Hola, supongo que esta pregunta aplica para muchas ramas básicas de las matemática, pero dado que estoy más cercano a la topología, hago la pregunta en esta área.

Entiendo que la topología general sirva de fundamento para los otros tipos de topología (algebraica, diferencial,...) y para el análisis, pero una vez se han construido esos fundamentos ¿cuál es fin de seguir estudiando topología? A veces me da la impresión de que se introducen nuevas y rebuscadas  definiciones que hacen que todo parezca un poco rebuscado y la rama queda aislada de las otras ramas. Por ejemplo, estudiar espacios con propiedades extrañas que nunca llegarían siquiera a rozar una rama como la topología diferencial o incluso la algebraica. Tal vez alguien podría argumentar que ese tipo de cosas merecen ser estudiadas incluso si no aportan a otra rama (yo mismo lo pienso normalmente), pero a veces me cuesta ver cuál es el punto de estudiar algo que no va a tener repercusión en nada más allá de un pequeño circulo de gente interesada.

Saludos

Hola a todos

Voy a empezar a hacer la maestría en matemáticas, pero la universidad en la que voy a entrar aunque (me parece que) es buena es muy provinciana, y quería saber si a la hora de aplicar a un doctorado de alguna universidad de mucho prestigio (tipo Caltech, Oxford,...), qué tan influyente es esto para la admisión?


Saludos.

Buenas, ya hace varios días hice una pregunta sobre sumar e integrar sobre racionales, y me gustaría seguir con el tema.

Resulta que tengo un trabajo de universidad (de mecánica cuántica), y necesito hacer sumas sobre intervalos de racionales, es decir, esto: \( \displaystyle\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap{} (a,b) }{f(q)} \), con \( f(q)\geq{} 0, \forall{q \in \mathbb{Q} \cap{} (a,b)} \)


Pero no sé como ordenarlos, sé que hay algunas funciones que pueden servir, como la función pairing de Cantor, la serie diatómica de Stern y el árbol Stern-Brocot, pero de todas esas la única que es explicita es la función pairing, pero esa no me relaciona \( \mathbb{Q}_{+} \) con \( \mathbb{N} \), sino \( \mathbb{N}\times \mathbb{N} \) con \( \mathbb{N} \), y no veo como al sumar me puedo deshacer de los racionales que se repiten si uso esa.



Gracias .

Buenas, me da un poco de verguenza pedir ayuda en este problema porque se ve que es fácil, pero no me sale 

Sea \( S \subset{ \mathbb{R}^n} \), probar que \( \bar{S} \) es un conjunto cerrado.

Yo lo que quise hacer fue ver que \( \mathbb{R}^n-\overline{S} \) es abierto:

Sea \( x \not\in{ \bar{S}} \), se tiene entonces que existe un \( \epsilon_1 > 0 \) ta que \( B(x,\epsilon_1 ) \cap{S}=\emptyset \), por tanto \( B(x,\epsilon_1 ) \subset{ \mathbb{R}^n-S} \)

Pero me falta probar que \( B(x,\epsilon_2 ) \subset{ \mathbb{R}^n-S'} \), donde \( S' \) es el conjunto de puntos de acumulación.

Saludos.

Buenas, primero que todo no se nada de análisis funcional, pero según entiendo estudia las funciones como elementos de un espacio vectorial, así que creo que este es el lugar para hacer esta pregunta. Pero si no, disculpen.

De casualidad alguien sabe cual es el cardinal de la dimension del espacio de funciones diferenciables de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \) ? ¿o algún dato relacionado?

Es solo curiosidad. Saludos y feliz año.

Buenas, quería saber si me podían decir si la siguiente demostración está bien hecha

El enunciado es este:

Sea \( D \) una partición de \( \mathbb{R} \)  tal que cada elemento de \( D \) es un intervalo de algún tipo, de modo que no tenga un solo punto.  Demuestre que \( D \) es contable (Use la "densidad" de \( \mathbb{Q} \) en \( \mathbb{R} \))

Demostración:

Sea \( f: D \rightarrow{} \mathbb{Q} \), tal que \( f(I_i)=q_i \), donde \( q_i \) es un numero racional en \( I_i \) (¿Es esto axioma de elección?)

Dado que \( D \) es una partición, tenemos que \( I_i \cap{} I_j = \emptyset \) con \( i \neq{} j \). Ya que \( q_i \in I_i \) y \( q_j \in I_j \), tenemos que \( q_i \neq{} q_j \), y por tanto \( f(I_i) \neq{} f(I_j) \). Por tanto \( f \) está bien definida.

Sea \( f(I_i)=f(I_j)=q \), dado que \( q \in I_i  \) y \( q \in I_j \), entonces \( I_i=I_j \), por ser \( D \) una partición. Por tanto \( f \) es inyectiva.


Dado que existe una función inyectiva de \( D \) en los racionales, y existe una función biyectiva de los racionales en los naturales, se tiene que existe una función de \( D \) en los naturales, y por tanto \( D \) es contable.



¿Sí estaría bien?, por cierto se aceptan con gusto criticas a la redacción y a cualquier otra cosa.

Saludos.

Hola, Es bien sabido que la matriz de giro en \( \mathbb{R}^3 \) con respecto al eje x es \( \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix} \)

si es posible, ¿como sería en \( \mathbb{R}^4 \)?

hola, necesito demostrar que el determinate de un producto de matrices es igual al producto del determinante de cada matriz (\( |A.B|=|A||B| \))

la verdad no se me ocurre ni por donde empezar, así que si quieren darme una ayuda, o darme un link o un libro que tenga la demostración, se los agradecería.

comprobar que toda matriz hermitica \( A \) puede expresarse como \( A=B+iC \)  en donde B es real y simétrica y C es real y anti-simétrica

lo que tengo es esto

\( A=B+iC \)

\( \bar{A^t}=\bar{B^t}+\bar{(iC)^t} \)

como A es hermitica, entonces \( A=\bar{A^t} \)

\( A=\bar{B^t}+\bar{i}\bar{(C)^t} \)

\( A=\bar{B^t}+(-i)\bar{(C)^t} \)



entonces, al igualar la primera expresión con esta ultima tendria que

\( B+iC=\bar{B^t}+(-i)\bar{(C)^t} \)

pero no sé que mas hacer.

iba a colocar un ejemplo pero no doy colocar matrices en esta pagina

PD: debo confesar que la forma en que usa el latex esta pagina me ha irritado bastante, ¿que tiene de mal escrita esta formula? \( B+iC=\bar{B^t}+(-i)\bar{(C)^t} \)

o esta \( A=\bar{B^t}-i\bar{(C)^t} \) ?

hola, tengo algunos límites trigonométricos que  no he podido resolver. quizás porque esté mas acostumbrado a que \( x \) tiene que tender a 0

son varios los que no he podido, pero si logro arrancar seguro que me salen todos, así que dejo 2 para que me orienten:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}\displaystile\frac{\cos x-\cos a}{x-a} \)

y

\( \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{\sen \pi x} \)

espero que me puedan orientar un poco.

gracias.

PD: sin l'Hôpital