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Temas - Ser Humano

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1
Hola.
Estaba pensando acerca de la forma de Jordan de una matriz, y al notar que la cantidad de columnas de un bloque (no elemental), es decir, la dimensión de los subespacios correspondientes a la descomposición enunciada en el teorema de la descomposición prima, coincide con la multiplicidad algebraica en el polinomio característico del factor relacionado con el subespacio. Para ser mas claro:

Si el polinomio minimal de T es:
\( m=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x-a_i)^{k_i}} \)

y el polinomio característico es:
\( c=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x-a_i)^{j_i}} \)

Entonces

\( dim \ Ker (T-Ia_i)^{k_i} = j_i \)

Supongo que es un hecho general, que debe ser corolario del teorema de la descomposición prima.

Bueno, me gustaría saber como puedo notar (es decir, demostrar) este hecho. Estuve pensándolo un rato pero no se me ocurre una forma de notarlo, así que cualquier ayuda será agradecida.

Saludos ;)

2
Hola, tengo éste problema que no puedo resolver:

Sea \( T \) endomorfismo sobre \( \mathbb{R}^3 \) representado en la base canónica por la matriz :
\(
\begin{bmatrix}{3}&{1}&{-1}\\{2}&{2}&{-1}\\{2}&{2}&{0}\end{bmatrix} \)

Hallar un \( D \) y un \( N \) tal que \( T=D+N \) con \( D \) diganolizable y \( N \) nilpotente.

Creo poder hacerlo en el caso de que el polinomio característico se pueda descomponer en factores lineales, pero éste no es el caso.
Y la verdad que no se como hacer  :(

Cualquier idea es bienvenida, y si es útil, mucho más :D .

Saludos

3
Hola. Estaba viendo una demostración de como el polinomio de Taylor se aproxima a una función en donde implementaban el hecho de que \( 0^0=1 \). Yo hasta el momento tenía entendido que esto era una indeterminación, y no 1. Sin embargo mis dudas surgen porque la demostración parece ser coherente en el resto de elementos, y llega a la conclusión conocida.
Si creen favorable que exponga la demostración, solo me avisan ;) .

Saludos

4
Hola.
Estaba leyendo un articulo en la web, mas específicamente en Wikipedia, sobre el algoritmo para resolver ecuaciones de tercer grado. En uno de los "pasos" a seguir se implementa un cambio de variable (se cambia una variable por otras dos), y se afirma que esto permite introducir una condición arbitraria para las nuevas variables. Me gustaría saber que teorema demuestra esta afirmación, y si es posible que se me facilite dicha demostración, mucho mejor todavia  :D .
Si es preciso el ejemplo en particular porque tal vez solo es aplicable a casos como éste y no es una afirmación válida en general, aca dejo el link de la pagina que leía : http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado

Gracias por las respuestas.
Saludos ;)

5
Hola.

¿Como puedo determinar si una transformación lineal es inversible o no a partir de sus autovalores?

Gracias por sus futuras respuestas ;) :D.

Saludos

6
Hola, estaba intentando hallar los autovectores asociados a los valores propios de el siguiente operador lineal definido en \( \mathbb{C}^2 \):

\( T(w,z)=(z,-w) \)

Para ello, halle la matriz de la tranformación lineal con respecto a la base canónica, luego los autovalores, y por ultimo me disponía a hallar los autovectores.

Los resultados fueron los siguientes:
\(
\begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{Bc} = \begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix} \)

\( \sigma=\left\{{i,-i}\right\} \)

Con intente hallar los vectores propios de la siguiente manera:
\(
Tv=\lambda I v \Rightarrow{(T-\lambda I)v=0  \)

Para cada \( \lambda \), tomo coordenadas a ambos lados de la igualdad, y resuelvo el sistema. Mi duda esta en que para el autovalor \( i \) , el sistema de ecuaciones me da indeterminado. Esto lo interpreto como que todo elemento de \( \mathbb{C}^2 \) es autovector asociado a dicho autovalor, pero esto no es posible porque \( -i \) también es autovalor, por lo que necesariamente tiene que tener autovectores asociados.
Paso a exponer la forma en que me queda esto:

\( (\begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{Bc} - \begin{bmatrix}{i}&{0}\\{0}&{i}\end{bmatrix}) \begin{bmatrix}v\end{bmatrix}_{Bc}= \begin{bmatrix}0\\{0}\end{bmatrix} \)

Entonces, si  \( \begin{bmatrix}v\end{bmatrix}_{Bc} = \begin{bmatrix}\alpha_1\\{\alpha_2}\\ \end{bmatrix} \) :

\( (\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}{i}&{0}\\{0}&{i}\end{bmatrix}) \begin{bmatrix}\alpha_1\\{\alpha_2}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\{0}\end{bmatrix} \Longrightarrow{\begin{bmatrix}{-i}&{1}\\{-1}&{-i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\{\alpha_2}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\{0}\end{bmatrix}}\Longrightarrow{=\begin{Bmatrix} -i \alpha_1 + \alpha_2=0\\-\alpha_1 - i \alpha_2=0\end{matrix}} \)

De la primera ecuación:
\( \alpha_2= i \alpha_1 \)

sustituyendo en la segunda:
\( -\alpha_1 - i^2 \alpha_1=0 \Rightarrow{-\alpha_1 + \alpha_1 =0} \)

Y esto vale para todo \( \alpha  \). Notando esto y viendo la primera ecuación, podemos decir que \( \alpha_2 \) también es cualquiera.

que problema :D

Ustedes me dirán.

Saludos ;)

7
Hola a todos.
Estaba intentando demostrar que siendo
\( dim\mathbb{V}=dim\mathbb{W}=n \) y \( T:\mathbb{V}\longrightarrow{\mathbb{W}} \) transformacion lineal

Se cumple que:
\( Ker(T)=\left\{{0}\right\} \Leftrightarrow T \) es suryectiva (Ker es el kernel, o nucleo).

Para comenzar la demostracion, intento mostrar que
\( Ker(T)=\left\{{0}\right\} \Longrightarrow T \) es suryectiva

Lo que hice fue mostrar que las imágenes de una base de \( \mathbb{V} \) son linealmente independientes, de la siguiente forma:
si \( v\in \mathbb{V} \) y \( B=\left\{{v_1,...,v_n}\right\} \), base de \( \mathbb{V} \).
\( Tv= T (\displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i v_i})=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i T(v_i)}  \) (*)

Por otro lado si
\( Tv=0 \Rightarrow{v=0} \), ya que si \( v \) cumple con ello, pertenece al Kernel, y este solo contiene al vector nulo.

y por lo tanto:
\( T \displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i v_i}=0 \Rightarrow{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i v_i}=0} \)
pero como los \( v_i \) son base, los \( \alpha_i \) son todos cero.

Si tomamos el resultado de (*) para el caso particular del Kernel de T:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i T(v_i)}=0 \)

y como los \( \alpha_i  \) son todos necesariamente cero, los \( Tv_i \) son linealmente independientes.

si yo pudiera probar que además de ser linealmente independientes, también son sistemas de generadores de \( \mathbb{W} \), entonces podría decir que si \( w\in \mathbb{W} \) :

\( w=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\beta_i T(v_i)}=T(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\beta_i v_i})  \)

y por lo tanto pertenece a \( Im (T) \), y como \( w \) era cualquiera :

\( Im(T)=\mathbb{W} \), es decir que \( T \) es epimorfísmo.

Pero tengo problemas para probar que ese conjunto es sistema de generadores de \( \mathbb{W} \). ¿alguna idea?

8
Trigonometría y Geometría Analítica / Perímetro
« en: 01 Mayo, 2010, 04:49 pm »
Hola.
Resulta que al presente sujeto le surgió la duda acerca de la definición de perímetro al notar que lo que él había dado por sentado que era siempre, no era así.
Yo desde que recuerdo haber tenido la noción de perímetro creí que se trataba de la cantidad de puntos que tenia una figura. Eso habría implicado que el perímetro sea el cardinal del conjunto de puntos que cumplen con la condición de la figura. Por ejemplo, si tomamos a una circunferencia de radio R , el conjuntos de puntos del plano que le corresponden a dicha figura es: \( C= \left\{{(x,y) / x^2+y^2=R^2 }\right\} \). Y según el preconcepto que tenía de perímetro éste era el cardinal del conjunto C.
Intentando corroborar el preconcepto que tenía de perímetro, me propuse descomponer a una figura, de forma que me queden varias curvas que sean funciones inyectivas. Es aquí donde noté que lo que creía que era, no era. Como cada una de las curvas era una función en los reales restringidos, y al ser función cada elemento de este subconjunto de los reales, se relacionaba con un único elemento de la imagen, si el perímetro era la cantidad de puntos, entonces el perímetro debía ser el mismo para toda función que tenga el mismo intervalo en su dominio, cosa que no es cierta.
Bueno, es cierto que a nadie le importan mis errores, pero me sirve de introducción para plantear la duda que tengo. Continúo:
Sabia que si podía encontrar la longitud de cada una de estas curvas que eran funciones inyectivas, al sumarlas obtendría el perímetro, y por lo tanto mi problema se reducía a obtener una forma de hallar dicha longitud.
Lo que hice fue dividir al dominio en \( n \) intervalos, todos de igual cardinal, quedándome intervalos de cardinal \( \frac x n \) , con \( x \) cardinal del dominio. A cada uno de estos intervalos les correspondía un subconjunto de la imagen de la función. Geométricamente, se puede notar que para \( n  \) muy grandes, los puntos de la imagen correspondientes a un intervalo (de los mencionados) forman muy aproximadamente una recta, valiendo esto para cualquier curva.
De esta forma, ya trabajando únicamente con segmentos rectos, puedo escribir por el teorema de pitágoras:
\( z^2=a^2+b^2 \) . Donde \( z \) es la longitud de la recta correspondiente a la imagen de un intervalo \( \frac x n \), \( a \) es dicho intervalo, y \( b \) es la proyección de \( z \) en el eje de las ordenadas.
Teniendo en cuenta que \( \tg \alpha = \dfrac b a \):

\( z=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2(1+\tg^2 \alpha)}=a \sqrt{1+ tg^2 \alpha} \)

Como se puede notar, mi objetivo es sumar todos los \( z \) que le correspondan a cada uno de los intervalos mencionados. Entonces:

\( L= \displaystyle\sum_{i=1}^n{a \sqrt{1+ tg^2 \alpha_i}} \)

Siendo \( \alpha_i  \) el ángulo que forma la recta correspondiente a un intervalo (que como se puede notar están ordenados y por lo tanto se pueden numerar) con la horizontal (es decir con cualquier recta paralela al eje de las abscisas). El subíndice \( i \) hace referencia al numero de orden del intervalo del dominio que se esta tomando.

Pero como ya se hizo explicito, \( a=\frac x n \), y para ajustarse lo mas posible a la curva, hagamos que \( n\rightarrow{\infty} \) :
\( L= \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac x n \sqrt{1+ tg^2 \alpha_i}}}=\displaystyle\int_{x_i}^{x_f} \sqrt{1+ tg^2 \alpha_i} {d}x \)

Como se puede notar, \( \tg \alpha \) es la pendiente de la recta que pasa por la imagen de los intervalos, que se puede interpretar como la recta tangente de la función  en un punto medio del intervalo elegido, que es por definición, la derivada. Entonces:

\( L= \displaystyle\int_{x_i}^{x_f} \sqrt{1+ (\frac {dy}{dx})^2} {d}x \)

Entonces tengo estas preguntas:
¿es correcto el resultado al que llegué?. De no ser así, ¿donde esta el error?

¿es el perímetro la suma de las longitudes de los segmentos rectilineos que se ajustan a la curva cerrada?. Si no es así, y la resolución expuesta es válida ¿que otra interpretación se le puede dar?. Si ni siquiera la resolución expuesta es válida ¿que es el perímetro?

Bueno, muchas gracias por su tiempo
Un saludo a todos


9
Hola. Trabajando en el \( \mathbb{C} \) - espacio vectorial de matrices de\(  2x2 \) con entradas complejas, quería hallar la dimensión de\(  W_1+W_2  \), siendo \( W_1 \) el conjunto de las matrices de la forma \( \begin{bmatrix} x & -x  \\ y &z\end{bmatrix} \) y \( W_2 \) el conjunto de las matrices de la forma \( \begin{bmatrix} a & b  \\ -a &c\end{bmatrix} \).

Para obtenerlo, intenté obtener la base de este subespacio para ver cual era su cardinal.

Sabiendo, por definición de suma de subespacios (que ya tengo demostrado que lo son) que los vectores de \( W_1 + W_2 \) son de la forma:

\( v= v_1 + v_2 \) con \( v\in W_1+W_2 , v_1\in W_1 , v_2 \in W_2
 \)
se que cualquier vector genérico \( v \), tendrá la forma:

\( v=\begin{bmatrix} x & -x  \\ y &z\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b  \\ -a &c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x+a & b-x  \\ y-a &c+z\end{bmatrix} \)

Como se puede notar, todo vector de \( W_1+W_2 \) es una matriz de \( 2x2 \) , es decir que tiene el formato:

\( \begin{bmatrix}{k_1}&{k_2}\\{k_3}&{k_4}\end{bmatrix} \)

Por definición de igualdad entre matrices:

\( k_1=x+a \)
\( k_2=b-x \)
\( k_3=y-a \)
\( k_4=z+c \)
entonces:
\( k_1= b- k_2 + y -k_3= k_2-k_3 + (y+b) \)

donde \( y+b \) es un escalar perteneciente a los complejos que llamaré \( h  \)(notar que \( h \) es cualquier complejo, ya que los complejos son un cuerpo, y por lo tanto son cerrados en la suma).

Entonces todo vector de \( W_1+W_2 \) tendra la forma:

\( \begin{bmatrix}{k_2-k_3 +h}&{k_2}\\{k_3}&{k_4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{k_2-k_3+h}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{0}&{k_2}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{k_3}&{0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{k_4}\end{bmatrix}=  \)

\( =\begin{bmatrix}{k_2}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{-k_3}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{h}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{0}&{k_2}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{k_3}&{0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{k_4}\end{bmatrix}= \)

\(
=\begin{bmatrix}{k_2}&{k_2}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}{-k_3}&{0}\\{k_3}&{0}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{k_4}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{h}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=
 \)

\( =k_2\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+ k_3 \begin{bmatrix}{-1}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix} + k_4\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}+h\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Como \( k_2, k_3, k_4 \) y \( h  \)son complejos cualquiera, se puede notar que cualquier matriz del subespacio \( W_1+W_2 \) se puede escribir como combinación lineal de los vectores expuestos, y por lo tanto la dimensión de este subespacio es 4.

Lo que me gustaría saber en principio, es si el procedimiento es correcto, y luego ver si pueden aportar alguna resolución que pueda resultar mas conveniente, en estas condiciones o en otras diferentes.

Gracias por las respuestas.

Saludos

10
Hola,
 Me gustaría saber si existe alguna relación entre la dimensión del espacio vectorial, el cardinal del cuerpo sobre el que esta dicho espacio, y el cardinal del propio espacio. De existir ¿cuál es?, de no hacerlo ¿hay alguna forma de saber que cardinal tiene un espacio vectorial?.

Muchas gracias  ;)


11
Hola a todos
¿por que el subespacio generado por el conjunto vacio es el que tiene solo el vector nulo?
Porque segun lo que tengo entendido, el subespacio generado por un conjunto es otro, con vectores que resultan de la combinacion lineal de los vectores del primero, que en este caso no habria (¿o sera que el conjunto vacio posee al vector nulo? no creo, porque dejaria de ser vacio)

Gracias

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