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Temas - luis

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1
Hola,

estoy intentando leer "A Course in the Theory of Groups" de Derek Robinson. Me encuentro complicado con el Teorema 1.3.5; ¿podrían explicarme el punto que no entiendo? En el resto del correo escribo unas definiciones necesarias para el planteo del teorema, el enunciado del teorema y señalo la parte que no alcanzo a entender. Luego, copio el fragmento original en inglés. Finalmente, coloco dos probables lecturas de la prueba, ninguna de las cuales comprendo.

Def.1. \( T \) es un recorrido de \( H \) en \( G \) (\( T \) is a left transversal to \( H \) in \( G \)). \( T \) es un conjunto de representantes de los cosets izquierdos de \( H \). (La palabra recorrido la uso en mi traducción casera; desconozco el término que usan en español.)

Def.2. \( TU = \{tu : t \in T \text{ y } u \in U\} \)

Teorema 1.3.5. Sea \( G \) un grupo, \( H \) un subgrupo de \( G \), y \( K \) un subgrupo de \( H \). Sea \( T \) un recorrido de \( H \) en \( G \), y \( U \) un recorrido de \( K \) en \( H \). Entonces, \( TU \) es un recorrido de \( K \) en \( G \).

Parte de la prueba intenta mostrar que
   si \( tuK = t'u'K \), entonces \( tu = t'u' \),
y es la parte que no entiendo.
El texto original dice lo siguiente.

"It remains to show that all the cosets \( tuK \) are distinct. Suppose that \( tuK = t'u'K \) where \( t,t' \in T \) and \( u,u' \in U \): then \( t^{-1}t' \in H \) and \( tH = t'H \). Since \( T \) is a transversal, \( t = t' \); hence ..."

Una lectura posible es la siguiente:
\(
\begin{array}{l}
tuK = t'u'K \\
\Longrightarrow \text{(?)}\\
t^{-1}t' \in H \text{ y } tH = t'H \\
\Longrightarrow  \text{(definición de recorrido)} \\
t = t' \\
\end{array}
 \)

Otra lectura posible es la siguiente:
\(
\begin{array}{l}
tuK = t'u'K \\
\Longrightarrow \text{(?)}\\
t^{-1}t' \in H \\
\Longrightarrow \text{(propiedad de cosets)}\\
tH = t'H \\
\Longrightarrow \text{(definición de recorrido)}\\
t = t'
\end{array}
 \)

Si bien entiendo sin problemas \( tH  = t'H \Rightarrow t^{-1}t' \in H \), no alcanzo a entender \( tuK  = t'u'K \Rightarrow t^{-1}t' \in H \), ya que desconozco si \( uK  = u'K \) y, además, \( uK \) y \( u'K \) no son necesariamente grupos.

¿En qué estoy perdido?

saludos

luis


2
Docencia / Uso de términos: qué es una fórmula.
« en: 14 Junio, 2017, 06:14 pm »
Hola,

acabo de leer el hilo siguiente: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=96183.0

En el mismo, se pide una fórmula que resuelva un problema, y el_manco responde diciendo que no la hay, y ofreciendo una expresión que, a mi juicio, es efectivamente una fórmula. A menos, claro, que establezcamos que una fórmula solamente puede usar sumas, productos, u otras funciones preestablecidas.

Mi consulta es: cuando usan el término fórmula, acostumbran dar una definición del mismo, o lo usan informalmente?

Creo que en mi contexto usamos la expresión fórmula de forma ambigua, y no me parece mal. Pero quisiera escuchar otras opiniones.

saludos

luis

3
Estructuras algebraicas / subgrupos superfluos: definición
« en: 23 Marzo, 2016, 06:35 am »
Hola,

estoy comenzando a mirar "Abelian Groups", de Laszlo Fuchs, y encuentro la siguiente definición de subgrupo superfluo.

By a superfluous subgroup of a group \( A \) is meant a subgroup \( G \leq A \) such that \( X + G = A \) holds for a subgroup \( X \leq A \) only if \( X = A \).

Me costó entender la definición, y la reescribí:

\( G \leq_S A := G \leq A \text{ y } ((\forall X) \text{ si } X \leq A \text{ y } X + G = A \text{ entonces } X = A)) \)

Sin embargo, calculo que le estoy errando en mi interpretación. Hay dos cosas que me resultan sospechosas:

1. La definición tiene una aclaración: By a superfluous subgroup of a group ... only if \( X = A \), i.e. the elements of \( G \) are superfluous in any generating system. Pero no me aclara mucho.

2. Afirma Evidently, [...] the sum of two superfluous subgroups is again superfluous. Pero aún no consigo verlo.

¿Cómo justificarían 2?

saludos



4
Docencia / Escritura y cuantificadores
« en: 19 Septiembre, 2014, 01:13 pm »
Estimados,

acabo de leer en un hilo la siguiente oración:

\( f:R\to R \) está acotada si existe \( M>0 \) tal que \( |f(x)|\leq M \) para todo \( x\in R \)

yo intento evitar esa cuantificación a izquierda y a derecha, y escribir colocando las cuantificaciones siempre a la izquierda. En este caso,

\( f:R\to R \) está acotada si existe \( M>0 \) tal que, para todo \( x\in R \), \( |f(x)|\leq M \)

lo que intento hacer es evitar que la primera oración se interprete como
\( (\forall x : x\in R : (\exists M : M > 0 : |f(x)| \leq M)) \) en lugar de \( (\exists M : M > 0 : (\forall x : x\in R : |f(x)| \leq M)) \).

en lo personal, he detectado varios casos en que la cuantificación a la derecha se agrega luego, intentando aclarar el uso de algunas variables, pero volviendo ambigua la escritura.

en fin, quisiera conocer otras opiniones acerca de esto.

saludos

Luis

5

(aviso al lector: es un post extremadamente largo. la preocupación principal que tengo no es un problema matemático, sino cómo exponerlo)

hola,

hace unos días, en un lugar del foro que no pude volver a encontrar, se pedía ayuda para resolver el siguiente problema:

Muestre que \( \forall a \forall b :: a!b! \leq (a+b)! \)

La respuesta que se le proponía era, creo, la siguiente (mis preguntas serán independientes de si era esta la prueba o no; pero no lo es de la prueba que escribo a continuación):
\(
\begin{array}{l}
a!b! \leq (a+b)! \\
\Longleftrightarrow \text{aritmetica}\\
1 \leq \frac{(a+b)!}{a!b!} \\
\Longleftrightarrow \text{Justificacion A}\\
1 \leq {{a+b} \choose a},
\end{array}
 \)
y esto último vale por alguna Justificación B.

Me pregunto entonces por las justificaciones. Asiduo lector de la wikipedia, para bien o mal, encuentro tres definiciones de coeficiente binomial.

la primera de ellas es la "Definición combinatoria": "El coeficiente binomial \( {n \choose k} \) es el número de subconjuntos de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos." con esta definición, la prueba usa:

justA: una justificación de que \( {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \), y

justB: una justificación de que el número de subconjuntos de a elementos escogidos de un conjunto con a+b elementos es mayor que cero

no tengo problemas con la justB, pero no creo que la justA suela realizarse (no solamente en la prueba, sino en general).

la segunda de ellas es la "Definición algebraica": "El coeficiente binomial \( {n \choose k} \) está dado por la fórmula \( {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}} \)." con esta definición, la prueba usa:

justA: la definición algebraica, y

justB: una justificación de que \( 1 \leq {\frac {(a+b)!}{a!b!}} \)

no tengo problemas con la justA, pero la justB es simplemente el problema original con una mínima transformación algebraica. la prueba no parece probar nada.

la tercera de ellas es la "Definición recursiva": \( {{n+1}\choose{k+1}} = {n \choose k} + {n \choose {k+1}}, {n \choose 0} = 1, {0 \choose {k+1}} = 1 \) (donde cambié un poquito los números usados, pero es esencialmente la misma que la de la wikipedia). con esta definición, la prueba usa:

justA: una justificación de que \( {\frac {(a+b)!}{a!b!}} = {{a+b} \choose a} \). esta prueba la plantearía inductivamente, y tendría la siguiente forma: voy a probar la propiedad \( Q(a) \) para todo natural \( a \), donde la propiedad es: \( Q(a) := \forall b :: {\frac {(a+b)!}{a!b!}} = {{a+b} \choose a} \)

El caso básico es probar \( Q(0) \). Tomo \( n \) arbitrario.
\(
\begin{array}{l}
{\frac {(0+n)!}{0!n!}} = {{0+n} \choose 0} \\
\Longleftrightarrow \\
{\frac {n!}{n!}} = {{n} \choose 0} \\
\Longleftrightarrow \\
1 = 1,
\end{array}
 \)
y esto último vale.

Ahora, el caso inductivo. La HI es \( \forall b :: {\frac {(a+b)!}{a!b!}} = {{a+b} \choose a} \). Tomo \( n \) arbitrario. Luego, ...
bueno, en este caso la prueba se hace un poco larga y me parece necesario dar algún lema (también a probar por inducción).

justB: una justificación de que \( 1 \leq {{a+b} \choose a} \). en este caso, una inducción sobre \( a \) resuelve rápidamente el tema.

Por otro lado, puedo presentar una prueba inductiva del mismo hecho: voy a probar la propiedad \( P(a) \) para todo natural \( a \), donde la propiedad es: \( P(a) := \forall b :: a!b! \leq (a+b)! \)

El caso básico es probar \( P(0) \). Tomo \( n \) arbitrario. Luego,
\(
\begin{array}{l}
0! \times n! \leq (0 + n)! \\
\Longleftrightarrow \\
1 \times  n! \leq n! \\
\Longleftrightarrow \\
n! \leq n!,
\end{array}
 \)
y esto último es obvio.

Ahora, el caso inductivo. La HI es \( \forall b :: a!b! \leq (a+b)! \). Tomo \( n \) arbitrario. Luego,
\(
\begin{array}{l}
(a+1)!n! \leq (a+1+n)! \\
\Longleftrightarrow \\
(a+1)\times a!n! \leq (a+1+n) \times (a+n)! \\
\Longleftarrow \\
a!n! \leq (a+n)!,
\end{array}
 \)
y esto último es precisamente la HI.

mis preguntas son ...

0. ¿alguien puede pasarme el enlace a la pregunta que disparó este desvarío?
1. ¿hay alguna definición de coeficiente binomial "dominante"?
2. si no la hay, las pruebas que hablan de ello, ¿no deberían explicitar a cuál definición hacen referencia?
3. ¿hay dificultades en las cosas que he mencionado, o simplemente estoy muy quisquilloso?
4. ¿pueden comparar, en el sentido de elegancia, claridad, explicación, o lo que sea la prueba que prefieran que usa la definición de coeficiente binomial con la inductiva que usa la definición de factorial?
5. por supuesto, también puede ser que mi prueba inicial (con las justificaciones en suspenso) fuera un disparate, ¿lo es?
6. en particular, ¿cómo ven esta situación que planteo si nuestra preocupación fuera enseñar a argumentar matemáticamente?
7. finalmente... ¿se les ocurre alguna otra forma de plantear el problema?

en fin, gracias por su ayuda

saludos

luis, en busca de entender inducción y su (no) uso


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