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Temas - Ignacio Larrosa

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1
Se presenta la gráfica de una función \( f(x) \) y de sus dos primeras derivadas, así como la tangente en un punto \( A \). Para variar el punto \( A \), desplaza el punto blanco sobre el eje \( Ox \). Puedes cambiar la función en el campo de entrada de la esquina superior izquierda. Por ejemplo, introduce alguna de estas funciones, pulsando luego [INTRO]:

i) f(x) = x^2;     ii) f(x) = sen(x) + 3;     iii) f(x) = sqrt(x);     iv) f(x) = x/(x^2+1)


Activando las casillas correspondientes, pueden verse los extremos y puntos de inflexión.
Puedes hacer zoom para ampliar o reducir y desplazar la gráfica con los iconos de la barra de herramientas. También puedes hacer clic-derecho en la vista gráfica y cambiar la escala relativa de los ejes.

Activando la casilla Cuerda, se presenta la cuerda entre dos puntos \( M\textrm{ y }N \), los que puedes cambiar igual que el punto \( A \). El Círculo Osculador tiene la misma tangente que la gráfica de la función, y su misma curvatura. Su radio es el "radio de giro" de la curva en el punto \( A \).

Saludos,

2
Propuestos por todos / Sorpresas te da la vida ...
« en: 18 Febrero, 2018, 02:48 am »
Hallar el valor de x en

\( x=\sqrt[ 8]{2207-\displaystyle\frac{1}{2207-\displaystyle\frac{1}{2207-\displaystyle\frac{1}{\ldots}}}} \)

con al menos 15 cifras significativas.  Vale, vale, puede usarse calculadora o su software favorito para eso último ...

Y la pregunta del millón: ¿Es o no es?

No es complicado, pero me resultó curioso ...

Saludos,

3
Máximos y Mínimos / Otro camino mínimo
« en: 23 Enero, 2018, 02:19 pm »
Este es parecido:

Hallar la longitud del recorrido mínimo que debe efectuar una bola de billar sin efecto, partiendo del centro O del triángulo equilátero ABC, reflejándose en los tres lados para acabar llegando al punto A,  suponiendo que el lado del triángulo es igual a 1.
(adaptado del 4º problema de la Fase Local del OME 2010, sesión viernes tarde)

Añadido: determinar la longitud de cada tramo.

Saludos,

4
De oposición y olimpíadas / LIV OME Fase Local Viernes tarde 6
« en: 20 Enero, 2018, 02:33 am »
Sea \( AD \) la mediana de un triángulo \( ABC \) tal que \( \angle ADB = 45^\circ{}\textrm{ y }\angle ACB = 30^\circ{} \). Determinar el valor de \( \angle BAD \).

Saludos,

5
De oposición y olimpíadas / LIV OME Fase Local Viernes tarde 5
« en: 20 Enero, 2018, 02:31 am »
Sea \( n \) un número natural. Probar que si la última cifra de \( 7^n\textrm{ es }3 \), la penúltima es \( 4 \).

Saludos,

6
De oposición y olimpíadas / LIV OME Fase Local Viernes tarde 4
« en: 20 Enero, 2018, 02:28 am »
 Determinar los números reales \( x > 1 \) para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen longitudes

\( x^4+x^3+2x^2+x+1, \;\;\;\;2x^3+x^2+2x+1, \;\;\;\;x^4-1 \)

Saludos,

7
De oposición y olimpíadas / LIV OME Fase Local Viernes mañana 3
« en: 19 Enero, 2018, 06:32 pm »
Encontrar las funciones reales \( f \), de variable real, que satisfacen la ecuación funcional

   \( f(x + f(x + y)) = f(2x) + y \)

cualesquiera sean \( x, y \) reales.

Saludos,

8
De oposición y olimpíadas / LIV OME Fase Local Viernes mañana 2
« en: 19 Enero, 2018, 06:30 pm »
¿De cuántas maneras se puede escribir \( 111 \) como suma de tres números enteros en progresión geométrica?

Saludos,

9
De oposición y olimpíadas / LIV OME Fase Local Viernes mañana 1
« en: 19 Enero, 2018, 06:29 pm »
Sean \( a\geq{}1, b\geq{}1 \) números naturales cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por \( D \) y \( M \), respectivamente.

Demostrar que

   \( D^2 + M^2 \geq{} a^2 + b^2 \)


Saludos,

10
Propuestos por todos / Cuadrados inscritos en un sector circular
« en: 07 Enero, 2018, 07:52 pm »
En un sector circular, cuyo radio podemos suponer igual a \( 1 \), se pueden inscribir tres cuadrados, según en que línea de las tres que constituyen su perímetro tengan situados dos vértices. Dos de tipo A son congruentes entre ellos, tienen dos vértices en uno de los radios. El otro, de tipo B, tiene dos vértices en el arco y en general no es congruente con los de tipo A. Pueden verse las construcciones de ambos en el tema Inscribir un cuadrado.

La cuestión aquí es: Dada la amplitud \( \alpha \) del sector, \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \),

1. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de los cuadrados de tipo A y B?

2. ¿Cuando es mayor una que la otra?

Creo que la segunda respuesta no se deriva inmediatamente de la primera.

Saludos

14
Triángulos / Otro de hallar el ángulo
« en: 02 Noviembre, 2017, 12:23 am »
En el \( \triangle ABC \) se tiene la ceviana \( \overline{BM} \) de manera  que  \( \overline{MC} =  \overline{AB} \).

Si \( \angle A = 36^\circ{}\textrm{ y }\angle MBC = 18^\circ{} \), ¿cuál   es el valor  de \( \angle C \) ?



Saludos,

15
Triángulos / Hallar el ángulo
« en: 13 Octubre, 2017, 11:55 am »
Se tiene  un  \( \triangle  ABC \). En el lado \( \overline{AB} \) se toma un punto \( D \) de manera  que :

1) \( \overline{AD} = \overline{BC} \)

2) \( \angle BCD = 42^\circ{} \)

3) \( \angle ABC = 84^\circ{} \)

Determinar \( \alpha = \angle BAC \)



Saludos
 

16
A raíz de un consulta reciente, en la que se trataba resolver la cuestión con Geometría Analítica, propongo resolverla aquí con regla y compás. Se trata de hallar la circunferencia que pasa por dos puntos \( P \) y \( Q \) dados y es tangente a una recta \( r \). Discusión incluida.

Saludos,

17
Trigonometría y Geometría Analítica / Cociente de distancias constante
« en: 27 Septiembre, 2017, 05:49 pm »
Casi por consenso en el subforo de Geometría sintética -> Lugares geométricos, replico aquí un problema planteado allí, Razón de distancias, para resolverlo mediante Geometría Analítica:

Dados dos puntos \( A = (x_1, y_1)\textrm{ y }B = (x_2, y_2) \), hallar el lugar geométrico de los puntos \( P \) tales que \( \displaystyle\frac{d(P, A)}{d(P, B)} = k \).

Saludos,

18
"Las diagonales del cuadrilátero \( ABCD \) se cortan perpendicularmente en \( O \). Mostrar que los simétricos de \( O \) respecto de los lados son concíclicos."




¡A disfrutarlo!

Saludos,

19
Para evitar la confusión entre los dos puntos en que se cortan dos circunferencias cuando estos se confunden al variar la figura, puede determinarse el segundo punto como el simétrico del primero respecto al diámetro común.

En la siguiente figura, el punto \( B \) recorre la circunferencia \( c_1 \), de centro \( A \). Por \( B \) pasa la circunferencia \( c_2 \), de igual radio, y cuyo centro \( C \) gira en torno a \( B \) con la misma velocidad y sentido que \( B \) en torno a \( A.\textrm{ }D \) es el punto medio de \( B\textrm{ y }C \).

Si se define \( D \) como la intersección de \( c_1\textrm{ y }c_2 \), hay una ambigüedad, pues las circunferencias se cortan también en \( B \). Al variar \( D \), GeoGebra puede confundir los puntos, saltando de una intersección a otra. Pulsando en el botón [ D = ] se cambia de una definición a otra.

En la figura se traza el lugar geométrico del punto medio \( M\textrm{ de }B\textrm{ y }C \), que es un caracol de Pascal. Cuando \( D \) está definido simplemente por la intersección, parte del lugar geométrico obtenido es incorrecto. Cuando se usa la definición alternativa para \( D \), el punto \( M \) recorre correctamente todo el lugar geométrico.

Pongo la figura tras el spoiler para no ralentizar la visualización del mensaje inútilmente.

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Saludos,

20
Para evitar la confusión entre los dos puntos en que una recta corta a una circunferencia (o en que se cortan dos circunferencias) cuando estos se confunden al variar la figura, puede determinarse el segundo punto como el simétrico del primero respecto al diámetro perpendicular a la recta (o al diámetro común).

En la siguiente figura, el punto \( P \) recorre la circunferencia circunscrita al triángulo \( ABC \). Su recta de Steiner, \( r_P \), corta a la circunferencia \( c_{AH} \) de diámetro \( AH \) en el ortocentro \( H \) y en otro punto \( A' \).

Si se define \( A' \) como la intersección de \( r_P \) y la circunferencia \( c_{AH} \), hay una ambigüedad, pues la recta corta en a la circunferencia también en \( H \). Cuando \( A' \) coincide con \( H \), GeoGebra puede confundir los puntos, saltando de una intersección a otra. Pulsando en el botón [ A' = ] se cambia de una definición a otra.

En la figura se traza el lugar geométrico del punto medio \( M\textrm{ de }P\textrm{ y }A' \), que es una elipse de diámetro \( AM_a \) que pasa por los puntos medios de las alturas \( h_B\textrm{ y }h_C \) (los puntos diametralmente opuestos de estos últimos en la elipse, están en \( b\textrm{ y }c \)). Cuando \( A' \) está definido simplemente por la intersección, parte del lugar geométrico obtenido es incorrecto.

Pongo la figura tras el spoiler para no ralentizar la visualización del mensaje inútilmente.

Spoiler
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Lamentablemente seguir la pista de las intersecciones de dos cónicas generales parece algo más complicado ...

Saludos,


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