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Temas - specu

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Lógica / Duda respecto de un axioma
« en: 25 Junio, 2012, 04:04 pm »
Se ha hablado de la "intuición como fuente de afirmaciones" en relación a axiomas (en este hilo http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,58490.0.html).

Y entonces recordé un axioma que justamente me había dejado, al leerlo, en la duda respecto de lo que se afirmaba en él, que encontré en el libro de Carlos Ivorra "Lógica y teoría de conjuntos". Es el siguiente:

\( \forall{x_i}(x_i = t \rightarrow{\alpha})\Longleftrightarrow{S^t_x_i \alpha}  \)  si \( x_i \) no está libre en \( t \)

A ver si me explico un poco. En el caso de:

\( \forall{x_i}\alpha \rightarrow{}S^t_x_i \alpha  \)

parece claro que el sentido es que si una fórmula es verdadera de cualquier objeto, entonces lo es de alguno en particular. ¿Cuál es el sentido, entonces, del axioma mencionado?

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Lógica / El único objeto idéntico a sí mismo es igual a z
« en: 21 Mayo, 2012, 04:03 am »
Partiendo de la oración "es falso que el único objeto que es idéntico a sí mismo es igual a z", y considerando la forma de las Descripciones definidas:

\( \exists{x}(Sx \wedge \forall{y}(Sy \rightarrow{}y = x) \wedge Px) \)

Donde 'S' es lo que singulariza a 'x' y 'P' es lo que se predica de
él. Si 'Sx' significa "x es idéntico a sí" y 'Px' "x es idéntico a z", tenemos:

\( (1) \neg \exists{x}(x = x \wedge \forall{y}(y = y \rightarrow{} y = x) \wedge x = z) \)

o sea

\(  \neg \exists{x}\forall{y}(x = x \wedge (y = y \rightarrow{} y = x) \wedge x = z) \)

Como la cuantificación universal es indiferente respecto a la validez, la fórmula:

\( (2) \forall{z}\forall{x}\exists{y} \neg ( x = x \wedge (y = y \rightarrow{} y = x) \wedge z = x) \)

es equivalente. Pero (2) implica a:

\( (3) \forall{x}\exists{y} \neg ( x = x \wedge (y = y \rightarrow{} y = x) \wedge x = x)
 \)

que es el resultado de sustituir «z» por «x» en (2). (3) a su vez implica:

\( (4)  \exists{y} \neg ( y = y \wedge (y = y \rightarrow{} y = y)) \)

que resulta de sustituir «x» por  «y» en (3). (4) es equivalente a:

\( \exists{y} \neg (y = y) \)

Lo que es contradictorio, al menos suponiendo algo como \( \forall{x} x=x \).

(1) es entonces una contradicción y su negación válida. Pero ¿es esto así?

Saludos

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