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Temas - Numerarius

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Foro general / Porcentajes
« en: 18 Octubre, 2009, 08:21 pm »
(No sabía donde poner el mensaje. Si lo creéis oportuno podéis trasladarlo a otro lugar como, por ejemplo, a CONSULTAS . SECUNDARIA)

Mi duda es sobre el uso de los porcentajes.

(A) Si yo tengo 100 coca colas y me bebo 50, yo diría que, tengo un 50% menos de coca colas.

Sin embargo, he oído en algunos programas de radio, principalmente a economistas decir,

(B) "Tenía 100 coca colas, y he bebido 50, luego, tengo un 100% menos de coca colas".

Esto no hay ningún problema para entenderlo. En (A) calculo el porcentaje a partir de las coca colas que tenía al principio, y en (B) a partir de las coca colas que me quedan.

El caso es que, como digo, me ha sorprendido encontrar en los medios de comunicación a economistas que utilizan (B). No sé si soy yo el equivocado.O si los economistas utilizan (A) ó (B) según les conviene para inflar cifras o devaluarlas.

Un saludo, y gracias de antemano.  ;D

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Lógica / Teorema de Gödel
« en: 02 Junio, 2009, 10:58 pm »
Hablo este hilo para hablar sobre el teorema de Gödel.

Bueno. No sabía como empezar. Russell descubrió una paradoja en la teoría de conjuntos (ya saben, la del conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos). (Las proposiciones que se refieren a sí mismas suelen ser paradójicas. Por ejemplo: "Esta proposición no habla sobre el teorema de Gödel" ó  "El menor número que no se puede definir con menos de 15 signos").

Russell escribió con Witehead los Principia Mathematica, para librar a la matemática de paradojas. El libro de Russell establecía una jerarquía de lenguajes, la teoría de tipos, para evitar las proposiciones autorreflexivas.

Sin embargo, Gödel encontró una proposición que era verdadera pero no era demostrable en el sistema. El sistema era incompleto. No contenía todas las verdades.

La proposición venía a decir "Esta proposición no es demostrable en el sistema" (es decir, recordaba a la paradoja de Russell). Para construir esta proposición, Gödel recurrió a la "numeración de Gödel" (ya veremos lo que era esto).

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Teoría de Conjuntos / Subconjuntos de N
« en: 29 Mayo, 2009, 03:07 pm »
El problema es el siguiente: Demostrar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de N es enumerable.

Primero, se me ocurrió: bueno, el conjunto Partes de N tiene la misma cardinalidad que los reales (es decir es no enumerable). Pero Partes de N incluye subconjuntos  infinitos. Por tanto, si sólo utilizamos subconjuntos de N finitos, el conjunto no puede ser no numerable. (Sé que este planteamiento no es riguroso).

Luego se me ocurrió que se podía construír, en primer lugar, todos los subconjuntos de 1 elemento, luego todos los subconjuntos de 2 elementos, luego todos los conjuntos de 3 elementos (ésta solución me parece aún peor que la otra: no se me ocurre la forma de demostrar que forman un conjunto enumerable).

¿A alguien se le ocurre cuál podría ser la solución?     

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Propuestos por todos / Problema de conjuntos
« en: 29 Mayo, 2009, 02:55 pm »
Proporcione ejemplos para mostrar que la intersección de dos conjuntos no numerables puede ser:

a. finita
b: infinita numerable
c: no numerable

(c) es trivial. y (a) es facillilo. (b) es un poco más difícil 

5
Propuestos por todos / Nuevo enigma lógico
« en: 10 Marzo, 2009, 07:35 pm »
Tenemos una isla donde hay caballeros (que siempre dicen la verdad) y escuderos (que siempre mienten).

Hay tres personas, A, B y C. A y B dicen lo siguiente:

A: Todos nosotros somos escuderos.
B: Uno de nosotros, y sólo uno, es caballero.

¿Qué son A, B, C?

6
Propuestos por todos / Problemilla de lógica
« en: 10 Marzo, 2009, 04:51 pm »
En una isla hay caballeros (que siempre dicen la verdad) y escuderos (que siempre mienten).

Según este viejo problema, tres de los habitantes (A, B, y C) se encontraban en un jardín. Un extranjero pasó por allí y le preguntó a A "¿Eres caballero o escudero?". A respondió, pero tan confusamente, que el extranjero no pudo enterarse de lo que decía. Entonces el Extranjero preguntó a B: "¿Qué ha dicho A?". Y B le respondió: "Ha dicho que es escudero". Pero en este instante, el tercer hombre, C, dijo:"¡No creas a B, que está mintiendo!"

La pregunta es: ¿qué son B y C?

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Temas de Física / ¿Podrá la humanidad colonizar otros planetas?
« en: 29 Septiembre, 2008, 12:08 am »
Es una cosa que le he leído a Hawking varias veces. Que, como el desarrollo económico y político actual puede llevarnos a la extinción (superpoblación, misiles nucleares, etc.) la humanidad se salvará colonizando otros planetas.

Teniendo en cuenta que la estrella más cercana está a 4 años luz, veo complicado que colonicemos otros planetas.

Bien. Preveo una objeción: "Si una nave terrestre viaja a una velocidad próxima a la velocidad de la luz, para los navegantes espaciales el tiempo pasará mucho más lento que para la gente que nos quedamos quietos en la tierra".

Vale, el "tiempo propio" de los navegantes espaciales pasará mucho más despacio.

Vale, ahora decidme qué combustible, qué energía, qué máquina puede hacer viajar a un objeto con tanta masa como una nave espacial a una velocidad próxima a la velocidad de la luz.  ;D


8
Libros / Nueva colección de matemática recreativa
« en: 05 Septiembre, 2008, 08:27 pm »
Hola,amigos.

Quería comentaros que (en España) ha salido una colección de libros de matemática recreativa.

La colección se llama "Desafíos Matemáticos". Es de editorial RBA, y sacan un libro cada semana. El primero valía 4 euros, pero los números siguentes supongo que valdrán unos 10 ó 12 euros.

El año pasado ya salió esta colección, y yo me compré algunos libros, dos de ellos especialmente interesantes ("Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas" de Martin Gardner y "¿Cómo se llama este libro?" de Raymond Smullyan (hace meses se los dejé a un amigo, estudiante de mates, que los ojeó y le parecieron interesantes)

Este año, el primer número que ha salido es "El prodigio de los números" (a mi juicio está bien, aunque no tanto como los dos anteriormente nombrados).

Me parece que la colección esta bien para aficionados a las mates, e incluso para estudiantes o graduados de carreras de ciencias (siempre que les quede algo de tiempo y no estén saturados de matemáticas). ;D

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Docencia / Divulgación
« en: 22 Julio, 2008, 04:23 pm »
Hace dos días estaba aburrido y encendí la tele. Sorprendentemente ¡en La 2 echaban un programa de divulgación científica!

El caso es que el programa se llamaba "3,14" (no sé qué tiene de particular la fracción 314/100).

El tema es que, dentro de un reportaje bastante interesante y escéptico sobre los extraterrestres, hacían la afirmación: "Si existen extraterrestres sus matemáticas serán muy similares a las nuestras". Hasta aquí muy bien. Pero luego decían: "Para los extraterrestres Pi será 3,14".

¡Por favor! ¡Si los extraterrestres dan una aproximación racional de Pi tan pobre, dudo mucho que tengan la tecnología suficiente como para descifrar nuestros mesajes!

En fin, sé que en la divulgación tratan de acercar la ciencia a la gente, pero si no pueden explicar que Pi es un irracional, por favor,que hablen de otra cosa.

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Teoría de Conjuntos / ¿Cantor podría estar equivocado?
« en: 29 Abril, 2008, 02:11 am »
Llamemos N al conjunto de los naturales.

N puede tener un número finito de elementos o bien uno infinito.

Se acepta comunmente que N tiene un número de elementos infinito.

Ahora bien, si en N sólo caben números con una expresión decimal finita (con un número de cifras finito), entonces N es finito.

Pero N no puede ser finito. Por tanto, en N deben existir números con un número de cifras infinito.

Pero entonces existiría una aplicación biyectiva entre N y 2^N, y por tanto entre N y R.

(No veo dónde está el error de este razonamiento, aunque, sin duda, debe estar en algun lado).

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Foro general / Ningún matemático en el top 100 de intelectuales
« en: 27 Abril, 2008, 07:17 pm »
http://www.infoplease.com/spot/topintellectuals.html

Bueno, es curioso que en un top 100 de intelectuales que ha hecho la revista "Foreing Policy", hay una alarmante falta de científicos (entendido por científicos los de las "ciencias duras",las ciencias naturales y las matemáticas, y no los de las tradicionalmente llamadas "ciencias del espíritu").

Si bien el biólogo Dawkins ocupa el puesto 3, hay que saltar hasta el puesto 25 para encontrar un físico. En la lista no hay un sólo matemático, si bien hay un experto en computadores.   

Desde luego, la ciencia tiene importancia, aunque no llegue al publico. Si la ciencia fuera democrática seguríamos en el paradigma de la Tierra Plana.

De todos modos, a mí lo que me sorprende es que los diversos popes de las diversas religiones tengan más público que los físicos o los matemáticos.

¿No habría que hacer un esfuerzo para divulgar la ciencia?

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He estado reflexionando en mi blog sobre las máquinas de Turing y el infinito. Esto es o que se me ha ocurrido:

Existen conjuntos de números que nunca podrán ser generados por una máquina de Turing. Por ejemplo, los subconjuntos de N. El conjunto Partes de N es no numerable mientras que el conjunto de funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo, numerable.

Existen funciones que nunca podremos calcular, por muy avanzados que sean los computadores que usemos.

Las funciones que pueden imaginarse son funciones de N^m a N^n. Ahora bien, imaginemos todas las funciones de N a {0,1}. Es evidente que son menores que las funciones de N^m a N^n.

Para cada subconjunto de N hay una función característica:

f(n)=1 si n pertenece a X
f(n)=0 si n no pertenece a X.

Pero los subconjuntos de N forman un conjunto no numerable. Y el conjunto de las funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo numerable.  Por tanto, existen funciones que no pueden ser computables.
 
Por último, existen números reales que nunca podremos generar mediante máquinas de Turing. Veamos, un número real como Pi es computable si existe una máquina de Turing tal que cuando el input es 0 genera la parte entera del número, cuando el input es 1 genera la primera cifra decimal del número, cuando el input es 2 genera la segunda cifra decimal del número, etc. Bien, pues como el número de máquinas de Turing es, a lo sumo, numerable, existen infinitos reales que no son computables.

Todas estas pruebas se basan en la teoría de los números transfinitos de Cantor. Uno de los problemas de la teoría de los números transfinitos es que no es falsable. Por ejemplo, nunca vamos a conseguir un número infinito numerable de máquinas de Turing. Por lo que nunca vamos a comprobar si las pruebas que usan números transfinitos son reales o son una fantasmagoría.
 

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Docencia / ¿Decadencia de la educación en España?
« en: 30 Mayo, 2007, 06:06 am »
Hay determinados intelectuales que afirman que la educación en España se ha deteriorado tanto que un universitario de hoy sabe menos que un bachiller de hace 30 años. ¿Es esto verdad? ¿Va España camino del desastre cultural? ¿Cuál ha sido la evolución de la educación superior en España? La respuesta en una nueva entrada de mi blog:

http://elbucleinfinito.blogspot.com/2007/05/la-poca-nefanda-que-nos-ha-tocado-vivir.html

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Propuestos por todos / Otro de fútbol
« en: 23 Abril, 2007, 10:44 am »
Athletic, Real Sociedad, Nastic, Celta y Levante están en los 5 últimos puestos de la liga española. De ellos, 2 se salvan y 3 descienden a 2ª división. Teniendo en cuenta que el Athletic y la Real Sociedad son equipos vascos, e imaginando (una idealización) que todos los equipos tienen las mismas probabilidades de salvarse o de condenarse, calcular:

a) ¿Cuáles son las probabilidades de que se salven los dos equipos vascos?

b) ¿Cuáles son las probabilidades de que se salve, al menos, un equipo vasco?

c) ¿Cuales son las probabilidades de que no se salve ningún equipo vasco?

(Este problema había pensado en ponerlo en la sección "docentes", porque estoy seguro que a los chavales les encantaría hacer en la escuela problemas de este estilo ;D)

15
Foro general / El infinito (reflexión de dilettante)
« en: 10 Abril, 2007, 03:27 am »
Hay una frase de Bertrand Russell que me ha llamado la atención: "el más pequeño de los números infinitos  es el límite de los enteros finitos, aunque todos ellos estén a una distancia infinita de ese límite".

Según eso, las definiciones de Cauchy y Weierstrass no sirven para demostrar que Aleph0 es el límite de los naturales.

Voy a intentar explicar cómo entiendo la afirmación de Russell. Cualquier sucesión finita de números naturales es una fracción infinitesimal del total del conjunto N. si yo escojo los 10, los 1000, los 1000000 primeros naturales, la cantidad de números que no he escogido es infinitamente mayor que los que he escogido.

Por poner un ejemplo. yo he hecho un programa para probar la conjetura de Goldbach. Bien, pues por muchos números que el ordenador recorra ¡sólo habrá recorrido una parte infinitesimal del conjunto N!

En ese sentido entiendo yo la afirmación de Russell de que Aleph0 está a una distancia infinita de todos los enteros finitos, pese a ser su límite.

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Foro general / Nuevo blog de matemáticas
« en: 01 Marzo, 2007, 08:24 am »
Bueno. Como se perdió mi mensaje, vuelvo a poner la dirección.

http://elbucleinfinito.blogspot.com/


17
Docencia / Una idea pedagógica
« en: 03 Enero, 2007, 06:51 am »
Creo que algunas leyes abstractas se pueden explicar de maneras intuitivas, geométricas. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la multiplicación.

El resultado 5·3=3·5 se puede ver con el siguiente dibujo:

            o o o o o
            o o o o o
            o o o o o

La propiedad conmutativa consiste en que, al girar este objeto 90º, sigue habiendo igual número de o´s. (Esto se puede mostrar también, por ejemplo, con latas de coca cola).

La propiedad de que 1 +3 +5 + 2n-1= n^2 se puede mostrar con la siguiente sucesión de figuras (que se pueden figurar, con latas de coca cola, de manera que formen verdaderos cuadrados):

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Naturalmente que (para probar este resultado) se necesita inducción. Pero eso puede llegar mucho más adelante. Lo esencial es despertar la curiosidad sobre las matemáticas. Las demostraciones pueden llegar en una etapa posterior.

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Cálculo 1 variable / Demostración
« en: 18 Septiembre, 2006, 08:53 pm »
¿Me podéis decir cuál es la demostración de que la derivada de e^x sea e^x?

Gracias.

19
He encontrado en un libro este problema.. Tengamos los números:

1,8, 27, 64, 125

¿cuanto vale la suma de los n primeros?

Se me ocurre que:

1^3 + 2^3 + 3^3=              36 (=6^2)
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3=   100(=10^2).

Si suponemos que:

1^3 + 2^3...+ n^3 = (1 + 2 ...+n)^2

Entonces debería darse que:

1^3 + 2^3...+n^3 + (n+1)^3 = (1 +2...+(n +1))^2

Por tanto, sustituyendo:

(1+ 2... +n)^2 + (n+1)^3 = (1 + 2...+ (n + 1))^2

A partir de aquí no sé cómo seguir, aunque supongo que es aplicando binomio de Newton.

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Foro general / Otro problema sobre el infinito
« en: 24 Junio, 2006, 08:36 pm »
En otro post comenté que me parecía difícil encontrar una definición explícita de un número real no computable.

He encontrado lo siguiente en una tesis de informática:

Pensemos en un número A donde A=0,666… es definido como sigue: El dígito i-ésimo de A es 6, si en el dígito i-ésimo del desarrollo decimal de Pi no comienza una secuencia de diez cincos consecutivos, y es  7 en caso contrario.

Sea B =0,333…definido como sigue: El dígito i-ésimo de B es 3, si en el dígito i-ésimo del desarrollo decimal de Pi no comienza una secuencia de diez sietes consecutivos, y es  2 en caso contrario.

Ahora viene lo bueno. Aunque A y B son computables, A+ B no lo es; de hecho no tenemos ni idea, ni siquiera de cuál es el primer dígito  de A+ B.

Yo creo que si A+B no es computable es porque habría que recorrer toda la expresión decimal de A y de B para decidir si el número A +B es igual a
0,99999....99999... así infinitamente (y por tanto a 1), o bien no es igual a 1.

Por tanto, para saber cual es el primer dígito de A+B, deberíamos saber cual es el último dígito de A y el último dígito de B.

¿Estoy en lo cierto? ¿Se os ocurre alguna otra sugerencia?

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