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Temas - javier m

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1
Hola a todos, tal vez esta pregunta es muy básica pero nunca he estudiado este tema propiamente. En todo caso, aquí va:

¿Toda función lineal \( f: V_1 \otimes V_2 \otimes \cdots V_n \to \mathbb{k}  \) puede ser vista como un producto tensorial \( f_1 \otimes \cdots \otimes f_n \), donde cada \( f_i:V_i \to \mathbb{k} \) es una funcional lineal? (¿es esta descomposición única?)

2
Hola, supongo que esta pregunta aplica para muchas ramas básicas de las matemática, pero dado que estoy más cercano a la topología, hago la pregunta en esta área.

Entiendo que la topología general sirva de fundamento para los otros tipos de topología (algebraica, diferencial,...) y para el análisis, pero una vez se han construido esos fundamentos ¿cuál es fin de seguir estudiando topología? A veces me da la impresión de que se introducen nuevas y rebuscadas  definiciones que hacen que todo parezca un poco rebuscado y la rama queda aislada de las otras ramas. Por ejemplo, estudiar espacios con propiedades extrañas que nunca llegarían siquiera a rozar una rama como la topología diferencial o incluso la algebraica. Tal vez alguien podría argumentar que ese tipo de cosas merecen ser estudiadas incluso si no aportan a otra rama (yo mismo lo pienso normalmente), pero a veces me cuesta ver cuál es el punto de estudiar algo que no va a tener repercusión en nada más allá de un pequeño circulo de gente interesada.

Saludos

3
Hola, estoy liado con este problema que no veo como resolver, se trata de una función \( f:U \subseteq{} \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m  \) con \( m>1 \), \( f \in \mathcal{C}_1 \) y un punto \( a \in U \) que es el único punto singular de \( f \) (esto es, \( D_{f(a)} \) tiene determinante 0). Lo que tengo que ver es que \( f \) es abierta.

Yo sé que si un abierto \( V \) no tiene puntos singulares, entonces \( f[V] \) es abierto (por un lema que precede al teorema de la función inversa). Entonces, creo que tendría que ver que \( f(a) \in f[U \setminus \{a\}]  \), y con esto concluiría que \( f(U)=f[U \setminus \{a\}] \) es abierto, pero no veo cómo hacer esto.

Alguien puede darme una mano?

4
Hola a todos

Voy a empezar a hacer la maestría en matemáticas, pero la universidad en la que voy a entrar aunque (me parece que) es buena es muy provinciana, y quería saber si a la hora de aplicar a un doctorado de alguna universidad de mucho prestigio (tipo Caltech, Oxford,...), qué tan influyente es esto para la admisión?


Saludos.



5
Hola a todos.

Tengo esta duda: Si una función \( f: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}   \) es diferenciable en un punto, ¿es también diferenciable en alguna vecindad del punto?

Gracias por la atención.


6
Buenas, ya hace varios días hice una pregunta sobre sumar e integrar sobre racionales, y me gustaría seguir con el tema.

Resulta que tengo un trabajo de universidad (de mecánica cuántica), y necesito hacer sumas sobre intervalos de racionales, es decir, esto: \( \displaystyle\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap{} (a,b) }{f(q)} \), con \( f(q)\geq{} 0, \forall{q \in \mathbb{Q} \cap{} (a,b)} \)


Pero no sé como ordenarlos, sé que hay algunas funciones que pueden servir, como la función pairing de Cantor, la serie diatómica de Stern y el árbol Stern-Brocot, pero de todas esas la única que es explicita es la función pairing, pero esa no me relaciona \( \mathbb{Q}_{+} \) con \( \mathbb{N} \), sino \( \mathbb{N}\times \mathbb{N} \) con \( \mathbb{N} \), y no veo como al sumar me puedo deshacer de los racionales que se repiten si uso esa.



Gracias .

7
Hola a todos.

Se pueden integrar funciones cuyo dominio sea \( \mathbb{Q} \) o \( \mathbb{Q} \cap{} [a,b] \), \( a<b  \) (\( a,b  \) reales)? (o cuyo dominio se \( [a,b] \) pero que la función sea nula en todo punto fuera de \( \mathbb{Q} \cap{} [a,b] \) )

Me dijeron que con la integral de Lebesgue se podía pero no estoy seguro.

Lo otro es saber si se pueden hacer sumas del tipo \( \displaystyle\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap{} [a,b] }{f(q)} \).

Para sumar  (en caso de que se pueda) desde luego hay que darle un orden más adecuado  a \( \mathbb{Q} \cap{} [a,b] \), de modo que haya un "siguiente" para cada número. Si la suma converge para un orden, ¿converge para todos? ¿da el mismo resultado siempre?, o simplemente no se puede realizar ninguna suma de esas?

Saludos.

8
Topología (general) / probar que la clausura es cerrada
« en: 09 Febrero, 2014, 10:01 pm »
Buenas, me da un poco de verguenza pedir ayuda en este problema porque se ve que es fácil, pero no me sale  :-\

Sea \( S \subset{ \mathbb{R}^n} \), probar que \( \bar{S} \) es un conjunto cerrado.

Yo lo que quise hacer fue ver que \( \mathbb{R}^n-\overline{S} \) es abierto:

Sea \( x \not\in{ \bar{S}} \), se tiene entonces que existe un \( \epsilon_1 > 0 \) ta que \( B(x,\epsilon_1 ) \cap{S}=\emptyset \), por tanto \( B(x,\epsilon_1 ) \subset{ \mathbb{R}^n-S} \)

Pero me falta probar que \( B(x,\epsilon_2 ) \subset{ \mathbb{R}^n-S'} \), donde \( S' \) es el conjunto de puntos de acumulación.

Saludos.

9
Buenas, la pregunta es básicamente la del título.

¿Qué significado tiene elevar un número a una potencia irracional?

Por ejemplo, ¿qué significa \( 3^{\sqrt{2}} \) o \( 1^{\pi} \)?

Saludos :).

10
Buenas, primero que todo no se nada de análisis funcional, pero según entiendo estudia las funciones como elementos de un espacio vectorial, así que creo que este es el lugar para hacer esta pregunta. Pero si no, disculpen.

De casualidad alguien sabe cual es el cardinal de la dimension del espacio de funciones diferenciables de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \) ? ¿o algún dato relacionado?

Es solo curiosidad. Saludos y feliz año.

11
Buenas, tengo que probar lo siguiente

Sea \( X \subset{} \mathbb{N} \) un subconjunto infinito. Pruebe que existe una única función biyectiva creciente \( f: N \longrightarrow{} X \)

Creo que puedo probar existencia usando el principio del buen orden, es decir, a 1 le asigno el elemento mas pequeño \( a_1 \) de \( X \), a 2 le asigno el elemento más pequeño \( a_2 \) de \( X- \){\( a_1 \)}, y así sucesivamente...

\( f(1)=a_1 \)
\( f(2)=a_2 \)
\( f(3)=a_3 \)
...

y ahí tengo mi función creciente, pero para la unicidad no veo forma.

Saludos


12
Buenas, quería saber si me podían decir si la siguiente demostración está bien hecha

El enunciado es este:

Sea \( D \) una partición de \( \mathbb{R} \)  tal que cada elemento de \( D \) es un intervalo de algún tipo, de modo que no tenga un solo punto.  Demuestre que \( D \) es contable (Use la "densidad" de \( \mathbb{Q} \) en \( \mathbb{R} \))

Demostración:

Sea \( f: D \rightarrow{} \mathbb{Q} \), tal que \( f(I_i)=q_i \), donde \( q_i \) es un numero racional en \( I_i \) (¿Es esto axioma de elección?)

Dado que \( D \) es una partición, tenemos que \( I_i \cap{} I_j = \emptyset \) con \( i \neq{} j \). Ya que \( q_i \in I_i \) y \( q_j \in I_j \), tenemos que \( q_i \neq{} q_j \), y por tanto \( f(I_i) \neq{} f(I_j) \). Por tanto \( f \) está bien definida.

Sea \( f(I_i)=f(I_j)=q \), dado que \( q \in I_i  \) y \( q \in I_j \), entonces \( I_i=I_j \), por ser \( D \) una partición. Por tanto \( f \) es inyectiva.


Dado que existe una función inyectiva de \( D \) en los racionales, y existe una función biyectiva de los racionales en los naturales, se tiene que existe una función de \( D \) en los naturales, y por tanto \( D \) es contable.



¿Sí estaría bien?, por cierto se aceptan con gusto criticas a la redacción y a cualquier otra cosa.

Saludos.

13
Probabilidad / Una rifa: ¿Es justo este juego?
« en: 07 Mayo, 2013, 05:17 pm »
Buenas a todos, hace tiempo que no me aparecía por acá.

Resulta que hace como 3 años cuando estaba en el colegio, ya para fiestas de grado me salió una duda.

Cuando iban a hacer la fiesta de grado habían que repartir los lugares que le correspondía a cada estudiante.

Habían dos lugares que todo el mundo quería, así que hicieron un sorteo que consistía en que cada padre de familia sacaba un numero de una bolsa, y a ese numero le correspondía un lugar en la fiesta. El asunto es que los boletos se cogían por turno, alfabeticamente según el apellido del alumno.

La pregunta es si este juego es justo, ¿o hay acaso una persona "con las de ganar"?

Lo pregunto porque si hay 20 personas (y 20 boletas), al primero le corresponde una probabilidad de 2/20, mientras que al segundo de 2/19, y al tercero de ..., pero uno sacará una boleta ganadora y entonces la probabilidad del siguiente bajará (a 1 sobre algo), y seguirá subiendo con el que sigue hasta que alguien saque la otra ganadora y la probabilidad después se haga cero para el resto.

¿cómo saber quien(es) tiene(n) la maxima probabilidad de ganar?

Gracias.

14
Hola, Es bien sabido que la matriz de giro en \( \mathbb{R}^3 \) con respecto al eje x es \( \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix} \)

si es posible, ¿como sería en \( \mathbb{R}^4 \)?

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Problema acerca del campo Z5
« en: 21 Septiembre, 2011, 03:12 am »
hola, encontré este problema en un examen por ahí y no tengo idea de como se hace y tampoco entiendo algo que dice.
el problema es este:

En el campo \(  \mathbb{Z}_5 \) la ecuación \( x^2=2 \) no tiene solución. Sea \( u \) tal que \( u^2=2 \). Entonces agregando \( u \) al campo \( \mathbb{Z}_5 \) obtengo el campo \( \mathbb{Z}_5[u] \) con 25 elementos en donde \( (u+1)^2= \)

a) 1
b) u+2
c) \( 2u+3 \)
d) 2u
e) u+1
f) OTRA

La respuesta es c) \( 2u+3 \) , ¿pero por qué?

una cosa que no entendí, ¿como asi que si agregan a \( u \), el campo pasa de tener 5 elementos a tener 25?  ??? no entendí eso

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hola, necesito demostrar que el determinate de un producto de matrices es igual al producto del determinante de cada matriz (\( |A.B|=|A||B| \))

la verdad no se me ocurre ni por donde empezar, así que si quieren darme una ayuda, o darme un link o un libro que tenga la demostración, se los agradecería.

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Hola,doy calculo diferencial y quería hacerles una pregunta

hay libros de calculo muy sencillos diria yo (stewart, leithold etc), que creo que son bueno libros introductorios, pero quizas sean insuficientes para comprender y manejar bien el calculo.

tambien hay otros que a mi parecer son pesaditos -y aburriditos- como el piskunov, pero estos libros a diferencia de los primeros mencionados, tienen mucho rigor y demostraciones.

entonces, quisiera saber si les parece un libro como el piskunov bueno para aprender calculo, o si es mejor leerlo una vez ya se haya aprendido calculo (con calculo de stewart, leithold, etc...sencillos)

o por el contrario,si no creen necesario leer un libro de rigor si ya se sabe calculo.

saludos.

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Cita de: problema
comprobar que toda matriz hermitica \( A \) puede expresarse como \( A=B+iC \)  en donde B es real y simétrica y C es real y anti-simétrica

lo que tengo es esto

\( A=B+iC \)

\( \bar{A^t}=\bar{B^t}+\bar{(iC)^t} \)

como A es hermitica, entonces \( A=\bar{A^t} \)

\( A=\bar{B^t}+\bar{i}\bar{(C)^t} \)

\( A=\bar{B^t}+(-i)\bar{(C)^t} \)



entonces, al igualar la primera expresión con esta ultima tendria que

\( B+iC=\bar{B^t}+(-i)\bar{(C)^t} \)

pero no sé que mas hacer.

iba a colocar un ejemplo pero no doy colocar matrices en esta pagina

PD: debo confesar que la forma en que usa el latex esta pagina me ha irritado bastante, ¿que tiene de mal escrita esta formula? \( B+iC=\bar{B^t}+(-i)\bar{(C)^t} \)

o esta \( A=\bar{B^t}-i\bar{(C)^t} \) ?

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Docencia / ¿Ser un buen docente es un don?
« en: 28 Mayo, 2011, 04:27 am »
hola, creen que ser un buen docente es un don y algo que se hace con vocación o cualquiera puede llegar a ser un gran docente conforme gana experiencia ?

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Cálculo 1 variable / límites trigonométricos
« en: 28 Mayo, 2011, 01:37 am »
hola, tengo algunos límites trigonométricos que  no he podido resolver. quizás porque esté mas acostumbrado a que \( x \) tiene que tender a 0

son varios los que no he podido, pero si logro arrancar seguro que me salen todos, así que dejo 2 para que me orienten:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}\displaystile\frac{\cos x-\cos a}{x-a} \)

y

\( \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{\sen \pi x} \)

espero que me puedan orientar un poco.

gracias.

PD: sin l'Hôpital


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