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Temas - pierrot

Páginas: [1] 2 3 4 ... 7
1
Temas de Física / Polea ideal
« en: 17 Febrero, 2020, 03:46 am »


En este ejercicio las ecuaciones que planteo son:

Para el bloque \( M_2 \):

\( M_2g-N_2=0 \)
\( f_k-T=M_2a_2 \)

Para el bloque \( M_1 \):

\( M_1g-2T=-M_1a_2 \)

Me queda el sistema:

\( \left\{\begin{array}{l}
\mu_kM_2g-T=M_2a_2\\
M_1g-2T=-M_1a_2
\end{array}\right. \)

Sin embargo, obtengo un resultado que no es ninguna de las opciones correctas.

2
Temas de Física / Sistema de poleas
« en: 16 Febrero, 2020, 06:11 pm »
¿Cómo se procedería en este ejercicio?



Gracias.

3
Temas de Física / Ejercicio de estática de cuerpos rígidos
« en: 16 Febrero, 2020, 05:30 pm »
Hola,

No me queda claro cómo se resuelve este problema. Una sugerencia es que hay que determinar el "ángulo de la cuña", porque si \( \alpha \) supera dicho ángulo, entonces la esfera se caería. ¿Cuál sería ese ángulo? Spuestamente para hallarlo es que es necesario imponer la condición de equilibrio estático de la esfera.



Saludos.

4
Métodos Numéricos / Duda sobre rGCROT
« en: 24 Diciembre, 2019, 12:20 am »
Hola,

¿Alguien me podría decir por qué en la pág. 9 la forma de la solución es \( x_m=x_0+V_my+UR^{-1}z \)?

Supongo que se deduce a partir de la relación de Arnoldi aumentada, pero hace tiempo lo estoy pensando y no lo veo claro.

5
Temas de Física / Ejercicio sobre trabajo y energía
« en: 26 Septiembre, 2019, 02:16 pm »


En este ejercicio, mi razonamiento fue así: \( W^{\text{NO CONS}} = E_{\text{mec}}^A-E_{\text{mec}}^B=-70kJ \). Suponiendo que el potencial gravitatorio es 0 en el centro del bucle, tendría que \( E_{\text{mec}}^B=U_g^B+E_c^B=-12mg+\dfrac{mv_B^2}2 \) y \( E_{\text{mec}}^A=U_g^A+E_c^A=12mg+\dfrac{mv_A^2}2 \). Reuniendo la información de todas estas ecuaciones,

\( \begin{align*}
-70kJ &= E_{\text{mec}}^A-E_{\text{mec}}^B=\left(12mg+\dfrac{mv_{\color{red}A}^2}2\right)-\left(-12mg+\dfrac{mv_{\color{red}B}^2}2\right) \\
-70kJ &= 24mg + \dfrac{mv_{A}^2}2 - \dfrac{mv_{B}^2}2
\end{align*} \)

La velocidad mínima necesaria se dará cuando el cuerpo llegue al punto \( A \) con velocidad nula, por lo que me queda

\( \dfrac{mv_B^2}2 = 24mg + 70kJ \)

De aquí despejo \( v_B \). ¿Estaría bien esto?

Gracias.

Editado

6
Temas de Física / Ejercicio simple de mecánica clásica
« en: 26 Septiembre, 2019, 01:45 pm »


En este ejercicio lo que razoné es que en el instante en que la masa \( m \) llega a la altura de 0.5 m, ésta debe encontrarse en reposo, por lo que la fuerza de tensión que ejerce la cuerda sobre él y su peso \( mg \) deben ser iguales. Como la cuerda es ideal, esta tensión tiene el mismo valor que la que experimenta la masa \( M \) a la derecha. En consecuencia, igualo el módulo de la fuerza elástica del resorte a la de esta tensión, de donde resulta la ecuación \( k\Delta l = mg \). El estiramiento del resorte se puede calcular sabiendo que de su longitud inicial, (que es 0.15m), se estiró 0.20m (pues es 0.70m-0.50m), por lo que se tendría \( \Delta l=l-l_0=0.35\text{m}-0.20\text{m}=0.15\text{m} \). En base a esto, la constante del resorte sería \(  k = mg / \Delta l \). Sin embargo, por el resultado de la opción correcta, parecería que fuera  \(  k = (M+m)g / \Delta l \). ¿En qué estoy equivocándome?

7
Problemas y Desafíos / Cantidad de soluciones salvo isomorfismo
« en: 23 Agosto, 2019, 06:45 pm »
Se tiene una estrella como la de la figura:



Los puntos están etiquetados. A cada uno, se le asigna un valor entre 1 y 12. La suma de los valores de cada segmento tiene que ser 26, y no puede haber valores repetidos (o sea, a cada nodo le corresponde un número distinto).

¿Cuántas soluciones diferentes hay a este problema (considerando dos iguales si es posible reetiquetar los nodos para que sean idénticas)?

8
Combinatoria / Cuadrados grecolatinos de orden 4
« en: 23 Abril, 2018, 10:09 pm »
¿Cuántos cuadrados grecolatinos de orden 4 existen? He encontrado en la Web el número considerando iguales los de una misma clase isotópica, pero yo pregunto el número en bruto, o sea, la cantidad de matrices diferentes de tamaño \( 4\times 4 \) que satisfacen la condición de ser un cuadrado grecolatino.

Gracias.

9
Foro general / Curso de cálculo
« en: 14 Abril, 2018, 06:26 pm »
Hola,

Escribo este post para recomendar este curso de cálculo de Pablo Lessa.

No he visto todos los vídeos, pero realmente me gusta mucho su estilo. Destaco tres cosas:

  • A diferencia del típico primer curso de cálculo que se dicta en las universidades, aporta datos históricos y expone problemas interesantes que dan color a lo estrictamente matemático.
  • Usa un lenguaje muy simple, accesible para todos y lleva un estilo natural, descontracturado.
  • Usa un "pizarrón digital" en vez de las típicas slides preelaboradas. Esto no es nuevo porque he visto muchos otros canales de YouTube que hacen lo mismo (sin ir más lejos el de nuestro moderador Fernando Revilla), pero lo destaco igualmente porque es como pienso se debería enseñar la matemática. En mi facultad ahora hay una tendencia a usar slides, incluso para las asignaturas de matemática, y a mí me parece un despropósito. Pedagógicamente considero al pizarrón muy superior.

Vi, por ejemplo, el vídeo en que habla de uno de los trabajos de Sofía Kovalevski y me gustó mucho. Dicho sea de paso, Alice Munro (que a título personal, junto con Chéjov, la considero uno de los mejores cuentistas de la historia) tiene un cuento titulado Too Much Happiness (o Demasiada felicidad), que es el último del libro homónimo (para mí, uno de los mejores si no el mejor de la autora), que es biográfico sobre Sofía, y en él hay una parte en que se relata su relación con Weirstrass. Alice Munro quedó maravillada con la vida de esta matemática (especialmente su combinación de matemática y novelista) y aparte de leer cuanto encontró sobre ella, se contactó con parientes de Sofía que le proporcionaron sus diarios, cartas y otros escritos.

Saludos.

10
Discusiones semi-públicas / Simplificación
« en: 10 Marzo, 2018, 07:40 am »
\( \begin{align*}
\dfrac{10x^3y^2z-40x^5y^2z}{5x^2y^3z+10x^3y^3z}&=\dfrac{x^3y^2z(10-40x^2)}{x^2y^3z(5+10x)}\\
&=\dfrac{x}{y}\dfrac{10-40x^2}{5+10x}\\
&=\dfrac{x}{y}\left(\dfrac{2-8x^2}{1+2x}\right)
\end{align*} \)

Ahora hacemos la división \( -8x^2+2 \) entre \( 2x+1 \) (*).


-8x^2      + 2 | 2x + 1
 8x^2 + 4x      -4x + 2
        4x + 2
       -4x - 2
           0


Esto es, \( \dfrac{2-8x^2}{1+2x}=-4x+2=2(1-2x) \). Luego

\( \dfrac{x}{y}\left(\dfrac{2-8x^2}{1+2x}\right) = \dfrac{2x(1-2x)}{y} \)

(*) También puede dividirse usando Ruffini con \( \alpha=-\frac12 \) en virtud de que \( 2x+1=2\big[x-(-\frac12)\big] \). En ese caso hay que tener presente que los coeficientes a los que lleguemos hay que dividirlos entre 2.

11
Foro general / Libros de matemática para niños
« en: 09 Marzo, 2018, 02:55 am »
Hola,

Me gustaría obsequiar al hijo de una amiga (va a cumplir 11 años) un libro de matemática. Preferiría que no fuera en el formato de libro de texto (aunque tampoco lo descarto) sino que se trate de una historia que lo induzca a pensar en temas de matemática. Yo leí la colección de Adrián Paenza y está muy bien, aunque para esa edad quizá sea demasiado avanzada. ¿Alguna sugerencia?

Saludos.

PD. Se puede aprovechar el hilo para recomendar todo tipo de libros de matemática infantiles/juveniles.

12
Estadística / Encuesta de hogares
« en: 12 Agosto, 2017, 09:47 pm »
Buenas tardes,

¿Alguien me podría decir lo que se espera en los apartados a) y b) de este trabajo?

Saludos.

13
Combinatoria / Errata en un paper
« en: 03 Junio, 2017, 06:20 am »
Buenas noches.

En este paper,

http://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/MCMCRev.pdf

¿en la página 5, no está equivocada la fórmula de \( J(f,f^*) \)? Para mí debería ser \( \dfrac1{\binom{m}{2}} \).

Añado:
Si \( f^* \) se obtiene de \( f \) intercambiando los valores funcionales de dos posiciones (como dice en la pág. 2: "Change to \( f^* \) by making a random transposition of the values \( f \) assigns to two symbols", entonces sería lo que dije arriba, porque basta elegir esas dos posiciones de un total de \( m \).

Si es lo que dice en la fórmula, de que \( f^* \) difiere de \( f \) en a lo sumo dos posiciones, ¿cómo sería?

Saludos

14
Probabilidad / Distribución condicional
« en: 24 Mayo, 2017, 01:47 pm »
Sea \( \varphi:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R} \) tal que \( \varphi(\mathbf{x})=x_1x_2^2x_3^3x_4^4x_5^5 \). Sea \( \mathbf{X} \) uniforme en \( [0,1]^5 \), e \( Y=\varphi(\mathbf{X}) \). Se define una partición de \( [0,1]^5 \) de esta manera:

\( \mathcal{Z}_1=[0,1]^4\times[0,1/5),\;\mathcal{Z}_2=[0,1]^4\times[1/5,2/5),\;\mathcal{Z}_3=[0,1]^4\times[2/5,3/5),\;\mathcal{Z}_4=[0,1]^4\times[3,5,4/5),\;\mathcal{Z}_5=[0,1]^4\times[4/5,1] \)

Sea \( I=\left\{\begin{array}{lll} j & \mbox{ si } & \mathbf{X}\in \mathcal{Z}_j \\ 0 & \mbox{ si } & \mbox{ no }\end{array}\right. \)

¿Cómo se calcularía \( Var[Y|I=j] \)?

Saludos.

15
Adjunto dos páginas del libro Monte Carlo: concepts, algorithms, and applications de George Fishman. En ellas se explica un algoritmo para generar un vector aleatorio \( Z=(Z_1,\dots,Z_n)^t \) uniformemente distribuido en el borde de la hiperesfera de radio \( r \):

\( C_n(r)=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n:x_1^2+\cdots+x_n^2=r^2\} \)

Donde dice Such a point has the p.d.f.:

\( f(\mathbf{z}|r)=\dfrac{\Gamma(n/2)}{(2\pi)^{n/2}r^{n-1}},\quad \mathbf{z}\in C_n(r) \)

Tengo dos dudas:

1) Imagino que no se está tomando como espacio muestral \( \Omega=\mathbb{R}^n \) sino \( \Omega=C_n(r) \), ya que en el primer caso, \( \int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf{z}|r)d\mathbf{z} \) nunca podría ser 1 por ser \( C_n(r) \) un conjunto de medida nula, ¿no?

2) ¿De dónde sale esta fórmula? ¿Qué representa? Parece que fuera el inverso de la superficie.

Lo otro es:

3) ¿Cómo se deduce que \( \left(r\frac{X_1}{\sqrt{X_1^2+\cdots+X_n^2}},\dots,r\frac{X_n}{\sqrt{X_1^2+\cdots+X_n^2}}\right)^t \) tiene la distribución de \( Z \), siendo \( X_i\sim N(0,1) \) iid?

16
Discusiones semi-públicas / Idea de intervalos [ti,ti+1)
« en: 31 Marzo, 2017, 12:19 am »
Definamos una sucesión de tiempos \( (t_i)_{i\in \mathbb{N}} \) como sigue:

\( \left\{\begin{array}{l}t_0=0\\t_1=\frac{L-x_0}{v_0}\\t_n=t_{n-1}+\frac{L}{\alpha^{n-1}v_0},\quad n\geq 2\end{array}\right. \)

Ahora consideremos los intervalos de tiempo de la forma \( T_i=[t_i,t_{i+1}) \). Se cumple lo siguiente:

\( x(t)=\left\{\begin{array}{lll}x_0+v_0t &\mbox{si} & t\in T_0=\left[0,\frac{L-x_0}{v_0}\right)\\ L-\alpha^{2k-1}v_0(t-t_{2k-1}) &\mbox{si} & t\in T_{2k-1}=\left[t_{2k-1},t_{2k}\right),k\geq 1\\ \alpha^{2k}v_0(t-t_{2k}) &\mbox{si} & t\in \left[t_{2k},t_{2k+1}\right),k\geq 1\end{array}\right. \)

Por lo tanto, si queremos computar \( x(t) \) para un \( t \) fijo, tenemos que determinar a qué intervalo de tiempo \( T_i \) pertenece este valor de \( t \). Para ello, observemos que:

\( \displaystyle\begin{align*}
t_n&=\frac{L}{\alpha^0v_0}+\frac{L}{\alpha^1v_0}+\frac{L}{\alpha^2v_0}+\cdots+\frac{L}{\alpha^{n-1}v_0}-\frac{x_0}{v_0}\\
&\vdots\\
&=\frac{L}{v_0}\left(\frac{1-\alpha^n}{(1-\alpha)\alpha^{n-1}}-\frac{x_0}{L}\right),\quad n\geq 1
\end{align*} \)

Luego, dado un \( t \) fijo, nos interesa calcular el máximo \( n \) tal que \( t_n\leq t \). Si encontramos dicho \( t_n \), sabemos que \( t\in T_n=[t_n,t_{n+1}) \) y podemos saber qué fórmula aplicar en la definición por partes de \( x(t) \). La inecuación

\( \displaystyle t\geq \frac{L}{v_0}\left(\frac{1-\alpha^n}{(1-\alpha)\alpha^{n-1}}-\frac{x_0}{L}\right) \)

es equivalente a

\( \displaystyle n\leq 1-\frac{\displaystyle \ln\left(\alpha +\frac{(x_0+v_0t)}{L}(1-\alpha)\right)}{\ln\alpha} \)

De ahí se concluye que el máximo de los \( n \) que verifican la propiedad anterior es:

\( \displaystyle n=\left\lfloor 1-\frac{\displaystyle \ln\left(\alpha +\frac{(x_0+v_0t)}{L}(1-\alpha)\right)}{\ln\alpha}\right\rfloor \)

Ahora para calcular \( x(t) \) hay que fijarse si el \( n \) anterior es par o impar, y aplicar la fórmula correspondiente.

17
Buenas!

En mi facultad adquirió repercusión durante fines febrero y principios de este mes, el caso de un examen de cálculo 1 en que se presentaron 506 alumnos y aprobaron 11, teniendo que bajar el nivel de exigencia del 60 al 50 por ciento, ya que de otra manera no habría aprobado ninguno.

Apareció en los periódicos:

http://www.elobservador.com.uy/de-506-alumnos-solo-11-salvaron-un-examen-filtro-ingenieria-n1044089
http://www.elobservador.com.uy/ingenieria-tomara-medidas-examen-que-perdieron-casi-todos-n1044413

Y en la televisión:

http://www.subrayado.com.uy/Site/noticia/65105/revisaran-el-examen-de-ingenieria-que-solo-salvaron-11-de-500-estudiantes

Lo escribo aquí por si alguien quiere comentar algo al respecto. Hay miembros de este foro que tengo en alta estima y de los cuales me interesaría conocer su opinión.

Por si alguien siente curiosidad acerca de cuál fue el examen en cuestión, adjunto la letra.

Saludos.

18
Discusiones semi-públicas / Límite
« en: 11 Diciembre, 2016, 05:56 am »
Sea \( (a_n) \) tal que \( a_1=1 \) y \( a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n},\;n\geq 1 \). Determinar el valor del siguiente límite:

\( \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right) \)

Bosquejo de solución:

Primero que nada, deducimos que:

\( a_n=\left\{\begin{array}{cll}1&\mbox{ si } &n=1,2\\ \frac{(n-1)!!}{(n-2)!!}&\mbox{ si } &n>2\end{array}\right. \)

Ahora definamos \( b_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \) y \( c_n=\sqrt{n} \). El límite pedido es \( \lim \frac{b_n}{c_n} \). Si llamamos \( d_n=\frac{b_n}{c_n} \) se trata de hallar \( \lim d_n \). Si existe \( L=\lim d_n \) entonces \( L=\lim d_{2k} \) ya que cualquier subsucesión de una sucesión convergente, converge al mismo límite que la sucesión madre. Luego, si llamamos \( d'_k=d_{2k} \), \( c'_k=c_{2k} \) y \( b'_k=b_{2k} \), queremos determinar

\( \displaystyle \lim_{k\to \infty} d'_k=\lim_{k\to \infty} \frac{b'_k}{c'_k} \)

Como \( c'_k=c_{2k}=\sqrt{2k} \) es una sucesión monótona creciente y no acotada, podemos aplicar Stolz:

\( \begin{align*}
\lim_{k\to \infty} \frac{b'_k}{c'_k} &= \lim_{k\to \infty} \frac{b'_{k+1}-b'_k}{c'_{k+1}-c'_k} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{b_{2(k+1)}-b_{2k}}{c_{2(k+1)}-c_{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{2(k+1)} \frac{1}{a_i} - \sum_{i=1}^{2k} \frac{1}{a_i}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{1}{a_{2(k+1)}}+\frac{1}{a_{2k+1}}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}+\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}}
\end{align*} \)

Eliminando los factoriales dobles, nos queda:

\( \displaystyle \lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{2^{2k+1}(k!)^2(k+1)}{\big(2(k+1)\big)!}+\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \)

Para calcular este límite, utilizamos el equivalente de Stirling: \( \displaystyle k!\sim \sqrt{2\pi k}\left(\frac{e}{k}\right)^k \) y lo que resta es rutinario.

Spoiler
A mí me da \( \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\left(1+\dfrac{\pi}2\right)\approx 2,0512 \)
[cerrar]

19
Calcular \( \displaystyle \int_0^\infty \dfrac{x^{1/3}(\ln x)^2}{x^2+1} dx \).

Lo he publicado en el subforo de variable compleja, porque mi intuición me dice que puede resolverse por el método de los residuos, pero cualquier resolución es bienvenida.

Saludos.

20
En la arquitectura Intel 8086 (de principios de la década del 80'), los registros eran de 16 bits. Si las direcciones de memoria se hubiesen guardado en un registro solo, la memoria que dicha arquitectura hubiese podido direccionar habría sido solamente de \( 2^{16} \) Bytes = \( 64 \) KiB que era muy poco incluso para esa época. Con el propósito de direccionar 1 MiB de RAM (y no cambiar el tamaño de los registros), lo que se les ocurrió fue inventar un modelo de memoria segmentado utilizando dos registros para formar cada dirección efectiva de memoria: un registro de segmento y un registro de desplazamiento. De esa manera, la dirección efectiva (o absoluta) que la CPU enviaba por el bus de direcciones se calculaba de esta manera:

Dirección absoluta = (Segmento * 16) + Desplazamiento

Por ejemplo, para la dirección absoluta 12345h una posibilidad era elegir segmento=1234h, desplazamiento=5h, o también era válido segmento=1000h, desplazamiento=2345h. En el primer caso, la dirección segmentada se denota por 1234h:0005h y en el segundo, 1000h:2345h. Si el resultado de la suma (Segmento * 16) + Desplazamiento excedía los 20 bits, éste se truncaba y la CPU se quedaba con los 20 bits menos significativos.

La pregunta es: para una dirección de memoria absoluta dada (en el rango 00000h a FFFFFh), ¿cuántas posibles combinaciones de segmento y desplazamiento hay?

En esta página viene contestada la pregunta en el siguiente párrafo, pero no dice por qué.

Citar
As a matter of fact there may be up to 4,096 different Segment:Offset pairs for addressing a single byte in Memory; depending upon its particular location. For Absolute addresses 0h through FFEFh ( 0 through 65,519 ), the number of different pairs can be computed as follows: Divide the Absolute address by 16 ( which shifts all the hex digits one place to the right ), then throw away any fractional remainder and add 1. This is the same thing as saying: Add 1 to the Segment number if the Offset is 000Fh (15) or less. For example, the byte in memory referenced by the Segment:Offset pair 0040:0000 has a total of 41h (or 65) different pairs that might be used. For the Absolute address 7C00h, which was mentioned above, there's a total of: 7C00 / 10h --> 7C0 + 1 = 7C1 (or 1,985) relative ways to address this same memory location using Segment:Offset pairs. For the Absolute addresses from FFF0h (65,520) all the way through FFFFFh (1,048,575), there will always be 4,096 Segment:Offset pairs one could use to refer to these addresses! That's a little over 88% of the memory that can be accessed using Segment:Offsets. The last 65,520 bytes that can be accessed by this method are collectively called the High Memory Area (HMA). For each 16 bytes higher in the HMA that we point to, there is one less Segment:Offset pair available to reference that paragraph.

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