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Temas - avmath

Páginas: [1]
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Análisis Matemático / Sumatorio aritmético-geométrico
« en: 09 Septiembre, 2017, 12:34 am »
Hola, estoy intentando hallar la expresión del siguiente sumatorio, pero o la estoy liando, o no es una progresión ni aritmética ni geométrica(cosa que estoy dando por hecha):

$$\sum_{i=1}^{n}\left(2^{i-1}\left(n-i+1\right)\right)$$

Gracias y un saludo.

PD: ya he probado con las fórmulas de la progresión aritmética y la geométrica(por probar) pero no sale lo que sale en wolframalpha (por eso pido ayuda).

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Matemática Discreta y Algoritmos / Ayuda con inducción
« en: 31 Agosto, 2017, 03:30 pm »
Hola a todos,

en un problema me piden que:

Dado un vector  \( [v_1,\dots,v_n]\in\mathbb{Z}^n \) tal que \( v_1<\cdots <v_n \), demuestre por inducción sobre \( n \) que:

$$\forall i,j[1,n]\left(i<j\Longrightarrow v_i - i \leq v_j - j\right)$$

He intentado darle vueltas pero, no tengo ni idea de como probar ni siquiera la base de inducción cuando \( n=2 \). Porque claro yo sé que:

$$v_i<v_j$$

Y que:

$$i < j$$

Pero ya no sé como unir las desigualdades para llegar a probar la expresión por inducción.
 
A ver si me podéis echar un cable.

Muchas gracias.

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Hola a todos,

leyendo el libro de Álgebra de Carlos Ivorra, llego al axioma de especificación de la página 19, que establece que:

\( \textbf{Axioma de especificación}\quad \textit{Dado un conjunto A y una propiedad P, existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de A que cumplen P.} \)

Entonces, comenta Carlos que no se llega a ningún absurdo aunque se le aplique este axioma a la propiedad \( Px\equiv x \not\in x \). Es decir, que no hay inconveniente en considerar el conjunto:

\( \displaystyle{R=\left\{x\in A | x \not\in x\right\} \subset A} \)

que es el conjunto cuyos elementos son aquellos que están en \( A \) que no se pertenecen a sí mismos.

Hasta aquí todo perfecto, lo que no entiendo es lo siguiente:

"Lo que podemos probar es que \( R\not\in A \), pues si , pues si \( R \in A \), entonces se tiene la misma contradicción de antes tanto si \( R\in R \) como si \( R\not\in R \) ".

La última parte se refiere a las consecuencias que tiene el axioma de comprensión, o eso quiero creer.

¿Por qué no lo entiendo? Pues porque no sé si esto que me estoy planteando en mi cabeza está bien (creo que tengo un lío curioso):

  • \( R\in A \), entonces si \( R \) tiene la propiedad \( Px \) quiere decir que \( R \in R \), pero si sucede lo anterior, podemos concluir que \( R \not\in R \) entonces hemos llegado a una contradicción lo que quiere decir que la premisa era falsa, por tanto \( R\not\in A \).
  • \( R\in A \), entonces si \( R \) no tiene la propiedad \( Px \), consecuentemente \( R \not\in R \) entonces la única posibilidad es que \( R \in R \) pero hemos llegado a una contradicción así que la supocisión inicial es falsa y por tanto \( R\not\in A \).

Así pues concluimos que \( R\not\in A \). Comprendo que para cualquier matemático esto quizás sea trivial, pero yo que es la primera vez que veo algo así, pues no sé si estoy comprendiendo las cosas bien.

Saludos, espero que se entienda bien y que resulte que no esté liado y esté en lo cierto.




4
Bueno, hace un par de meses hice una recomendación que no sé si leyeron los administradores sobre el plugin de LaTeX de este foro. Hace poco pude ver que lo que hace dicho plugin es generar imágenes tipo bitmap, con lo que al imprimir se pierde calidad como es lógico.

MathJax usa HTML+CSS cuando es posible y si no SVG para producir la salida, lo que lo hace bastante más bonito y rápido.

No sé porqué al menos no se dio una respuesta negativa aunque entiendo que hay cosas más prioritarias como arreglar el error que se viene produciendo con la base de datos desde hace tiempo. Creo que es una buena manera de mejorar el foro, yo mismo intentaría ayudar a su instalación, ya hice una en un foro SMF 2.0.

Bueno, se quiera o no instalar, para los interesados, os dejo el enlace de un par de plugins para MathJax que han salido, uno para interactuar en la propia web con pstricks:

http://latex2html5.com/  //Este está francamente chulo.

Y otro que ya está incorporado en este foro que es el xy-pic:

http://sonoisa.github.io/xyjax/xyjax.html#ToDo

Comprendo que haya desconfianza en un usuario con 46 mensajes pero bueno yo solo intento aportar mi granito de arena en este gran foro.

No voy a comisión con MathJax, tranquilos  :laugh:

Un saludo a todos.

5
Estadística / Problema Estadística Descriptiva Univariante
« en: 06 Marzo, 2015, 09:40 pm »
PROBLEMA
Un operario de una fábrica de neumáticos inicia la comprobación de rutina del sensor de verificación de la soldadura de napa carcasa en un puesto de montaje. Los resultados obtenidos sobre un total de 50 muestras son los siguientes:

SoldaduraGrosor (mm)\( f_i \)
Déficit[0-3,5)0,12
Normal[3,5-6,5)0,64
Exceso[6,5-8,5)
Inadmisible[8,5-10)0,08

(a) ¿Qué porcentaje de los datos tuvo una soldadura en exceso o inadmisible?
(b) La normativa de neumáticos que si el 30% de los datos supera los 5mm de grosor de soldadura, el sensor debe ser llevado a revisión para un recalibrado ¿Es necesario efectuar dicha revisión? ¿Por qué?
(c) Obtener el coeficiente de variación de los datos.


(a)
Sé que las frecuencias relativas deben sumar 1 así que:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^k{f_i}=1 \Longrightarrow 0,12+0,64+f_i_{ex.}+0.08=1\Longrightarrow f_i_{ex.}=0,16 \)
(b)

Este no sé hacerlo. Aunque lo he intentado así:

3.5 - 5 - 6.5    Valores del intervalo.
0.76 - f - 0.92 Frecuencias relativas acumuladas.

Como de 3.5 a 5 van 1.5, de 3.5 a 6.5 van 3, de 0.76 a f van x y de 0.76 a 0.92 van 0.16 planteo la siguiente regla de tres:

3 - 0.16
1.5 - x

Siendo \( x \):

\( x=\frac{1.5\cdot 0.16}{3}=0.08 \)

Pero claro me sale que \( f \) sería 0.84 cuando debería salir 0,56 o eso creo.

(c)

Y este ni lo he intentado, pero me interesa más ver como se hace el anterior.

Tengo problemas con los intervalos, me sacan de quicio.

Saludos y muchisimas gracias de antemano.

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Álgebra / Determinantes y Matrices
« en: 28 Febrero, 2015, 09:03 pm »
Hola, quería preguntar ¿donde está toda la teoría base sobre las matrices y los determinantes? Me explico, no quiero las formas de operar ni nada de eso, sino que de donde salen, es decir porqué se crearon, cómo están definidas. ¿De dónde sale la regla de Sarrus?¿y porqué las matrices se multiplican de esa manera?

Llevo años cansado de que me enseñen a calcular sin entender el trasfondo.

Les escribo para conseguir una referencia, un libro, algo que ayude a comprender a alguien con una base en Matemática Discreta y Cálculo, el origen y la definición de lo que pregunto.

Saludos.

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Matemática Discreta y Algoritmos / Problema con conjuntos.
« en: 08 Febrero, 2015, 02:51 pm »
Hola tengo un problema con esto:

    \( A \): Conjunto formado por los números pares.

    \( B \): Conjunto formado por los múltiplos de 3.

    \( C \): Conjunto formado por los múltiplos de 5.

Sabemos que \( A\cap B=\left\{ n:n=6q,\, q\in\mathbb{Z}\right\} \)

Utilizando la igualdad \( A\cap B\cap C=\left\{ n:n=30q,\: q\in\mathbb{Z}\right\}  \), probar que:\( \left(A\cap B\right)\backslash C=\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}  \)

Sabemos que:

\( \begin{array}{lcr}
\,\quad (A\cap B)\backslash(A\cap B\cap C) & =\\
=(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c} & = & \\
=(A\cap B)\cap(A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}) & = & \\
=\left(A^{c}\cap A\cap B\right)\cup\left(B^{c}\cap A\cap B\right)\cup\left(C^{c}\cap A\cap B\right) & = & \\
=\left(\varnothing\cap B\right)\cup\left(\varnothing\cap A\right)\cup\left(C^{c}\cap A\cap B\right) & = &\\
=\left(C^{c}\cap A\cap B\right) & = & \\
=\left(A\cap B\right)\backslash C &   \\
\end{array} \)

Entonces para demostrarlo en un sentido hago(no sé si está bien, creo que no):

\( \begin{array}{rllr}
a\in(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c} & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccc}
a & = & 6q_{1}\\
 & \wedge\\
a & \neq & 30q_{2}
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 6q_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{2}+r\quad0\leq r<30
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & q_{1}=30q_{3}+r_{1}\quad0\leq r_{1}<30\\
 & \Longrightarrow & q_{2}=6q_{4}+r_{2}\quad0\leq r_{2}<6\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 180q_{3}+6r_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 180q_{4}+30r_{2}+r\quad0\leq r<30
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 30q_{5}+6r_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{6}+30r_{2}+r\quad0\leq r<30
\end{array}\right. & \left\{ \text{Tomando \ensuremath{q_{5}=6q_{3}}y \ensuremath{q_{6}=6q_{4}}}\right\} \\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 30q_{5}+6r_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{6}+r_{3}
\end{array}\right. & \left\{ \text{Tomando \ensuremath{r_{3}=30r_{2}+r}}\right\}
\end{array}
  \)

Aquí vemos que por el Teorema de unicidad de cociente y resto, los restos serán los que sean múltiplos de 6 y no de 30, es decir con \( r_{3}\in\left(A\cap B\right)\backslash C \) por tanto tenemos:

\( \left(A\cap B\right)\backslash C\subseteq\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}
  \)

Pero para demostrarlo en el otro creo que la lío al dividir un resto por 6... Aquí lo tenéis:

\( \begin{array}{rllr}
a\in\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}  & \Longrightarrow & a=30q+r & r=30q_{1}+r_{1}\quad0\leq r_{1}<30\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{cll}
a &  & \text{\text{no es multiplo de 30}}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{2}+6r_{2}\quad0\leq r_{2}<6
\end{array}\right. & \left\{ \text{Tomando }r_{2}=\frac{r_{1}}{6}\right\} \\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{cll}
a &  & \text{\text{no es multiplo de 30}}\\
 & \wedge\\
a & = & 6\left(q_{2}+r_{2}\right)\quad0\leq r_{2}<6
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{lcl}
a &  & \text{\text{no es múltiplo de 30}}\\
 & \wedge\\
a &  & \text{es múltiplo de 6}
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{lcl}
a\in\left(A\cap B\cap C\right)^{c} &  & \text{}\\
\wedge\\
a\in\left(A\cap B\right)
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & a\in(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c}
\end{array}
  \)

 

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Problemas y Dudas con LaTeX / Sobre el plugin de LaTeX
« en: 26 Enero, 2015, 10:11 pm »
No sé que plugin usais para LateX en este foro, pero he de recomendar sin duda MathJax, que sinceramente creo que es más rápido, muchísimo más completo y más vistoso que el que teneis instalado ahora mismo.

Estuve pensando en el problema de las etiquetas tex, pues si se omite el otro renderizador dejaría de mostrar las matemáticas de los anteriores mensajes, pero recordé que a MathJax le puedes especificar etiquetas personalizadas así que ni siquiera habría problemas con eso.

Para escribir podríais utilizar LyX o cualquier editor y luego pegarlo sin problemas, dado que MathJax trabaja con los $$ $$ tal y como LaTeX.

Aquí teneis el enlace http://www.mathjax.org/

Saludos.

9
Matemática Discreta y Algoritmos / Igualdad de relaciones
« en: 26 Enero, 2015, 10:02 pm »
Hola, tengo un problema con esto que creo que no sé resolver bien:

Se tiene que:

 \( n_1\mathfrak{R}_1 n_2 \Longleftrightarrow  \) Si \( n_1-n_2 \) es un múltiplo de \( m \) y éste es un entero positivo.
 \( n_1\mathfrak{R}_2 n_2 \Longleftrightarrow  \) Si \( n_1 \) y \( n_2 \) dan el mismo resto al dividirlos por \( m \).

Probar que ambas relaciones son iguales. Sabemos que ambas relaciones son binarias así que por eso no hay problema. Lo que tengo que demostrar es que son conjuntos de n-tuplas ordenadas iguales.

Yo lo que hago es:

\( \begin{array}{cclc}
n_{1}\mathfrak{R}_{1}n_{2} & \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=mq_{1}\quad q_{1}\in\mathbb{Z}\\
 & \Longleftrightarrow & \begin{cases}
n_{1}-n_{2}=mq_{1}\\
n_{1}=mq_{2}+r_{1} & ,q_{2}\in\mathbb{Z}\wedge0\leq r_{1}<m\\
n_{2}=mq_{3}+r_{2} & ,q_{3}\in\mathbb{Z}\wedge0\leq r_{2}<m
\end{cases}\\
 & \Longleftrightarrow & \begin{cases}
n_{1}-n_{2}=mq_{1}\\
n_{1}-n_{2}=mq_{2}+r_{1}-mq_{3}-r_{2}
\end{cases}\\
 & \Longleftrightarrow & mq_{1}=m\left(q_{2}-q_{3}\right)+r_{1}-r_{2}\\
 & \Longleftrightarrow & \begin{cases}
q_{1}=q_{2}-q_{3}\\
r_{1}-r_{2}=0
\end{cases} & \{Teorema\, de\, unicidad\, de\, cociente\, y\, resto\}\\
 & \Longleftrightarrow & r_{1}=r_{2}\\
 & \Longleftrightarrow & n_{1}\mathfrak{R}_{2}n_{2}
\end{array}
  \)

Con lo que verifico que las tuplas ordenadas de la primera relación están en la segunda:

\( \mathfrak{R}_1\subseteq{\mathfrak{R}_2} \)

Si lo hago partiendo de la segunda relación:

\( \begin{array}{cclc}
n_{1}\mathfrak{R}_{2}n_{2} & \Longleftrightarrow & \begin{cases}
n_{1}=mq_{2}+r & ,q_{2}\in\mathbb{Z}\\
n_{2}=mq_{3}+r & ,q_{3}\in\mathbb{Z}
\end{cases}\\
 & \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=mq_{2}-mq_{3}\\
 & \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=m\left(q_{2}-q_{3}\right)\\
 & \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=mq & \{Tomando\: q=q_{2}-q_{3}\}\\
 & \Longleftrightarrow & n_{1}\mathfrak{R}_{1}n_{2}
\end{array}
  \)

Con lo que verifico que las tuplas ordenadas de la segunda relación están en la primera:

\( \mathfrak{R}_2\subseteq{\mathfrak{R}_1} \)

Y por la caracterización de la igualdad de conjuntos:

\( \mathfrak{R}_{1}=\mathfrak{R}_{2} \)

Tiene que haber aberraciones por ahí, porque viendo lo que he sacado en el examen... me estoy desesperando un poco.

Saludos.

10
Matemática Discreta y Algoritmos / Antisimetría de una relación
« en: 20 Enero, 2015, 07:24 pm »
Hola, no se como resolver esto, a ver si me podéis echar una mano:

En el conjunto,

\( A=\left\{{n:n=2^a,a\in\mathbb{Z}}\right\} \)

se define la siguiente relación:

\( \forall n_1,n_2,\left(n_1\mathscr{R}n_2 \Longleftrightarrow\,El\,\,cociente\,\,entre\,\,n_1 y\,\,n_2\,\,es\,\,una\,\,potencia\,\,de\,\,8}\right) \)

Intento demostrarlo partiendo de la definición de antisimetría pero no soy capaz de llegar a que ambos elementos son o no iguales para saber si la relación tiene o no antisimetría.

Seguro que es una tontería pero yo no lo veo :banghead:

Saludos y gracias de antemano.

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Buenas noches, soy nuevo en el foro y me he inscrito primero porque me encantan las matemáticas y segundo por el tema del título. Os pongo en situación, acabo de terminar Bachillerato y aprobar Selectividad y por temas económicos no he podido cursar un Doble grado en Ingeniería Informática + Matemáticas, dado que en mi Universidad no hay ese doble grado sino estos grados por separado y que dicho doble grado se encuentra en una Universidad de otra provincia.

Aunque mi interés por los dos ámbitos es equitativo me decidí por Ingeniería Informática en la cual no se finalizan mis estudios de matemáticas, pero no hay la cantidad de temario que hay en el Grado de Matemáticas obviamente. Por ello, sabiendo que aquí habrá personas que puedan orientarme y dado la amplitud de temas en Matemáticas, quisiera que me pudiesen dar una breve orientación acerca de en qué seguir instruyéndome.

¡Un saludo a todos!

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