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Temas - Juan Pablo Sancho

Páginas: [1] 2
1
Libros / Libros de matemáticas
« en: 22 Mayo, 2020, 12:16 am »
Seguro está :
Libros de matemáticas
Y muchos más libros.

4
Editado
Pongo este ejercicio que me gusto:

\( \displaystyle {n \choose 1} - {n \choose 3} + {n \choose 5} - {n \choose 7} + \cdots  = (\sqrt{2})^n \cdot \sen(\dfrac{n \cdot \pi}{4})  \)

Pista:

\(  (1+i)^n = (\sqrt{2})^n \cdot (cos(\dfrac{\pi}{4}) + i \cdot sen(\dfrac{\pi}{4}))^n = (\sqrt{2})^n \cdot (\cos(\dfrac{n \cdot \pi}{4}) + i \cdot \sen(\dfrac{n \cdot \pi}{4}))  \)

De donde también se saca:

\( \displaystyle {n \choose 0} - {n \choose 2} + {n \choose 4} - {n \choose 6} + \cdots  = (\sqrt{2})^n \cdot \cos(\dfrac{n \cdot \pi}{4})  \)

5
Teoría de números / Ejercicio sobre la indicatriz de Euler.
« en: 18 Enero, 2018, 09:09 pm »
Para una revisión:

\( \displaystyle \varphi(n) = n \cdot \prod_{p|n} (1-\dfrac{1}{p})  \) donde los \(  p  \) son los primos diferentes que dividen \( n \).

Sea \(  \varphi  \) la función indicatriz de Euler demostrar que:

Si \(  a|b  \) entonces \( \varphi(a)|\varphi(b)  \) donde  \( d = mcd(a,c)  \)

Sea \( b= ac \) Entonces:

\( \displaystyle \varphi(b) = ac\cdot \prod_{p|a} (1-\dfrac{1}{p}) \cdot \prod_{p|(c/d)} (1-\dfrac{1}{p}) =  \varphi(a) \cdot  c \prod_{p|(c/d)} (1-\dfrac{1}{p})  \)

Saludos.


Editado

Falta decir que en este caso \( a,b \in \mathbb{N}  \)

Si \( c = 1  \) entonces \( \varphi(b) = \varphi(a) = \varphi(a) \cdot 1  \)

Editado

La indicatriz de Euler se define como:

\( \varphi(1)=1  \)

Si \(  n > 1  \) entonces \( \varphi(n)  \) es el número de primos relativos con \( n  \) y menores que \( n \)

\( \varphi(3) = 2  \) .

\( \varphi(6) = 2  \) por ser \(  mcd(1,6) = mcd(5,6)=1  \)

7
Cálculo 1 variable / Continuidad uniforme
« en: 23 Septiembre, 2017, 10:05 pm »
Otro teorema de funciones continuas.

Sea \(  f  \) continua en \( [a,b] \) entonces es uniformemente continua.

Supongamos que no es uniformemente continua, entonces :

Existe un \( \epsilon > 0 \) tal que para todo \(  \delta > 0  \) existen \( x,y \in [a,b]  \) con \( |x-y| < \delta  \) y \(  |f(x) - f(y)| \geq \epsilon  \)

Entonces dado:

\(  \epsilon > 0  \)

Existe \( \delta_1 = 1 \) tal que \( |x_1-y_1| < \delta_1  \) y \(  |f(x_1)-f(y_1)| \geq \epsilon  \)

Existe \( \delta_2 = \dfrac{1}{2}  \) tal que \( |x_2-y_2| < \delta_2  \) y \(  |f(x_2)-f(y_2)| \geq \epsilon  \)

Existe \( \delta_3 = \dfrac{1}{3}  \) tal que \( |x_3-y_3| < \delta_3  \) y \(  |f(x_2)-f(y_2)| \geq \epsilon  \)

Inductivamente para \( n \geq 1  \) existirá un \( \delta_n = \dfrac{1}{n}  \) verificando :


\( |x_n-y_n| < \delta_n  \) y \(  |f(x_n)-f(y_n)| \geq \epsilon  \)

Sea la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) entonces por estar acotada tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)

Sea \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \Phi  \)

Esto obliga a que:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \Phi  \)

Por ser:

\( |y_{k_n} - \Phi| \leq |y_{k_n} - x_{k_n}| + |x_{k_n} - \Phi|  \)

Como \(  f  \) continua en \(  \Phi  \) tenemos que dado \( \epsilon > 0  \):

Existe un \(  n_1 \in \mathbb{N}   \) tal que si \( n \geq n_1  \) entonces \( |f(x_{k_n}) - f(\Phi)| < \dfrac{\epsilon}{2}  \)

Existe un \(  n_2 \in \mathbb{N}   \) tal que si \( n \geq n_2  \) entonces \( |f(y_{k_n}) - f(\Phi)| < \dfrac{\epsilon}{2}  \)

Sea :

\(  n_0 = max (n_1,n_2)  \)


Entonces si \(  n \geq n_0  \) entonces:

\( |f(x_{k_n}) - f(y_{k_n})| \leq |f(x_{k_n}) - f(\Phi)| + |f(\Phi) -  f(y_{k_n})| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon  \)


Esta demostración o muy parecida la vi en un libro de varias variables (si hay algún error con probabilidad \( 1 \) es mío) me gusto y así intente sacar las dos primeras demostraciones sobre continuidad del otro hilo.



8
Cálculo 1 variable / Dos demostraciones sobre continuidad.
« en: 20 Septiembre, 2017, 06:50 pm »
\( f \in C([a,b])  \) entonces acotada.

Spoiler
Supongamos que \( f \) es continua en\( [a,b] \) pero no está acotada (por ejemplo superiormente).

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

Supongamos que para \( k=n\geq 1 \) tenemos que existe  \( x_n \) con \( f(x_n) > n  \)

Entonces para \(  A = n+1  \) existirá un \( x_{n+1} \) con \( f(x_{n+1}) > n+1  \) si esto no sucediera entonces sería acotada por \( n+1 \) en contra de las hipótesis.

Sea \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la sucesión así generada, como \(  a\leq x_n\leq b  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces acotada, tiene en consecuencia una sucesión convergente, \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta \in [a,b]  \)

Tomemos entonces \( n_{\eta} = |\lfloor f(\eta) \rfloor| + 2  \):

1.) si \(  n \geq n_{\eta}  \) entonces \( |f(x_{k_n}) - f(\eta)| > |k_n - f(\eta)| \geq |n - f(\eta)| \geq 2  \)

2.) \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta  \)

Entonces \( f \) no es continua en \( \eta \)

Entonces \( f  \) acotada en \( [a,b]  \)

[cerrar]

\( f \in C([a,b])  \) entonces abarca el máximo y el mínimo.

Spoiler
Veamos por ejemplo que abarca el máximo.

Hemos probado que la función está acotada, sea \(  M = sup \ \ \{f(x) |  x  \in [a,b]\}  \)

Entonces dado:

\(  \epsilon = 1  \) existe \( x_1  \) con \( M - 1 < f(x_1) \leq M  \)

\(  \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) existe \( x_2  \) con \( M - \dfrac{1}{2} < f(x_2) \leq M  \)

Inductivamente se tiene \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) de la cual se puede extraer una subsucesión convergente.

Sea \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty} \) esta subsucesión y \( \theta \) su límite.

Por un lado :

1.) \(  M - f(x_{k_n}) = |M - f(x_{k_n})| < \dfrac{1}{k_n} < \dfrac{1}{n}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = M  \)

2.)Por ser \( f \) continua tenemos \(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n}) = f(\theta)  \)

De uno y dos \( M = f(\theta)  \)
[cerrar]



 

9
Esquemas de demostración - Inducción / Irracionalidad de \(\sqrt{21}\)
« en: 09 Septiembre, 2017, 07:27 pm »
Pongo esto que he visto por ahí (aunque en ese libro era la irracionalidad de \( \sqrt{3} \)) :

Prueba de la irracionalidad de \( \sqrt{21} \)

Supongamos que \( \sqrt{21} \in \mathbb{Q} \) entonces existen \( m_0,n_0 \in \mathbb{N} \)

verificando:

\( \sqrt{21} = \dfrac{m_0}{n_0} \) como \( 4^2 < 21 < 5^2 \) tenemos:

\( 4 < \dfrac{m_0}{n_0} < 5  \) entonces \( 4 \cdot n_0 < m_0 < 5 \cdot n_0 \)

restando \(  4 \cdot n_0  \) queda:\( 0 < m_0 - 4 \cdot n_0 < n_0 \)

Sea ahora la siguiente igualdad:

\( \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{21}-4} =\dfrac{\sqrt{21}+4}{5} \)

\( \displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{m_0}{n_0}-4} =\dfrac{\sqrt{21}+4}{5} \)

\( \displaystyle \dfrac{5 \cdot n_0}{ m_0 - 4 \cdot n_0} = \sqrt{21}+4 \)

\( \displaystyle \dfrac{5 \cdot n_0}{ m_0 - 4 \cdot n_0} -4 = \sqrt{21} \)

\( \displaystyle \dfrac{5 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 + 16 \cdot n_0}{ m_0 - 4 \cdot n_0}   = \sqrt{21} \)

\( \displaystyle \dfrac{21 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 }{ m_0 - 4 \cdot n_0}   = \sqrt{21} \)

Por ser \( m_0 - 4 \cdot n_0>0  \) y \( \sqrt{21}> 0 \) lo es \( 21 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 > 0 \) por si no se quiere hacer las cuentas.

Definamos ahora \( m_1 = 21 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 \) y \( n_1 = m_0 - 4 \cdot n_0 < n_0 \)

Si hacemos las cuentas vuelve a pasar lo mismo, entonces por inducción podemos construir la sucesión \( \{n_p\}_{p=\color{red}0\color{black}}^{+\infty} \) de naturales estrictamente decreciente, hemos encontrado un subconjunto de los naturales no vacío que no cumple el principio del buen orden.

10
Libros / Libros científicos
« en: 04 Septiembre, 2017, 11:25 pm »
Por si no están en el foro:

http://www.cienciamatematica.com/libros_gratis.html

Si hay alguno ilegal lo desintegráis a la velocidad de la luz. 

12
Foro general / Otro documental de matemáticas
« en: 15 Marzo, 2017, 04:44 am »

13
Ejercicios - Exámenes - Apuntes / Web dedicada a la topología.
« en: 10 Febrero, 2017, 10:22 pm »
Una web sobre topología está bastante llena de exámenes y material en general:

Topología

14
Docencia / Libros de instituto de matemáticas
« en: 24 Noviembre, 2016, 11:27 am »

16
Cálculo 1 variable / Ejercicio de sumatorio
« en: 14 Enero, 2016, 06:33 am »
Sacado del Spivak un ejercicio que me ha gustado (El enunciado dice):

Si \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n  \) converge, entonces las sumas parciales \( s_n \) son acotadas y \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 0  \).

Se está tentado a conjeturar que la acotación de las sumas parciales , junto con la condición \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 0  \), implica la convergencia de \(  \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n  \).

Esto no es verdad.

Mi contraejemplo:

Spoiler

\(  a_1 = 1  \)

\(  a_2 = a_3 = \dfrac{-1}{2}  \)

\(  a_4 = a_5 = a_6 = a_7 = \dfrac{1}{4}  \)

...................

Esta sucesión así definida tiene límite cero y sus sumas parciales acotadas por uno y no es convergente.

Para \(  n \in [2^p,2^{p+1}-1]  \) se tiene \(  a_n = \dfrac{(-1)^p}{2^p}  \) donde \(  p \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \)

[cerrar]

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