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Temas - Santusa

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1
Problemas y Dudas con LaTeX / Comando de control en macros de Latex.
« en: 19 Febrero, 2017, 10:21 pm »
Hola, cómo están todos:

Cuando trabajamos en Tex/Latex, hay comandos de control que pueden ser usados para facilitar nuestra tarea.
Uno de los más conocidos es

Código: [Seleccionar]
\if <test> [parte V] \else [parte F]\fi
Como Mathjax no trabaja con comandos para texto, salvo algunas excepciones, un comando de control como el mencionado arriba, no podría ser tratado por este sistema.
Mi pregunta es ¿ hay algún comando que pueda parecerse al "\if \else \if" de Latex, para poder usar en una macro en el foro?
Por supuesto que leí todo lo que pude en la página de Mathjax, sin encontrar nada parecido. Pero, tal vez, quien domine mejor el sistema pueda auxiliarme en este tema.

Desde ya, muchas gracias.
Cariños.

2
Combinatoria / Sumatorias y potencias de dos.
« en: 18 Febrero, 2017, 02:21 am »
\(
\newcommand{\floor}[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor}
\)
Hola, cómo están todos.
Editado
¿Alguna pista para resolver la siguiente igualdad?
\begin{equation}\label{sumpow}
n=\sum_{i=1}^\floor{log_2(2n)}\left(\floor{\frac{2n}{2^i}}-\floor{\frac{n}{2^i}}\right)
\end{equation}
Desde ya muchas gracias.

Cariños.

3
Combinatoria / Factorizar n! en sus factores primos.
« en: 17 Febrero, 2017, 09:43 pm »
Hola, cómo están todos.

Si \( p\leq n\in\mathbb{N} \) es un número primo, hay una fórmula para hallar
\( k\in\mathbb{N}:p^k | n!\land p^{k+1}\nmid n! \)

¿Alguien la recuerda, o sabe el nombre?

Desde ya muchas gracias y cariños.

4
Hola, cómo están todos:

Tengo dificultad con este enunciado:

Sea \( K \) un espacio métrico compacto, \( \left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset C(K) \). Si \( f_n\to f \text{ en } C(K)\Rightarrow \left(f_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}} \) es equicontinua y uniformemente acotada.

Yo sé que la convergencia es uniforme y que cada \( f_n \) es uniformemente continua, por ser continua sobbre el compacto \( K \).

Muchas gracias y cariños.

5
Topología (general) / Sucesión de funciones puntualmente acotadas.
« en: 08 Febrero, 2017, 03:08 pm »
Hola, cómo están todos:

No encuentro la forma de construir una subsucesión para demostrar este enunciado:

Sea \( E \) un espacio métrico numerable, \( \left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de funciones puntualmente acotadas sobre \( E \), entonces existe una subsucesión \( \left(f_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{N}} \) de \( \left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \) tal que \( \left(f_{n_k}(x)\right)_{k\in\mathbb{N}} \)  converge \( \forall x\in E \).


Sé como construir la siguiente tabla, pero de la diagonal que surge, no sé como darle forma de subsucesión ni justificar que sea una subsucesión:


Disculpen que la tabla no la puedo hacer en \( \LaTeX \), pero necesitaría el paquete diagbox.
El código Latex de la tabla sería

Código: [Seleccionar]
\begin{tabular}{r|cccccccc}
converge en&&&&Subs.&&&&\\ \hline
$ x_1 $& $ f_{n_1}^1 $ && $ f_{n_2}^1$&$\;\dots\;$&$ f_{n_m}^1 $&&$ f_{n_{m+1}}^1 $&\dots\\
&&\diagbox{ \\ }{ \\ }&&&&&&\\
$ x_1,x_2 $& $ f_{n_1}^2 $ && $ f_{n_2}^2$&$\dots$&$ f_{n_m}^2 $&&$ f_{n_{m+1}}^2 $&\dots\\
&&&&\diagbox{ \\ }{ \\ }&&&&\\
$ \vdots $&$ \vdots $ & & $\vdots$&$\dots$&$\vdots $&&\vdots&\dots\\
&&&&&&\diagbox{ \\ }{ \\ }&&\\
$ x_1,x_2,\dots,x_n $& $ f_{n_1}^n $ && $ f_{n_2}^n$&$\dots$&$ f_{n_m}^n $&&$ f_{n_{m+1}}^n $&\dots
\end{tabular}

Con
Código: [Seleccionar]
\usepackage{diagbox} en el preámbulo.

Muchas gracias y cariños

6
Problemas y Dudas con LaTeX / Implementar el comando \footnote.
« en: 05 Febrero, 2017, 02:37 pm »
Hola, cómo están todos:

¿No se podría hacer una implementación para que el Mathjax permita el comando \footnote?

Gracias y cariños.

7
Hola, cómo están todos:

Si \( X \) es un espacio métrico separable, e \( Y\subset X \), entonces \( Y \) es separable.
Ya sabemos, que \( \exists D\subset X:\bar{D}=X\text{ y }D \) es a lo sumo numerable .
Mi problema, es encontrar un \( D_Y\subset Y \) a lo sumo numerable tal que \( \bar{D}_Y=Y \).

Cariños.


8
Topología (general) / Conjuntos densos.
« en: 04 Febrero, 2017, 07:45 pm »
Hola, cómo están todos:

Sea \( X \) un espacio métrico, decimos que \( D\subset X \) es denso si \( \overline{D}=X \)

Algunas equivalencias:

\begin{array}{lcl}
D\text{ denso en }X&\Leftrightarrow&\forall x\in X,\,\exists \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset D: x_n\to x\\
&\Leftrightarrow&\forall U\subset X \text{ abierto, con }U\neq\emptyset\text{ entonces }U\cap D\neq \emptyset.
\end{array}

¿Cómo puedo demostrar que el conjunto de los polinomios con coeficientes racionales
 \( \mathbb{Q}(x) \), es denso en \( C[a,b] \) (las funciones continuas en \( [a,b] \))?

P.S. Yo ya sé que \( \mathbb{R}(x) \) es denso en \( C[a,b] \), por el teorema de Stone-Weierstrass.

Gracias y cariños.

9
Hola, cómo están todos:

Trabajo con Linux Mint 18. Tengo instalado el IcedTea-Web Plugin. El navegador Firefox lo reconoce. Sin embargo, cuando quiero ver una página como esta. Aparece el cuadro de IcedTea web, con un mensaje en la esquina inferior derecha que dice "Click here for details. An exception has occurred."

No sé como hacerlo funcionar.

Muchas gracias y cariños.

10
Hola, cómo están todos:

Tengo una duda en el tratamiento que corresponde con un usuario que tiene el alias en minúscula.

Por ejemplo:
en los alias "el_manco, mario, borjag"
¿Qué corresponde?
¿Referirse al alias, tal como lo eligió el usuario?
 Hola el_manco, hola mario, hola borjag.

¿O referirse al alias, considerando que es un nombre propio?

Hola El_manco, hola Mario, hola Borjag.


Muchas gracias y cariños.




11
Hola, cómo están todos:

Cuando \( f \) es una función real continua en \( [0,\, 1 ] \) donde \( f(0)=f(1)=0 \). Se halla una sucesión de polinomios \( \left(P_n(x)\right)_{n\in\mathbb{R}} \) que converge uniformemente a \( f \) en \( [0,\, 1 ] \). Se demuestra  en el teorema de Stone–Weierstrass, que los polinomios de la forma

\begin{equation}\label{eq:policonv}
P_n(x)=\int_{-1}^1f(x+t)Q_n(t)dt
\end{equation}

componen una sucesión con tales características.

Mi duda es la siguiente:
¿Cuál es la forma de extender este teorema, a un intervalo arbitrario \( {\bf [a,\,b]} \)?

Desde ya muchas gracias y cariños a todos.

12
Problemas y Dudas con LaTeX / Setcounter
« en: 26 Diciembre, 2016, 02:45 pm »
Hola, ¿cómo están todos?

¿Hay alguna forma de utilizar \setcounter{equation}{n}?

Ya probé con

Código: [Seleccionar]
\begin{equation}
 \setcounter{equation}{n}
.......................................
\end{equation}

y antes de una ecuación, con
Código: [Seleccionar]
[tex]\setcounter{equation}{n}[/tex]
Pero ninguno dió resultado.

Gracias y saludos.





13
Hola cómo están todos:
En principios de análisis matemático de Walter Rudin. Me surge un problema con la demostración del teorema  de Stone-Weierstrass.
Dice Rudin, pasando la mitad de la demostración:
"Sea, ahora,

\begin{equation}
\setCounter{50}
P_n(x)=\displaystyle\int_{-1}^1f(x+t)Q_n(t)dt\quad (0\leq x\leq 1).
\end{equation}

Nuestras hipótesis sobre \( f \) demuestran, por un simple cambio de variable, que
\begin{equation*}
P_n(x)=\displaystyle\int_{-x}^{1-x}f(x+t)Q_n(t)dt=\dots
\end{equation*} "

Las hipótesis sobre \( f \) son \( f(0)=f(1)=0 \) y además
\( f(x)=0\textrm{ si }x\notin [0,\, 1] \).

Lo que no comprendo, es como se pasa de la primera integral con límites de integración \( -1,\, 1 \) a la segunda con límites \( -x,\, 1-x \).

(Disculpen la pobreza del Latex, pero el editor no me reconoce el ambiente equation).

Desde ya, muchas gracias y cariños.








14
Hola cómo están todos:
Tengo problemas con la siguiente definición, que a la hora de utilizarla, la comprendo perfectamente bien, Pero no comprendo su estructura lógica:

Definición

Sean \( \left(X,\,d_X\right) \) y \( \left(Y,\,d_Y\right) \) espacios métricos, dada \( f:X\rightarrow Y \), si \( x_0\in X \) es un punto no aislado, \( y_0 \) es el límite de \( f(x) \) para \( x\rightarrow x_0 \) si



\begin{equation}\label{eq:uno}
\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0:\,\forall x\in X, 0<d_X\left(x,\,x_0\right)<\delta\Rightarrow d_Y\left(f(x),\, y_0\right)<\epsilon
\end{equation}


En (\ref{eq:uno}), comprendo como se usa, pero no veo la estructura como lógica de predicados y, si por ejemplo hay que negar tal expresión, no veo claro las reglas (lógicas que se usan para tal cometido).

Resultaría más claro si lo escribiéramos de esta manera:

\begin{equation}\label{eq:dos}
\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in X: 0<d_X\left(x,\,x_0\right)<\delta\Rightarrow d_Y\left(f(x),\, y_0\right)<\epsilon
\end{equation}

Pero, En esta forma de escribir, no queda claro, que \( x \) depende de \( \delta \), cosa que resulta importante si se quiere pasar de límite de una función, a límite secuencial de una función.

La pregunta
¿Hay alguna forma de escribir la expresión (\ref{eq:uno}) o (\ref{eq:dos}), como una fórmula bien hecha en lógica de predicados?

Desde ya muchas gracias y disculpen si compliqué la cosa. :-*

15
Hola, cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema.

Sea \( \Gamma \) un conjunto no numerable. Se define

\( \phi(\Gamma)=\left\{f:\Gamma\longrightarrow\mathbb{R}:f(\lambda)=0\text{ para todo }\lambda\in\Gamma\text{ salvo para un conjunto }A\subset\Gamma\text{ numerable}\right\} \)

Considerando que \( \phi(\Gamma)\subset\mathbb{R}^\Gamma \) y en \( \mathbb{R}^\Gamma \) está la topología producto. Demostrar que \( \overline{\phi(\Gamma)}=\mathbb{R}^\Gamma \)

Muchas gracias y cariños.  :-*

16
Hola cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema.

Sea \( \mathbb{R}^\infty \) el subconjunto de \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \) formado por los \( \left(x_1,x_2,\dots\right) \) con una cantidad finita de componentes no nulas.
¿Cuál es la clausura de \( \mathbb{R}^\infty \) en \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \) con la topología producto y con la topología caja?
Me falta demostrar dos cosas:

1) \( \mathbb{R}^\infty \) es cerrado con la topología caja.
2) Que en la topología producto converge la sucesión \( \mathbf{x}=\left\{\left(r_1,r_2,\dots\right)_j\right\}_{j\in\mathbb{N}} \), donde los \( 0\neq r_i\in\mathbb{R} \) y

\( \pi_\alpha\left(\mathbf{x}_n \right )=\left\{\begin{matrix}
r_\alpha & si &\alpha\leq n \\
0 & si & \alpha>n
\end{matrix}\right. \)
Es decir, para reales arbitrarios, es convergente \( \left(r_1,0,0,\dots\right),\left(r_1,r_2,0,0,\dots\right)\dots \)

Muchas gracias y cariños.  :-*

17
Hola cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema:

Sea \( P=\displaystyle\prod_{n\in\mathbb{N}}\left(X_n,\tau_n\right) \) dotado de la topología producto \( \tau_p \)

Si suponemos todos los \( X_n \) del tipo \( N_1 \) y separables, entonces \( \left(P,\tau_p\right) \) también es \( N_1 \) y separable.

Muchas gracias y cariños.  :-*

18
Hola, como están todos.

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Dado un espacio métrico \( (X,d) \)  y una red convergente x . Entonces se tiene que:

  • Existe un espacio métrico completo \( \hat{X} \) y una isometría \( f:X\rightarrow\hat{X} \) tal que \( f(X) \) es denso en \( \hat{X} \).
  • Dado otro espacio métrico completo \( Y \) y otra isometría \( g:X\rightarrow Y \) tal que \( g(X) \) es denso en \( Y \). Entonces existe una isometría suryectiva \( \Phi:\hat{X}\rightarrow Y \) tal que \( \Phi\circ f=g \).

    Desde ya muchas gracias y saludos.  :-*

19
Topología (general) / Propiedades equivalentes en espacios T1.
« en: 10 Abril, 2014, 04:48 am »
Hola cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema.

Mostrar que en los espacios \( (X,\tau) \) de clase \( T_1 \), las siguientes propiedades son equivalentes

(a) \( X \) es regular.
(b) Dados \( x\in X \) y un abierto \( W \) tal que \( x\in W \), existe \( U\in\tau \); tal que \( x\in U\subset\bar{U}\subset W \)
(c) Dados \( x\in X \) y un cerrado \( F_2 \) tales que \( x\not\in F_2 \), se verifica que existe un abierto \( U \) tal que \( x\in U \) pero \( F_2\cap \bar{U}=\emptyset \)

Desde ya muchas gracias y saludos.

20
Hola cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema:

Dado \( (\Sigma,\leq) \)  un conjunto totalmente ordenado, Mostrar que la topología del orden es la mínima topología en la cual el orden es continuo.

Muchas gracias y saludos.

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