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Temas - Squee

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1
Antes que nada, mil disculpas si no uso terminología estandar, mi libro esta en inglés y no se si estaré traduciendo bien.

Asumo que todas mis funciones son continuas.
 
El toro de mapeo \( T_{f} \) de \( f:X \rightarrow X \) es el cociente de \( X \times I \) obtenido al identificar cada punto\( (x,0) \) con \( (f(x),1) \).

a) En el caso de \( X = S^{1} \wedge S^{1} \) con \( f \) que preserve el punto base, calcule una presentación de \( \pi_{1} (T_{f}) \) en terminos del mapeo inducido \( f_{*}: \pi_{1} (X) \rightarrow \pi_{1} (X) \).
b) Lo mismo que el ejercicio a) pero con \( X= S^{1} \times S^{1} \) un toro.
Pista: Una forma de hacer esto es construir \( T_{f} \) a partir de \( X \wedge S^{1} \) pegandole celulas.


a) Llamamos \( a,b \) con punto base en común \( x_{0} \) a los bucles generadores en \( X \).
Mi idea es armar un 1-esqueleto \( T_{1} \) en el que haya una copia de \( X \) correspondiendo a \( X \times 1/2 \) y una copia de \( f(X) \) correspondiente a \( (0,x) \sim (1,f(x)) \). Además de eso, les pego el circulo en \( (1/2,x_{0}) \)  y \( (0,x_{0}) \) respectivamente.

Sean \( \gamma_{1} : I \rightarrow T_{1}   \) dado por \( \gamma_{1} (t) = (t,x_{0}) \) y \( \gamma_{1} : I \rightarrow T_{2}   \) dado por \( \gamma_{2} (t) = (1-t,x_{0}) \)

A \( \pi_{1} (T_{1}) \) lo generan las clases de \( a,b, \gamma_{1} \overline{\gamma_{2}},  \gamma_{2} \overline{\gamma_{1}} ,\gamma_{1} f(a) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{1}}    \)

No estoy seguro de si tengo redudancia de generadores.

Mi idea siguiente es construir el grupo de \( T_{f} \) agregando las cuatro celulas dos dimensionales pegadas en:
\( a \gamma_{1} f(a) \overline{\gamma_{1}} \)
\( a \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{2}} \)
\( b \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{1}} \)
\( b \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{2}} \)
Y por ende cocientar el grupo generado por los elementos anteriores para obtener una presentación de mi grupo. Claramente la clase de, por ejemplo, \( \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{2}} \) es \( \[ \gamma_{2} \]  f_{*} \[ b \]  \[ \gamma_{2} \]^{-1} \) por lo que cumpliría con el enunciado.

Creo que debo haber sobrecomplicado el asunto así que decidí postearlo a ver si alguién puede ayudarme y echarle un poco de luz al asunto.

2
Topología Algebraica / Demostrar que π(x0,X) es trivial.
« en: 28 Septiembre, 2018, 06:53 am »
Demostrar que el complemento de un conjunto finito de puntos en \( \mathbb{R}^{n} \) es simplemente conexo para \( n \geq 3 \).

Mi idea es la siguiente:

Llamo \( A = \{  x_{j} \}_{0 \leq j \leq n}  \)

Sea \( \gamma : I \rightarrow \mathbb{R}^{n} - A \)

Dado que la cantidad de puntos es finita, el conjunto \( A \) esta acotado y existe algún \( r > 0 \) tal que \( B(x_{0},r)  \) tal que \( A \subset B(x_{0},r) \).

Sean \(  y_{j}  \) la proyección de \( x_{j} \) en \( S= S(x_{0},r) \) para \( 1 \leq j \leq n \).

Llamo a la unión de los conjuntos \( \displaystyle C = \bigcup_{j=1}^{n} \overline{x_{j} y_{j}} \)

Mi idea es generar una homotopia entre  \( \gamma \) y la proyección de \( \gamma \) en \( S \), para luego realizar una homotopia lineal entre ambas.

El problema es que no tiene porqué estar despejado el camino, así que mi idea es primero deformar un poquito \( \gamma \) para lograrlo, y esto lo logro deformando a \( \gamma \) para que se intersecte con \( C \).

Si la curva tuviese derivada acotada, ya se que va a entrar finitas veces en el conjunto del cual la quiero excluir.

Pero como esto no es así, he de ser más delicado.

El loop \( \gamma \), atraviesa a lo sumo una cantidad numerable de veces a \( C \), sin puntos de acumulación. Más aun, son puntos aislados. También se puede dar la posibilidad de que se mantenga en \( C \) durante un intervalo cerrado entero (ya que \( C \) es cerrado, su preimagen ha de ser cerrada).

Mi idea es indexar a los puntos en los que la curva atraviesa a \( C \), o en los que entra (y sale) de \( C \). Creo que por los naturales no puede ser, porqué podrían haber dos puntos de acumulación. Pero ha de haber algún ordinal numerable para el que se de.

Por ende, llamo \( D \) al conjunto de \( t \in [0,1] \) tales que \( \gamma(t) \in C \) y para ningún \( \varepsilon >0 \) se cumple que \(  \gamma( B(t, \varepsilon) )  \subset C \), que es una buena caracterización de la frontera de \( \gamma \cap C \).

Ahora la idea se pone fea de escribir muy formal, pero tratando por separado los puntos aislados y los intervalos cerrados contenidos, la idea es hallar un entorno de estos (disjunto del resto de \( C \)) en el cual deformar la curva para que no corte al resto de \( C \). Como el subconjunto del rayo de \( C \) que corta nuestra curva, al resto de \( C \) tiene distancia positiva (los rayos sólo se cortan en el cero, y hay un entorno del cero en el cual la curva no esta porqué no toca al centro \( x_{0} \)), se que deformando esta recta dentro de un entorno de tal radio, esta deja de cortarse con \( C \).

Una vez hecho esto, hago lo que tenia planeado y proyecto la recta \( \gamma' \) sobre \( S \), y luego la deformo mediante \( H(s,t) = \gamma' (s) (1-t) + p \gamma' (s) t \).
Como la esfera tiene grupo fundamental nulo, hay una homotopia de \(  p \gamma y' (s) \) a un punto.



3
Antes que nada, se me ocurre que cada clase del grupo fundamental debe estar representada por una única curva cerrada simple, dentro del dominio.

Pero demostrar que dos de esos representantes nunca están en la misma clase debe ser complicado.

Así que en lugar de intentar caracterizar al grupo, me conformo con demostrar que no es numerable.

Este es el ejercicio 17 de la sección 1.2 del Hatcher.

Creería que esta demostración esta bien:

Veamos que los loops que recorren \(  [\sqrt{2}; \lambda] \times [\sqrt{2}; \sqrt{3}] \), \( \lambda \in [\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cap (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) \), arrancando desde \( x_{0}=(\sqrt{2},\sqrt{2}) \) y en sentido horario, pertenecen todos a distintas clases de homotopia. Luego, como \( \mathbb{R}-\mathbb{Q} \) es no numerable, estas también lo serán.
Llamamos \( f_{\lambda} \) a tales loops.

Supongamos que \( f_{\lambda} \sim f_{\mu} \) con \( \lambda < \mu \)

Tenemos que los loops conjugados por el camino \( \gamma \) que une a \( (\sqrt{2},\sqrt{2}) \) con \( (\sqrt{2},\lambda)=x_{1} \) generan un isomorfismo entre \( \pi_{1} (X,x_{0} ) \) y \( \pi_{1} (X,x_{1} ) \)

Luego, \( g_{\mu} \cdot f_{\lambda}  \sim f_{\mu} \) donde \( g_{\mu} \) es el loop dado por el borde de \( [\lambda , \mu] \times [\sqrt{2}; \sqrt{3}] \), ya que se recorre el mismo camino dos veces en sentido contrario y puede eliminarse mediante una homotopia.

Luego, si \( [f_{\lambda}] = [f_{\mu}] \) se tiene que \(  [ g_{\mu} ] = 0 \).

Veamos que eso no sucede.

Acá es donde no se bien que hacer. Mi linea de razonamiento es que, si \(  [ g_{\mu} ] = 0 \) en \( \pi_{1}(X,x_{1}) \) entonces \(  [ g_{\mu} ] = 0 \) en \( \pi_{1} (Y,x_{1}) \), donde \( X \subset Y \subset \overline{X} \). Pero no es algo que tenga probado. Luego, empleando este hecho, querría llegar a un absurdo eligiendo \( Y = \overline{X}- y_{0} \) donde \( y_{0} \) es un punto interior y tengo que \( \pi_{1} ( \overline{X}- y_{0} ) = \mathbb{Z} \)

4
El enunciado es el siguiente:
Para categorias pequeñas \( A,B \) y \( C \), establezca una biyección
$$
Cat(A \times B, C) \cong Cat(A,C^{B})
$$
y muestre que es natural en \( A,B \) y \( C \)*. Por ende, muestre que \( - \times B: Cat \rightarrow Cat \) tiene adjunta a derecha.

* No estoy seguro de que quiere decir esto, el ejercicio es el ejercicio 1 de la sección 2.5 del Saunders-Mac Lane: Categories for Working Mathematician

Bueno, la biyección entre los objetos es fácil. Dado \( H \in Cat(A , C^{B}) \), definimos
\(
F(a,b):=H(a)(b)
 \)
Para ver que \( H \) es functor primero necesitamos definir las flechas. Esto me costo un poco más de esfuerzo.
Para empezar, \( H(a) \) es un functor de \( B \) a \( C \). Por ende \( H(a)(b) \) es un objeto de \( C \) y \( H(a)(g) \) es una flecha de \( C \).
Por otro lado, \( H(f) \) es una transformación natural de \( C^{B} \). Por lo que \( H(f)(b) \) es una flecha entre \( H(a)(b) \) y \( H(a')(b) \) donde \( f:a \rightarrow a' \).
Pero \( H(f)(g) \) no tiene sentido así que nos costara un poco más definir las flechas.
Pensé en definirlas por separado en las componentes, junto a "la identidad" y se me vino la siguiente idea
Las puedo definir de la siguiente forma. Dadas \( f:a \rightarrow a' \) y \( g:b \rightarrow b' \), definimos
\(
F(f,g) = H(a')(g) \circ H(f)(b) = H(f)(b') \circ H(a)(g)
 \)
Donde como \( H(f) \) es una transformación natural, la segunda igualdad se da del vamos. Es una flecha de \( C \) así que hasta aquí vamos bien.

Ahora queda demostrar que \( F(f'f,g'g) = F(f',g') \circ F(f,g) \)

\(
F(f',g') \circ F(f,g) =  \left( H(f')(b'') \circ H(a')(g') \right) \circ \left( H(a')(g) \circ H(f)(b) \right) =  H(f')(b'') \circ \left( H(a')(g')  \circ H(a')(g) \right) \circ H(f)(b)
 \)

por ser \( H(a') \) un functor

\(
= H(f')(b'') \circ  H(a')(g'g)  \circ H(f)(b) =
 \)

Por la igualdad que se da por ser \( H(f) \) una transformación natural.

\(
=H(f')(b'') \circ H(f)(b'') \circ  H(a)(g'g)
 \)

Se que la composición de transformaciones naturales es una transformacion natural, y que \( H \) es functor, pero no logro terminar de ver como justificar este paso.

\(
H(f')(b'') \circ H(f)(b'') \circ  H(a)(g'g) = H(f' f)(b'') \circ  H(a)(g'g) =
 \)

Lo cual es igual a \( F(f,g) \), por definición de \( F \).

En esta etapa sólo hace falta comprobar que \( F(Id_{a},Id_{b})=Id_{F(a,b)}=Id_{H(a)(b)} \).

\( F(Id_{a},Id_{b})= H(a)(Id_{b}) \circ H(Id_{a})(b) =  Id_{H(a)(b)} \circ  H(Id_{a})(b) =  Id_{H(a)(b)} \circ Id_{H(a)} (b)  \)

Donde la última igualdad se debe a que, debido a que \( H \) es functor, \( H(Id_{a})=Id_{H(a)} \).

Finalmente \( Id_{H(a)} (b) = Id_{H(a)(b)} \), debido a que al ser \( Id_{H(a)}  \) la transformación natural identidad, de \( H(a) \) en si mismo, envia \( H(a)(b) \) a si mismo, luego es la identidad en \( H(a)(b) \).


Dudas: Lo que marqué en rojo es algo con lo que no estoy feliz con mi justificación, y me falta entender a que se refiere con que este isomorfismo es natural en todas las categorias involucradas, y demostrarlo.

5
Hola.

El ejercicio que no me sale es el siguiente:

Dadas categorias \( B,C \) y la categoría \( B^{2} \), demostrar que cada functor \( H:C \rightarrow B^{2} \) determina dos functores \( S,T : C \rightarrow B \) y una transformación natural \(  \tau : S \overset{\bullet}{\longrightarrow} T \), y mostrar que la asignación \( H \longmapsto \left\langle S,T, \tau \right\rangle  \) es una biyección.

Notación:
La categoría \( 2 \) es la categoría con dos objetos, y una única flecha no identidad.
La categoría \( Y^{X} \) es la categoría cuyos objetos son functores de \( X \) a \( Y \) y sus flechas transformaciones naturales entre estos)

Intento:

Defino:
\( S(c)=H(c)(0) \) y \( T(c)=H(c)(1) \).

Estoy tentando a definir las flechas como \( S(f)=H(f)(0) \) y \( T(f)=H(f)(1) \), pero no estoy seguro si esta bien.

Se que si \( f:c \rightarrow c' \), entonces \( H(f) : H(c) \rightarrow H(c') \). Y se que las flechas de \( B^{2} \) son transformaciones naturales entre elementos de este.

No logro ver bien como actúa el morfismo natural \( H(f) \) sobre los functores de la imagen.

Logro ver que todo \( H  \) determina una \( 3- \)upla, pero no al revés.

Gracias por vuestro tiempo.

6
Hola, estaba intentando hacer un ejercicio que dice lo siguiente:
Para un anillo \( R \), describir a \( \mathbf{R-Mod} \) como una subcategoría completa (¿esta es la traducción de full subcategory?) de la categoria \( \mathbf{AB^{R}} \), donde los objetos de \( \mathbf{AB^{R}} \) son functores de \( \mathbf{R} \) en \( \mathbf{AB} \) (la categoria de los grupos abelianos).
Estoy casi seguro de que un anillo \( R \) es una categoria de un sólo objeto (como sucede con un grupo) con una estructura adicional de suma entre flechas tal que satisface
$$
f \circ (g+h) = f \circ g + f \circ h
$$
$$
(f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h
$$
Para todo trío de flechas \( f,h,g \) de \( A \) en \( A \) si llamamos \( A \) al único objeto de \( R \).

La definición de toda la vida de \( R \)-módulo es que un \( R \)-módulo consiste en un anillo \( R \), un grupo abeliano \( M \) y una acción \( \cdot : R \times M \rightarrow M \) la cual satisface:
$$
(r+s)m=rm+sm \quad \forall r,s \in R, m \in M
$$
$$
r(m+n) = rm+rn \quad \forall r \in R, m,n \in M
$$
$$
(rs)m=r(sm) \quad \forall r,s \in R, m \in M
$$
$$
1_{R} m = m \quad \forall m \in M
$$
Ahora, la interpretación categórica que hice, es que cada functor manda al único objeto de \( R \) a un grupo \( G \), y cada elemento de \( R \) (en la categoria son flechas) a un morfismo de \( G \) en \( G \). Homomorfismo de grupos, ya que si bien los elementos de \( G \) son flechas de su categoria, en este caso \( G \) es un objeto de la categoria \( Ab \) y los morfismos de esta son simplemente homomorfismos de grupos abelianos.

La cuarta propiedad de la definición de \( R \) módulo se cumple gracias al hecho de que \( F(Id_{c}) = Id_{F(c)} \), y por ende \( F(1_{R}) = Id_{G} \)

La tercera propiedad de la definición creo que se puede interpretar como la asociatividad del functor, es decir \( F(f \circ g) = F(f) \circ F(g) \). Entonces si la acción \( r \cdot m \) es un morfismo de grupos imagen de \( f \) y la acción aplicada a \( s \cdot  \) es otro morfismo, se tiene que \( (rs)m=F(f \circ g)(m)=F(f) \circ F(g) (m) = r(sm) \)
La segunda propiedad creo que se deduce simplemente de que la imagen de cada flecha \( f \) por un functor de \( R \) a \( Ab \) es un homomorfismo de grupos y por ende respeta la suma.

Finalmente, la primera propiedad creo que hay que imponerla. Pero no estoy completamente seguro de como hacer el ejercicio.
La primera propiedad seria
$$
F(f+g)=F(f)+F(g)
$$
Donde la suma de la izquierda es la suma entre flechas que tenemos en la categoria \( R \) y la suma en la derecha es la suma del grupo \( G \) imagen del dominio de las flechas.

Se me ocurre que quizá, es una subcategoria completa cuyos elementos son los que cumplen estas condiciones. Pero no estoy seguro como comprobar que todo \( R \) modulo surje de esta forma, ni logró ver de que naturaleza son las transformaciones naturales de la categoria esta (es decir, flechas entre functores).

Muchas gracias por su tiempo.

7
Denotemos por \(  \sigma_{p}  \) al automorfismo de Frobenius \(  x \rightarrow x^{p}  \) en el cuerpo finito \(  \mathbb{F}_{q}  \) con \(  q = p^{n}  \) elementos.
Viendo a \(  \mathbb{F}_{q}  \) como un espacio vectorial \(  V  \) de dimensión \( n \) sobre \(  F_{p}  \), consideramos a \(  \sigma_{p}  \) como una transformación lineal de \( V \) en \( V \). Determinar el polinomio caracteristico de \(  \sigma_{p}  \) y demostrar que la transformación lineal \(  \sigma_{p}  \) es diagonalizable sobre \(  \mathbb{F}_{p}  \) sí y sólo sí \( n \) divide a \( p-1 \) y es diagonalizable sobre la clausura algebraica de \(  \mathbb{F}_{p}  \) sí y sólo si \(  (n,p)=1  \)

8
Estructuras algebraicas / Factorización de un polinomio
« en: 26 Mayo, 2017, 04:58 am »
No me sale el siguiente ejercicio:

Demostrar que 2,3 o 6 es un cuadrado en \(  \mathbb{F}_{p}  \) para todo primo \( p \). Concluir que el polinomio
\(
x^6-11x^4+36x^2-36=(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)
 \)
tiene una raíz modulo \( p \) para todo \( p \) primo, pero no tiene raíces en \(  \mathbb{Z}  \)

Lo último se deduce usando el criterio de Eisenstein. Pero lo otro no me sale.
Para \( p=2 \) es trivial.
Lo único que se me ocurrió fue lo siguiente: \(  \mathbb{F}_{p}^{\times}  \)  tiene p-1 elementos, como p es primo, esto es divisible por 2. El subgrupo de \(  \mathbb{F}_{p}^{\times}  \)  generado por los cuadrados tiene \( (p-1)/2 \) elementos. Y ver si puedo asegurarme de que alguno de estos elementos esta acá. Se que si están el 2 y el 3, también esta el 6. Pero no logro encontrar un razonamiento para forzar que si dos de estos no están, entonces el tercero tampoco.

9
Estructuras algebraicas / Cuerpo fijo
« en: 24 Mayo, 2017, 01:00 pm »
Hola. Estoy con el siguiente ejercicio.
Tengo el cuerpo \(  K(t)  \) de funciones racionales y los siguientes automorfismos.
\(  \sigma : \sigma f(t) = f( \frac{1}{1-t} )  \)
\(  \tau : \tau f(t) = f( \frac{1}{t} )  \)
Vi que su grupo generado \( G \) es isomorfo a \( S_{3} \). Vi que \(  s = \dfrac{ (t^2-t+1)^{3} }{ t^{2}(t-1)^{2} } \) es un elemento que fija todo \( G \). Vi que de hecho \( K(s) \) es el cuerpo fijo de \( G \) (es una extensión de grado 6).
Después vi que el cuerpo fijo del grupo generado por \( \tau \) es \( K(t+\frac{1}{t})=K(\frac{t^{2}+1}{t}) \), y que el cuerpo fijo del grupo generado por \( \tau \sigma^{2} \) es \( K(t(1-t)) \).
Encontré también el cuerpo fijo del grupo generado por \( \tau \sigma \) que es \(  K( \dfrac{t^{2}}{t-1} )  \), mi procedimiento fue multiplicar \( t \) por \( \tau \sigma (t) \) para saber que queda invariante.
Use lo demostrado acá:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=92218.msg373052#msg373052
Esto para ser mas preciso:
Si \( \varphi(t)=\dfrac{p(t)}{q(t)} \) con \( p(t) \) y \( q(t) \) coprimos \( \max(gr(p(t),q(t))=n \), entonces \( n \) es el grado de \( K(t) \) sobre \( K(\varphi(t)) \)

Ahora, cuando intento usar estos métodos para encontrar el cuerpo fijo de \(  \sigma  \), lo que me pasa es que \( t \cdot \sigma(t) \cdot \sigma^{2} (t) = -1 \), y se que no sólo el cuerpo \( K \)queda fijo por este automorfismo. Necesito que me quede un cociente de polinomios coprimos con uno de grado 3.
¿Alguna idea de como conseguirlo? Como esta al final de todo se me ocurre que quizá necesito el resto. Capaz dividiendo al polinomio de
\( G \) por los de todos los otros grupos llegue al resultado, pero no entendería porqué.

Edit: Me avive y probé con \( t+\sigma(t)+\sigma^{2}(t) \) y me funciono. Me quedo el polinomio \(  \left( \dfrac{t^{3}-t-1}{t(t-1)} \right)  \)

10
Ecuaciones diferenciales / Problema de ecuación de calor
« en: 27 Marzo, 2017, 05:10 pm »
Hola.
Tengo el siguiente ejercicio de ecuación de calor, y ya del vamos no me cierra del todo porqué las condiciones de contorno me parecen incompatibles.
\( u_{t} - u_{xx} = 0, 0 < x < \pi, t > 0 \)

\( u(x,0) = x^{2}, 0 \leq x \leq \pi \)

\( u(0,t) = e^{-t}, u( \pi, t ) = 0, t > 0  \)

Con la primera condición supondría que \( u(0,0) \) vale \( 0 \) y con la segunda, que el limite de \( u(0, \varepsilon) \) cuando \(  \varepsilon  \) tiende a cero, vale \( 1 \)

Con lo cual mucho no me cierra.

Estoy lejos de tener claro el tema, empece a mirarlo esta mañana, pero luego de aplicar separación de variables, por la segunda condición de contorno, supongo que un termino de la solución es \( e^{-t} cos(x) \).

El desarrollo que me quedo fue:

\( u(x,t) = e^{-t} cos(x) + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( 2 \frac{\pi}{n} (-1)^{n+1} + (-1)^{n} \frac{8}{\pi n^{3} }  \right) e^{-n^{2} t} sin(nx)   \)

Mi procedimiento fue el siguiente:
Después de separar por variables y ver que el único coseno que aparece es \( cos(x) \), le quito su parte "ortogonal" a \( x^{2} \), y luego a tal producto le calculo sus senos, que se que son independientes. Si el intervalo fuese \( 2 \pi \), sabría que no sucede nada. Pero como se que las constantes unión \( \{ cos(nx) \}_{n \in \mathbb{n}} \) son un conjunto ortonormal completo de \( L^{2} (0,\pi) \), sospecho que los senos mas las constantes también y por ende tras haber usado el coseno necesito remover esa parte ya que el coseno no es ortogonal a los senos.

De todas formas, cuando miro mi solución veo que no logro satisfacer simultáneamente todas las condiciones de contorno (y no me parece que tendría que poder ya que la ecuación correspondiente me queda discontinua).

11
(a) Demostrar que \( x^4-2x^2-2 \) es irreducible en \(  \mathbb{Q}  \). Sale por Eisenstein con el primo \( 2 \)

(b) Demostrar que las raíces de la cuártica son:
\( \alpha_{1} = \sqrt{ 1 + \sqrt{3} }  \) \( \alpha_{3} = - \sqrt{ 1 + \sqrt{3} }  \)
\( \alpha_{2} = \sqrt{ 1 - \sqrt{3} }  \) \( \alpha_{4} = - \sqrt{ 1 - \sqrt{3} }  \)

Sale usando la fórmula de la cuadrática con \(  y=x^2  \) y después aplicando raíz cuadrada a las soluciones de esto.

(c) Sean \(  K_{1} = \mathbb{Q} ( \alpha_{1} )  \) y \(  K_{2} = \mathbb{Q} ( \alpha_{2} )  \). Demostrar que \(  K_{1} \neq K_{2}  \) y \(  K_{1} \cap K_{2} = \mathbb{Q} ( \sqrt{3} )  \)
Se puede ver que \( \alpha_{1}^{2}-1= \sqrt{3} = 1 - \alpha_{2}^{2} \), por lo cual \(  \sqrt{3}  \) lo esta. Faltaría ver que son distintos, para ver que al ser estos de grado \( 4 \) sobre \(  \mathbb{Q}  \) la única opción posible es que este sea de grado \( 2 \) y por ende \(  \mathbb{Q} (\sqrt{3})  \). No se como comprobar que son distintos sin hacer mucha cuenta/álgebra lineal. ¿Alguna forma simple?


(d) Llamemos a \(  \mathbb{Q} ( \sqrt{3} ) = F  \). Demostrar que \(  K_{1}  \), \(  K_{2}  \) y \(  K_{1}  K_{2}  \) son Galois sobre \( F \) con \(  Gal( K_{1} K_{2} / F )   \) el 4-grupo Klein (\(  ( \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} )^{2}   \). Escriba los elementos de \( Gal ( K_{1} K_{2} /F )  \) explicitamente. Determine todos los subgrupos del grupo de Galois y sus correspondientes subcampos de \( K_{1} K_{2} \) que son fijados por estos y contienen \( F \)
Creo que las transformaciones están dadas por las elecciones \(  \alpha_{1} \rightarrow \pm \alpha_{1}  \) y \(  \alpha_{2} \rightarrow \pm \alpha_{2}  \) por lo cual claramente el grupo es el de Klein. Que "\(  K_{1}  \), \(  K_{2}  \) y \(  K_{1}  K_{2}  \) son Galois sobre \( F \)" no es equivalente a ver que el grupo de automorfismos que deja fijo a \(  F  \) es normal?



(e) Demostrar que el campo de descomposición de \( x^4-2x^2-2 \) sobre \(  \mathbb{Q}  \) es de grado \( 8 \) con grupo de Galois diédrico (\( D_{8} \))

12
Demostrar que el grupo de Galois del cuerpo de descomposición de una cúbica sobre \(  \mathbb{Q}  \) es el grupo cíclico de orden 3, entonces todas las raíces son reales.

Primer paso, sé que en \(  \mathbb{R}  \) toda cúbica tiene una raíz, por ende si esta es \( \alpha \), suponiendo que el polinomio es mónico, tengo que \( p(x) = (x- \alpha ) (x^2+bx+c) \). Por lo que si \( x+yi \) es raíz, entonces también lo es \( x-yi \). Ahora restaría ver que intercambiar \( x+yi \) por \( x-yi \) es automorfismo, y como este es idempotente, tenemos que el grupo de Galois ha de ser de orden par, por lo que llegamos a una contradicción y las 3 raíces han de ser reales.

¿Cómo puedo ver que es un automorfismo?

13
No estoy seguro de como proceder en este ejercicio.
Tengo que si \( y=x^{2} \) entonces \( y = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{ 196-36 } }{ 2 } = 7 \pm  2 \sqrt{10}  \)

Luego \( x = \pm \sqrt{ 7 \pm 2 \sqrt{10} } = \pm ( \sqrt{5} \pm \sqrt{2} ) = \pm  \sqrt{5} \pm \sqrt{2}    \)

A modo de ilustrar de donde saque la última igualdad, adjunto un ejercicio que me sirvió para ver que \(  \sqrt{ 7 \pm \sqrt{40} } = \sqrt{5} + \sqrt{2}  \), aunque el porqué son justo estas raíces requiere del desarrollo del ejercicio, no es difícil comprobarlo con wolframalpha.



Supongo que el grupo de Galois es el grupo de Klein, porqué me parece que puedo intercambiar las raíces por sus negativos y por ende llegar a \(  \mathbb{Z}_{2}^{2}  \), pero no estoy seguro de como demostrarlo.

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Supogamos que \(  f(x) \in \mathbb{Z} [ x ]  \) es una cuártica irreducible cuyo campo de descomposición tiene grupo de Galois \( S_{4} \) sobre \(  \mathbb{Q}  \). Sea \(  \theta  \) una raíz de \( f(x) \) y sea \(  K = \mathbb{Q}  \). Demostrar que \( K \) es una extensión de \( Q \) de grado \( 4 \) la cual no posee subcuerpos propios.
¿Existe alguna extensión Galoisiana de \(  \mathbb{Q}  \) de grado \(  4  \) sin subcuerpos propios?

No estoy seguro de por dónde empezar, se agradece la ayuda :)

15
Siendo \( K(t) \) el cuerpo de las funciones racionales con coeficientes en \( K \), quiero encontrar el subcuerpo fijado por el morfismo que envia \( t \) a \( t+1 \).
Mi idea es primero demostrar que tal morfismo restringido al anillo de polinomios \( K[t] \), no deja fija ninguna función no constante y después observar que si \( f \in K(t) \) tengo que \( f = \dfrac{ P(t) }{ Q(t) }  \) con \(  (P(t),Q(t)) =1  \), considerando sólo el caso en el cual \( Q(t) \) de grado mayor o igual a uno ya que si es de grado cero volvemos a caer en el caso del anillo de polinomios.

\(  \dfrac{ P(t) }{ Q(t) } = \dfrac{ P(t+1) }{ Q(t+1) }  \) si y sólo si \(  P(t) Q(t+1) = P(t+1) Q(t)  \) y por la conclusión a la que se llego sobre los anillos de polinomios, se tiene que como \(  Q(t) | P(t) Q(t+1)   \) pero \(  Q(t) \not| P(t)  \) se tiene que \(  Q(t) | Q(t+1)  \) y como son del mismo grado tenemos que \(  Q(t) = c Q(t+1)  \) con \( c \in K - \{ 0 \}  \) contradiciendo el caso observado para polinomios.



  • Ahora, mi idea para demostrarlo en polinomios es hacer lo siguiente.

Dado \( p(t) \in K[t] \), sea \( F \) el cuerpo de descomposición de \( p(t) \). Aquí tenemos
\(
\displaystyle
p(t)=
\prod_{i=1}^{n} (t-\alpha_{i})
 \)
Y tenemos que \(  p(t+1) = \prod_{i=1}^{n} (t+1-\alpha_{i})  \)
Lo que me gustaría ver es que si se da que para todo \( i \) en \( 1 \leq n \) tenemos \( \alpha_{i} = \alpha_{j}-1 \), entonces los puedo ir ordenando en "subcadenas" por así decirlo y forzosamente en cada una de estas cadenas (o en la única que quede) tengo que llegar a algo ciclico, es decir restar \( m \) veces uno me da lo mismo. Concluir que en ese caso hemos de estar en un cuerpo de característica \( p=m \) y no estoy seguro de como seguir. Si todos estos cuerpos fuesen \( F_{p} \) sabría que este polinomio se anula idénticamente así que es el nulo. En otros cuerpos no se me ocurre como proceder.

Mas explicación del tema de las subcadenas por qué quedo muy coloquial
Spoiler
Quiero decir que tomando sucesivamente \( \alpha_{1}  \) y \(  \alpha_{i_{1}}  \) donde \( \alpha_{i_{1}} = \alpha_{1}-1 \) voy formando un grafo. Eventualmente ha de haber algún \( j \) para el cual \(  \alpha_{j}-1 = \alpha_{1}  \) y se forma un "ciclo". Si \(  \alpha_{\ell}=\alpha_{k}  \) puedo identificarlos con el mismo vértice dentro del grafo. Igual obviamente la idea de grafos es para explicarlo, no hace falta irse hasta ahí para demostrarlo.
[cerrar]

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Tengo problemas con uno de los incisos del teorema.

Teorema Fundamental de la Teoría de Galois: Sea \(  K / F  \) una extensión Galoiseana y sea \( G = Gal (K/F)  \). Entoces hay una biyección (...)
Describe la biyección entre subcuerpos \( E \) de \( K \) que contienen \( F \) y los subgrupos \( H \) de \( G \) que fijan \( E \)

(5) Si \(  E_{1}, E_{2}  \) son las extensiones fijadas por los subgrupos de \( G \), \( H_{1},H_{2} \) respectivamente, entonces la intersección \( E_{1} \cap E_{2} \) corresponde al grupo \(  \left\langle H_{1},H_{2} \right\rangle  \) generado por \( H_{1} \) y \( H_{2} \) y el campo compuesto \( E_{1} E_{2} \) corresponde con la intersección \(  H_{1} \cap H_{2}  \). Por ende el reticulado de los subcuerpos \( E \) de \( K \) los cuales contienen a \( F \) y el reticulado de los subgrupos de \( G \) son "duales" (el diagrama de uno de los reticulados es el del otro "dado vuelta de arriba para abajo").

Adjunto el enunciado entero por si lo quieren.

Bueno, el libro demuestra que \( H_{1} \cap H_{2} \) se corresponde con \( E_{1}E_{2} \), y dice que la demostración de la correspondencia de \(  \left\langle H_{1},H_{2} \right\rangle  \)  con \(  E_{1} \cap E_{2}  \) es análoga. Pero no puedo verlo del todo, con los mismos pasos vi que todo elemento de \(    \left\langle H_{1},H_{2} \right\rangle   \) fija a los de \(  E_{1} \cap E_{2}  \), pero no logre ver que si un automorfismo fija a todo  \(  E_{1} \cap E_{2}  \) entonces esta en \(    \left\langle H_{1},H_{2} \right\rangle   \).

Lo googlee pero en el único link que encontré también decía que era análogo.

Copio la demostración:

Supongamos que \(  H_{i}  \) es un el subgrupo de \( G \) compuesto por los elementos de este que fijan \( E_{i} \) para \( i=1,2 \). Todo elemento de \(  H_{1} \cap H_{2}  \) fija a todos los del cuerpo compuesto \( E_{1} E_{2} \), dado que los elementos de este son combinaciones algebraicas de los de \( E_{1} \) y \( E_{2} \).
Reciprocamente, si un automorfismo \(  \sigma  \) fija al compuesto \(  E_{1} E_{2}  \), entonces \(  \sigma  \) fija a todo \( E_{1} \) y a todo \( E_{2} \), es decir \( \sigma \in H_{1} \) y \( \sigma \in H_{2} \). Por ende \( \sigma \in H_{1} \cap H_{2} \). Esto demuestra que el cuerpo compuesto \( E_{1}E_{2} \) se corresponde con la intersección \( H_{1} \cap H_{2} \).

¿Servirá el segundo teorema de isomorfismos de grupos?

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Estructuras algebraicas / Automorfismos de k(t)
« en: 01 Enero, 2017, 02:03 am »
Sea \( k[t] \) el conjunto de los polinomios sobre \(  k  \). Quiero ver que si \(  \varphi   \) es un automorfismo de \(  k[t]  \) que coincide con la identidad sobre \( k \), tenemos que existe \(  a,b  \in k   \) con \(  a \neq 0  \) tales que \(  \varphi (f(t)) = f(at+b) \quad \forall f \in k[t]  \)
Lo que estaba haciendo es ver que este automorfismo queda determinado por la imagen de \( t \), pero no se me salio demostrar que esta tiene que ser un polinomio de grado uno.

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Hola, tenia un ejercicio en el cual se demuestra que \(  | Aut( \mathbb{R} / \mathbb{Q} = | = 1  \) y el único paso que no logre demostrar es el del titulo, es decir:
Demostrar que si \(  \sigma \in Aut ( \mathbb{R}, \mathbb{Q} )  \) este manda cuadrados a cuadrados y reales positivos a reales positivos.
La primera parte me salio, basta con usar la demostración de automorfismo. Es decir, si
\(  x \in \mathbb{R} = a^{2}  \) entonces \(  \sigma(x)=\sigma(a^{2})= \sigma (a) \sigma (a) = ( \sigma(a) )^{2}  \)
No se me ocurre como deducir la otra parte de acá, mas que nada porqué realmente no logro escribir la propiedad de ser mayor a cero en forma algebraica, supongo que debe ser algo muy fácil.

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Topología (general) / Equivalencia a continuidad uniforme
« en: 26 Diciembre, 2016, 04:09 am »
Dada una función \( f:A \rightarrow B \) espacios métricos, demostrar que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes.
(1) \( f \) es uniformemente continua
(2) Si para \( X,Y \subset A \) se tiene \( d(X,Y)=0 \) entonces \( d(f(X),f(Y))=0 \).

Editado: Hay una respuesta linda en el siguiente post, y mi idea creo que tenia un error garrafal. Si no lo tenia, igual era innecesariamente engorrosa.

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Sea \( K \) una extensión finita de \( F \). Demostrar que \( K \) es un cuerpo descomposición sobre \( F \) si y sólo si todo polinomio irreducible en \(  F [ x ]  \) que tiene una raiz en \( K \), se puede descomponer completamente en \(  K[ x ]  \).
Consejo: Usar los teoremas 8 y 27, los cuales voy a copiar a continuación

Que \( K \) sea un cuerpo de descomposición, quiere decir existe un polinomio \( g(x) \) tal que todas las raices de \( g(x) \) estan en \( K \) y además \( K \) es el menor cuerpo con tal característica, entonces \( K = F[\alpha_{1}, ...,\alpha_{n} ]  \) donde \( \{ \alpha_{i} \}_{1 \leq i \leq n} \)  es el conjunto de raíces de \( g(x) \)

Estoy intentando hacer el paso con la implicación en el siguiente sentido: Si \( K \) es cuerpo de descomposición sobre \( F \) entonces puedo factorizar linealmente en \( K \) todo polinomio que sea irreducible en \( F \) y adenás tenga una raíz \( \alpha \) en \( K \)

Mi idea es la siguiente. Primero recuerdo que existe un único polinomio monico minimal para cada \( \alpha \) tal que \( m_{\alpha} (\alpha)=0 \) y \( m_{\alpha} \) es del menor grado posible. Este cumple que si \( f(\alpha)=0 \) entonces \( m(x) | f(x) \). Este tiene la propiedad de ser irreducible, por ende si \( f(x) \) es irreducible, \( f(x) \) es un \( F- \)multiplo de \( m_{\alpha} (x) \).
Como \( K \) es el \( F- \)espacio vectorial generado por \( \{ 1, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m} \} \) con los \( \alpha_{i} \) linealmente independientes (por eso puse  \( m \) en lugar de \( n \) porqué las raices y el \( 1 \) podrían ser LI, en cuyo caso me quedo con un subconjunto LI y los renombre), entonces si \( \alpha \) es raiz de \( f(x) \) es porqué \( \alpha = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} \alpha_{i} + \lambda_{0} \), además ha de haber algún \( \lambda_{i} \) con \( i \geq 1 \) distinto de cero ya que esta raíz no esta en \( F \). Entonces mi idea es ver que puedo conseguir algún cambio de base que me ayude a ver que todas las raices de \( f(x) \) están acá.
Realmente no se si es un camino muerto o no, pero es la única idea que tuve.

Ah, los teoremas 8 y 27 son:
Teorema 8: Sea \( \varphi : F \overset{\sim}{\rightarrow} F'  \) un isomorfismo de cuerpos. Sea \( p(x) \in F [ x ]  \) un polinomio irreducible y sea \( p'(x) \in F' [ x ]  \) el polinomio irreducible en \( F' \) obtenido al aplicarle \( \varphi \) a los coeficientes de \(  p(x)  \). Sea \( \alpha \) una raiz de \( p(x) \) (en alguna extensión de \( F \)) y \( \beta \) una raiz de \( p'(x) \) (en alguna extensión de \( F' \). Entonces existe un isomorfismo
\( \sigma : F(\alpha) \overset{\sim}{\rightarrow} F' (\beta)  \) que lleva a \( \alpha \) a \( \beta \) y extiende \( \varphi \), es decir tal que su restricción a \( F \) es el isomorfismo \( \varphi \)

Teorema 27: Sea \( \varphi : F \overset{\sim}{\rightarrow} F'  \) un isomorfismo de cuerpos. Sea \( f(x) \in F [ x ]  \) un polinomio y sea \( f'(x) \in F' [ x ]  \) el polinomio en \( F' \) obtenido al aplicarle \( \varphi \) a los coeficientes de \(  p(x)  \). Sea \( E \) el cuerpo de descomposición para \( f(x) \) sobre \( F \) y sea \( E' \) el cuerpo de descomposición para \( f'(x) \) sobre \( F' \). Entonces el isomorfismo \( \varphi \) puede extenderse a un isomorfismo \( \sigma : E \overset{\sim}{\rightarrow} E' \), es decir \( \sigma \) restringido a \( F \) es el isomorfismo \( \varphi \)


Y por último, en resumen mi idea de usar el polinomio minimal tiene el fin de comprobar que dada una raíz \( \alpha \) de un polinomio irreducible, esta esta intrínsecamente asociada a las otras raíces de este, es decir no depende de la elección de polinomio. Dentro del cuerpo en el cual el polinomio es irreducible, claro esta.

Como pregunta lateral, supongo que si su polinomio minimal es de grado \( n \), entonces el cuerpo de descomposición en el que se anula ha de estar generado por un polinomio \( f(x) \) de grado \( m \) con \( n | m \).

PD: No se cual es el crimen que estoy cometiendo con las barritas de latex pero se lee horrible todo y no se como solucionarlo, antes no me pasaba. Edit: Creo que lo solucione, al parecer algo explota cada vez que escribo
  • sin espacios dentro del código latex. Edit2: Ah, afuera del latex también... es "[ x ]" y al parecer se usa para cuadraditos para separar puntos.
Editado: Marqué en rojo las cosas que cambie, cuando postee el mensaje había dejado "splitting field" entre comillas hasta que encontré una traducción, cuando lo cambie realmente tendría que haber re-redactado el mensaje. También agregué una imagen con los enunciados en inglés en el caso de haber sido demasiado animal traduciéndolo.

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