipótesis correcta.

Quizás para coordenadas polares la expresión sea más sencilla. También tengo una idea.
Pero quisiera que vosotros os anticipeis.
Gracias.

Edito. Todo empezó porque nos gusta salir a correr haciendo un circuito cerrado (supongamos que a una velocidad constante y sobre una trayectoria plana). Dada una distancia total recorrida me planteé el problema de poder calcular cuál había sido el alejamiento medio a un punto central interior y cómo depende de la trayectoria descrita.
Por ejemplo, para 1 km de carrera total y en trayectoria circular, el alejamiento medio al centro es precisamente el radio de la circunferencia, dm=1/2pi=0.159154943...
Para una trayectoria recta de ida y vuelta debe ser la cuarta parte del segmento (¿es correcta mi suposición?), dm=0.125
Se supone que éstas son las trayectorias que dan los valores extremos de la distancia media buscada.
Para una trayectoria cuadrada, la distancia media buscada coincide con la longitud del segmento que une el centro de cuadrado con un punto situado en la cuarta parte de un lado(¿es correcto?) Osea, dm=sqr5 / 16= 0.13975424...
(Tengo dudas de que sea correcto este último planteamiento (de hecho he comprobado después que es erróneo). Por eso me he planteado resolverlo mediante integración para ver si coincide.

También deduje una expresión, para el caso de un polígono regular de n lados, perimetro 1 y centrado en el origen, que calcula la distancia media al centro de los extremos de un semilado del polígono. Es una buena aproximación al problema planteado aquí pero tampoco es la solución exacta buscada.
dm = (1 + cos(π/n)) / (4n sen(π/n))
n = 2,  dm = 1 / 8 = 0.125
n = 3,  dm = √3 / 12 = 0.14433757
n = 4,  dm = (1 + √2) / 16 = 0.15088835
n = 6,  dm = (2 + √3) / 24 = 0.15550212
n = 12, dm = (2 + √2 + √3 + √6) / 48 = 0.15824488
n = ~,  dm = 1 / (2π) = 0.15915494

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