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Temas - Phicar

Páginas: [1] 2
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Teoría de números / Ecuación de Pell
« en: 16 Diciembre, 2012, 04:37 am »
Hola,

Por lo general, estoy acostumbrado a resolver ecuaciones de Pell(i.e ecuaciones de la forma \( x^2-ny^2=N \) con n natural no cuadrático) para encontrar x e y enteros. La cuestión es que estoy resolviendo un problema y me he topado con una ecuación a la que no le tengo que buscar soluciones enteras, por lo que los métodos usuales, como fracciones continuas, no funcionan. Si alguien sabe de biografía o algún tipo de tema que pueda estudiar para resolverlo, sería de gran ayuda.


2
Combinatoria / Cajas y Piedras
« en: 12 Noviembre, 2012, 07:04 pm »
Buenas, el pasado fin de semana fue la regional latinoamericana de programación. De los 10 problemas sabemos(mi equipo y yo) más o menos cómo pensar 6, pero hay uno que está de para atrás y al parecer sólo un equipo de Perú pudo resolverlo. El problema, obviando la historia que echan, es que hay n cajas(\( B_1,B_2,...,B_n \)) y un conjunto S de m piedras. Las m piedras están distribuidas en las primeras n-1 cajas.
En cada ronda de un juego, el jugador 1 escoge un subconjunto P de las piedras y el jugador 2 decide o coger el conjunto P o coger el complemento del conjunto P de piedras(Llamémoslo Q). Si decide Coger P lo que hace es eliminar las piedras del conjunto P y a todas las piedras del conjunto Q las mueve una caja a la derecha. Si, en vez, escoje el conjunto Q, elimina esas piedras y mueve las piedras del conjunto P una caja a la derecha(osea que si \( p \in P\cap{B_k} \) entonces quita la piedra p de \( B_k \) y la pone en \( B_{k+1} \) ) El juego se termina cuando al menos una piedra alcanza la caja \( B_n \) en ese caso el jugador 1 gana, o hasta que no haya más piedras, en ese caso gana el jugador 2.

La pregunta es, dado el número de cajas y piedras de cuántas formas se puede hacer la distribución inicial de las piedras en las cajas, de tal forma que si los dos jugadores juegan optimamente, el jugador 2 siempre gane?

Lo ideal es que no me dijeran, si llegan, a la solución. Si no que me den algún hint para poder pensar.

Gracias :)
Adjunto el problema original.

3
Discusiones semi-públicas / Exposición Grupos Auto Similares
« en: 18 Mayo, 2012, 08:27 am »
Como un "Background" del tema es necesario entender, de forma simple, qué es un autómata.

Un autómata \( A = (D,Q,\phi,\lambda) \)
donde \( D = \{0,1,2,\ldots,d-1\} \) con \( d \in \mathbb{N} \) es el grupo lenguaje.
           Q es el conjunto de estados del autómata
          \( \phi : QxD \longrightarrow{Q} \) es una función que asocia un estado y un símbolo del lenguaje a un nuevo estado
          \( \lambda : QxD \longrightarrow{D} \) es una función que calcula el "output" de un estado del autómata.

Def: Se dice que un autómata \( A= (D,Q,\phi,\lambda) \) es reversible si \( \forall q \in Q \) se tiene que
\( \lambda(q,.) \) es una permutación(luego \( \lambda(q,\cdot{}) \) es una biyección) \( S_d \) de D.

A los autómatas, por claridad, los veremos como un grafo.

Sea \( A=(D,Q,\phi,\lambda) \) un automata, denotaremos como \( \rho(A)=(Q,C) \) el grafo que describe al autómata siendo Q(conjunto de estados) los nodos del grafo y las conexiones estarán dadas por \( C=\{(x,y) \in Q^2 : (\exists p \in D)(\phi(x,p)=y)\} \), luego es un grafo dirigido que depende de las funciones de transición del autómata.

Como ejemplo: ver imagen (Maquina aditiva)

Def: \( A_q=(D,Q,\phi,\lambda,q) \) con \( q \in Q \) se dice que es un autómata inicial con estado inicial q.

Def: \( D^{\omega} \) es el conjunto de secuencias de símbolos de D.
Tome un automata inicial A con e.i q, entonces se ve como un procedimiento en D a la función
\( q:D^{\omega}\longrightarrow{D^{\omega}} \)
tal que
\( q(\epsilon)=\lambda(q,\epsilon)  \) si \( \epsilon \in D \)
y
\( q(\overline{\epsilon W})=\overline{\lambda(q,\epsilon)(\phi(q,\epsilon))(W)} \) con \( W \in D^{\omega} \)

Ejemplo: Maquina aditiva



está definida por \( A = (\{0,1\},\{a,b\},\phi,\lambda) \) con
                            \( \lambda(a,0)=1 \)   \( \phi(a,0)=b \)
                            \( \lambda(a,1)=0 \)   \( \phi(a,1)=a \)
                            \( \lambda(b,0)=0 \)   \( \phi(b,0)=b \)
                            \( \lambda(b,1)=1 \)   \( \phi(b,1)=b \)

luego asumiendo a como estado inicial(si asumimos a b como estado inicial dejará intacto el input) con input \( \overline{1100}_2=3 \)(Siendo el primer bit el menos significativo)
\( a(\overline{1100})=\overline{\lambda(a,1)(\phi(a,1))(\overline{100})}=\overline{0a(\overline{100})}=\overline{00a(\overline{00})}=\overline{001b(0)}=\overline{0010}_2=4 \)

Así que el autómata lo que hace es modelar la suma binaria así que para alguna cadena arbitraria de 0 y 1, le da ese numero más 1.


Bien, viendo ese "background de autómatas" estamos listos para definir lo que es un grupo auto-similar.

Def: Sea G un grupo y X un conjunto no vacío, una acción de G en \( X^{\omega} \) se dice autosimilar si
\( \forall g \in G \) \( \forall x \in X \) \( \exists h \in G \wedge \exists y \in X \) tales que \( g(xW)=yh(W) \) \( \forall w \in X^{\omega} \)

Def: Un grupo se dice autosimilar si define una relación autosimilar.

Def: El grupo generado por un automata A, llámese G(A) es el grupo de permutaciones de \( A^{\omega} \) generados por los estados de A.

Así pues, esos grupos se pueden ver como un autómata ya que la relación que definimos antes en los autómatas es una relación autosimilar y definiriamos el autómata \( A(G)=(G',X,\phi,\lambda) \) siendo X el conjunto sobre el cual G tiene una acción autosimilar y G' un generador de G.
Ejemplo:
Retomando la maquina aditiva, podemos ver que \( a^n(\overline{\underbrace{00\ldots00}_{\rm \lfloor log_2(n)\rfloor +2 }}) \) da como output el número n, en notación binaria. Luego quiere decir que a genera todos los enteros bajo la operación de suma, luego podemos afirmar que \( (\mathbb{Z},+,0)\approx{(\{0,1\},\{a,b\},\phi,\lambda)} \) con \( \phi \) y \( \lambda \) definidas como en la máquina aditiva. 

El grupo 4-Klein es AutoSimilar?

Recordando, el grupo 4 de Klein es generado por dos de sus elementos (p,q) y la relación que ellos manejan es \( p^2=q^2=1 \) y \( pq=qp \)
Luego, podemos definir un autómata de dos estados tales que sus funciones procedimiento nos cumplan que \( q^2(i)=p^2(i)=i \) y fuera de eso los estados conmuten?

La respuesta es sí. Es simplemente considerar \( A=(\{0,1\},\{p,q\},\phi,\lambda) \) definiendo:
                                                        \( \phi(q,0)=p \)   \( \lambda(q,0)=0 \)
                                                        \( \phi(q,1)=p \)   \( \lambda(q,1)=1 \)
                                                        \( \phi(p,0)=q \)   \( \lambda(p,0)=1 \)
                                                        \( \phi(p,1)=q \)   \( \lambda(p,1)=0 \)


Luego como el estado q, es sólo la identidad disfrazada y siempre le bota el proceso a p, es fácil ver que los procesos conmutan.
Además, como q es la identidad \( q^2 \) es la identidad y como \( p \) funciona como un or-exclusivo el cuadrado de su proceso volverá a ser el mismo. Luego ese autómata \( A(G) \approx{C_2\oplus{C_2}} \).

Grupo de Baumslag-solitair
El grupo de Baumslag-solitar se define con dos enteros n,m y \( B(n,m)=<a,b | b^{-1}a^nb=a^m> \)

Los elementos de ese grupo se pueden ver de la forma \( a=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) y \( b=\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{n}{m}}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \)
donde es fácil verificar la igualdad
\( b^{-1}a^nb=a^m \) osea
\( \begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{n}{m}}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{n}{m}}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{m}{n}}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{n}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{n}{m}}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{m}{n}}&{m}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{n}{m}}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{m}\\{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^m \)

Y un caso particular, que es de nuestro interes, es cuando tenemos B(m,1), ya que también podemos ver ese grupo como composiciones de las funciones \( a(x)=x+1 \) y \( b(x)=mx \)
Donde también se cumple la relación de la generación
\( b^{-1}\circ{a^m}\circ{b}(x)=b^-1(a^m(mx))=b^-1(mx+m)=x+1=a(x) \)
luego si tomamos un conjunto \( A= \{0,1,\ldots\,n-1\} \) con \( (n,m)=1 \) tendremos que \( B(m,1) \) es un grupo autosimilar sobre un alfabeto \( A \) teniendo \( m-1 \) estados distintos representando las distintas composiciones módulo M.
ejemplo:
B(3,1) sobre el lenguaje \( A=\{0,1\} \) como \( (3,2)=1 \) podemos definir los tres estados módulo m
Sea \( d \in \{0,1\}^{\omega} \)
\( S_0(d)=3*d \)
\( S_1(d)=3*d+1 \)
\( S_2(d)=3*d+2 \)




Grupo de Grigorchuk y solución problema de Burnside

Problema de Burnside:
Será que todo grupo finitamente generado y con un orden finito en cada uno de sus elementos debe ser finito?
....

El grupo de Grigorchuk:
Para definir este grupo, es necesario tener claridad sobre automorfismos sobre un arbol binario T=(V,E) donde \( V=\{0,1\}^{\omega} \) y \( E=\{(w,v) \in \{0,1\}^{\omega}x\{0,1\}^{\omega} : v=\overline{wa} \mbox{ con }  a \in \{0,1\}\} \).

 Ya que éste grupo es generado por cuatro automorfismos de allá. Entonces

def: \( Aut(T) = \{\alpha:V \longrightarrow{V} : \alpha(\emptyset)=0 \wedge \alpha \) permuta subarboles en subarboles del mismo nivel \( L(k)\} \) definiendo \( L(k)=\{w\in \{0,1\}^{\omega}\ : |w|=k\} \)

def: \( T_i \)es un subarbol de T con raiz i, osea  que  \( \forall x \in T_i \) \( x=\overline{iy} \) con \( y \in \{0,1\}^{\omega} \)

Ahora definiremos un morfismo \( \delta_i : T \longrightarrow{T_i} \) tal que \( \delta_i(p)=\overline{ip} \)
osea lleva una cadena de \( \{0,1\}^{\omega} \) del arbol hacia el subarbol concatenando las secuencias de 0's y 1's
que será el que nos ayudará a poder definir los estados del autómata.

Ahora definamos unos automorfismos:

\( a : V \longrightarrow{V} \)
definida como \( a(w)=\overline{\hat{w_0}w_1\ldots w_n} \) donde \( \hat{p}=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& p=1\\1 & \mbox{si}& p=0\end{matrix} \) y \( p \in \{0,1\} \)
sea \( w \in \{0,1\}^{\omega} \) donde \( w=\overline{w_0w_1\ldots w_n} \)
\( b(w)=\begin{Bmatrix}\delta_{w_0}\circ{a}\circ{\delta_{w_0}^{-1}}& \mbox{ si }& w_0=0\\ \delta_{w_0}\circ{c}\circ{\delta_{w_0}^{-1}} & \mbox{si}& w_0=1\end{matrix} \)
\( c(w)=\begin{Bmatrix} \delta_{w_0}\circ{a}\circ{\delta_{w_0}^{-1}}& \mbox{ si }& w_0=0\\ \delta_{w_0}\circ{d}\circ{\delta_{w_0}^{-1}} & \mbox{si}& w_0=1\end{matrix} \)
\( d(w)=\begin{Bmatrix} w & \mbox{ si }& w_0=0\\ \delta_{w_0}\circ{b}\circ{\delta_{w_0}^{-1}} & \mbox{si}& w_0=1\end{matrix} \)

Luego en T podemos definir unas relaciones autosimilares, osea que si tomo \( A(G)=(\{a,b,c,d\},\{0,1\},\phi,\lambda) \)
definiendo las relaciones de la siguiente manera:
                     \( \phi(a,0)=e \)  \( \lambda(a,0)=1 \)
                     \( \phi(a,1)=e \)  \( \lambda(a,1)=0 \)
                     \( \phi(b,0)=a \)  \( \lambda(b,0)=0 \)
                     \( \phi(b,1)=c \)  \( \lambda(b,1)=1 \)
                     \( \phi(c,0)=a \)  \( \lambda(c,0)=0 \)
                     \( \phi(c,1)=d \)  \( \lambda(c,1)=1 \)
                     \( \phi(d,0)=e \)  \( \lambda(d,0)=0 \)
                     \( \phi(d,1)=b \)  \( \lambda(d,1)=1 \)
donde e se define como \( e(w)=w \) osea es un estado identidad.
tendremos que esos elementos forman un grupo autosimilar, llamado el grupo de Grigorchuk.


Proposición: El grupo de Grigorchuk es infinito.
  Para ver ésto se usa el estabilizador sobre un subarbol de T.
 \( St(k)=\{\alpha \in Aut(T) : (\forall x \in T(k)) \alpha(x)=x\} \)
y se ve que es subgrupo normal de Aut(T), usando \( f:Aut(T)\longrightarrow{Aut(T(k))} \) que basicamente lo que hace es restringir a los automorfismos de T a su funcionalidad en el subarbol T(k).
de Ahí, St(k) es el núcleo de ese homomorfismo, luego se tiene el ser subgrupo normal de Aut(T).
Después, lo que se hace, es definir un homomorfismo que lleva a \( St_{A(G)}(1)\longrightarrow{A(G)} \) de forma sobre. Luego uno termina concluyendo que \( |A(G)|\geq{\aleph_0} \)
Proposición2: Todo elemento del grupo de Grigorchuk tiene orden \( 2^n \) con \( n \in \mathbb{N} \)

De esas dos proposiciones y de la construcción del grupo tenemos que es un grupo finitamente generado, cuyos elementos tienen orden finito, pero que es infinito. Luego da solución, como contra ejemplo, al problema de Burnside.

4
Cálculo 1 variable / Intersección de círculos
« en: 04 Diciembre, 2011, 04:47 pm »
Buenas, en un evento de programaciòn me saliò cierto ejercicio que no pude resolver o pues la soluciòn que ideè no fue la mejor. Quisiera que revisaran que es lo que he hecho mal.

A grandes rasgos el problema requeria que calculara el àrea de la intersecciòn de dos cìrculos cuando ellos me daban los radios y las distancias entre ellos.. Asi que lo que hice fue ubicar los centros de los circulos en el eje y de el plano y calcular la integral de la diferencia entre la parte alta de uno de los circulos y la parte baja de el otro circulo, entre los puntos de corte.

Analiticamente lo que hice fue lo siguiente
Sean r1,r2 los radios y d la distancia entre ellos
definí \( x^2+(y-r1)^2=r1^2 \) y \( x^2+(y-(d+r1))^2=r2^2 \) las ecuaciones que describen los círculos ubicados sobre el eje y a una distancia de r1 y d+r1 de el origen.

Después calculé los puntos de corte entre la parte positiva de la función sobre y de \( x^2+(y-r1)^2=r1^1 \) osea
\( y=r1+\sqrt{r1^2-x^2} \) y la parte negativa de la otra o sea \( y=d+r1-\sqrt{r2^2-x^2} \) de lo cual igualando queda

\( \sqrt[ ]{r1^2-x^2}=d-\sqrt{r2^2-x^2} \) por lo cual
\( r1^2=d^2-2d\sqrt{r2^2-x^2}+r2^2 \)
\( \displaystyle\frac{r1^2-r2^2-d^2}{-2d}=\sqrt[ ]{r2^2-x^2} \)
\( \displaystyle\frac{r2^2-r1^2+d^2}{2d}^2=r2^2-x^2 \)
\( x=\pm{\sqrt{r2^2-\displaystyle\frac{r2^2-r1^2+d^2}{2d}^2}} \)
luego esos dos puntos que denotare p1(negativo) y p2(positiva) serán los extremos de la integral..

Obviamente antes de eso veo si algún círculo esta dentro del otro, en ese caso la intersección seria el área de el mas pequeño \( \pi r^2 \)

Ahora bien, la integral que me quedaría sería

\( \displaystyle\int_{p1}^{p2} r1+\sqrt{r1^2-x^2}-(d+r1-\sqrt{r2^2-x^2})dx \)

\( \displaystyle\int_{p1}^{p2} \sqrt{r1^2-x^2}-d+\sqrt{r2^2-x^2}dx \)
Que haciendo cambios de variable y usando \( cos(x)^2=\displaystyle\frac{cos(2x)+x}{2} \)
me queda
\( \displaystyle\frac{x(\sqrt{r1^2-x^2}+\sqrt{r2^2-x^2})+r1*\arcsin(x/r1)+r2*\arcsin(x/r2)}{2}-d*x \)
y pues reemplazo en p2 y p1 y resto

Pero bajo los casos de prueba que son r1=10,r2=10,d=5 debería darme 215.21 y en r1=4.3,r2=3.1,d=2 26.68
y a mí me da hasta negativo :(

el programa es éste

Código: [Seleccionar]
import java.util.*;
import java.io.*;
public class paint{
public static void main(String args[]) throws IOException{
BufferedReader lector = new BufferedReader(new FileReader("paint.in"));
String tmp ="";
while(!(tmp = lector.readLine()).equals("0 0 0")){
String t[] = tmp.split(" ");
double r1 = Double.parseDouble(t[0]),r2 = Double.parseDouble(t[0]),d = Double.parseDouble(t[0]);
if(d>=r1+r2){
System.out.println("0.00");
continue;
}
if(r1>=r2+d){
System.out.println(Math.PI*r2*r2);
continue;
}
if(r2>=r1+d){
System.out.println(Math.PI*r1*r1);
continue;
}
double p1 = Math.sqrt((r2*r2-Math.pow((r2*r2-r1*r1+d*d)/(2.0*d),2))),p2=-1*p1;
double mit = integral(p1,r1,r2,d)-integral(p2,r1,r2,d);
System.out.println(mit);
}
}
public static double integral(double x,double r1,double r2,double d){
return (x*(Math.sqrt(r1*r1-x*x)+Math.sqrt(r2*r2-x*x))+r1*Math.asin(Math.toRadians(x/r1))+r2*Math.asin(Math.toRadians(x/r2)))/2.0-d*x;
}
}


Gracias.
pd: Imagino que es cálculo, pero pues si no disculpas.
pd2: A los administradores, podrían poner GeShi al foro para poder ver los codigos mejor :D...Seria un regalazo.

5
Cálculo 1 variable / Usando T.Stokes
« en: 01 Diciembre, 2011, 05:33 pm »
Buenos dias. He estado tratando de ver si hago las cosas bien, pero ando muy confundido con lo que respecta a usar este teorema..Entiendo el teorema, lo que no se es si hago bien el paso de la superficie a la delimitacion.

Quiero ver si este ejercicio esta bien, y si no pues que me ayuden a ver que es lo que tengo que hacer con la superficie para poder continuar con el resto de ejercicios que tengo.

Sea
\( F(x,y,z)=(x^2z,yz,x^2y^2) \) y sea la superficie de un paraboloide \( z=x^2+y^2 \) restringida por el cilindro de radio 1.

y tengo que calcular \( \displaystyle\int \displaystyle\int \nabla X F \dot dS \) luego puedo usar el teorema de stokes y tratar de calcular  \( \displaystyle\int_C F \) sobre una curva C..

usando la definicion de integral de linea y parametrizando la curva(donde esta mi error o acierto potencial) tendria la siguiente integral

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi} <(cos(x)^2,sin(x),cos(x)^2),(-sin(x),cos(x),0)>dx \) que me da 0.

pd: parametrizo basandome en un ejercicio que encontre en internet con la misma superficie http://www.fisicanet.com.ar/matematica/integrales/resueltos/tp10_teoremas_integrales01.php

Gracias.

6
Cálculo 1 variable / Demostrar
« en: 14 Octubre, 2011, 07:07 am »
Buenas noches(por lo menos aqu'i)

Me dicen Muestre que

\( \displaystyle\frac{1-\cos(1)}{2}\leq \iint\frac{\sin(x)}{1+(xy)^4}\;dx\;dy\leq 1 \)


y la region de integracion es [0,1]x[0,1]

Ahora bien, imagino que la idea de ese ejercicio es usar un teorema que dice que si para todo punto \( (x,y) \in [0,1]x[0,1] \)
existen m,n tales que \( n \leq f(x,y) \leq m \) entonces  \( n*A \leq \displaystyle\int \displaystyle\int f(x,y) \leq m*A \)
donde A es el area de la region de integracion.

Ahora pues es facil ver que \( \displaystyle\frac{sin(x)}{1+(xy)^4} \leq 1 \) pero no veo porque
\( \displaystyle\frac{1-cos(1)}{2}\leq \displaystyle\frac{sin(x)}{1+(xy)^4} \) ya que si yo tomo (0,p) con \( p \in [0,1] \) la funcion me da 0 que es menor que \( (1-cos(1))/2 \)

Entonces no se que hacer :S.

Gracias por adelantado :)

7
Programación lineal / Mejor coalición
« en: 23 Septiembre, 2011, 07:24 am »
Hola
No he podido saber como solucionar este tipo de problema, se que es programacion lineal o dinamica...pero nunca he hecho esto asi que no se por donde empezar...El problema es el siguiente

Me dan unos porcentajes \( x_1,x_2,...,x_n \)
tales que \( x_1+x_2+...+x_n=100 \)
Lo que tengo que hacer es hallar un subconjunto de esos \( x_1 \)
tales que \( x_i_1+x_i_2+....+x_i_k \geq 50 \) y ademas \( x_i_1+x_i_2+....+x_i_k \) sea minima.

Cualquier cosa que me puedan decir para leer y poder resolver mi problema seria fantastico :)

Editado:
coalision --> coalición

8
Cálculo 1 variable / Hint Demostracion
« en: 05 Septiembre, 2011, 07:12 pm »
Buenas, como estan?

Sera que me pueden ayudar con un hint para ver que se cumple esto

\( \frac{d^2f}{dudv}=\frac{d^2f}{dx^2}-\frac{d^2f}{dy^2} \)

donde x = u+v, y=u-v

he calculado \( \frac{df}{du} \) y \( \frac{df}{dv} \) pero no me ha servido de nada, me he hecho varios ejemplos y he comprobado que efectivamente funciona, pero no se que hacer para resolver si no me dan mas informacion de f.

Espero me puedan dar un hint para poder resolver el problema.

9
Teoría de números / Enteros Consecutivos
« en: 21 Abril, 2011, 11:59 pm »
Buenas, me piden demostrar que para todo n entero positivo, es posible encontrar  n enteros consecutivos que sean divisibles por cuadrados perfectos.

Pues he planteado la congruencia asi.
\( a_0 \equiv 0 \pmod{x_0^2} \)
\( \vdots \)
\( a_n \equiv 0 \pmod{x_n^2} \)

que es equivalente a

\( a_0 \equiv 0 \pmod{x_0^2} \)
\( a_0 \equiv -1 \pmod{x_1^2} \)
\( \vdots \)
\( a_0 \equiv (1-n) \pmod{x_n^2} \)

Ahora, se que tengo que usar el teorema chino de el resto. Pero para ello necesito que los modulos sean coprimos 2 a 2. Pero, para ello los \( x_i \) tendrian que ser primos distintos.
La pregunta es, Puedo asegurar eso?

Gracias.

10
Teoría de números / Divisibilidad factorial
« en: 28 Marzo, 2011, 04:49 am »
Buenas, tengo el siguiente ejercicio pero nada que me sale. No s'e por donde atacarlo, si me pudieran decir una forma estar'ia totalmente agradecido :P

tengo que demostrar que

\( n!(n-1)! | (2n-2)! \)

s'e que \( (n-1)!^2 | (2n-2)! \)

pero no s'e que hacer con ese n restante...

Gracias de antemano.

11
Cálculo 1 variable / Ecuación
« en: 25 Febrero, 2011, 06:42 pm »
Buenas, tengo un ejercicio sobre integrales y hallar una función. Pero pues he llegado a una ecuación que sinceramente no sé como resolver. Y pues sería de gran ayuda saber si se puede resolver o no para ver el problema con otro enfoque.
\( 2\cdot f(x)+f'(x)\cdot \sqrt{2 \cdot f(x)}=2 \cdot f'(x) \cdot x+x^2 \)

gracias.

Título corregido.
Ecuacion --> Ecuación
Atente a las reglas: modifica tu mensaje.

:)

12
Buenas, tengo el siguiente dilema..tengo que saber para que valores

\( 3n^2-2n-1 \) es cuadrado perfecto...

Lo maximo que he logrado es ver que los factores((n-1)*(3n+1))(ambos)tendran que ser cuadrados perfectos..pero no se si hay excepciones

pd: El problema en si es encontrar triangulos casi equilateros(que los definen como 2 lados iguales y uno de los lados no debe diferir en mas de 1 unidad) que tengan area entera...por lo que he usado la formula de heron para el area y me ha quedado que la tripleta de lados (n,n,n+1) tendra area entera si y solo si  \( 3n^2-2n-1 \) es un cuadrado perfecto. pero hago un programa que me ve las posibilidades y tengo que
para estos n, se cumple con el perimetro menor a 1000000000
5 65 901 12545 174725 2433601 33895685

Gracias de antemano ;)
Pero la suma de perimetros no es la que me piden.

13
Teoría de números / Suma Binomio
« en: 03 Febrero, 2011, 07:10 am »
Como estan?

Bueno, tengo problemas para ver la siguiente identidad que me han facilitado. Sera que me pueden ayudar a ver como es que pasa esto?


\( (p+1)^x+(p-1)^x \mbox{ mod }p^2 \)

si x es par lo anterior es 2.


si x es impar
\( 2*p*x \mbox{ mod }p^2 \)

De antemano, muchas gracias :)

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Cálculo 1 variable / Menor Superficie
« en: 23 Noviembre, 2010, 04:32 am »
Buenas Noches.

La verdad estoy tratando de entender unos problemillas de minimos y maximos. Pero tengo cierta duda con este.
Si me lo pueden checar, seria excelente :).

El problema es el de hallar el cilindro con Volumen fijo que tenga superficie minima.

Para ello, he hecho lo siguiente.

\( S = 2rh\pi + 2r^2\pi \)
\( V = r^2h\pi \)

La funcion a maximizar es S y voy a tomar h de variable. Asi que uso la definicion de Volumen para decir.
\( \displaystyle\frac{V}{h\pi} = r^2 \)

Y reemplazo en S.
\( S = 2\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{V}{h\pi}}h\pi + 2\displaystyle\frac{V}{h\pi}\pi \)
opero un poco
\( S = 2\sqrt[ ]{Vh\pi} + 2\displaystyle\frac{V}{h} \)

Ahora si derivo a ver de que va la cosa.
\( S' = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{V\pi}{h}} - 2\displaystyle\frac{V}{h^2} \)
e igualo a 0 de lo que, operando, me da
\( h=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{8\sqrt[ ]{V^3}}{\sqrt[ ]{\pi^3}}} \)

pero de ahi en adelante ya no se que hacer. Osea, ya termine? ese es el valor de h(y despejando r) para el cual la superficie se hace minima?

Gracias.


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Teoría de números / ¿Cuántos naturales?
« en: 19 Noviembre, 2010, 02:54 am »
Buenas, tengo el siguiente problema y no sé como atacarlo.

Tengo que saber el número de veces para el cual pasa que un número es potencia de la cantidad de dígito de el.

osea algo asi

\( p^{\lceil log(x) \rceil}=x \)

lo que yo hago es hacerlo en modo de funcion dando como variable a x y despejando P....

\( f(x)=e^{\displaystyle\frac{ln(x)}{\lceil log(x) \rceil}} \)

pero de ahi ya no se que hacer..

Uno puede verificar que se cumple de 2 a 21..de ahi en adelante ya no se.

4^2=16
5^3=125
6^4=1296
7^5=16807
7^6=117649
8^7=2097152
8^8=16777216
8^9=134217728
8^10=1073741824
9^11=31381059609
9^12=282429536481
9^13=2541865828329
9^14=22876792454961
9^15=205891132094649
9^16=1853020188851841
9^17=16677181699666569
9^18=150094635296999121
9^19=1350851717672992089
9^20=12157665459056928801
9^21=109418989131512359209

Gracias :)

16
Teoría de números / Cubo perfecto
« en: 18 Noviembre, 2010, 05:15 am »
Buenas, tengo el siguiente problema y no se como atacarlo(ya lo hice por fuerza bruta, mala idea)...

para los numeros \( p \) primos menores a cierto \( k \)

hallar \( n \) único tal que

\( n^3+n^2p = z^3 \)

con \( n \) y \( z \) enteros positivos.

he encontrado estos..ahí con un programita..pero pos no encuentro el patron.

Este es \( 8^3+(8^2*19)=12^3=1728 \)
Este es \( 27^3+(27^2*37)=36^3=46656 \)
Este es \( 64^3+(64^2*61)=80^3=512000 \)
Este es \( 216^3+(216^2*127)=252^3=16003008 \)
Este es \( 729^3+(729^2*271)=810^3=531441000 \)
Este es \( 1000^3+(1000^2*331)=1100^3=1331000000 \)
Este es \( 1331^3+(1331^2*397)=1452^3=3061257408 \)
Este es \( 2197^3+(2197^2*547)=2366^3=13244763896 \)
Este es \( 2744^3+(2744^2*631)=2940^3=25412184000 \)

pd: no para todo \( p<k \) existe \( n \).
pd2: gracias.

17
Teoría de números / Maximizar el Modulo.
« en: 16 Noviembre, 2010, 03:04 pm »
Buenas, tengo el siguiente problema y le he echado cabeza y pos nada

tengo que encontrar el residuo mas grande de dividir

\( (a-1)^n+(a+1)^n \)

por

\( a^2 \)

me dan a...pero n puede ser cualquiera...

Gracias.

pd: He visto un patron de repeticiones en numeros a pares e impares..pero no se a que se deba.

18
Cálculo 1 variable / Derivabilidad.
« en: 06 Noviembre, 2010, 02:56 am »
Buenas, es que hoy tuve examen de calculo y un ejercicio me quedo bailando.

La vaina es ver si

\( f(x)=\begin{Bmatrix} x^2 & x\in{Q}\\0 & x\not\in{Q} \end{matrix} \)

era derivable en 0.

pues yo lo que hago es ver si este limite existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(h)}{h}} \)

y pues eso quiere decir que

para todo e>0 existe d>0 t.q para todo h.

\( |h|<d \Rightarrow{|\displaystyle\frac{f(h)}{h}|<e} \)

pero eso me desprende dos casos(parte en la que no estoy seguro.)

1) x sea Racional

\( |h|<d \Rightarrow{|\displaystyle\frac{h^2}{h}|<e} \)

que pues resolviendo se demuestra que existe.

2) x sea Irracional

\( |h|<d \Rightarrow{|\displaystyle\frac{0}{h}|<e} \)

que pues resolviendo tambien se demuestra que existe(aunque no lo tenga claro.xDDD


Bueno, espero que me puedan ayudar. Se los agradezco.

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Cálculo 1 variable / Simplificar el cálculo
« en: 08 Octubre, 2010, 01:06 am »
Buenas, acá va una preguntica que me tiene pensando..

¿Cómo puedo simplificar esto para que el computador no se demore tanto?

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{25000}({2^i\mbox{ mod } 100}) \)

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Cálculo 1 variable / Integral cúbica
« en: 05 Octubre, 2010, 06:16 am »
Buenas, no he tenido curso de integral pero me pidieron que hiciera esta integral. Sinceramente no pude y pos ya no tengo porqué hacerla, pero me ha quedado la duda rondando, he buscado métodos pero nada concreto me ha salido. Espero que me puedan ayudar.

\( \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt[3]{2x^2-3} \)

intenté por sustitución pero por razones casi que obvias no me sale...

Gracias de antemano :)

Título corregido.
Te falta ahora corregir tu mensaje.

Gracias por la correción, escribo por lo general en teclado gringo ;)

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