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Temas - MasLibertad

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Circunferencias / Intersección de DOS Círculos Secantes
« en: 01 Mayo, 2020, 08:34 pm »
Hola a todos. Llevaba varios días queriendo entrar pero el foro daba fallo. Me alegro de que por fin se haya arreglado.

Estoy programando una nueva herramienta para mi página y para ello debo resolver un problema de geometría.
Tenemos dos Círculos S y P, con coordenadas y radio Sx, Sy, Sr, Px, Py, Pr.
El círculo P, menor que S, puede ser externo, interno o secante.
En el caso de ser secante ¿Cuál es la superficie de la intersección?

El problema lo he descompuesto en dos partes.
La segunda parte la he resuelto de la siguiente forma:
Tenemos un sector circular ASB y un triángulo ASB. Restando ambas cantidades tendremos UN trozo del área común. Si ahora hacemos lo mismo con el sector APB y el triángulo APB tendremos el OTRO trozo del área común. Sumándolas, tendremos la superficie común de ambos círculos. Relativamente, ha sido fácil.

El problema lo tengo con la primera parte:
¿Cómo calculo las coordenadas de A y B?
¿O los ángulos ASB y APB?
No he encontrado en ninguna parte una fórmula directa para calcularlo. Sí he visto varios ejemplos (por ejemplo, en Youtube: Intersección de Dos Circunferencias) que se han ido desarrollando paso a paso hasta alcanzar la solución, pero cuando he querido convertir estos desarrollos en una fórmula general me he topado con lo siguiente:
En Wikipedia: Ecuación de la Circunferencia, encuentro lo siguiente:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Aplicado a mi problema tendríamos dos ecuaciones:
\( (x-Sx)^2 + (y-Sy)^2 = Sr^2 \)
y
\( (x-Px)^2 + (y-Py)^2 = Pr^2 \)

Después de desarrollarlas, igualarlas a CERO, igualarlas entre sí y simplificar, he llegado a:
\( Sx^2-2x*Sx + Sy^2-2y*Sy - Sr^2 = Px^2-2x*Px + Py^2-2y*Py - Pr^2 \)

Y hasta aquí he llegado yo.
La verdad, resolver este problema para un caso particular es relativamente fácil porque podemos ir realizando cálculos y simplificando la fórmula en cada paso, cosa que en programación, para una fórmula general, no puedo hacer pues tengo que tener TODAS las variables, que no se me escape ninguna y que no me equivoque en un signo.
Pero hay un problema mayor, y es que al final de este proceso hay que realizar un par de conversiones y sustituciones que mentalmente son fáciles de dar, pero que no tengo ni idea de cómo programar.
Como el foro ha estado tiempo sin funcionar, se me ha ocurrido hacer trampa, calcular A y B no por fórmulas, sino por programación, y ya tenía pensada la forma de hacerlo y completar el programa cuando he visto que ¡POR FIN! vuelven a funcionar los foros.
Así que daré una oportunidad más a las matemáticas.

¿Existe alguna fórmula más sencillita de calcular las coordenadas de A y  B en el gráfico adjunto?
O ¿de calcular directamente el área común a dos círculos secantes?

Espero que podáis ayudarme, si no, me veré obligado a hacer trampas.

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Temas de Física / Elipse en Precesión
« en: 01 Marzo, 2020, 03:40 pm »
Hola a todos.

... o una elipse con precesión ...

¡Osti, tú! ¡Qué idea más buena!
Ahora mismo me pongo a ello.

Un comentario que hizo Richard me ha dado la idea de dibujar una Elipse en Precesión.
Son dos problemas: Primero dibujar la elipse: aún me falta conocer la fórmula, pero esta tarde la buscaré. No creo que tenga problemas.
El segundo es hacer que preceda. Eso lo tengo solucionado, sé como hacerlo así que tampoco me costará mucho.

La duda que tengo es la siguiente:
Cuando una espiral precede, ¿lo hace alrededor del centro de la elipse o de uno de los focos?
Si alguien me responde a esto, mañana termino y publico el programa.

Gracias.

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Temas de Física / ¿Es infinita la Espiral de Kepler?
« en: 25 Febrero, 2020, 03:47 pm »
Hola de nuevo.
Acabo de publicar un artículo sobre órbitas planetarias, y en él describo y explico algunas propiedades de La Espiral de Kepler.

Para poder dibujarla he desarrollado esta fórmula:
\( A=T*\sqrt{\dfrac{M*G}{d^3}} \)
que para un tiempo determinado y constante, permite calcular, en radianes, el ángulo de una órbita recorrido por un planeta a una distancia dada.
La fórmula inversa
\( d=\sqrt[ 3]{\dfrac{M*G*T^2}{A^2}} \)
permite calcular la distancia a partir del ángulo.
Con ellas he creado la espiral de Kepler, que al contrario de otras espirales, da infinitas vueltas hacia dentro pero finitas hacia afuera. Y en la última vuelta prácticamente se convierte en una recta.
Infinitas Vueltas no significa, necesariamente, una longitud infinita. En la espiral logarítmica, desde un metro de distancia se dan infinitas vueltas hacia adentro, pero la longitud de la espiral es finita e igual al Radio dividido por el coseno del ángulo de la espiral con el radio. O el Coseno de 90 menos el Grado de la espiral.
\( L=\dfrac{R}{cos(90-G)} \)
Ante esto tengo dos dudas, que ya se escapan de mis conocimientos.
  • Desde un punto de la espiral de Kepler hacia dentro hay infinitas vueltas. La longitud ¿es infinita?
  • La última vuelta de la espiral hacia afuera da la impresión de que llega a desviarse, que pasa de girar a la derecha a girar a la izquierda, pero razonando que la Espiral de Kepler es igual a una espiral logarítmica de Grado ascendente, por mucho que el grado tienda a 90, nunca lo alcanzará, así que debería ser siempre una curva a la derecha, y nunca debería cruzar su tangente. ¿Podéis confirmarme si es así, que la curva siempre gira a la derecha, aunque cada vez menos?

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Temas de Física / Simplificar Ecuación con Raíz en el Denominador
« en: 18 Febrero, 2020, 11:00 am »
Hola a todos.
En un artículo que estoy escribiendo para mi página estoy desarrollando una ecuación y me he encontrado con esta expresión:
\( \dfrac{d}{\sqrt{\dfrac{M}{d*G}}} \)

En ella, la variable d está repetida, y como posteriormente me va a hacer falta despejarla necesito simplificar la ecuación para que sólo haya una d.

Para simplificarla he bajado la d al denominador dividiendo ambos factores por d
\( \dfrac{1}{d*\sqrt{\dfrac{M}{d*G}}} \)
Después la he metido en la raíz elevándola al cuadrado
\( \dfrac{1}{\sqrt{d^2*\dfrac{M}{d*G}}} \)
Y simplificando,
\( \dfrac{1}{\sqrt{d*\dfrac{M}{G}}} \)

¿Me podéis confirmar si es correcto este proceso?

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Temas de Física / El Baricentro de una Órbita
« en: 13 Enero, 2020, 02:12 pm »
Hola a todos.
Acabo de publicar en mi página una herramienta JavaScript para calcular varios datos de dos cuerpos en el espacio, principalmente, la Fuerza de Atracción, y la Velocidad y la Duración de su órbita.
Podeis verla en Calcular Órbitas Planetarias

También me ha parecido interesante calcular el Baricentro, el centro de gravedad común de ambos cuerpos.
Y aquí es donde me he encontrado un error, ojalá pudierais decirme dónde.
Primero he intentado calcular el Baricentro por mis propios medios y razonamientos.
Si un satélite estuviese a 150 Gm de la Tierra, orbitaría a 51 m/s y tardaría 580 años en hacerlo. No importa la masa del Satélite, puede pesar un Kg, mil Toneladas o, como la Luna, 73 Trillones de Toneladas.
¿Y si tuviese la masa del Sol, 2 Quintillones de Kg?
Pues... también. No veo ninguna razón para que no sea así.
Suponiendo que la Tierra, por alguna extraña razón, fuera inamovible, cualquier cuerpo que estuviese a 150 Gm debería orbitar la Tierra a 51 m/s en 580 años.
Pero la Tierra no es inamovible, sino que orbita alrededor del Sol, y lo hace en un año, así que la atracción Tierra-Sol se verifica cada día en una dirección diferente, por lo que la órbita del Sol se cierra en un año dejando un radio mucho más pequeño que la órbita de la Tierra.
Pero si el Sol viaja a 51 m/s, al cabo de un año, 31'5 Millones de segundos, habrá recorrido 1600 Megametros. El radio de este recorrido sería unos 256 Megametros. Lo cual sería DENTRO de la Masa Solar, tal como esperaba.
Pero al rehacer los mismos cálculos para el Baricentro de la Tierra, me salió una distancia de 42 Mm, muy por encima de la Tierra, a más de un décimo de la distancia a la Luna.
Y aquí vi que debía haber cometido un error, porque yo sabía de antes que el Baricentro Tierra-Luna está a unos 4.670 Km del centro de la Tierra, DENTRO de la masa terrestre.
Tras intentar ver el fallo de mis cálculos y no conseguirlo, busqué la fórmula para calcular el Baricentro.
Y ésta sí me da el resultado que esperaba para la Tierra, por lo que supongo que también lo dará en todos los casos.
Lo que no acabo de entender, ojalá podáis aclarármelo, ¿en qué punto de mi razonamiento me he equivocado?

Gracias de antemano.

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Temas de Física / Aceleración Acelerada
« en: 25 Agosto, 2019, 07:39 pm »
Hola a todos.
Acabo de publicar una calculadora que, a partir de la Masa de una Nave Espacial y de la Fuerza de los motores, calcula la aceleración conseguida.
\( a=\displaystyle\frac{F}{M} \)
Y a partir de la aceleración calcula la velocidad y la distancia recorrida al cabo de un Tiempo determinado.
\( v=a*t \) y \( d=1/2a*t^2 \)
Podéis verlo en funcionamiento en Aceleración de Naves Espaciales.

El caso es que tiene un fallo, y es el siguiente. Conforme la nave va viajando, se va consumiendo el combustible. La masa de la nave es cada vez menor y si el motor tiene una potencia constante, entonces la aceleración será cada vez mayor.

Me gustaría programar otra calculadora en la que pueda indicar la Masa Inerte, la Masa de Combustible y el consumo de combustible por hora y que se calcule la aceleración, cada vez mayor, en función del tiempo transcurrido, y corregir la distancia final recorrida en el momento en que se gaste La Mitad del Combustible (hay que frenar) o la Cuarta Parte (si hay que volver), pero me temo que las matemáticas requeridas están por encima de mis conocimientos.

Sé que este foro es para pedir orientación, no que te resuelvan los problemas, pero me parece tan interesante que aquí os lo presento por si alguno se anima a resolverlo.

P.D. Otro tema interesante: He dividido el viaje en cuatro partes, Ida acelerando, Ida frenando, Vuelta acelerando y Vuelta frenando, pero como la masa es cada vez menor la Vuelta será más rápida y se gastará menos combustible.
Pregunta ¿Cuánto combustible se gastará en cada una de esas cuatro etapas?
A ojo de mal cubero, yo diría que un 33%, 28%, 22% y 17%.
¿Existe alguna forma de calcularlo?

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Hola a todos:

Tuve que realizar unos cálculos sobre la intensidad de la luz del sol en los distintos planetas del Sistema Solar, y ya que estaba programé una calculadora en JavaScript.

http://www.maslibertad.com/Calculadora-de-la-Inversa-del-Cuadrado_p1219.html

No sé si en la web existe una calculadora parecida, en una búsqueda rápìda no la he encontrado, pero como siempre me habéis ayudado en lo que he necesitado, os indico la dirección por si en alguna ocasión os resulta útil.

Saludos.

P.S. No sé si lo he publicado en el lugar adecuado, estaba dudando entre enlaces externos y herramientas matemáticas, pero si me he equivocado, espero que un moderador lo coloque donde debe.

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Matemáticas Generales / Despejar Exponente en Logaritmo Natural
« en: 22 Agosto, 2016, 06:26 pm »
Hola a todos.

Estoy intentando desarrollar una fórmula en la que tengo que despejar un Exponente.

No soy muy ducho en logaritmos pero, por lo que he creído entender, si tenemos la fórmula
\( X = e^n \) entonces \( n=\log(X) \)

¿Es correcto?

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Pido vuestra ayuda para resolver un problema que me trae de cabeza desde hace algún tiempo.

En un plano hay un segmento de longitud L y sobre él dibujamos un triángulo isósceles de altura h. El vértice superior tiene un ángulo â.
Conociendo â y L calcular h.
Según la trigonometría del plano se verifica que \( tan(\alpha ) = \frac{L}{2h} \).
De donde deduzco, si no me he equivocado, que \( 2h*tan(\alpha) = L \\ \Rightarrow 2h = \frac{L}{tan(\alpha)} \\ \Rightarrow h = \frac{L}{2*tan(\alpha)} \)
Hasta ahí llego yo.
El problema es cuando trabajamos en una superficie esférica, por ejemplo, la Tierra. En tal caso habrá que conocer el radio de la Tierra, pero como sería una solución particular prefiero un planteamiento más generalista:

En la superficie de una esfera de radio R hay un segmento de arco de longitud L y sobre él dibujamos un triángulo isósceles de altura h. El vértice superior tiene un ángulo â.
Conociendo R, L y â, calcular h.
Lo que sí he podido deducir es que en este problema habrá dos soluciones (en realidad infinitas) pero sólo me interesa la primera. La segunda sería PI·R-h y las siguientes PI·R+h, 2·PI·R-h y, continuando con N·PI·R±h, siendo N la sucesión de números naturales (1,2,3,4,...) pero ya digo, sólo me interesa la primera solución.
¿Podéis echarme una mano?

PD: He intentado subir las imágenes, tal como recomendáis, pero después de subirlas no consigo visualizarlas para ver la URL. Cada vez que pulso en las imágenes me las descarga. Así que las he publicado en mi dominio.

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Me encantaría abusar todo lo posible de vuestros conocimientos para ahorrarme trabajo de investigación, y para ser justos tendría que ofreceros algo a cambio. Pero como no tengo el nivel de conocimientos que la mayoría de vosotros tenéis... pues me veo obligado a abusar gratis.

He querido calcular el volumen de la hipersuperficie de una hiperesfera.
Antes de nada he intentado usar la lógica, a ver hasta dónde podía llegar.

Si en un plano 2D colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos una línea 1D que se curva alrededor de O y que mide \( 2 \pi r \)

Si en un volumen 3D colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos una superficie 2D que se curva alrededor de O y que mide \( 4 \pi r^2 \)

De ahí he supuesto que...
Si en un espacio 4D colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos un volumen 3D que se curva alrededor de O y que mide \( 8 \pi r^3 \)

y, en general ...
Si en un espacio nD colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos un espacio (n-1)D que se curva alrededor de O y que mide \( 2^{n-1} \pi r^{n-1} \)

Eso es más una suposición que otra cosa, lo que yo llamo un supositorio, que a veces puede resultar adecuado pero también puede dar mucho por c....

He querido confirmarlo en internet y Google me ha enviado a 18 sitios de los que ninguno me ha servido, pero en el decimonono me he encontrado esta fórmula:

Citar
la fórmula del volumen de una hipersuperficie S3 de una hiperfera tetradimensional, que es
\( V=S3=2\pi^2R^3 \)

De lo cual deduzco, tras un largo proceso de razonamiento, que uno de los dos, Google o yo, estamos equivocados.

¿Podríais decirme cuál de los dos tiene razón? ¿O la respuesta correcta es otra?

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Hola a todos, de nuevo.
Hace un par de meses me ayudasteis bastante al resolver un problema que me había traído de cabeza durante años.
Vuelvo a daros las gracias y, después de la pelota, la portería.
Tengo un nuevo problema que tiene que ver, sólo tangencialmente, con el problema anterior:

De una espiral logarítmica de 45º, por rotación sobre uno de sus radios, genero una superficie de revolución.



A diferentes distancias del vértice, hay varios objetos de un tamaño T.
Desde el vértice superior se trazan líneas rectas verticales (en realidad serían espirales logarítmicas) hasta los dos extremos del objeto.
Esas dos líneas tienen un ángulo A.
Hallar la distancia D desde el vértice al objeto, a partir del ángulo A y el tamaño T.

Lo único que soy capaz de deducir es que un objeto de 100 Km a un centímetro de distancia tendrá un ángulo de casi 180º. Conforme se vaya alejando el ángulo será cada vez menor, aunque en menos proporción que en la geometría plana. Pero al llegar a la circunferencia más grande de la figura, a partir de ahí el ángulo aumentará al aumentar la distancia. Será algo paradójico, mientras más lejos esté, más grande se verá. Y al llegar al extremo inferior de la figura volverá a tener un tamaño angular de 180º.
Es decir, que para un tamaño angular determinado existen dos soluciones posibles, una antes de la circunferencia máxima y otra después.

Ojalá me sirviera la Trigonometría Esférica, he visto varias fórmulas y una de ellas me serviría para este problema, pero la figura no es una esfera, sino más bien una gota de lluvia, y no he podido llegar ni a la mitad del principio de ser capaz de imaginar la manera de empezar a buscar una idea que me ayude a acercarme a resolverlo.

¿Podéis echarme una mano, otra vez?

P.S.: La otra vez os pedí ayuda con el problema de la espiral logarítmica y no os dije para qué la necesitaba hasta después de que me disteis la solución y con ella pude construir la Calculadora de Viajes Intergalácticos que llevaba años queriendo hacer.

Esta vez, antes de pediros ayuda, he escrito un artículo en el que planteo el problema que pretendo resolver.
Aunque creo que he expuesto los datos necesarios para resolver el problema matemático concreto, por si tenéis curiosidad os señalo el artículo donde se expone el contexto del problema.
http://www.maslibertad.com/Universo-Onda-El-Tamano-Aparente-de-las-Galaxias_p816.html

Gracias de antemano.

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Por ejemplo, en un texto podemos tachar palabras.
En LaTeX a veces usamos una fórmula en la que algún elemento va a desaparecer al simplificarlo y me gustaría que apareciera tachado en el texto.
En este caso, por ejemplo, \( (a+b)(a-b)=a^2{\color{Red} -ab+ab}-b^2=a^2-b^2 \) ¿se puede hacer que los términos -ab+ab aparecieran tachados?
PostData: ¿Por qué aquí no funcionan las funciones de color?

Otra PostData: Olvidad este mensaje. Ya he visto que aquí funcionan las funciones \cancel y \color.
Por ejemplo: (a+b)(a-b)=a^2-\cancel{ab}+\cancel{ab}-b^2=a^2-b^2
da lugar a \( (a+b)(a-b)=a^2-\cancel{ab}+\cancel{ab}-b^2=a^2-b^2 \)

Aunque sí me ha sorprendido que la función \color tenga una sintaxis distinta a la de otros editores de LaTeX.


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Temas de Física / Efectos Relativistas en un avión a 3 Km/s
« en: 24 Agosto, 2014, 08:57 pm »
Hola a todos. ¡cuánto tiempo!
Estoy modificando un artículo de mi página que escribí hace años sobre el experimento de Michelson-Morley, y se me ha ocurrido añadir el cálculo del factor de Lorentz para un avión supersónico que mida 10 metros de largo y pese 10.000 Kg y que viaje a 3 Km/s.
La fórmula es que al sustituir valores queda como

De ahí he calculado que
Citar
mediría 9'999 90 m (una centésima de milímetro menos) y pesaría 10'000 01 Toneladas (10 gramos más)
CREO que no me he equivocado, pero os agradecería si pudierais echar un vistazo y confirmarme si el cálculo es correcto o no.
Gracias por anticipado

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Estoy buscando en Internet una fórmula que me permita calcular la distancia entre dos pasos sucesivos de una espiral logarítmica dependiendo del grado de la espiral.

Perdonadme mi ignorancia en matemáticas, pero es que realmente lo necesito para resolver un problema.

Por ser más claro, tengo una curva logarítmica de orden A(ángulo) que mide L(longitud) y su distancia hasta el centro es R(radio).
Buscando en Internet he podido averiguar que L = R / cos(A).

Pero lo que yo necesito saber es cómo aumenta R en dos vueltas sucesivas.

Por ejemplo, suponiendo que R valga un metro y A sea de 20º, cuánto medirá R al dar la espiral una vuelta completa.
Si podéis decirme cuál es esa fórmula o cómo la puedo averiguar, os lo agradecería.

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