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Estructuras algebraicas / Estructuras y tablas
« en: 07 Agosto, 2009, 08:12 pm »
Buenas tardes foreros.
Mi pregunta de hoy es un poco "antinatural" pero me parece un asunto curioso.

Dado un Grupo finito, la tabla del grupo es la matriz \( (a_i_j) \) tal que \( a_i_j = g_ig_j \) con \( g_i \) y \( g_j \) elementos del grupo.
Definimos del mismo modo la tabla de la suma y tabla del producto en un anillo.

El caso es que, me gustaría plantear lo siguiente. Dada una matriz (o dos) nxn, con n natural. ¿Cómo puede saberse si dicha matriz corresponde a un Grupo (Anillo)? Hay propiedades fáciles de mirar, pero otras (asociatividad) no tanto. Esto permitiría estudiar grupos y anillos finitos más fácilmente.

Además, me resulta curiosa la idea de introducir un "functor" que a cada grupo finito asocie una matriz (o clase de matrices con símbolos equivalentes) y ver como se comportaría dicho functor con operaciones como el producto directo de grupos, el producto semidirecto etc.

Un saludo.

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Buenas tardes.
Escribo este hilo a raíz de una cosa que se me ocurrió el otro día al leer un post de trigonometría.

Habitualmente, cuando se definen el seno, coseno etc, se hacen mediante la interpretación geométrica (bien por triángulos rectángulos, bien con la circunferencia unidad). Luego, más tarde, se demuestran geométricamente las propiedades de sumas, ángulos dobles, derivación etc. Hasta llegar al polinomio de Taylor. Una vez hecho esto, para ser elegantes, se define en cálculo la función coseno (o seno) mediante su desarrollo en serie de potencias y ya todas las propiedades antes deducidas geométricamente se pueden deducir de ahí.

Pues bien, me gustaría saber como se haría si se quisiese hacer en sentido inverso. Es decir, dada la función coseno (o seno) expresada como serie de potencias, deducir la interpretación geométrica, en términos de ángulos y distancias. A bueno, no gace falta decir que que se abstengan los listos  :laugh: que basen su construcción en: "Pues a ver, definimos la función coseno2 como la geométrica, como satisface el mismo PVI es la misma"  y se queden tan anchos. Muchas gracias.

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Saludos foreros.

Ahora ya con el verano a punto de acabarse, y con la vuelta a las clases cercanas, me gustaría pedirles ayuda en tresteoremas que nos enunciaron el año pasado en análisis real y cuyas demostraciones me faltan. Como estoy muy vago, seguramente porque sé que pronto voy a tener que ponerme a trabajar, me gustaría saber si alguien tiene un link, o una demostración (tampoco quiero abusar, al fin y al cabo es mi pereza personal y que no parecen fáciles) de esos tres teoremas. Estoy organizando apuntes y son los dos únicos teoremas no triviales que tengo sin demostrar, y por elegancia... ya se sabe jeje.

1) Si \( f \) es integrable Riemann entonces es integrable lebesgue y \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx = \displaystyle\int_{}^{}f.\mathbb{I}_{[a,b]}d\mu \)
2) Si \( f_n \) converge en media p a \( f \), entonces existe una parcial convergente casi seguramente hacia f (para casi todo punto).
3)\( \overline{C([0,2\pi])} = L(]0,2\pi[) \) sin nos movemos en el espacio métrico L.

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Teoría de grafos / Problema de los cuatro colores reflexión.
« en: 25 Agosto, 2008, 06:37 pm »
Buenas tarde foreros.

Me gustaría plantearles una duda que tengo, por culpa de mi hermano pequeño, que me ha puesto en una situación dificil y complicada.

Un día, jugando al típico juego de unir casas con líneas sin que las líneas se corten, le hice ver que a veces los problemas de grafos pueden llegar a ser interesantes. Entre unas y otras cosas le fui contando (tiene 16 años, yo 20) curiosidades hasta llegar al problema de los cuatro colores, con la intención de que ahí quedase fascinado con la magnitud que llegan a alcanzar este tipo de problemas.

Entonces, inmediatamente, mi hermano me hizo la siguiente observación: "Vale, es como decir que no puedes dibujar cinco países tocándose todos entre sí". Yo me quedé un rato pensando, como defectuoso futuro matemático que soy, mi intuición es un desastre y no supe ver por qué él veía esta equivalencia intuitiva. Pensando después un rato en formular esta equivalencia matemáticamente me di cuenta que mi hermano tenía las de perder, aunque no sabía por qué... Me sentí algo sobrepasado por la situación y tuve que pedir ayuda a mi tercer hermano (17 años) para ver si lo que decía el menor, era verdaderamente intuitivo. El mediano pensó que no ("Uff, pensé" jeje), pero que entendía la postura del menor.

Así pues, cogí lapiz y papel y quise formalizar dicha equivalencia, a ver si podía.
Llamé T5P al segundo problema y T4C al primero, y conseguí demostrarle con argumentos más o menos evidentes a mi hermano menor que efectivamente T4C => T5P (simplemente  si hubiese cinco paises tocándose todos, dos colores estarían en contato), y le dije que intentase demostrarme la implicación inversa. Él, próximo estudiante de Bachillerato, me decía que no podía formalizarlo, pero que le parecía evidente: "En el peor de los casos, cuatro países se tocan entre sí todos ellos, si añadimos un quinto, como mucho podría tocar con tres de los anteriores, por lo tanto podríamos usar el color del cuarto, y así sucesivamente, por lo tanto, con cuatro colores podríamos completar el mapa". Yo me resistía a aceptar ese argumeto por varias razones:
1) Mi hermano me estaba proporcionando un algoritmo de coloreamiento local, que no aseguraba el mapa completo, aunque mi hermano aseguraba que si podía hacerlo.
2) Me resignaba a pensar que la equivalencia es cierta, puesto que el T5P me resulta intuitivamente más fácil de demostrar, puesto que enumeraciones de combinatoria y teoría de grafos podrían darnos la solución.
3) Su método local podía estar condicionado por otros colores (por ser local) de forma que no pudiera hacerse así siempre, sino que había también otros condicionantes. A lo que él me respondía que cambiando un solo color, todo se podría arreglar para que cuadrase (yo creo que es más complicado que eso).

Sigo creyendo que yo tengo razón, pero me veo incapaz de explicárselo puesto que él está convencido de que tiene razón también, y de hecho me ha desafiado a que publicase aquí el problema para dejarme en evidencia jajaja.
Si pudiesen resolverme la duda, y mejor, darme algunas pautas para explicarle a mi hermano el problema que tiene su argumento,  si es que es erróneo, les estaría muy agradecido. ¡No puede ser tan fácil el T4C!

Un saludo.

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En un proyecto futuro (más futuro que proyecto), tengo pensando escribir unas cosillas a propósito de la geometría de manera que sea un manual cómodo y completo que formalice de una forma general lo que es la geometría. Para ello, un esquema de lo que me gustaría tratar sería el siguiente:
1-Exposición y construcción de la geometría a partir del sistema axiomático.
2-Exposición y construcción de la geometría a partir del álgebra lineal.
3-Demostrar que, en realidad, 1 y 2 son la misma cosa y nada más ni menos.
4,5,6-Idem con la geometría proyectiva.
7- Caracterizar la geometría afín, euclídea y proyectiva en términos de álgebra (grupo que actúa sobre un conjunto y deja invariantes un cierto tipo de subconjunto). Aprovechar para tratar otras geometrías que sean curiosas. (¿Sabe alguien de alguno de estos ejemplos?). Y así, acabar definiendo lo que sería una geometría de forma que fuese formulable simplemente en términos de álgebra de grupos.

Así, me gustaría saber si efectivamente la siguiente definición de geometría sería correcta o podría perfilarse más aún:

Sea \( T \) un conjunto, y sea \( H\in{\P(T)} \) de manera que \( H \) cumpla una propiedad \( R \).
Una geometría es un Grupo \( G \) de aplicaciones tales que \( \forall{g\in{G}} \), \( g(H) \) verifica \( R \).
Parece que por allí van los tiros, pero no sé terminar de perfilarlo, porque en el caso de la geometría euclídea ya no hay un subconjunto que preserva su estructura sino una aplicación bilineal que resulta invariante... No termino de entender....

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Hola compañeros foreros.

Hay un tipo de problema de geometría bastant recurrente en mi lista de problemas que consiste en, dadas dos configuraciones de n puntos independientes de un espacio afín de dimensión n-1 (n=3,4), demostrar que existe un desplazamiento que transforma una configuración en la otra y clasificarlo. (Por ejemplo, existe un desplazamiento que permuta cíclicamente los vértices de un tetraedro). Para abordar este problema, no se me ocurre otro método que no sea a lo bestia, es decir, o bien tomando los puntos como referencia, calcular la matriz de la métrica (normalmente son puntos arbitrarios y la matriz es llena), la matriz e la aplicación y comprobar la condición A^TGA=G (método indeseable donde los haya) o bien defini una referencia rectangular, poner coordenadas a los puntos tratando de "anular" el máximo de coordenadas posibles y calcular la matriz de la aplicación (en este caso es solo ligeramente menos engorroso, puesto que si bien calcular la métrica es trivial, calcular la matriz de la afinidad no tanto, y bastante más laborioso que antes...).

Mi intuicón me dice que hay sin duda otras maneras de proceder, menos algebraicas y más geométricas para demostrar que es desplazamiento aunque sea, luego la clasificación se hace como siempre, y ya sí que hay que recurrir a los automatismos, pero ya nos da igual la referencia (si es rectangular o no).

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Buenos días compañeros foreros.
Tengo unas dudas acerca de la caracterización de una parábola a partir de su forma más general.
Supongamos que tenemos una cónica q(x,y)=0 y que mediante clasificación por invariantes euclídeos hemos determinado que es una parábola. Sabemos que enm función de estos semiinvariantes, el parámetro focal es:
\( p=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{D_3}{d_1^3}} \)
Por lo tanto para tener una caracterización completa nos faltaría determinar el vértice y el eje (o la directriz y el foco). Me gustaría saber como encontrar estos dos (o mejor, los cuatro) elementos en función de los invariantes.
Está claro que el eje será \( O + <v> \) donde \( v \) es un vector anulador de la matriz principal (VEP de VAP) 0, por lo tanto, el principal problema es situar en función de los invariantes el vértice de la parábola.

Sé que hay más maneras de determinarlo, haciendo la clasificación afín a partir de la primera y segunda reducción y viendo el cambio de cordenadas resultante, está claro que se puede analíticamente llegar a las coordenadas del centro, pero me interesaría, con el fin de ser coherentes en un estilo de resolución, que se pudiese hacer o bien sólo por invariantes, o bien sólo mediante reducciones (diagonalización + completar el cuadrado).
Sé que puede hacerse también mediante consideraciones proyectivas ya que el vértice es una de las dos itersecciones de la cónica con la polar de \( P = [v'] \) con \( v' \) vector ortogonal a \( v \), vector anulador de la matriz principal, siendo la otra intersección el punto del infinito de la parábola, pr lo tanto descartable. Pero insisto, por elegancia, me gustaría saberlo hacer también con invariantes y razonando a partir de ellos.

__________________________________________________________________________________________
NOTAS: Los invariantes que considero son, si \( \overline{A} \) es la matriz de la cónica y \( A \)
la matriz principal.
\( D_1 = tr_1(\overline{A})
D_2 = tr_2(\overline{A})
D_3 = tr_3(\overline{A}) = det(\overline{A})
d_1 = tr_1(A)
d_2 = tr_2(A) = det(A) \)
\( \lambda_1 , \lambda_2  \) vaps de A

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Cálculo 1 variable / Teorema de Féjer
« en: 31 Mayo, 2008, 08:04 pm »
Hola foreros.
Alguien podría pasarme un link o un acceso a un pdf con una demostración lo más elegante posible del teorema de Féjer. En clase de análisis hemos dado una que pasa por mucho cálculo de cotas y continuidad, y al final hay un baile de epsilons, supremos etc bastante considerable. El profesor de la asignatura nos ha dicho que hay demostraciones mucho más bonitas y sintéticas, pero que nos dejaba a nosotros el trabajo de buscarlas.
¿Alguien conoce alguna?
Muchísimas gracias por adelantado.

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Les pongo en situación.
Sea \( (X,\CHI,\mu) \) un espacio de medida y consideremos \( L^2(X) \) el conjunto de funciones \( \mu \)-cuadrado integrables. Hemos visto en clase de análisis real, que en caso de existir una base de Hilbert completa para este espacio, \( L^2(X)\approx{l^2(R)} \). Pues bien, está claro que si \( X=I \) intervalo, existe un sistema completo (el trigonométrico por ejemplo, haciendo el cambio de variable que haga falta). Sin embargo, por ejemplo, si \( X=\mathbb{R} \), esto no sé si sigue siendo cierto.
Por lo tanto, ¿hay alguna manera de caracterizar los espacios de medida donde las funciones de cuadrado integrable son (equivalen a) sucesiones de cuadrado sumable? Sería bastante cómodo que la hubiese. Al tratarse de un espacio de medida, no se si serían condiciones topológicas o condiciones más complicadas de establecer...
Agradezco si me echan una mano.
Gracias, un cordial saludo a todo el foro.

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Buenos días.
Tras haber estudiado en clase los dos teoremas que titulan mi post en mi primer curso avanzado de Análisis real, me gustaría saber, ya que me he intentado informar sin éxito a través de la bibliografía de la asignatura, si estos teoremas son generalizables a \( C(K,\mathbb{C}) \) y en ese caso, qué condiciones habría que añadir y cómo se modificarían las demostraciones.
Para el primer teorema, supongo que no hay ningún problema ya que \( (\mathbb{C},+,.\mathbb{R},*) \) es un espacio de Banach, pero mi pregunta viene por el segundo, ya que la dificultad para establecer un orden cómodo en los complejos me hace preguntarme si se puede hablar de retículo, y si, en ese caso, se puede formular el teorema de manera que este englobe al anterior.

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Métodos Numéricos / Algunas dudas
« en: 06 Enero, 2008, 12:49 am »

El día 8 tengo examen de métodos numéricos I y me han surgido varias dudas que la verdad no sé como resolverlas.
Las posteo aquí por si alguien fuese tan amable de ayudarme con ellas (siempre una ayuda es mejor que la solución...). Aquí van.

1.  No sé demostrar (y me parece extraño ese resultado) que la norma matricial subordinada a la norma vectorial euclíde sea la raíz del radio espectral de A*A siendo A la matriz de la que queremos calcular la norma.

2.  No le encuentro ninguna explicación intuitiva al papel del número de condicionamiento de una matriz a la hora de estudiar la propagación de errores en sistemas de ecuaciones.

¿Cómo puede ser que unas ecuaciones lineales puedan tener en ocasiones un comportamiento tan extraño? (Si sustituyes un vector columna en el sistema y te da casi la igualdad no significa que este vector sea solución, más aún, la solución puede estar "lejísimos").
Si fuesen ecuaciones polinómicas u otras pero es que son lineales y eso, intuitivamente significa que si nos acercamos ¡¡¡nos acercamos del todo!!!

¿Qué papel juega en eso el número de condicionamiento? La demostración algebraica la tengo, pero no le veo explicación intuitiva...

3.  Por último, tengo por aquí que si A es simétrica y definida positiva (casi producto escalar), entonces Gauss (y por lo tanto A = LU) funciona sin necesidad de pivotar escaladamente.
Después de pensar, he llegado a la conclusión (no sé si cierta o no) de que si A es simétrica y definida positiva, entonces es diagonal dominante, por lo tanto no se necesita pivotar nunca.
¿Es cierto?

Muchas gracias por adelantado.
¡Un saludo a todo el foro!

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Foro general / La rareza de los complejos.
« en: 10 Noviembre, 2007, 06:34 pm »
Aparte de ser un cuerpo algebraico realmente interesante (T.f. álgebra, resolución de todo tipo de ecuaciones (aparte de raíces, también trigonométricas y logarítmicas), ahora que empiezo a estudiar temas de variable compleja me doy cuenta de que C tiene unas estupendas propiedades para hacer cálculo diferencial, que provienen simplemente de una simple igualdad de derivadas (C-R), a saber:
-Una función diferenciable es infinitamente diferenciable.
-Toda función diferenciable es analítica.
-Las circulaciones a través de curvas cerradas son cero (salvo "agujeros", que se apaña con residuos y ya está).
...

Esto hace de C un lugar mucho más completo todavía. Mis preguntas son las siguientes:
C es el último espacio vectorial euclídeo al que se puede dotar de estructura de cuerpo conmutativo. ¿Tiene que ver esto de alguna manera indirecta con que tenga propiedades anañíticas tan interesantes? ¿Y algebraicas?
Si desarrollamos una teoría de cálculo diferencial para cuerpos conmutativos provistos de una métrica cualesquiera ¿en qué nos fallaría el hecho de que dicho cuerpo K no fuese espacio vectorial para conseguir propiedades anaíticas incluso más interesantes?

Bonitos complejos, nunca dejarán de sorprenderme...

Un saludo.

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De oposición y olimpíadas / Problema difícil
« en: 28 Octubre, 2007, 04:44 pm »
Hola a todos.

En una prueba de matemáticas, tuve que hacer (pero no me salió) el siguiente problema. Lo publico aquí porque aparentemente debería hacerse después de un rato pero no sé como hacerlo:

Sea \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R^+}} \) contínua y T-periódica:
Demostrar que \( \forall{\alpha}\in{\mathbb{R}} \),
\(
\displaystyle\int_{0}^{T}\displaystyle\frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx\geq{T} \)

¡Gracias y un saludo!

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Matemática Aplicada / Acerca de los borelianos
« en: 26 Septiembre, 2007, 02:15 am »
Buenas noches.

En clase de probabilidad nos han definido los borelianos como el subconjunto de P(R) que es la sigma-álgebra de boole engendrada por un intervalo cualquiera (salvo el total). Nos han dicho que los elementos que no son borelianos de P(R) son verdaderos monstruos que no se pueden describir. Como no es una clase de teoría de la medida muy exhaustiva o de conjuntos (no sé en qué encaja esto), no hemos profundizado más en el tema. ¿He de tomarme esto al pie de la letra, y pensar que dichos conjuntos no pueden ser caracterizados de ninguna manera?

Gracias.Y un saludo a todos.

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Libros / Libro de formas diferenciales
« en: 12 Septiembre, 2007, 09:45 pm »
¡Buenos días!

Estoy buscando un libro que me puedan aconsejar sobre formas diferenciales. Me gustaría que fuese claro, progresivo, general, riguroso pero también manejable y completo (de estos que si hay varias maneras de ver las cosas, te dan las dos si es preciso jeje).
Les agradecería mucho si pudiesen aconsejarme.

¡Un saludo!

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Estructuras algebraicas / Algunas demostraciones.
« en: 19 Abril, 2007, 06:54 pm »
Antes estaba asustado con los grupos... claro, no había empezado con anillos.
Bueno, lo que quería decirles. Tengo algunas demostraciones de estas que "se dejan como ejercicio" que no me salen. Algunas sí, pero en estas, no sé por qué, me atasco. Ahí van:
1. \( I\subseteq{A} \Longleftrightarrow{I} \) contiene algún elemento invertible. Una implicación,la otra es trivial.
2. Si R es una relación de equivalencia compatible con las operaciones, existe un ideal del que R sea relación asociada a él. (la profesora dijo que era trivial, yo, no lo veo  :()
3. Teorema de la división entera para \( \mathbb{Z}[i] \).
4. \( \mathbb{Z}[\sqrt[ ]{2}]^*=\left{{u^k|k\in{\mathbb{Z}}, u = 1+\sqrt[2]{2}}\right} \)

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Teoría de números / Números de Carmichael
« en: 22 Marzo, 2007, 02:47 pm »
Este es uno de los problemas que han salido en mi examen de computación algebraica. Me gustaría que me ayudaran a resolverlo porque no me ha salido y me tiene intrigado.

Los números de Carmichael se definen como los números no primos que verifican el test de Fermat. Demostrar que si n es de Carmichael, no puede expresarse como p^d con p primo.

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Estructuras algebraicas / Problemas que me traen de cabeza
« en: 19 Marzo, 2007, 12:59 am »
Me parece que voy a volver a empezar a frecuentar este foro por culpa de una asignatura que me está empezando a traer de cabeza. Se llama computación algebraica pero ni idea de por qué se llama así...
El temario incluye: Aritmética básica, Grupos, Anillos, Polinomios y cuerpos finitos y series formales de potencias, pero así como es muy bonita, los problemas me resultan imposibles. Resolverlos es como intentar andar entre nubes: no sabes si lo que has hecho está bien, no tienes ninguna idea intuitiva de lo que pasa, no sabes si cuando estás resolviendo un problema lo estás simplificando o engrosando (el típico: "vale, si demuestro esto ya lo tendré", pero eso es mucho más difícil, o peor aún, llevas media hora y eso es lo del principio  ;D).

En fin, que me parece que llega una época para retomar este foro con mi sinfín de dudas. Dos para empezar.

G es un grupo finito de orden \( p^2 \) con p primo. Demostrar que es abeliano (Ni idea, he probado con todo, incluso con artillería de isomorfia y nada).

G es cíclico de orden n. Y todos sus elementos tienen orden 2. Demostrar que es abeliano (hecho) y que su orden es una potencia de 2. (Hecho chapuceramente).

He intentado por inducción, pero no se si es muy "legal" lo que he hecho (caminando entre nubes...). Para  n = 2 es claro. Si n>2, entonces si G es el grupo que teníamos antes (esto es lo que me saco un poco de la manga), añadiendo a G el nuevo elemento y estamos haciendo que \( |G'|= |G|.ord_G_' (y) \) pero como \( ord_G_' (y) = 2 \), pues ya lo tenemos. Como véis, es totalmente intuitivo y chapucero, si es algo así, ayudenme a formalizarlo, si no, échenme alguna mano de por donde buscar...

¡Saludos y hasta pronto!

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Cálculo 1 variable / Límites inalcanzables
« en: 02 Marzo, 2007, 01:10 am »
Una duda, que empieza a ser existencial jajaja.

¿¿¡¡Cómo demonios se resuelven de manera sistemática límites de funciones de varias variables!!??

Hemos aprendido séis métodos para demostrar que el límite no existe (direccionales, acercamiento por sucesión, reiterados), pero resolver indeterminaciones en el caso general es un verdadero misterio, si no te puedes sacar cosas de la manga como podría ser descomponer la funcion en el roducto de una acotada y una que tiende a 0, hacer trapicheos con la norma, o, en poquísimos casos, cambiar a coordenadas polares.


No.... me resisto a pensar que únicamente puede hacerse por la definición...

¡Un saludo, mi olvidado foro!

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Este post es simplemente para comentar alguna cosilla.

Llevamos una semana demostrando este teorema y aún no hemos terminado, no me quiero ni imaginar como será el segundo... En serio, había visto teoremas más o menos difíciles, pero ninguno tan elaborado como éste, que parece eterno. Es curioso que a pesar de ser álgebra lineal, entran conceptos de aritmética (teorema de Gauss, identidad de Bezout) y de polinomios... En fin, hoy he descubierto que lo que estoy dando ya no es ninguna tontada...

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