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- Otros - / Existencia de serie de Fourier
« en: 25 Junio, 2020, 04:44 am »
Hola!
Esperando se encuentren bien, me gustaría preguntarles acerca de algún libro que me recomienden donde pueda consultar la demostración del llamado Teorema de Fourier (sobre la existencia de la representación en serie de Fourier para una función que cumpla ciertas condiciones). Se los agradecería mucho!   

En mi caso me bastaría con revisar la prueba que sirva para polinomios o funciones reales continuas en un intervalo cerrado (pues luego puedo extenderla a una función periódica y la continuidad me asegura otras condiciones necesarias para la existencia de la serie de Fourier);
sin embargo, supongo que lo más común es enunciar el resultado de forma más general. Mencioné esta parte sólo por si acaso tienen conocimiento de algún texto donde pueda consultar la demostración del resultado que asegure la existencia de la serie de Fourier en este caso particular (pues supongo sería más simple; aunque no será estrictamente el Teorema de Fourier). De cualquier forma me será útil las referencias que me proporcionen   :)

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Álgebra / Demostrar igualdad para la adjunción de campos
« en: 30 Julio, 2018, 04:21 pm »
¡Hola!  Estoy tratando de resolver el ejercicio siguiente:
Sean F, L, M, K y E todos subcampos de algún campo, tales que \( F\subset{L} \subset{M}\subset{K} \) y E extensión Galois finita de F.  Suponga que EL= K demostrar que \( M=L \left(E\cap{M}\right) \).

En mi notación EL es el campo compuesto de E y L, mientras que \( L \left(E\cap{M}\right) \) representa la adjunción de \(  E\cap{M} \) a M.
Spoiler
Ya he probado una inclusión;  pero no logro demostrar que
 \( M\subseteq{}L \left(E\cap{M}\right) \)
El avance que llevo en cuanto esta es:
A consecuencia de que E/F es extensión Galois finita, en particular \( E=F\left(a_1,\cdots ,a_m \right) \) y usando la hipótesis de que K=EL he deducido que K/L es extensión de Galois

Entonces por un lado se cumple que \( L \left(E\cap{M}\right)= 
  L\left ( F\left(a_1,\cdots ,a_m \right)\cap{M}\right ) \)
Mientras que por otra parte  observo que \( LF\left(a_1,\cdots ,a_m \right)=
L\left(a_1,\cdots ,a_m \right)=K\supset{M}
 \)

Así que pensaba que tal vez haya una manera de relacionar las expresiones anteriores mediante alguna igualdad pues es lo que me gustaría para poder concluir lo deseado; pero no he logrado justificarlo (si es que fuera así un camino correcto) ¿Me podrían apoyar con esta parte por favor?
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Topología (general) / Topología cofinita y conjunto derivado
« en: 09 Marzo, 2018, 04:02 am »
¡Hola! ¡Buen día!
Tengo un ejercicio que dice: Sea \( (X, \tau ) \) espacio topológico, pruebe que la topología cofinita es más gruesa que \( \tau \) sí y sólo si \( \forall{x}\in{X}, \{x\}'=\emptyset \).
Spoiler
Si supongo que \( \forall{x}\in{X}, \{x\}'=\emptyset \)
Lo que he notado es que por ser topologías definidas en un mismo conjunto entonces X y el vacío deben pertenecer a ambas topologías, además los complementos de conjuntos que constan de un único elemento pertenecen a la topología cofinita y que el hecho de que el conjunto derivado de un conjunto unipuntual sea vacío implica que ese conjunto unipuntual es cerrado y por ello su complemento es un abierto en \( (X, \tau ) \)
Sin embargo no estoy segura de cómo concluir que la topología cofinita está contenida en \( \tau \) porque ¿Cómo aseguro que todos los elementos de la topología cofinita son de la forma que he mencionado anteriormente y no hay más?...

¿y para la recíproca, podrían darme alguna sugerencia por favor? 
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¡Hola! ¡Buen día!
Me he quedado estancada en un ejercicio que dice: Se requiere proporcionar una energía de 25 keV a un electrón en una colisión de Compton.  ¿Cuál es la mínima energía del fotón necesaria?

Le he dado muchas vueltas al tratar de resolverlo. Inicialmente escribí la expresión de la conservación de la energía \( E_{fi}=E_{ff}+K_e \) esto es \( \frac{hc}{\lambda_i}=\frac { hc}{\lambda_f}+K_e \)

Por otra parte,  para el efecto Compton tengo la expresión \( \Delta \lambda = \lambda_f - \lambda_i= \frac { h}{mc}(1- \cos \phi) \)

Pensé que para obtener la energía mínima del fotón podría maximizar la longitud de onda inicial, de manera que \( \Delta \lambda = \frac{h}{mc} \) y luego escribir la longitud final en términos de la longitud inicial en la ecuación de la conservación de la energía, reescribirla para resolver una ecuación de segundo grado en la variable \( \lambda_i \) y sustituir ese en la expresión de la energía para un fotón; pero no he logrado llegar a la solución.

¿Qué está mal en mi planteamiento? ... ¿Cuál es la forma correcta proceder?...



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Álgebra / Equivalencia Dominio de Factorización Única
« en: 15 Junio, 2017, 05:03 am »
Hola! Tengo un ejercicio que no he logrado demostrar. Dice: Sea A un dominio entero.  Pruebe que A es dominio de factorización única si, y sólo si cada ideal principal no trivial de A es el producto de un número finito de ideales principales maximales,  y estos ideales son únicos salvo el orden en el que aparezcan.

Para la suficiencia sé que para probar que A es dominio de factorización única debo tomar cualquier \( x\in{A}-\{0\} \) no unidad y verificar que éste se expresa como un producto finito de elementos irreducibles donde la descomposición es única salvo orden y asociados. Considero I=<x> es ideal principal no trivial de A y por ello usando la hipótesis se escribe como \( I=\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}{I_{k}} \) con cada \( I_{k} \) ideal principal maximal. Por ser principales son generados por un único elemento, digamos \( I_{k}=<a_k> \) luego \( <x>=<a_1>\ldots<a_k> \)

Me podrían apoyar para continuar con el resto de la demostración por favor?

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Hola! Tengo un ejercicio donde me piden demostrar que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\displaystyle\frac{\pi}{sin (a \pi)}  \) donde 0 <a<1

Realmente las integrales me están causando muchas dificultades,  estaba consultando varios libros y en uno de ellos encontré un ejercicio donde la función a integrar es de la forma \( x^k g (x) \) y la sugerencia es considerar la integral de contorno \( \displaystyle\int_{C}z^k g(z) dz \) donde el contorno C es como el que muestro en la figura.  Creo que en este caso tendrá sentido considerar el mismo contorno puesto que el integrando de mi caso no tiene polos en z=0 ni en la parte positiva del eje real; pero sinceramente no he podido aterrizar dichas ideas. Comenzando desde la manera de dividir la trayectoria para calcular las correspondientes integrales y sumarlas. Espero me puedan ayudar,  cualquier aportación se los agradeceré.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Evaluar integral
« en: 10 Junio, 2017, 12:14 am »
Buen día!  Necesito evaluar la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{xcos (x)}{x^2-2x+10} \)

Lo que he intentado es lo siguiente:
Primero noto que el integrando es la parte real de la función \( f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2-2z+10}  \) de manera que quiero calcular la integral \( I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz \) para aplicar el teorema del residuo  me fijo en los polos de f situados en el semiplano superior,  el cual es el polo simple 1+3i
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema. Por otra parte pensaba usar el lema de Jordan;  pero no he logrado avanzar mas. Espero puedan ayudarme con este ejercicio.

8
Buen día!  Tengo un ejercicio en el cual me piden encontrar la expansión de la función \( ln\left({\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right) \) en serie de Laurent en \( z=\infty \).

Disculpen; pero no tengo avance en la solución de éste,  mi primer dificultad es que no comprendo que significa expander en  \( z=\infty \).

Espero que me puedan explicar esa cuestión y orientar sobre cómo debo comenzar.

9
Hola!  Tengo un ejercicio que dice: Suma las siguientes series de potencias para \( \left |{z}\right |<1 \)
a)\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{z^n}{n}} \)
b)\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{z^{2n+1}}{2n+1}} \)

Únicamente he podido darme cuenta de que la serie a) en efecto es convergente,  de hecho absolutamente convergente en el interior de la circunferencia de radio 1 por el teorema de Cauchy-Hadamard. Para la b) la reescribí como \( z \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(z^2)^n}{2n+1}} \) y usando el mismo teorema compruebo que también converge en esa región.

Ahora,  la parte interesante es hallar la suma. Me podrían orientar sobre cómo debo proceder?

10
¡Hola!
Estoy tratando de resolver lo siguiente:
Sean \( X,Y  \)variables aleatorias con función de densidad conjunta: \( f(x,y)=\begin{cases} x+y & \text{si}& 0\leq{x}\leq{1}; 0\leq{y}\leq{1}\\0 & \text{si}& otro \ caso\end{cases} \)

Debo obtener la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)

El problema que tengo es que he intentado por dos métodos distintos:
1 calcular la función de distribución de U y luego derivarla.
2 Método de tranformaciones.

Y en ambos casos llego a que la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)
es f(u)=u para \( 0\leq{u}\leq{2} \) Pero claramente al integrar de cero a dos no resulta dar uno y por ello esta no puede ser la función de densidad deseada.

Dado que he hecho esto por dos procedimientos diferentes y he llegado a la misma función, entonces, sospecho que tomado mal el dominio  \( 0\leq{u}\leq{2} \) pues si fuera \( 0\leq{u}\leq{1} \) ya podría considerarla como la función de densidad de probabilidad de U; pero si este fuera el caso ¿Por qué habría de considerar ese dominio y no el que propongo al inicio?


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¡Hola!
Espero que me puedan ayudar con lo siguiente por favor, tengo el enunciado:
Sean \( (X,F, \mu) \) y \( (Y,G,\nu) \) dos espacios de medida y sean, f integrable en \( (X,F, \mu) \) y g integrable en \( (Y,G,\nu) \).  Si \( h(x,y)=f(x)g(x) \) y \( \pi=\mu \times \nu \). Me piden demostrar que h es \( \pi-integrable \) en \( Z:=X \times Y \) y además \( \displaystyle\int_{Z}^{}h d \pi=(\displaystyle\int_{X}^{}f d \mu) (\displaystyle\int_{Y}^{}g d \nu) \) (En caso de que sea necesario debo agregar alguna(s) hipótesis  para que se cumpla lo que mencioné antes).


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¡Buen día!
Disculpen, me he perdido al estar revisando mis notas del curso, quisiera que por favor me ayuden a completar los detalles con la siguiente demostración:

Sean F, G álgebras de subconjuntos (no vacíos) de X e Y respectivamente. Sean (X, F) y (Y,G) dos espacios medibles de álgebras. Definimos un rectángulo en el producto \( H:=\{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}: A_j\in{F}\;y\; B_j\in{G}\; , n\in{\mathbb{N}}\} \). Lo que se quiere demostrar es que explícitamente puede escribirse todo elemento de H como unión finita ajena.

Para ello consideramos lo que les muestro a continuación:
Spoiler
Consideramos el conjunto de todas las n-tuplas \( p=(p_1,\ldots , p_n) \) con \( p_j\in{\{0,1\}}\;\;j=1,\ldots , n \) el cual tiene \( 2^n \) elementos. Luego escribimos:
\( A^{(p)}:=\cap_{p_j=1}{A_j  \setminus \cup_{p_j=0}{A_j}} \)

*Se tiene que: \( A^{(p)}\cap{A^{(p')}}=\emptyset\;si \; p\neq{p'} \) *
Luego \( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{A^{(p')}\times B^{(q')}}=\emptyset si \; p\neq{p'}\; o  \; q\neq{q'} \).

Para cualquier \( x\in{X} \) se define \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& x\in{A_j}\\0 & \text{si}& x\not\in{{A_j}}\end{cases} \) para \( p=1, \ldots, n \) y \( p(x):=(p_1(x),\ldots , p_n(x)) \) entonces por definición de \( A^{(p)} \), \( x\in{A^{(p(x))}} \) y similarmente \( y\in{B^{(q(y))}} \) para \( y\in{Y} \) con \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& y\in{B_k}\\0 & \text{si}& y\not\in{{B_k}}\end{cases} \) para \( k=1, \ldots, n \)

*Por ello \( \cup_{(p,q)}{A^{(p)} \times B^{(q)}}=X\times Y\; \) *
y es  unión ajena porque si \( (x,y)\in{A^{(p)} \times B^{(q)}} \) y \( (x,y)\in{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}} \), se tiene  que existe \( j_0 \) tal que \( p_{j_0}(x)=1=q_{j_0}(y) \) y entonces

*cuando \( (x',y')\in{X\times Y} \; sucede \;que (x',y')\in{A^{(p)} \times B^{(q)}}\Leftrightarrow{p(x')=p \;\;y \;\; p(y')=q}\Rightarrow{(x',y')\in {\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}\; \) *

Luego, para todos los (p,q) se tiene:

*  \( A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\; \) ó
\( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\; \)  *

Escribimos \( S:=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\}  \) y \( S':=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\;\}  \)

*Entonces \( \cup_1^n{(A_j \times B_j)}=\cup_{(p,q)\in{S}}{A^{(p)} \times B^{(q)}} \)  *
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Las partes que he encerrado entre * son aquellas en las que tengo dificultad para probar esos detalles.  :(

Espero me puedan ayudar con esto. ¡Gracias!

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Estructuras algebraicas / Subgrupos normales
« en: 01 Noviembre, 2016, 06:33 pm »
¡Buen día!

Tengo el siguiente ejercicio: Sean H y N subgrupos de un grupo G tales que N es normal en G, \( \left |{N}\right | <\infty \),  \( [G:H]<\infty \) y  \( ([G:H], \left |{N}\right |)=1 \). Probar que N es subgrupo de H.

Observo que como N y H ya son subgrupos de G entonces para demostrar que N es subgrupo de H, bastaría probar que \( N\subseteq{H} \).

¿Alguna sugerencia que me puedan dar para comenzar la prueba?

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¡Buen día!
Debo demostrar que si el conjunto \( (a,\infty) \) es la unión de una familia numerable de intervalos \( (a_n, b_n) \) entonces \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\ell ((a_n, b_n])}=+\infty \).

Lo único que se me ocurrió fue que debería haber un intervalo de la forma \( (a_k, \infty) \) (o sea con longitud infinita) y por ello entonces la suma de las longitudes será infinita; pero no me parece que esto realmente sea un avance.  :-\  No sé cómo debería probarlo de manera formal ¿Me podrían ayudar por favor?

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Análisis Matemático / Álgebra de subconjuntos
« en: 29 Octubre, 2016, 09:21 pm »
Hola!
Me podrían ayudar con el siguiente ejercicio por favor?
Sea X conjunto arbitrario (no vacío) y \( m : P (X)\rightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( 0\leq{m(E)}\leq{m(E\cup{F)}}\leq{m(E)+m(F)} \)

\( \forall{E,F}\in{P((X)} \)

Sea S la colección de todos los subconjuntos de E tales que \( m(A)=m(A\cap{E})+m(A\E) \) para \( \forall{A\subset{X}} \). Si S es no vacío,  entonces S es un álgebra y m es aditiva en S.

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Análisis Matemático / Medida con signo.
« en: 17 Octubre, 2016, 01:04 am »
¡Hola!

Si \( \lambda \) es una medida signada en (X,S) debo demostrar que:
a) \( \lambda \) es acotada
b) \( \lambda ^+(E)=sup\{\lambda(F): \, \, F\subset{E}, \, \, F\in{S}\} \)
c) \( \lambda ^-(E)=ínf\{\lambda(F): \, \, F\subset{E}, \, \, F\in{S}\} \)

¿Me podrían ayudar con esto por favor?

Tengo que por definición, que si \( \lambda \)  es una medida signada en (X,S) con (P,N) una descomposición de Hahn, la variación positiva de \( \lambda \) definida por E en S es la medida finita \( \lambda ^+(E):= \lambda (E\cap{P}) \) y la variación negativa de \( \lambda \) definida por E en S es la medida finita \( \lambda ^-(E):=-\lambda (E\cap{N}) \)

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Análisis Matemático / Variación total
« en: 17 Octubre, 2016, 12:52 am »
¡Hola!
Hay un ejercicio que necesito probar y dice que si (X,S) es un espacio de medida y \( \lambda \) es una medida con signo. Sucede que la variación total de un conjunto M es igual a cero sí y sólo si el conjunto M es nulo.

Ya probé una implicación; pero la otra no logro completarla. Lo que me falta es suponiendo la variación total de un conjunto M es igual a cero demostrar que el conjunto M es nulo.

Spoiler
Sea (P,N) una descomposición de Hahn para \( \lambda \)
Supongo que a variación total de un conjunto M es igual a cero, entonces usando la definición he llegado a que la variación positiva es igual al negativo de la variación negativa, esto es, \( \lambda(M\cap{P})=\lambda(M\cap{N}) \) y usando que P es positivo y N es negativo obtengo \( \lambda(M\cap{P})=0=\lambda(M\cap{N}) \) pero no logro probar que esto implique que M es un conjunto nulo pues para ver que un conjunto es nulo tengo lo que muestro a continuación:

cuento con una equivalencia entre las siguientes proposiciones:
Si (X,S) es un espacio medible y \( \lambda \) una medida, entonces
a)Se dice que un conjunto \( M \in{S} \) es nulo respecto a \( \lambda \) si \( \lambda (E\cap{M})={0} \, \forall{E\in{S}} \)

b)Se dice que un conjunto \( M\in{S} \) es nulo respecto a \( \lambda \) si \( \forall{C\in{S}} \) con \( C\subset{M} \) se tiene \( \lambda (C)={0} \)

¿Cómo debería concluir?
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Estructuras algebraicas / Grupo cíclico
« en: 12 Octubre, 2016, 04:42 am »
¡Hola!
Espero que me puedan orientar sobre el siguiente ejercicio:
Sea G un subgrupo del grupo aditivo de los números reales, el cual no es denso en \( \mathbb{R} \). Debo probar que G es cíclico.

19
Álgebra / Subgrupo generado es finito.
« en: 12 Octubre, 2016, 04:38 am »
¡Hola!
¿Me pueden dar alguna sugerencia para el siguiente ejercicio por favor?

Sean G un grupo y \( a_1, \ldots , a_n \) elementos de G de orden finito, los cuales conmutan entre sí. Demostrar que el subgrupo \( \left<{a_1, \ldots , a_n}\right> \) de G es finito. Además, mostrar que la condición es falsa si no se supone que los elementos \( a_1, \ldots , a_n \) conmutan entre sí.


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Análisis Matemático / Medida de conteo
« en: 05 Octubre, 2016, 03:21 am »
¡Hola!

Si \( \mu \) es la medida de conteo en \( \mathbb{N} \) y si \( 1\leq{p_1}\leq{p_2}<\infty \) entonces \( Lp_{2}\subset{Lp_1} \) y \(  \left\|{f}\right\|_{p_1}\geq{\left\|{f}\right\|_{p_2}} \)
¿Cómo podría demostrarlo?

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