\(
\newcommand{\floor}[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor}
\)
Hola, cómo están todos.
Editado
¿Alguna pista para resolver la siguiente igualdad?
\begin{equation}\label{sumpow}
n=\sum_{i=1}^\floor{log_2(2n)}\left(\floor{\frac{2n}{2^i}}-\floor{\frac{n}{2^i}}\right)
\end{equation}
Desde ya muchas gracias.

Cariños.

Hola, cómo están todos:

Tengo dificultad con este enunciado:

Sea \( K \) un espacio métrico compacto, \( \left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset C(K) \). Si \( f_n\to f \text{ en } C(K)\Rightarrow \left(f_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}} \) es equicontinua y uniformemente acotada.

Yo sé que la convergencia es uniforme y que cada \( f_n \) es uniformemente continua, por ser continua sobbre el compacto \( K \).

Muchas gracias y cariños.

Hola, cómo están todos:

¿No se podría hacer una implementación para que el Mathjax permita el comando \footnote?

Gracias y cariños.

Hola, cómo están todos:

Sea \( X \) un espacio métrico, decimos que \( D\subset X \) es denso si \( \overline{D}=X \)

Algunas equivalencias:

\begin{array}{lcl}
D\text{ denso en }X&\Leftrightarrow&\forall x\in X,\,\exists \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset D: x_n\to x\\
&\Leftrightarrow&\forall U\subset X \text{ abierto, con }U\neq\emptyset\text{ entonces }U\cap D\neq \emptyset.
\end{array}

¿Cómo puedo demostrar que el conjunto de los polinomios con coeficientes racionales
 \( \mathbb{Q}(x) \), es denso en \( C[a,b] \) (las funciones continuas en \( [a,b] \))?

P.S. Yo ya sé que \( \mathbb{R}(x) \) es denso en \( C[a,b] \), por el teorema de Stone-Weierstrass.

Gracias y cariños.

Hola, cómo están todos:

Tengo una duda en el tratamiento que corresponde con un usuario que tiene el alias en minúscula.

Por ejemplo:
en los alias "el_manco, mario, borjag"
¿Qué corresponde?
¿Referirse al alias, tal como lo eligió el usuario?
 Hola el_manco, hola mario, hola borjag.

¿O referirse al alias, considerando que es un nombre propio?

Hola El_manco, hola Mario, hola Borjag.


Muchas gracias y cariños.

Hola, ¿cómo están todos?

¿Hay alguna forma de utilizar \setcounter{equation}{n}?

Ya probé con

\begin{equation}
 \setcounter{equation}{n}
.......................................
\end{equation}

y antes de una ecuación, con
[tex]\setcounter{equation}{n}[/tex]
Pero ninguno dió resultado.

Gracias y saludos.

Hola cómo están todos:
Tengo problemas con la siguiente definición, que a la hora de utilizarla, la comprendo perfectamente bien, Pero no comprendo su estructura lógica:

Definición

Sean \( \left(X,\,d_X\right) \) y \( \left(Y,\,d_Y\right) \) espacios métricos, dada \( f:X\rightarrow Y \), si \( x_0\in X \) es un punto no aislado, \( y_0 \) es el límite de \( f(x) \) para \( x\rightarrow x_0 \) si



\begin{equation}\label{eq:uno}
\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0:\,\forall x\in X, 0<d_X\left(x,\,x_0\right)<\delta\Rightarrow d_Y\left(f(x),\, y_0\right)<\epsilon
\end{equation}


En (\ref{eq:uno}), comprendo como se usa, pero no veo la estructura como lógica de predicados y, si por ejemplo hay que negar tal expresión, no veo claro las reglas (lógicas que se usan para tal cometido).

Resultaría más claro si lo escribiéramos de esta manera:

\begin{equation}\label{eq:dos}
\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in X: 0<d_X\left(x,\,x_0\right)<\delta\Rightarrow d_Y\left(f(x),\, y_0\right)<\epsilon
\end{equation}

Pero, En esta forma de escribir, no queda claro, que \( x \) depende de \( \delta \), cosa que resulta importante si se quiere pasar de límite de una función, a límite secuencial de una función.

La pregunta
¿Hay alguna forma de escribir la expresión (\ref{eq:uno}) o (\ref{eq:dos}), como una fórmula bien hecha en lógica de predicados?

Desde ya muchas gracias y disculpen si compliqué la cosa.

Hola cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema.

Sea \( \mathbb{R}^\infty \) el subconjunto de \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \) formado por los \( \left(x_1,x_2,\dots\right) \) con una cantidad finita de componentes no nulas.
¿Cuál es la clausura de \( \mathbb{R}^\infty \) en \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \) con la topología producto y con la topología caja?
Me falta demostrar dos cosas:

1) \( \mathbb{R}^\infty \) es cerrado con la topología caja.
2) Que en la topología producto converge la sucesión \( \mathbf{x}=\left\{\left(r_1,r_2,\dots\right)_j\right\}_{j\in\mathbb{N}} \), donde los \( 0\neq r_i\in\mathbb{R} \) y

\( \pi_\alpha\left(\mathbf{x}_n \right )=\left\{\begin{matrix}
r_\alpha & si &\alpha\leq n \\
0 & si & \alpha>n
\end{matrix}\right. \)
Es decir, para reales arbitrarios, es convergente \( \left(r_1,0,0,\dots\right),\left(r_1,r_2,0,0,\dots\right)\dots \)

Muchas gracias y cariños. 

Hola, como están todos.

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Dado un espacio métrico \( (X,d) \)  y una red convergente x . Entonces se tiene que:

• Existe un espacio métrico completo \( \hat{X} \) y una isometría \( f:X\rightarrow\hat{X} \) tal que \( f(X) \) es denso en \( \hat{X} \).
• Dado otro espacio métrico completo \( Y \) y otra isometría \( g:X\rightarrow Y \) tal que \( g(X) \) es denso en \( Y \). Entonces existe una isometría suryectiva \( \Phi:\hat{X}\rightarrow Y \) tal que \( \Phi\circ f=g \).
  
  Desde ya muchas gracias y saludos. 
  

Hola cómo están todos.

Necesito ayuda con el siguiente problema:

Dado \( (\Sigma,\leq) \)  un conjunto totalmente ordenado, Mostrar que la topología del orden es la mínima topología en la cual el orden es continuo.

Muchas gracias y saludos.