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Temas - Masakre

Páginas: [1] 2
1
Análisis Matemático / Sistema de 2 ecuaciones, con sumatorias
« en: 01 Diciembre, 2013, 03:54 am »
Debo encontrar los valores de 'a' y 'b'. Como dato tengo valores \( x_i \), \( y_i \).
Y la verdad es que no sé cómo proceder...


2
Matemáticas Generales / Consulta sobre notación de funciones
« en: 03 Noviembre, 2013, 05:25 pm »
Lo que entiendo es que, si me presentan una función así:
\( f(x)=2x+1 \)
Pudo entenderla como: \( y=2x+1 \)
Y la gráfica sería en 2 dimensiones.
Para cada valor de x puedo encontrar un valor y y graficar.
Pero si despejo y quedará como: \( 0=2x-y+1 \)
Allí no hay problema porque aparece igualado a cero.

Pero hay casos en los que me dicen, graficar:
\( f(x,y)=2x-y+1 \)
¿Qué significa eso exactamente?
Para mí podría significar z=2x-y+1 y haría una gráfica en 3 dimensiones.

Creo que al menos deberían expresarlo de esta manera:
\( f(x,y): 0=2x-y+1 \)

¿O ya por convenio lo primero significa lo segundo?

3
Cálculo de Varias Variables / Consulta sobre el número de condición
« en: 03 Noviembre, 2013, 01:59 pm »
En clase hemos revisado varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
El primer método fue el de Gauss y se vio que éste puede presentar dificultades. Uno de esos problemas era que el sistema esté mal condicionado, de modo que una pequeña modificación en los datos da lugar a soluciones totalmente lejanas a las que deberían ser de modo correcto.
Para determinar ello se nos pidió investigar sobre el número de condición.

Entonces he encontrado esta información al respecto:
Citar
http://users.dsic.upv.es/asignaturas/eui/cnu/libro/tema4/tema43.htm
Donde se indica cómo calcular el número de condición, y que debe ser muy cercano a uno para que el sistema esté bien condicionado.

Sin embargo, como tarea he desarrollado un programa en Matlab para resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss, pero no sabría qué tan cercano a uno debe estar el número de condición para que se advierta al usuario de que se trata de un sistema mal condicionado.

En clase, antes de mencionar los números de condición, la profesora nos decía que está mal condicionado si la determinante de la matriz de coeficientes es muy cercana a 0 (luego de escalar la matriz). Yo le pregunté, ¿entonces hasta qué valor tan cercano a cero podríamos considerar un sistema como mal condicionado?
Allí fue cuando nos pidió investigar sobre los números de condición, y ahora me encuentro con "valores cercanos a 1". ¿Pero qué tanto debería considerar ello para el programa que he hecho en Matlab?

Espero que por favor me puedan ayudar con esta duda.
Me parece haber leído que ello depende de los cálculos empleados.

4
Estadística / Interpretación de parámetros en regresión
« en: 02 Noviembre, 2013, 08:57 pm »
En la regresión lineal simple y múltiple no fue muy difícil saber la interpretación para los parámetros encontrados.

Pero ahora, en clase estamos viendo este tipo de regresiones:
- Parabólica
- Potencial
- Exponencial

¿Cómo podría interpretar cada parámetro de la ecuación de regresión encontrada?
Por ejemplo en: \( Ax^{2}+Bx+C \)
Podría decir que B es el aumento o decremento de la variable dependiente Y por cada unidad adicional en X.
¿Pero qué podría escribir respecto a A?

5
Estadística / Encontrar intersección sin ecuaciones
« en: 09 Junio, 2013, 06:34 am »
En clase se nos ha entregado una serie de datos: cantidades y costos.

Existe un costo fijo, que es lo que gasta una empresa independientemente de la cantidad. Pero además existe un costo variable que depende de q (la cantidad). Sumando estas cantidades obtenemos el valor del costo total para cada cantidad dada q.

Además tenemos la ecuación del ingreso total que simplemente es de la forma: IT = 4q. Graficándolo obtenemos una línea recta.

El problema es que los datos para el CT no representan una recta, nisiquiera una aproximación, por lo que no tendría sentido realizar una regresión lineal. El profesor nos dijo que investigaramos sobre eso. Es decir, de qué forma podríamos acercarnos al valor exacto de la intersección de estas dos curvas: CT e IT.

Se tiene la ecuación de IT, pero de CT sólo se tienen datos, que representandolos gráficamente representan una curva hacia arriba, luego baja y nuevamente sube.

Gracias de antemano.

6
Variable compleja y Análisis de Fourier / Propiedades de límites
« en: 19 Febrero, 2013, 11:54 pm »
La última clase que he tenido es sobre funciones de variable compleja, pero la verdad es que el profesor no se ha dado a entender muy bien.

Bueno, él nos ha mencionado estas propiedades de límites en clase:

\( \displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{(f\pm{}g)(z)} = ]\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{f(z)}\pm{}]\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{g(z)} \)
\( \displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{(f*g)(z)} = ]\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{f(z)} * ]\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{g(z)} \)
\( \displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{(\displaystyle\frac{f}{g})(z)} = \displaystyle\frac{]\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{f(z)}}{]\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{g(z)}} \)

Y nos ha dejado como trabajo hacer la demostración de estas propiedades.
Pero la verdad es que no sé de dónde partir o de qué valerme para poder demostrarlas.
Es decir, son afirmaciones tan inmediatas que no sabría de una propiedad más general que pueda demostrar estas otras.

Gracias de antemano.

7
Ecuaciones diferenciales / Ejercicio simple
« en: 18 Febrero, 2013, 02:33 am »
Determine una función \( y = f(x) \) cuya segunda derivada sea \( y'' = 12x - 2 \) en cada punto \( (x, y) \) sobre su gráfica, y \(  y=-x+5 \) es tangente a la gráfica en el punto que corresponde a \( x=1 \).

8
Ecuaciones diferenciales / Sistemas no homogéneos de ED.
« en: 13 Febrero, 2013, 02:34 am »

Gracias de antemano.

9
Ecuaciones diferenciales / Duda general sobre EDO de segundo orden.
« en: 09 Febrero, 2013, 03:54 pm »
Ahora que estoy llevando "Cálculo III", tengo una duda sobre las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Tengo entendido que existen 3 maneras de resolverlas:
1. Usando operadores anuladores.
De ese modo hago homogénea la ecuación y la solución que encuentre será la solución general de mi ecuación inicial (porque son equivalentes).
2. Por variación de parámetros. En este caso resuelvo wronskianos e integro para encontrar C1(x), C2(x), en base a la forma que tenga Yh. Así obtengo Yp y luego solo sumo ambas para obtener la solución general.
3. Por coeficientes indeterminados. He visto que también se refieren a este tema como el "método de superposición". Aquí en base a la forma de h(x) (la función de salida), se supone una forma para Yp. Luego según sea necesario se deriva dicha solución particular, y ello se reemplaza en la ecuación. Tras igualar a h(x) se encuentran los coeficientes de Yp.

Una duda en general que tengo es:
Resolviendo una misma ecuación diferencial, ¿Es normal que obtenga soluciones distintas de acuerdo al método que aplique? (Por ejemplo, usando variación de parámetros, obtengo soluciones que añaden términos que aunque dependan de la variable independiente, no están multiplicados por una constante, a diferencia de la solución que me resulta aplicando operadores anuladores).

Y una duda en particular:
Usando el método de superposición debo resolver y'' + 4y = (cosx)^2
Entonces cuando h(x) = (cosx)^2 no estoy muy seguro qué forma debería tener Yp.
Entonces he cambiado h(x) por su equivalente: 1/2 + 1/2 cos(2x).
Y, he intentado resolver usando estas formas para Yp (sin conseguir encontrar las constantes):
A+(Bcos2x + Csen2x)
A+ Bcos2x
X(A+Bcos2x)
X[A + (Bcos2x + Csen2x)]

Muchas gracias nuevamente.
Espero me puedan ayudar.

10
Ecuaciones diferenciales / EDO de segundo orden
« en: 03 Febrero, 2013, 05:27 am »
Debo encontrar el Wronskiano de las soluciones y1 y y2 que satisfacen las condiciones iniciales dadas.
Encontrar el Wronskiano es relativamente fácil (hasta yo lo puedo hacer ;D); el problema es que no sé cómo hallar las soluciones:

11. \( y'' + 2xy = 0 ; y_{1}(0) = y_{1}'(0) = 1 ; y_{2}(0) = 1 ; y_{2}'(0) = 0 \)

Quizás alguien pueda ayudarme. Gracias de antemano.

11
Ecuaciones diferenciales / Factor integrante
« en: 26 Enero, 2013, 06:09 am »
Se nos explicó en clase cómo hallar u(x) y u(y), pero no cómo determinar cuándo hallar lo uno o lo otro.
Supongo que sólo se puede determinar "probando", ¿verdad?

Todos los ejercicios los he venido desarrollando al encontrar un u(x), pero con el siguiente ejercicio no ocurre eso:
\( (x+x^{2}sen2y)dy-2ydx=0 \)

He buscado u(x) y aparecen términos 'y'.
He buscado u(y) y aparecen términos 'x'.

12
Ecuaciones diferenciales / Ciertas preguntas teóricas sobre EDO.
« en: 23 Enero, 2013, 02:50 am »
Los ejercicios que son para resolver o comprobar ya los he realizado casi todos, pero ahora me he encontrado con este ejercicio, y no estoy muy seguro de mis respuestas:
51. Considere la ecuación diferencial \( dy/dx = e^{-x^2} \).

(a) Explique por qué una solución de la ED debe ser una función creciente en algún intervalo del deje x.

(b) ¿Cuáles son, \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{dy/dx} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{dy/ dx} \)? ¿Qué indica esto acerca de una curva solución cuando \( x \to{±}\infty \)?

(c) Determine un intervalo en el cual una curva solución es cóncava hacia abajo y uno en el que la curva es cóncava hacia arriba.

(d) Trace la gráfica de una solución \( y=\emptyset(x) \) de la ecuación diferencial cuya forma es indicada por los incisos (a) a (c).

13
Bueno, voy a escribir el enunciado que estoy resolviendo y luego la duda que tengo:

96. Sean V y V' \( R \)-espacios vectoriales de dimensiones 3 y 4 respectivamente, y sean \( B = \{e_1, e_2, e_3\} \) una base de V y \( B' = \{u_1, u_2, u_3, u_4\} \) una base de V'. Sean \( f: V\rightarrow{}V' \) la aplicación lineal que verifica:
\( f(e_1 + 2e_2 + 3e_3) = u_1 + 3u_2 + 5u_3 + 3u_4 \)
\( f(e_1 + e_3) = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \)
\( f(2e_2 + 3e_3) = 2u_2 + 5u_3 +3u_4 \)

Como f es aplicación lineal, he podido encontrar \( f(e_1), f(e_2) \) y\(  f(e_3) \) usando matrices (sistema de ecuaciones en matriz) en términos de \( u_{i} \).
He aprendido mecánicamente (tengo examen en unas horas y me faltan muchos temas por repasar) cómo encontrar una matriz asociada. El ejercicio no dice explícitamente calcular la matriz asociada de f, pero supongo que se referirá a ello.
Este es un resumen que he hecho (en block de notas) de las matrices asociadas:

Citar
Para encontrar la MT asociada a una transformación lineal T: V -> W se quiere:
* La regla de correspondencia de T.
* Una base B={v_1, v_2, ...} de V.
* Una base B'={w_1, w_2, ...} de W.
Pasos a seguir:
1º Calcular T(v_i), para todo v_i que pertenece a B.
2º Escribimos c/u de estas imágenes en combinación lineal de los vectores de B'.
3º Formamos la matriz asociada [T] _B ^B', escribiendo los escalares obtenidos en columnas.
Es decir, [T(v_1)]_B' es el vector de los coeficientes que expresan a v_1 en combinación lineal de w_1, w_2, w_3.
Y este conformará la primera columna de la matriz asociada.

Bueno, y así es como conseguí hallar la matriz asociada:
\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

En base a ella he escrito \( f(x, y, z) = (x, x+y, y+z, z) \). Pero no sé si estará bien, es decir, en uno inicio estuve pensando en que \( e_i \) y \( u_{i} \) eran sólo números y ahora resultaron como vectores. Si son vectores, me parece que no he hecho nada que ellos no puedan hacer.
Mi duda gira en torno a esta parte del enunciado:
Citar
Sean V y V' \( R \)-espacios vectoriales [...]

14
Determinar una aplicación lineal \( f: \mathbb{R}^{3}\longrightarrow{}\mathbb{R}^{4} \) de forma que su núcleo e imagen estén dados por:
\( Ker(f)=\begin{Bmatrix} x_{1} - x_{3} = 0\\x_{2} = 0\end{matrix};  \)
\( Im(f)=\begin{Bmatrix} y_{1} - y_{2} = 0\\y_{2} - y_{3} = 0\end{matrix} \)

Bueno, lo que a mí me resulta es:
\( T(a, b, c) = (a-c, a-c, a-c, 0) \)
Pero no estoy muy seguro . . .

15
Agradecería mucho que me explicaran este ejercicio. Me servirá de base para resolver otras decenas del mismo tipo:

29. EL EFECTO MULTIPLICADOR. Suponga que, a nivel nacional, se gasta aproximadamente 92% de todo el ingreso y se ahorra 8%. ¿Cuál es la cantidad total de gasto generado por una reducción de impuestos de $50 mil millones si no cambian los hábitos de ahorro?

16
Bueno, la duda la tengo porque ahora que reviso mis apuntes, parece que el profesor se ha contradicho a sí mismo:

1ra definición.
Una serie infinita \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_{n}} = a_{1} + a_{2} + ... \)
converge si su suma es un número infinito, y diverge si no lo es.

2da definición.
Criterio de divergencia: considere la serie  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_{n}} \); si \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n}} \) no existe ó \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n}} \neq{} 0 \), entonces la serie \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{a_{n}} \) diverge.

El profesor hace algunos ejercicios y siempre "puntualiza" su teoría escribiendo "Def." y seguidamente una definición del tema que se está tratanto. Pero entre la última clase y la que tuvimos ya hace varios días, parece que hay una contradicción.
Además tampoco entiendo por qué en una de sus expresiones n va desde 1 y en otra va desde 0.

17
89. Se considera la aplicación \( T: M_{n}(R)\longrightarrow{}M_{n}(R) \) dada por \( T(A) = A - A^{t} \)
1. Comprobar que T es una aplicación lineal.
2. Calcular \( Ker(T), Im(T), Ker(T)\cap{}Img(T) \;\text{ y }\;  Ker(T)+Im(T) \).

Hay algo que no me queda muy en claro, pues en clase hemos visto "transformaciones lineales", pero sigo viendo a T como una simple función, que es aplicación lineal cuando cumple ciertas propiedades. Quizás una transformación lineal sea sólo eso, una función más...

Bueno, para comprobar si una función es aplicación lineal en los ejercicios anteriores sólo he tenido que evaluar esta condición: "la imagen de una combinación lineal, es la combinación lineal de las imágenes" para vectores en \( R^{2}, R^{3} ... \). Pero en este caso como se trata de una matriz, quisiera saber si es posible y aceptable hacer esa verificación convirtiéndola antes en un vector.
O en todo caso, quizás conozcan alguna forma de cómo hacerlo manera entendible y no muy extensa (en los exámenes de este profesor, lo que por lo general falta, es tiempo).

Gracias de antemano !

18
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Encontrar base ortonormal
« en: 20 Noviembre, 2012, 08:45 pm »
El profesor siempre nos deja una serie de enunciados, y justamente los que traen asteriscos tienen siempre algo diferente a los demás. Qué será . . .

*18. Encuentre una base ortonormal en \( R^{4} \) que incluya los vectores:
\( u_{1} = \left[{\begin{array}{ccc}{1/\sqrt{2}}\\{0}\\{1/\sqrt{2}}\\{0}\end{array}\right] \) y \( u_{2} = \left[{\begin{array}{ccc}{-1/2}\\{1/2}\\{1/2}\\{-1/2}\end{array}\right] \)

(Vaya, no era tan difícil escribir los vectores de esta forma. Todo gracias a estas herramientas de edición de mensajes !)

Por lo general los enunciados que he resuelto sobre bases ortonormales precisaban subespacios, es decir era algún \( R^{n} \) con una ecuación (en términos de x, y, z . . .) como condición. Entonces primero encontraba la base, luego la base ortogonal y finalmente la ortonormal.
¿Cómo haría en este caso?



Por otro lado, en otro ejercicio me dan una matriz Q y me piden demostrar que es una matriz ortogonal.
Si no recuerdo mal, una matriz ortogonal es aquella matriz que se tiene a sí misma como inversa.
¿Puedo usar entonces el método de encontrar inversas de Gauss Jordan?

Muchas gracias de antemano.




19
A diferencia de los demás ejercicios este aparece con un asterisco, debe tener algo que los demás no (además del asterisco) . . .

* 37. Si H es un subespacio vectorial de dimensión finita V, demuestre que existe un subespacio único K de V tal que
a) \( H\cap{}K = \{0\} \) y
b) \( H + K = V \)

He visto que cuando se define un subespacio, se escribe un término que pertenezca al espacio vectorial V, pero además, luego del "tal que" (/ ó :) se agrega otra condición para las variables. Así unas son libres y otras no. Y esto significaría que los elementos que pertenecen a dicho espacio vectorial son aquellos que además de pertenecer a V satisfacen la ecuación dada como condición.
Para el inciso a) me parece que debería negarse dicha ecuación de condición para que así no se coincida en elementos entre H y K.
Y sobre el inciso b) no sé si deba trabajarse por separado, porque creo que vendría a ser lo mismo.

20
He encontrado algunas demostraciones por la red pero la verdad es que no me convencen mucho, o bien no las comprendo.

Demuestre que los únicos subespacios propios en \( R^{2} \) son rectas que pasan por el origen.

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