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Temas - zimbawe

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Matemáticas Generales / Zoom en las imágenes.
« en: 04 Agosto, 2020, 06:56 pm »
Hola, traigo una pregunta rondando en la cabeza. Si yo tengo un rectángulo de vista de una imagen y le hago zoom al 150% ¿Qué fracción del rectángulo deja de verse? Se supone que si le hago zoom del 150%, me va a dar la impresión de que estoy 150% cerca. Digamos que el rectángulo tiene base 10 y altura 20, entonces se supone que si me acerco 150%  ¿la base que veo es 5 y la altura 10?
¿Conocen artículos dónde traten esto matemáticamente?
Depronto es algo básico pero no le he encontrado respuesta o no estoy muy seguro de mi respuesta.

2
Hola, cómo puedo probar lo siguiente.
Sea \(  T: \mathbb{R^{3}} \rightarrow{ \Bbb R^{3}}  \) probar que:

\(  R(T^{3}) \cap N(T^{3})=0 \)

No puedo escribir en Látex, no sé por qué.

Corregido por moderación. Recuerda encerrar el código LaTeX entre etiquetas [ tex ] [ /tex ] (sin espacios).

3
Cálculo 1 variable / Fórmula de reducción.
« en: 18 Junio, 2020, 09:13 am »
Hola, de ante mano mil gracias. Hemos resuelto una serie de ejercicios de fórmulas de reducción para integrales con una estudiante y ya hemos podido con todos menos uno.
Nos piden probar que:
\(  \int \frac{sin^{n}(x)dx}{cos^{m}(x)}=\frac{sen^{n}(x)}{mcos^{m}(x)}-\frac{n}{m}\int \frac{sin^{n-1}(x)dx}{cos^{m-1}(x)}   \)

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Ecuaciones diferenciales / Flujo de dinero.
« en: 04 Abril, 2020, 03:50 am »
Hola, de ante mano saludos, espero que en el país en el que estén, vayan afrontado esta situación incómoda con fortaleza. Esperar que pase pronto.
Me he topado con el siguiente problema, que no he podido resolver porque hay variables que no puedo hacer intervenir. Agradezco de corazón la ayuda que me puedan brindar.
Cierto país pequeño tiene 10 000 millones de dólares en papel moneda en circulación, y cada día entran a los bancos del país 50 millones. El gobierno decide introducir una nueva moneda y pide a los bancos que reemplacen los billetes viejos por los nuevos, siempre que la moneda antigua llegue a los bancos. Sea \( x=x(t) \)denota la cantidad de la nueva moneda en circulación en el tiempo t, con \( x(0)=0 \)
(a) Formule un modelo matemático en la forma de un problema
de valor inicial que representa el “flujo” de la nueva moneda
en circulación.

5
Cálculo 1 variable / Acotar integral.
« en: 02 Febrero, 2020, 01:47 am »
Hola, cómo van, tengo el siguiente problema que no puedo terminar, agradecería si me echarán una mano.
Suponga que \( f(1)=f'(1)=0 \) además \( f"(x) \) es continúa y \( |f"(x)|≤3 \) pruebe que \( |\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx|≤\displaystyle\frac{1}{2} \) Después de darle algunas vueltas se me ocurrió usar la serie de Taylor con centro en \( a=1 \). Y tengo que \( f(x)=T_2(x)+R_2(x) \) y de aquí obtengo que \( |\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx|≤\displaystyle\int_{0}^{1}|T_2(x)|dx+\displaystyle\int_{0}^{1}|R_2(x)|dx \)≤\( 1/2+\displaystyle\int_{0}^{1}|R_2(x)|dx \) pasa que no logro llegar a qué la integral del residuo es 0 ¿Me pueden decir que estoy haciendo mal por favor?

6
Hola, me pueden echar una mano con este ejercicio, no puedo interpretarlo ¿Algún bosquejo que aporte alguna idea? Mil gracias.
Un cable tiene radio r y longitud L, y está enrollado en un cilindro de radio R sin que se traslapen ¿Cuál es la longitud más corta en el cilindro que queda cubierta con el cable?

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Topología (general) / Espacio de Fort.
« en: 05 Enero, 2020, 12:36 am »
Hola, necesito probar que el espacio de Fort no satisface el primer axioma de numerabilidad.
No lo he logrado, asumí que el punto p tenía una base local enumerable pero no llego a nada.
Quedo agradecido por su ayuda.

8
Hola, tengo el siguiente ejercicio, encuentro un contraejemplo pero no me gusta porque lo veo muy forzado, además, por lo que sé una función que tiene discontinuidades en un número infinito de puntos no minerales no es integrable (esto lo he oído por ahí), no sé que tan cierto sea. Lo que quiero es que me indiquen un ejemplo más trivial.
Sea \( Hom([0,1],\mathbb{R}) \) el conjunto de todas las funciones no necesariamente continuas, probar que \( d_2(f,g)=\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))^{2} \) no define una métrica.
Yo tomé:
\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{x-2}} \) si 0≤x≤1/2 0 en otro caso y
\( g(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{5/2-x}} \) si 1/2≤x≤1 0 en otro caso.
Y contradice la primera propiedad de la métrica. Pero no sé. Mil gracias.

9
Análisis Matemático / Representación decimal de un número.
« en: 21 Noviembre, 2019, 03:45 am »
Hola, tengo el siguiente ejercicio e intenté una demostración pero mi profesor dice que está mal y no dice porqué ¿Podrían ayudarme?
Sea \( x \) real mayor que 0 y \( k\geq{2} \) sea \( a_0 \) el mayor entero tal que \( a_0\leq{x} \) supuestos definidos \( a_1,...,a_{n-1} \) sea \( a_n \) el mayor entero tal que
\( a_0+\displaystyle\frac{a_1}{k}+...+\displaystyle\frac{a_n}{k^{n}}\leq{x} \) probar que
\( 0\leq{a_i}\leq{k-1} \) para \( i=1,2,3...,n \)
Mi intento de prueba:
Supongamos lo contrario.
Que \( a_i>k-1 \) entonces \( a_i\geq{k} \) tendríamos entonces que: \( a_0+\displaystyle\frac{a_1}{k}+...+\displaystyle\frac{a_n}{k^{n}}\geq{a_0+1+\displaystyle\frac{1}{k}+\displaystyle\frac{1}{k^{n-1}}}\geq{a_0+1}>x \) lo que es una contradicción.
¿Por qué estaría mal mi demostración?


10
De oposición y olimpíadas / Ecuación funcional.
« en: 26 Junio, 2019, 09:18 pm »
Hola, tengo el siguiente ejercicio con el que no veo de donde. Mil gracias.
Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continúa, tal que \( f(x)f(f(x))=1 \) y \( f(2020)=2019 \) ¿Cuál es el valor de \( f(2018) \)?
No he podido deducir gran cosa, salvo que \( f(2019)=\displaystyle\frac{1}{2019} \) y también que \( f(\displaystyle\frac{1}{2019}=2019 \)
Tambien que no se anula en ningún punto. Agradezco sus sugerencias.

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Topología (general) / Abiertos en la topología uniforme.
« en: 17 Febrero, 2019, 10:18 pm »
Hola, esa es mi pregunta ¿Cómo son los abiertos en la topología uniforme? No logro visualizar como funciona esta topología y por lo tanto no puedo solucionar ni siquiera los problemas.

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Hola, si tengo un espacio métrico sé que las bolas abiertas de radio \( \varepsilon \) inducen una topología, mi pregunta es, ¿Inducen la misma topología? ¿Cómo muestro las convenciones?
Por ejemplo las bolas para \( \varepsilon=1 \) y \( \varepsilon=2 \) inducen la misma topología? Estoy tratando de probar que si \( d \) es una métrica \( d'(x,y)=\min\left\{{d(x,y),1}\right\} \) induce la misma topología .
Muchas gracias.

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Topología (general) / Función biyectiva implica continuidad.
« en: 29 Enero, 2019, 04:49 pm »
Hola, tengo el siguiente problema y quería saber si era correcta mi demostración, muchas gracias.
Sean \( X, Y \)conjuntos linealmente ordenados, demostrar que toda \( f: X\rightarrow{Y} \) estrictamente creciente y sobreyectiva es continua.
Demostración: 
Sea \( V=(a,b) \) un abierto en \( Y \) se trata de probar que \( f^{-1}(V) \) es abierto, sea \( x \in{f^{-1}(V)} \) entonces \( f(x) \in{(a,b)} \) como \( f \) es sobreyectiva existen \( x_1,x_2 \in{X} \) tales que \( f(x_1)=a \) y \( f(x_2)=b \) sea \( u=\min\left\{{f(x)-f(x_1), f(x)-f(x_2)}\right\} \) entonces \( f^{-1}((f(x)-u,f(x)+u))\subseteq{f^{-1}(a,b)} \) luego \( f^{-1}(V) \) es abierto.
¿Es correcta? Gracias de nuevo.

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Topología (general) / Hausdorff en funciones inyectivas.
« en: 29 Enero, 2019, 04:21 am »
Hola amigos, tengo el siguiente problema el cual hay algo que me impide solucionarlo.
Sea \( f: X\rightarrow{Y} \) una funcion inyectiva y continua entre dos espacios topológicos. Probar que:
Si \( Y \) es hausdorff entonces \( X \) es Hausdorff.
pasa que  la condición de inyectividad me parece innecesaria. ¿Es esto cierto? Mil gracias.

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Hola, tengo el siguiente problema también para el cual se me ocurrió una idea pero no sé como formalizarla.
Sea \( X \) un espacio topológico para el cual toda función \( f: X\rightarrow{\mathbb{R}} \)es continua, probar que \( X \) está dotada de la topología discreta. A mi se me ocurrió construir una función que tenga exclusivamente un punto fijo y el resto sea constante. O sea,
\( f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             a &   si  & x=a \\
             \\ 0  si & x\neq{a} \\
             
             \end{array}
   \right. \)
Considero a diferente de cero, pero este sería el tipo de funciones que me permitirían ver que los conjuntos unipuntuales son abiertos en \( X \) para esto, tomo un entorno de \( a \) que no contenga al cero. No sé estoy divagando sobre esta idea, pero creo que es el camino indicado.
Bienvenidas sean sus sugerencias.

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Topología (general) / Embebimientos topológicos.
« en: 23 Enero, 2019, 01:28 am »
Hola, tengo el siguiente problema y quería saber si era correcta mi solución. Aclaro que este tema lo he leído de a poquitos porque tuve que devolver el libro con el que estudiaba, gracias por su ayuda de ante mano.
Dado \( x_0 \in{X} \) y \( y_0\in{Y} \) pruebe que las aplicaciones \( f:X\rightarrow{X\times{Y}} \) y la aplicación \( g:Y\rightarrow{Y\times{X}} \) dadas por:
\( f(x)=x\times{y_0} \) y \( g(y)=x_0\times{y} \) son embebimientos. Es fácil ver que las funciones son biyectivas (cuando se restringe el rango como en este caso). Ahora quiero probar que \( f(U) \) es abierto sii \( U \) es abierto porque para el otro caso sería igual. Sea entonces U abierto \( f(U)=U\times{y_0} \) quiero probar que ese conjunto es abierto, o sea, que es la intersección entre un conjunto abierto de \( X\times{Y} \) y \( X\times{y_0} \) pero \( (U\times{Y})\cap{X\times{y_0}}=(U\cap{X})\times{y_0\times{Y}}=U\times{y_0} \) ahora si \( f(U) \) es abierto entonces queremos probar que U es abierto. \( f(U)=U\times{y_0} \) que es igual a la intersección entre un conjunto abierto de \( X\times{Y} \) digamos \( X_0\times{Y_0} \)y \( X\times{y_0} \)  \( U=X_0\cap{X} \) que es intersección de abiertos. Esto me hace un poco de ruído, espero sus sugerencias. Gracias amigos.

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Hola, estoy revisando un ejemplo donde demuestran que la función

\(  f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             x-1 &   si  & x \leq 3 \\
             \\ \displaystyle\frac{(x+5)}{2} &  si & x>3 \\
            \end{array}
   \right. \)
No es continua con la caracterización de conjuntos abiertos. Entonces en el ejemplo calculan que: \( f^{-1}((1,3))=(2,3
] \) Pero a mi la imagen inversa de dicho conjunto me da totalmente diferente. ¿Alguna sugerencia?

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Hola, estaba viendo un ejemplo sobre homeomorfismos y me surgió una duda que creo que comprendo pero quiero saber si es correcta mi apreciación.
Prueban que \( f:[0,1)\rightarrow{S^1}  \) entiéndase por S^1 el círculo unitario, dotado de la topología de subespacio de \( \mathbb{R^2} \) no es un homeomorfismo.
La función es \( f(t)=(cos(2πt),sin(2πt)) \)
Entiendo que los conjuntos abiertos en \( S^1 \) son arcos de dicha circunferencia sin contener a los extremos de dicho arco ¿Es cierto esto que digo?

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Dudas y sugerencias del foro / Cerrar sesiones.
« en: 03 Enero, 2019, 04:35 pm »
Hola ¿Hay alguna manera de cerrar las sesiones que he dejado abiertas en otros móviles o computadores sin tener acceso a ellos?

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Cálculo 1 variable / Curioso problema.
« en: 03 Enero, 2019, 05:54 am »
Hola, me encontré el siguiente problema (husmeando), que me ha tenido pensando, pude con algunos apartes, pero hay unos que no; de pronto hay propiedades que desconozco o algo que no veo.
Agradezco su ayuda.
Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}  \) una función continúa tal que \( f"(x)+xf'(x)=cos(x^3f'(x)) \) preguntan
¿Es \( f(x) \) impar? Si asumo que lo es, termino demostrando que \( f"(x) \) lo es. ¿Se puede probar sin asumirlo? Suena bobo decir que si asumo que lo es, lo pruebo. O sea, a modo me verificación lo es.
Lo otro es ¿\( \exists{r>0} \) tal que \( f(x) \) es cóncava hacia arriba en el intervalo \( (-r, r)  \)?
¿Cómo puedo probar ambas cosas?

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