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Temas - Piockñec

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Hola a todos,

Hechos:
1) He estado leyendo un poco la biografía de Ramanujan, Hardy & co., Euler, Jacobi, Bernoulli... todos ellos dedicaron mucho tiempo a establecer identidades, resolver integrales rarísimas, ecuaciones funcionales, y sacar las propiedades de funciones aún más raras.
2) Dos de los profesores más sabios y cracks que he conocido, sino los que más, tienen en su despacho como posesión más valiosa un "handbook" con identidades, resultados de integrales rarísimas y funciones aún más raras. Tanto que si algún estudiante lo pide, le deniegan el acceso aunque vaya contra la norma, y admiten que sólo lo prestarán si la administración de la Escuela les amenaza seriamente  :D

Pero yo en la vida me he acercado siquiera a tener que usar ni fracciones continuas, ni integrales raras, ni funciones más raras aún. Nunca me han aparecido. Y me huelo que nunca me aparecerán salvo si hago esta pregunta:

PREGUNTA: ¿Qué me estoy perdiendo? ¿Por qué los grandes se dedican a eso y además le dan tanta importancia, qué interés tienen esas cosas, de dónde surgen, dónde debo buscar para toparme con ellos?

Bueno, sí, una vez tuve un acercamiento. En un curso magnífico que cursé en Alemania de electromagnetismo, trabajábamos con esféricos harmónicos. Pero era para resolver Laplace en esféricas, nada del otro mundo (son sus funciones propias). Pero ya está. Ya está. Nada del otro mundo.
PERO a la vez, los alemanes impartían un curso de "funciones especiales". Li, Li2, hipergeométrica, laaargos etcéteras. Ahí, de nuevo, esa gente le daba importancia a esas cosas.

¿Alguien conoce la respuesta a mi PREGUNTA?  :laugh:

¡Muchas gracias!

2
Combinatoria / Probabilidad capítulos examen
« en: 29 Octubre, 2016, 02:01 pm »
Un alumno se enfrenta a un examen.

El examen es sobre un libro de 30 capítulos. El profesor eligirá al azar 4 de estos capítulos, y selos dará al alumno.
Éste eligirá de entre ellos 2, y de esos 2 se examinará.

Si el alumno se ha estudiado X capítulos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno pueda escoger 2 que se sepa?

------------

Está clara la estrategia de Casos favorables/Casos totales, y sé que, por ejemplo, las combinaciones posibles de tomar 4 capítulos de entre 30 está dada por \( C^4_{30} \)... pero no doy para más  ::) ojalá las combinaciones se pudieran reducir a ecuaciones diferenciales  ;D :D

Denoto la probabilidad de que haya n temas que me sepa entre los 4 que salgan al azar como P(n).
Lo que busco será \( P(2)+P(3)+P(4)=1-(P(0)+P(1)) \).

Básicamente, hay que calcular la función \( P(n) \)

3
Discusiones semi-públicas / Crítica a la escuela francesa
« en: 16 Septiembre, 2016, 04:12 am »
Hola Carlos,

¡Cuánto tiempo! ¿cómo estás? como no sabía incluir archivos en los mensajes privados, te lo paso por aquí, que puede ser útil, al menos para reírse, a un lector cualquiera.

En mi opinión, Arnol'd está contraponiendo la escuela rusa con la francesa sin parar, sacando a relucir la visión física y geométrica de las cosas (punto fuerte de la rusa) y sacando los efectos secundarios negativos de la escuela francesa (que pasan olímpicamente de la visión física, y que, en su cultura de la generalidad y el rigor, permite a veces que se dé más importancia a la generalización que al concepto demostrado en sí). Me ha hecho gracia porque yo he estudiado bajo el mismo techo en el que él impartía clases, y en el mismo ambiente y con personas instruidas en ese sistema, y las clava todas.
Aunque obviamente, un escrito análogo pudiera hacerse alabando el rigor de la escuela francesa conforme a axiomas bien fijos, y "el desorden e imprecisión" de la rusa... pero bueno... ;)

Un saludo, Piockñec.

4
Hola, como siempre os traigo preguntas extrañas. Si no fueran extrañas, las resolveria yo solito  8^) es bromal. Ahi va:


La pregunta principal es como almacenar en memoria y como trabajar con estos objetos computacionalmente, para finalmente resolver el sistema de ecuaciones.



Tengo que resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, escrito con el convenio de sumacion de Einstein:

\( A_{ijkl}x_{jl}=B_{ik} \)

Donde, atencion, x no pertenece a \( R^n \times{} R^n \), sino a \( \displaystyle\prod_{i=1}^{i=N_L}{R \times{} R^{n_p(i)}} \), donde el productorio es cartesiano y tanto NL como la funcion np(i) que devuelve naturales son conocidos.

Para aclarar el concepto, comento que en el tensor A del sistema de ahi arriba, de forma coherente, las dimensiones asociadas a i y a j son NL ambas, pero la dimension de k depende del valor de i, y la dimension de l depende del valor de j.

Para seguir aclarando el concepto, x no es una "matriz cuadrada", ni una "matriz rectangular", sino una especie de... "maatrizz"... algo asi como

1 ----------------
2 ----------
3 ------------------
-------
i --------- np(i) [dimension k]
--------------
NL ------np(NL)

donde en cada "-" cabe un real. Qué objeto matematico mas curioso! Aunque un tensor al fin y al cabo.

Tengo la certeza de que una solucion al problema es reorganizar las ecuaciones y las variables para expresarlo todo como un sistema de ecuaciones lineales tipico Ax=b matriz-vector pero enorme. Pero la forma del tensor A es bella (simetrica en cierto sentido, tridiagonal en i-j, etc.) asi que... o se reorganiza todo de un modo muy inteligente y lucido... o perdemos propiedades. Por eso quiero no tener que reorganizarlo todo, busco una solucion alternativa.

Y por eso pregunto aqui, a ver como se os ocurriria resolver ese sistema, o al menos el problema del almacenamiento :) gracias!

PD: Ordenador guiri, perdonadme las faltas de puntuacion y ortografia!

5
¿Tienen algún libro bueno, lúcidamente escrito, o predilecto, para aprender esas cosas?

Vector tangente, binormal y curvatura... coordenadas curvilíneas...

Es que no sé en qué materia encajarlo, si no la pondría. ¡Muchas gracias!

6
Hola,

tengo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales implícito (las derivadas respecto al tiempo son las primas):

\( x_1'=x_3 \)
\( x_2'=x_4 \)
\( x_3'+A_1x_1+A_2x_3+A_3x_4'==f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_3',x_4') \)
\( x_4'+B_1x_2+B_2x_4+B_3x_3'==g(x_1,x_2,x_3,x_4,x_3',x_4') \)

Cuando trato de resolverlo numéricamente con un programita que sólo acepta DAEs (ecuaciones diferenciales-algebraicas) de índice 1 (ó 0), me da error, diciendo que mi sistema es de índice 2 ó más.

Pregunta: ¿De verdad es de índice 2 ó más? A mí me parece que es de índice 0, pero he aprendido hoy el concepto de índice rebuscando por internet.
Y si de verdad es de índice 2 ó más... ¿Cómo hacer para reducirlo a uno de índice 1 ó 0? ¡¡¡Gracias!!!

Nota, lo que yo he entendido por índice: Si \( D_i \) es el número de veces que hay que derivar respecto al tiempo la ecuación i para convertirla en ODE, el índice es \( \max_i(D_i) \)

7
Sea

\( x'=\varepsilon Ax+\varepsilon^2 Bx \)
\( x(0)=a \)
\( y'=\varepsilon Ay \)
\( y(0)=a \)

Demostrar que \( |x-y|\leq{}\varepsilon M \) para alguna constante positiva M.


Si las resto, tengo:
\( (x-y)'=\varepsilon A(x-y)+\varepsilon^2 Bx \)

Y si lo multiplico todo por \( (x-y) \) consigo el cuadrado. Estimando el cuadrado, pasándole luego la raíz cuadrada sacaría el resultado, pero no sé cómo hacerlo. Si no estuviera el Bx, la solución es sencillamente la constante 0. Precisamente porque tengo el término Bx, la solución difiere, ahí está la gracia...

8
Hola a todos!

Mi profesor, hablando sobre las condiciones de contorno sobre la presión en un problema cualquiera de mecánica de fluidos, nos dio dos ideas principales:

1) Que si \( p \) es solución, \( p+c \) también.
2) que para solucionar ese problema de multicidad, se puede fijar p en un punto del contorno y voilà, pero que eso es inconsistente si afirmamos que \( p\in L^2(\Omega) \), y que por tanto lo suyo es decir que la media de \( p \) es cero, \( \displaystyle\int_{\Omega}p d\Omega=0 \)

Bien: ¿Y esa inconsistencia? ¿Se debe a que es perfectamente posible que p no tenga valor definido en el contorno al ser una superficie de medida 0, y \( p \) seguir perteneciendo a \( L^2(\Omega) \)?

¡Muchas gracias!

9
Propuestos por todos / Estrategias de resolución de una ODE
« en: 24 Enero, 2016, 11:14 pm »
Bonjour!

Un amigo mío está con el final de su proyecto de fin de carrera, y se ha topado con un obstáculo. Lleva meses liado con él, así que me he puesto a ayudarle, y hemos logrado algo, pero falta el broche de oro. Explico:

Se trata de resolver un sistema de 3 ODEs,

\( \dot{x}(1)=f_1(x,M) \)
\( \dot{x}(2)=f_2(x,M) \)
\( \dot{x}(3)=f_3(x,M) \)

Donde M es un parámetro y las ecuaciones son no lineales, con productos y divisiones. El vector \( x_1 \) está fijado, que desgraciadamente es un punto crítico \( (f(x_1)=0) \). Tiene la solución teórica, es decir, sabe que cierto tiempo después se llega a \( x_2 \), que es un atractor (bastante localmente...). El problema viene con la solución numérica.

El problema es que es una ODE NO LINEAL, en mayúsculas, y no pudiendo partir de \( x_1 \), al variar ligeramente el punto (pongamos una variación del orden del epsilon de la máquina) la solución varía enormemente (se va a infinito por otro camino).

¿Soluciones?

Intentos y resultados
He tomado una esfera de radio 1e-10 alrededor del punto \( x_1 \), y he comenzado a integrar a partir de puntos pertenecientes a esa bola, tomados al azar.

Cuando \( M\in (1,1.1] \), con esta estrategia la solución coge los caminos buenos y, después de unos 100 intentos y desviaciones en promedio, una solución llega al pozo \( x_2 \). Si M aumenta más, ya sólo coge caminos malos.
La integración está hecha con un método de Matlab, ode15s, para stiff, que usa info del jacobiano. Es el mejor método entre los que ofrece según hemos probado.
[cerrar]

Victoria cuando M vale 1.1

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Derrota cuando M vale 1.2

[cerrar]


¡¡¡Muchísimas gracias!!! :D Cualquier idea es bienvenida, y cualquier pregunta también.

10
Hola,

busco un libro de Teoría de la mesura y de probabilidad. Pueden ser dos libros (o más) distintos.

Las características, en prioridad: 1) Que sea totalmente autocontenido. 2) Que sea riguroso, conjuntista-abstracto-raro 3) Que sea general

A ser posible, que sea didáctico, pero que por ello no deje de tener esas 3 características. Didáctico es la menor de las prioridades.


Pensaba que sabía de probabilidad, pero veo que no tengo ni idea, pese a saber de combinatoria y de leyes de poisson y tal, pero los matemáticos lo vuelven taaaaaan raro con los espacios de probabilidad, los borelianos y las mesuras... ;) :P

¡Muchas gracias!

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1) \( \forall \lambda \in \mathbb{C} rg(\lambda I -A,B)=n \)

2) \( \exists c>0 \forall \lambda \in \mathbb{C} \forall z\in \mathbb{R}^n  \left\|{(\lambda I-A')z}\right\|^2+ \left\|{B'z}\right\|^2\geq{}c \left\|{z}\right\|^2 \)

Mi demostración falaz:

de 1) a 2)

\( \forall \lambda \in \mathbb{C} \forall z\in \mathbb{R}^n\exists x\in \mathbb{R}^n z=x(\lambda I-A)+xB \)

Tomando normas, y aplicando la desigualdad triangular:

\( \left\|{z}\right\|^2\leq{}\left\|{(\lambda I-A')x}\right\|^2+ \left\|{B'x}\right\|^2 \)

Y como las normas entre vectores son comparables, puedo afirmar la existencia de c tal que (Me juego lo que sea a que esto es falaz, porque el "para todo x" no lo tengo)

\( c\left\|{x}\right\|^2\leq{}\left\|{(\lambda I-A')x}\right\|^2+ \left\|{B'x}\right\|^2 \)

si pudiera redefinir x como z partido una constante, guay, pero eso no es posible porque en principio los vectores no tienen la misma dirección.

De 2) a 1)

Se me ocurre algo que no sabría justificar: Para que se dé la igualdad, necesariamente debe darse que ambos sumandos a la izquierda sean 0 y el miembro de la derecha también, lo cual significaría que el único vector perpendicular a ambas funciones es el 0. Lo cual da que el rango es n.

Obviamente es el necesariamente lo que no me convence de si es cierto. Es que si no fuera así (por el absurdo), no llego a absurdo: Encuentro un vector de módulo al cuadrado 1/c que haga que los dos términos del miembro izquierdo valgan 0.5 cada uno, por ejemplo. ¿Por qué no?

¡Muchas gracias!

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\( \forall \lambda\in \mathbb{C}  rg(\lambda I - A, B)=n \)

\( \forall \lambda\in spec(A)  rg(\lambda I - A, B)=n \)

Donde A es de dimensión nxn y B es de dimensión nxm, y la coma es que formo una sola matriz nx(n+m).

Del primero está claro que se implica el segundo. Pero del segundo no lo veo claro que se implique el primero.

Si alguien me puede dar una pista, lo agradezco! Sigo intentándolo, en teoría es un ejercicio fácil.

En realidad sé por donde van los tiros, porque los autovectores forman una base del espacio completo. Pero no logro atar las ideas!!!

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Álgebra y Aritmética Básicas / Desigualdad aritmética
« en: 24 Diciembre, 2015, 06:13 pm »
Hola, ¿sabéis por qué sucede lo siguiente?

hipótesis:

\( |a|\leq{}|m||n| \)
\( |b|\leq{}|m||n| \)

duda: \( |a+b|^2\leq{} |m|^4|n|^4 \) Why?

¡Gracias!

Nota: Conozco \( 2ab\leq{}a^2+b^2 \) y \( |a+b|^p\leq{}2^p(|a|^p+|b|^p) \), no sé si con esas se pueden sacar. Pero si no no importa.

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Ecuaciones diferenciales / Ecuación de Helmholtz
« en: 10 Diciembre, 2015, 08:07 pm »
Hola, tengo que resolver:

\( Lapl(u)+k^2u=0 \) sobre el disco unidad

donde k es real, y donde u no lo es, ya que está sujeto a:

Neumann: \( u_r = g(x,y)=ikx\exp(ikx) \), donde x es la coordenada horizontal cartesiana.


Mi estrategia es la clásica, que he encontrado en un libro:

Defino \( w=\displaystyle\int^r g(x,y) dr  \), por lo que w cumple las condiciones de contorno y es dos veces diferenciable.

Ahora defino \( v=u-w \), que cumple:
\( Lapl(v)+k^2v=S(r,\theta) \)
con la condición Neumann: \( v_r=0 \)
donde \( S(r,\theta)=Lapl(w)+k^2w \)
y eso se puede resolver por separación de variables.

El problema está en que el término de la derecha me sale \( Lapl(w)+k^2w=2w/x^2+\frac{1-kx^2+ikx}{ikx} \), que es feo.
Y se supone que tengo que desarrollarlo en autovectores... y los autovectores me han salido Bessels de primera especie!

¿Es una locura encontrar la solución explícita? ¿O algo se me escapa?

Es para comprobar un código de resolución numérica. Podría comprobarlo de otras maneras, pero el profe nos obliga a sacar la solución explícita para así calcular la norma Lp del error. ¡Muchas gracias!

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Temas de Física / La energía del punto
« en: 02 Diciembre, 2015, 06:43 pm »
Hello everybody,

tengo la siguiente pregunta, a ver qué opináis.

Sea un pollo calentándose en un microondas. En un punto cualquiera del pollo (no nos salgmos de la mécanica del continuo) tenemos campo electromagnético, temperatura, cierta carga, cierta corriente, (generalizando, cierta velocidad... es decir, al punto muchas magnitudes físicas le asocian valores).

La gran pregunta es: Si aplico la conservación de la energía en ese punto, ¿se vería así?

d(rho v^2/2)/dt + d(u_EM)/dt +rho cp dT/dt= -div(E x H) + f . v + otras fuentes

\( \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial \rho v^2}{\partial t}+\dfrac{\partial u_{EM}}{\partial t}+\rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t}=-\nabla(\cdot E\times H)+f\dot v+otrasfuentes \)

Es decir, lo que aumenta cada tipo de energia es lo que aumenta el total.
"Uno podría obtener esta ecuación" con tal de sumar cada principio de conservación de cada principio físico (del electromagnetismo, der Newton, y de la termodinámica), lo cual lo justificaría... si cada principio físico es independiente. No veo razón por la cual no lo sean, a nivel macroscópico.

¡Gracias por vuestras opiniones! :)

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El espacio \( H^s \), con s real, se define como el espacio de funciones que cumplen:

\( \hat{u}\in L^2_{loc} \) y \( \hat{u}(\xi)\in L^2(\mathbb{R}^d; (1+|\xi|^2)^sd\xi) \)

Y su norma es: \(  \left\|{u}\right\|^2_{H^s}=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^s|\hat{u}(\xi)|^2d\xi \)

Demostrar que es completo.


Demostración

Sea \( (u_n)_{n\in\mathbb{N}} \) una serie de Cauchy de \( H^s \). (A) Por definición de la norma, la serie \( (\hat{u}_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es de Cauchy en \( L^2(\mathbb{R}^d; (1+|\xi|^2)^sd\xi) \). (B) Entonces, una función \( \tilde{u} \) existe en el espacio \( L^2(\mathbb{R}^d; (1+|\xi|^2)^sd\xi) \) tal que

\(   \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \left\|{\hat{u}_n-\tilde{u}}\right\|_{L^2(\mathbb{R}^d; (1+|\xi|^2)^sd\xi)}}=0 \) (1)

(C) En particular, la secuencia \( (\hat{u}_n)_{n\in\mathbb{N}} \) tiende a \( \tilde{u} \) en el espacio \( S' \) de las distribuciones temperadas. Sea \( u=F^{-1}\tilde{u} \). Como la transformación de Fourier es un isomorfismo de \( S' \), (D) la secuencia \( (u_n)_{n\in\mathbb{N}} \) tiende a \( \tilde{u} \) en el espacio \( S' \), (E) y por tanto también en \( H^s \) gracias a (1).

Dicho rápidamente, esto no es sino darse cuenta de que la transformada de Fourier es (aquí lo pongo en inglés, porque la traducción podría fallar: ) un isomorfismo isométrico from \( H^s \) onto \( L^2(\mathbb{R}^d; (1+|\xi|^2)^sd\xi) \).

Preguntas:

(A) Explícitamente, es por esto: \(  \left\|{u_n-u_m}\right\|^2_{H^s}=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^s|\hat{u_n}(\xi)-\hat{u_m}(\xi)|^2d\xi= \left\|{\hat{u}_n-\hat{u}_m}\right\|_{L^2(\mathbb{R}^d; (1+|\xi|^2)^sd\xi)}\leq{}\varepsilon \), donde la desigualdad se debe al primer término (si n,m son suficientemente grandes), ¿cierto?

(B) Ahí falta la frase: "Puesto que \( L^2 \) es completo", pues se debe a eso, ¿cierto?

(C) Una distribución temperada es una forma lineal del espacio dual S de Schwartz, S', "que es continua (mi forma de verlo)" (\( \forall n\in\mathbb{N} \exists C>0 <T,\phi>\leq{}  \left\|{\phi}\right\|_{S,n} \)). Los corchetes es aplicar la forma lineal, NO un producto escalar asociado a forma bilineal alguna.
Duda 1. ¿Acaso las \( u_n \) son distribuciones temperadas, es decir, formas lineales sobre el espacio S que bla, bla? Pues una función no lineal puede pertenecer a \( H^s \).
(Sobre esta duda: Sé que a toda forma lineal T sobre \( L^p \) le corresponde una representación única (de Riesz) mediante una función g de \( L^{p'} \) y un producto escalar, es decir, para cualquier f de \( L^p \), aplicarle T es lo mismo que \( <T,f>=\displaystyle\int fg \). Pero esto sólo vale en Lp, no en las temperadas. Si la forma bilineal identificadora fuera la asociada a \( H^s \), voilà, pero me da que no es así).
Superada esa duda, se define la convergencia de distribuciones temperadas como \( \forall \phi\in S, \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|<T_n,\phi>|}=<T,\phi> \).
Duda 2. ¿Por qué converge en S'? ¿Acaso \( L^2 \) es subespacio de S'?

(D) Esto es lo mismo que decir, que aplica los 2 teoremas de que si una serie (es de Cauchy/convergente) en X, si tengo una función continua de X a Y, entonces la serie (es de Cauchy/convergente) en Y, ¿cierto?

(E) ni idea. He probado a hacer la típica desigualdad triangular, pero no sale nada claro.

Definición del espacio S de Schwartz
Una función pertenece a S si es indefinidamente diferenciable y:
\( \forall n\in\mathbb{N} \left\|{f}\right\|_{S,n}=max_{|\alpha|,|\beta|\leq n} sup_x |x^{\alpha}\partial^{\beta}f(x)|<\infty \)

Comentario mío: Me parece un espacio supermegaultra exigente. En un dominio finito no (y por tanto las de support compact sí pertenecen considerando todo \( \mathbb{R}^d \)), pero en todo \( \mathbb{R}^d \), como no decaigan a la velocidad del rayo...
[cerrar]


Nota final. Esto de "converge por aquí, y por tanto converge por acá" está por todas partes, y es (casi) la única parte que me queda por comprender de este enjambre (el casi viene por la convergencia débil y la estrella...), así que si pudiera llegar a entender esta demostración tan simple, sería un paso atrás para la Humanidad, pero un gran paso para mí.

¡¡¡Mil gracias!!!

17
Hola, este post es más raro de lo habitual, pero espero que no eche a nadie atrás de leerlo!!! :)

Esencialmente son dudas. Voy a exponer ideas que me surgen y razonamientos, si pudierais decir si están bien encaminados o no, lo agradecería. Pero sobre todo... ¿qué es eso tan esquivo que se oculta de mi mente?

Ejemplo de homomorfismo

Estoy buscando un hotel en Nueva York con unos amigos. Cada uno busca por su cuenta. Queremos un apartamento de 4 camas, con wifi, y con un precio no superior a 50€ la noche.
Yo encuentro un apartamento de 3 camas con wifi y de 50€ la noche.
Mi amigo López encuentra otro de 4 camas, con wifi, y de 40€ la noche.
Mi amigo Perico encuentra otro de 4 camas, con wifi, y de 40€ la noche.
Mi amigo Alfredo encuentra otro de 4 camas, con wifi, y de 40€ la noche.
Mi amigo Eduardo encuentra otro de 4 camas, con wifi, y de 30€ la noche.

Bien, añado. El apartamento de Perico está lleno de arañas, ratas, y tiene una bruja dentro. El apartamento de Alfredo está excesivamente perfumado y hay malas mujeres dentro. El de López no tiene arañas, no tiene malas mujeres, y se podría parecer a mi casa en cierto sentido. El de mi amigo eduardo también se podría parecer a mi casa en cierto sentido.

Pregunta: ¿Cómo se llama a la relación que existe entre mi apartamento y el de mis amigos? Pues mi apartamento no cumple el criterio que impusimos, y hasta el "añado" el resto eran perfectamente válidos. Los de mis amigos eran "idénticos", a falta de más información, si bien uno era más barato que otro (ahí hay un orden). Si uno tuviera 5 camas, no le imponemos orden porque nos da igual que tenga 4 que 100.
En el añado, ahí le pongo características adicionales (la bruja, las ratas, etc). Y afirmo que hay dos apartamentos que se podrían parecer a mi casa en cierto sentido. Es en ese espacio de apartamentos en donde, al final, buscaremos el nuestro, el espacio de apartamentos que XXXX con mi casa y el que XXXX con las características de búsqueda que nos impusimos inicialmente.

La idea (mía) es extrapolar este ejemplo a todos. A los espacios de funciones, a los conjuntos de números, a los conjuntos en sí mismos... creo que es completo, porque tenemos varios criterios, relaciones de orden, objetos indistinguibles según unos criterios, y distinguibles según otros. Mi objetivo es formalizar esto (en el sentido de tener claro qué conceptos generales estoy manejando) en términos de homomorfismos, "conservar la estructura", etc.


Ejemplo de homomorfismo

Sea el conjunto de los números enteros, equipado con la operación de suma y la operación booleana "es par".
Si yo cojo un número al azar, el 2, puedo decir "es par". Le sumo 1, da 3: no "es par". Al 2 le sumo 4, da 6: "es par".
Si cojo el número 3, puedo decir no "es par". Le sumo 1, da 4: "es par". Al 3 le sumo 4, da 7: no "es par".

Supongamos que demuestro que la operación "es par" es estable sobre la operación suma con par (sumarle un número par a un entero).

La conclusión, hablando en términos de homomorfismos, es que... ?
Intuitivamente ahí hay una conclusión. Y es que cualquier número de la forma \( n+2z \) es indistinguible para cualquier z entero, si lo miramos a través del cristal de la operación booleana "es par". ¿Pero cuál es la conclusión? ¿Cuáles son los espacios homomorfos y cuál es el homomorfismo? Sé que es evidente, está ahí, pero no lo veo.

Otro ejemplo de homomorfismo

Sea el conjunto de los reales y \( \mathbb{R}^N \). Los dos tienen el mismo cardinal, en los dos todo compacto es cerrado y todo cerrado es compacto, en los dos la bola unidad (abierta) no es compacta, en los dos suceden muchas cosas.
Demuestro algo en la recta real: ¿Se demuestra también en \( \mathbb{R}^N \)? ¿Bajo qué condiciones, si las hay, y por qué?

Si los dos conjuntos fueran idénticos, evidentemente la respuesta es sí. No lo son, puesto que la sola diferencia es que uno son vectores, y otro son escalares. En uno tenemos una relación de orden, en el otro (que yo sepa, no lo imagino) a priori no, aunque puedo inventarme una relación. Supongamos que me invento una relación de orden, la del diccionario creo que se llamaba: \( (1,200,300)<(2,1,1) \) y \( (1,1,5)<(1,1,6) \), en el primer caso porque la primera posición es menor, y eso basta. En el segundo caso, porque siendo la primera posición igual, y la segunda también, la tercera es menor. Entonces... ¿Si yo demuestro algo relacionado con el orden (por ejemplo, que siempre existe un número real menor a otro) se demuestra también en \( \mathbb{R}^N \) con el orden que le he inventado? En este caso veo evidente que ese resultado se le aplica, pero ¿es casualidad, y puedo encontrar un orden donde esto no suceda?
No se trata de que me ponga a buscar un contraejemplo, de hecho un contraejemplo me diría poco. Lo que pretendo, si no es mucha pretensión, es saber en qué casos esto sucede. Y creo que tiene que ver con la idea de homomorfismo, isomorfismo, etc.

(Estas cosas no son pura ansia por el conocimiento, es que las están usando en los cursos que estoy siguiendo con los espacios dual de cosas muy abstractas, y quiero deducir de este post "cuándo dos espacios métricos/espacios funcionales son isomorfos, y qué implicaciones tiene". ¡Pero no quiero la respuesta a esta pregunta, eso quiero encontrarlo yo ;) !)

¡Muchas gracias!

NOTA: Acabo de observar que homeomorfismo no es lo mismo que homomorfismo. Y escribí en todas partes homeomorfismo. Lo cambio a homomorfismo. ¡Perdón a todos! La ignorancia :)

18
Hola, me he topado con estos conceptos, y tengo la intuición de que son muy importantes. ¿Dónde puedo estudiarlos?

Proposición: Sea E y F dos espacios de Banach y B una forma bilinear continua sobre FxE. La aplicación \( \delta_B \) definida por:
\( \delta_B=\begin{Bmatrix} F & \longrightarrow{} & E'\\y & \longrightarrow{} & \delta_B(y): & \left<{\delta_B(y),x}\right>=B(y,x)\end{matrix} \)
es un elemento de \( \mathcal{L}(F,E') \) (espacio de aplicaciones lineales y continuas).


Definición: Sean E y F dos espacios de Banach y B una forma bilinear continua sobre FxE. Decimos que B identifica E' y F si y sólamente si la aplicación \( \delta_B \) definida ahí arriba es un isomorfismo.
Dicho de otra forma, eso significa que existe una constante C tal que , para toda forma lineal continua \( \ell \) sobre E, existe un único elemento y de F tal que,

\( \forall x\in E, \left<{\ell,x}\right>=B(x,y) et C^{-1} \left\|{y}\right\|_F\leq{} \left\|{\ell}\right\|_{E'}\leq{}C \left\|{y}\right\|_F \)

Nota: Del teorema de Banach (que enuncio debajo), basta con demostrar que la aplicación \( \delta_B \) es biyectiva.

Teorema (de Banach): Sean E y F dos espacios de Banach y A un elemento de \( \mathcal{L}(F,E) \) (como nuestro \( \delta_B \), si sustituimos E por E'). Si A es biyectiva, entonces \( A^{-1}\in \mathcal{L}(F,E) \).

Más adelante vendrá (porque "ya lo he dado", aunque no me haya enterado de nada) el teorema de representación de Riesz, donde la forma bilinear es una integral, y donde los espacios que identifica son los \( L^p \). Y sé además, por un comentario que hizo un profesor al que hizo mucho énfasis, que cuando identificamos dos espacios no es por sus propiedades únicamente, sino mediante una forma bilinear. Y que podemos identificar dos espacios de forma distinta por medio de dos formas bilineares distintas. O algo así dijo, eso fue con lo que me quedé.


Mis preguntas son dos:
1) ¿Qué teoría/asignatura/curso/libro tengo que mirarme para comprender y trabajar sobre los conceptos de isometría/isomorfismo/biyección/identificación, etc.? Básicamente, pido un compendio de teoremas y demostraciones que me hagan entender eso a base de trabajarlo, que es el único procedimiento que estoy siguiendo (y parece bastante satisfactorio).
2) ¿Qué significa, a grosso modo, todo lo que he puesto arriba? los teoremas y las proposiciones las puedo demostrar, el problema viene en cuanto mencionan iso-tal e identificación.

¡Gracias!

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Sea X un espacio métrico compacto y E un espacio de Banach. Consideremos un subconjunto A del espacio de funciones continuas de X a E, \( A\subset{}C(X,E) \). Este espacio A estará dotado de:
1º continuidad (y por compacidad de X, equicontinuidad).
2º Para cada x de X, \( \{ f(x), f\in A\} \) es de adherencia compacta.

Entonces: A es de adherencia compacta (nota mía: es decir, que f(X) es de adherencia compacta, para cada f en A)


Esquema de la demostración


Por la caracterización de los compactos por épsilon-bolas, cogen a X y lo contienen en una unión finita de \( \alpha \)-bolas centradas en los puntos \( (x_j)_{1\leq{}j\leq{}N} \).
Consideran entonces el conjunto definido por \( A_j=\{f(x_j),f\in A\} \), que por hipótesis es de adherencia compacta. Si le hacemos la adherencia, \( \prod_{j=1}^N\bar{A_j} \) es compacto dentro del espacio \( E^N \) con la norma infinito típica.
"Como el subconjunto \( \mathbb{A}=\{(f(x_1),...,f(x_N)),f\in A\} \) está incluido en \( \prod_{j=1}^NA_j \), también es de adherencia compacta".
Ahora cogemos \( \mathbb{A} \) y lo recubrimos por un conjunto finito epsilonpartidotres-bolas centradas en un conjunto \( f_k(x_j) \).
Traca final:
\(  \left\|{f(x)-f_k(x)}\right\|\leq{} \left\|{f(x)-f(x_j)}\right\|+ \left\|{f(x_j)-f_k(x_j)}\right\|+ \left\|{f_k(x_j)-f_k(x)}\right\|\leq{}\epsilon \)
Primer y tercer sumando están mayorados por continuidad, y el segundo por pertenecer \( f(x_j) \) a alguna epsilonpartidotres-bola.
Y así se demuestra que el conjunto f(x) puede ser recubierto por epsilon-bolas, demostrando su compacidad.

Dudas:
- ¿Por qué es hipótesis que "Para cada x de X, \( \{ f(x), f\in A\} \) es de adherencia compacta."? Esta duda radica en que si f es univaluada como toda función que se aprecie, f(x) será un punto del espacio de llegada, y todo punto es compacto, pues puedo recubrirlo por epsilon-bolas.

- ¿Por qué la parte que puse entre comillas en la demostración? Aquí hay dos porqueses que no sé:
1] ¿por qué \( \mathbb{A}=\{(f(x_1),...,f(x_N)),f\in A\} \) está contenido dentro de \( \prod_{j=1}^NA_j \)? Porque yo los veo idénticos. Si son idénticos, está contenido uno en otro, obvio. Pero el texto no parece insinuar que sean idénticos.
2] ¿Por qué, del hecho de que G esté contenido en H, y H sea relativamente compacto, se desprende que G también lo sea? pues con los compactos no sucede (salvo que G sea cerrado).

(Mi respuesta a 2]: Si G es cerrado, al ser unión de puntos (cerrados), y \( G\in H \), entonces \( \bar{G}\in \bar{H} \), pero \( \bar{H} \) es compacto, y la adherencia de G es cerrado en él, luego es compacta. Por tanto G es de adherencia compacta. Salvo que haya fallo lógico en este razonamiento, es mi forma de verlo, no lo he visto en teoremas por ahí. Sólo me falta confirmar si \( \mathbb{A} \) es unión finita de cerrados (puntos) como creo que es :) ) (Lo que me impide creer que sea unión de puntos es que entonces la hipótesis 2º no haría falta, al ser cualquier punto un cerrado, al poder estar recubierto de épsilon bolas, poder encontrar trivialmente para toda sucesión en el punto una subsucesión que converge en el punto, etc,etc)

¡¡¡Mil gracias!!! :D

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Si X es un espacio métrico completo, e Y es un subespacio cerrado con la métrica heredada como subespacio, entonces Y es completo.

Mi duda es la siguiente.

Si quisiera demostrarla por contradicción, niego la conclusión (ahora Y no es completo) y busco una contradicción.

Ahora bien, si reformulo el teorema como:

Para todo X espacio métrico completo, y para todo Y subespacio cerrado con la métrica heredada como subespacio, Y es completo,

si niego la conclusión, realmente... ¿Puedo coger un espacio métrico X concreto (tan concreto como \( \mathbb{R} \)) y un subespacio métrico cerrado Y concreto (tan concreto como \( [0,1] \)) y demostrar ahí que toda serie de Cauchy converge necesariamente en [0,1]?)

Digo de hacer eso en vez de trabajar con los X,Y abstractos y las series de Cauchy abstractas.

La siguiente pregunta es si eso conviene jajaja Veo evidente que, si es cierto que puedo hacer eso, conviene claramente si tengo en mi mano algún teorema a lo "[0,1] es completo", entonces la demostración sería inminente.
Pero por otro lado, si juego con los conceptos abstractos, estoy jugando con la raíz, con la causa de la completitud, y mezclarlo con otros elementos y propiedades no puede ser sino fuente de desvíos de lo que pretendo demostrar.

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