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Temas - gdl

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Hola a todos.

Estoy estudiando estas funciones y, en todos los lugares que miro, rápidamente entran en la teoría de funciones elípticas (doble periodo y meromorfa) abandonando la interpretación trigonométrica de estas funciones.

En primer lugar supuse que, como en trigonometría, el argumento de las funciones sn, cn, dn y demás estaría relacionado con la longitud del arco (que es el ángulo en la circunferencia). La longitud de arco se obtiene con la integral elíptica incompleta de segunda especie.

\( E(\phi,k) =\displaystyle\int_0^\phi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta \)

El que esté interesado puede investigar en DLMF donde indica que la longitud de arco es

\( l=a E(\phi,k) \)

y se aclara que el parámetro \( k \) es el módulo elíptico (o excentricidad de la elipse).


Creía que Jacobi quería obtener funciones similares al seno y al coseno usando esta longitud de arco. De hecho, define las funciones sn y cn basándose en el seno y el coseno.

\( \mathrm{sn}(u)=\mathrm{sin}(\mathrm{am}(u)) \)
\( \mathrm{cn}(u)=\mathrm{cos}(\mathrm{am}(u)) \)

Nota: Hay una tercera función \( \mathrm{dn}(u) \) pero no es importante para lo que estamos hablando ahora.


Mi sorpresa viene cuando la amplitud de Jacobi \( \mathrm{am}(u) \) se define usando la integral elíptica incompleta de primera especie.

\( F(\phi,k) = \int_0^\phi \frac {d\theta} {\sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta}} \)

Si no me equivoco la amplitud se define así

\( \mathrm{am}(u,k)=\phi \Leftrightarrow F(\phi,k)=u \)

y el resto de funciones elípticas de Jacobi usando esta amplitud (y, a través de ella, la integral elíptica de primera especie).

Para terminar de confirmar que la longitud de arco no es la que se usa en estas funciones elípticas de Jacobi, existe una función llamada la función épsilon de Jacobi que se usa para calcular la longitud del arco a partir de la amplitud de Jacobi.

\( \[\mathop{E\/}\nolimits\!\left(\mathop{\mathrm{am}\/}\nolimits\left(x,k\right),k\right)=\mathop{\epsilon\/}\nolimits\!\left(x,k\right),\] \)

Nota: Para los curiosos, la longitud de arco se calcula así \( \[l(u)=a\mathop{\epsilon\/}\nolimits\!\left(u,k\right),\] \). De nuevo, ver la DLFM.


En definitiva, no entiendo cuál es la interpretación geométrica que le debo dar al argumento de las funciones elípticas de Jacobi. Si tengo \( \mathrt{sn}(u) \), ¿qué es lo que significa la \( u \)? Visto que no es la longitud del arco. ¿Qué es?

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