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Temas - jacks

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1
De oposición y olimpíadas / Binomial sum
« en: 25 Marzo, 2020, 07:05 am »
The value of \( \displaystyle \frac{1}{n^2(n+3)2^{n}}\bigg[\binom{n}{1}(n-1)^3+\binom{n}{3}(n-1)^3+\cdots\cdots \bigg] \) for \( n=10 \)

2
De oposición y olimpíadas / Expression
« en: 18 Marzo, 2020, 12:56 pm »
If \( a<b<c<d \) are positive integers and \( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{11}{6}. \) Then \( (a,b,c,d) \) are

3
De oposición y olimpíadas / real values of a
« en: 17 Marzo, 2020, 02:52 pm »
Finding all real values of \( a \) for which the equation \( \cot^2(x)+\csc(x)=a \) has at least one real solution

4
If \( g:[0,1]\rightarrow (0,\infty) \) is a continuous function such that \( \displaystyle \int^{1}_{0}g(x)dx = 1. \)

Then maximum value of \( \displaystyle \bigg(\int^{1}_{0}\sqrt[3]{g(x)}dx\bigg)\bigg(\int^{1}_{0}\sqrt[5]{g(x)}dx\bigg)\bigg(\int^{1}_{0}\sqrt[7]{g(x)}dx\bigg) \)

5
De oposición y olimpíadas / Definite integrals
« en: 13 Marzo, 2020, 01:53 pm »
The value of \( \displaystyle \int^{2008}_{0}x(x-4)(x-8)(x-12)\cdots (x-2008)dx \)

6
De oposición y olimpíadas / ordered triplets
« en: 04 Marzo, 2020, 07:20 am »
Total number of positive integer ordered triplets \( (a,b,c) \) in \( a+b-c=20 \)

7
De oposición y olimpíadas / Remainder
« en: 20 Febrero, 2020, 10:06 pm »
Finding Remainder when \( 2^{2017} \) is divided by \( 2016 \)

8
De oposición y olimpíadas / real roots
« en: 15 Febrero, 2020, 03:37 pm »
If \( g(x)=b_{0}+b_{1}\cos(x)+b_{2}\cos(2x)+\cdots\cdots+b_{n}\cos(nx). \) where \( b_{0},b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\in \mathbb{R}-\{0\} \) and

\( b_{n}>|b_{0}|+|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots+|b_{n-1}|. \) Then number of real roots of \( g(x)=0 \) in \( 0\leq x\leq 2\pi \)

9
De oposición y olimpíadas / Polynomials
« en: 09 Febrero, 2020, 12:29 pm »
Finding coefficient of \( x^{97} \) in \( \displaystyle \bigg(x-\binom{99}{0}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{1}\bigg)\cdots\cdots\bigg(x-\binom{99}{98}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{99}\bigg) \)

10
De oposición y olimpíadas / Binomial sum
« en: 02 Febrero, 2020, 06:29 pm »
For \( n>2, \) Then \( \displaystyle \sum^{n}_{k=0}(-1)^{k}(n-k)(n-k+1)\binom{n}{k}= \)

11
De oposición y olimpíadas / maximum value
« en: 25 Enero, 2020, 02:07 pm »
If \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) and \( |f(x)|\leq 1 \) for \( x\in[-1,1] \). Then maximum value of \( |a|+|b|+|c|+|d| \) is

12
De oposición y olimpíadas / Series
« en: 23 Enero, 2020, 06:34 am »
If \( \displaystyle  a_{n} = (\ln 3)^{n}\bigg(\sum^{n}_{r=1}\frac{r^2}{r!(n-r)!}\bigg). \) Then \( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=1}a_{k}= \)

13
De oposición y olimpíadas / maximum and minimum
« en: 20 Enero, 2020, 10:59 am »
If \( u,v,x,y\in \mathbb{R} \) and \( u^2+v^2=50,x^2+y^2=100,|x|<|y| \)

Then maximum and minimum value of \( \displaystyle \frac{u-x}{v-y}, \) is

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De oposición y olimpíadas / probability
« en: 22 Noviembre, 2019, 08:26 am »
\( 6 \) pair dice are thrown independently. The probability that there are exactly two different pairs, is

(like one example of \( 2 \) different  pair is an ordered combination like \( 2,2,1,2,5,6 \))

15
De oposición y olimpíadas / Inequality
« en: 14 Noviembre, 2019, 03:19 pm »
Let \( x_{1},x_{2},x_{3},\cdots, x_{n} \) be \( n \) distinct real number and \( n\geq 2 \) and \( x_{i}\in [-1,1]\;\forall i = 1,2 ,3,\cdots ,n. \)

Then prove that \( \displaystyle \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{p_{i}}\geq 2^{n-2} \), where \( p_{i}=\prod_{j\neq i}|x_{j}-x_{i}| \)

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De oposición y olimpíadas / functional equation
« en: 11 Noviembre, 2019, 03:23 pm »
If a function \( f \) satisfies the relation \( f(x)f''(x)-f(x)f'(x)=(f'(x))^2\,\forall x \in\mathbb{R} \)

and \( f(0)=f'(0)=1 \), then value of \( f(x) \) is

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De oposición y olimpíadas / probability
« en: 08 Noviembre, 2019, 07:36 am »
Q: The sum of \( 3 \) positive integer is \( 20. \) Then the probability that they form a Triangle is

i am assuming \( a+b+c=20,a,b,c \in \mathbb{N} \) using wlog \( a\leq b \leq c \)

for triangle \( a+b\geq c\Rightarrow a+b+c \geq 2c\Rightarrow c\leq 10 \) and \( a+b+c\leq 3c\Rightarrow 20\geq 3c\Rightarrow c\geq 7 \)

so range of \( 7\leq c\leq 10 \)

For \( c=7. \) we have \( a+b=13, \) Then ordered pairs \( (6,7) \)

For \( c=8. \) we have \( a+b=12, \) Then ordered pairs \( (6,6),(5,7),(4,8) \)

For \( c=9. \) we have \( a+b=11, \) Then ordered pairs \( (5,6),(4,7),(3,8),(2,9) \)

For \( c=10. \) we have \( a+b=10, \) Then ordered pairs \( (5,5),(4,6),(3,7),(2,8),(1,9) \)

ordered pairs to form a triangle is \( 13 \)(favorable ways)

How do i calculate Total ways. please see it Thanks

18
De oposición y olimpíadas / Polynomials
« en: 07 Noviembre, 2019, 02:34 pm »
If \( f \) be a non zero polynomial such that \( f(1-x)=f(1+x) \) for all real \( x \)

And \( f(1)=0 \). Then largest positive integer \( m \) such that

\( (x-1)^{m} \) divides polynomial \( f(x) \) for all polynomial \( f(x), \) is

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De oposición y olimpíadas / Quadrilateral problem
« en: 22 Octubre, 2019, 04:32 pm »
Let \( A(z_{1}),B(z_{2}),C(Z_{3}) \) and \( D(z_{4}) \) are the vertices of an Trepezium in an Argand plane

Let \( |z_{1}-z_{2}|=4,|z_{3}-z_{4}|=10 \) and Diagonal \( AC \) and \( BD \) intersect

at \( P. \) It is given that \( \displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}\bigg)=\frac{\pi}{2} \) and \( \displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{\pi}{4}\bigg). \)

Then area of Triangle \( \displaystyle PCB \) and \( |CP-DP| \) is

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De oposición y olimpíadas / summation
« en: 14 Octubre, 2019, 03:15 pm »
\( \displaystyle \sum^{n-1}_{i=0}\bigg(\sum^{n}_{j=i+1}\bigg(j\binom{n}{i}+i\binom{n}{j}\bigg)\bigg)= \)

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