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Temas - nktclau

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1
Cálculo 1 variable / Integral indefinida
« en: Hoy a las 12:54 am »
Hola Gente! me solicitan hallar la primitiva o antiderivada de
\( f(x)=\begin{cases}{-1}&\text{si}&x<0\\1 & \text{si}&x>0\end{cases} \), hasta aca no se ha visto integrales definidas, mucho menos impropias.
¿de que forma si no se puede usar definidas se resuelve \( \displaystyle\int f(x)dx \)?

Gracias!

2
Buenas noches amigos!! Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con la siguiente demostración

Dada \( X_n \) tal que  \( x_1=1 \) \( x_2=2 \) y \( x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(x_n+x_{n+1}\right) \) probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{X_n}=\dfrac{5}{3} \)

Como debo probarlo formalmente entonces deberé probar que \( \forall{\epsilon}>0: \exists{N}\text{ tal que  }   n>N: |X_n-L|<\epsilon \)

\( \left|\dfrac{1}{2}\left( x_n+x_{n+1}\right)-\dfrac{5}{3}\right|<\epsilon \)

\( \dfrac{|3(x_n+x_{n+1})-10|}{6}<\epsilon \)

\( |3x_n+x_{n+1}-10|<6\epsilon \)

Aqui me quedo , ya que no podré despejar \( n \) para hallar el \( \epsilon \)

Gracias
Saludos

3
Esquemas de demostración - Inducción / Probar por Inducción
« en: 04 Octubre, 2020, 02:35 am »
Hola GENTE!! ¿como están? necesito de vuestra ayuda , por favor, con el siguiente ejercicio.
Probar por inducción que \( \displaystyle\sum_{k=2n+1}^{3n}{(2k-1)}=5n^2 \) \( \forall{n} \in{\mathbb{N}} \)

Para \( n=1 \)  \( \displaystyle\sum_{k=2 \cdot 1+1}^{3 \cdot 1}{(2k-1)}=\displaystyle\sum_{k=3}^3{(2k-1)}=5=5 \cdot 1^2 \)

Se verifica que \( P(1) \) es verdadero

Hipótesis inductiva: Supongo verdadero \( \displaystyle\sum_{k=2h+1}^{3h}{(2k-1)}=5h^2 \)

Y debemos probar que: \( \displaystyle\sum_{k=2(h+1)+1}^{3(h+1)}{(2k-1)}=5(h+1)^2 \) es verdadero

Demostarcion : al partir de  \( \displaystyle\sum_{k=2(h+1)+1}^{3(h+1)}{(2k-1)}=9 + .... + [2(3h)-1]+ [2(3h+1)-1]+[2(3h+2)-1]+[2(3h+3)-1]= \)

¿es esto correcto? veo que los limites de las sumatorias de las hipotesis inductiva y la tesis son distintas, y no puedo llegar a encontrar la expresion adecuada para usar la hipótesis inductiva. A todo esto la tesis inductiva no comienza en 5 sino en 9  :-[.

Gracias

4
Cálculo 1 variable / Limite
« en: 16 Septiembre, 2020, 08:36 pm »
Buenas tardes GENTE!

Necesito de vuetsra ayuda , por favor, con el siguiente límite \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\left(1-\frac{x}{a}\right)^{ax}} \)

al realizar el analisis de la tendencia la base tiende a \( -\infty \) y el exponente tiende a \( +\infty \) pero este tipo de tendencia no es una indeterminación

Quice llevarlo a la forma del limite especial \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e \) o a la \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1+1/x)^x}=e \) pero no es posible y luego quice ver alguna forma de aplica L'Hopital pero no puedo sacar las indeterminaciones que hacen posible la aplicacion .
Sólo sugerencias, no resolución

MUCHAS GRACIAS!

5
Cálculo 1 variable / Continuidad en un punto
« en: 16 Septiembre, 2020, 02:16 am »
Hola GENTE!! ¿como va? tengo que decidir una opcion en el siguiente ejercicio, me temo hay un error de "tipeo" por eso recurro a vuestra ayuda, a ver si hay algo que quizas yo no he visto o tenido en cuenta.

Sea \( f(x)=\begin{cases}{\frac{x-a}{\sqrt[ ]{x}+\sqrt[ ]{a}}}&\text{si}& x\neq a\\2 & \text{si}& x=a\end{cases} \) es continua en \( x=a \) si el valor de \( a \) es:  las opciones son \( a=2 \) ,  \( a=0 \) ,  \( x=\sqrt[ ]{2} \)

Solución:
si \( f(x) \) es continua en \( x=a \) se debe verificar que \( \lim_{x \to{}a}{f(x)}=f(a) \)

Vemos que \( f(a)=2 \) y al analizar ese limite \( \lim_{x \to a}{\frac{x-a}{\sqrt[ ]{x}+\sqrt[ ]{a}}}=0 \) por ende no existe valor de \( a \) que verifique lo solicitado.

Amen de esto, segun reza mas abajo la respuesta correcta es \( x=\sqrt[ ]{2} \) Asi que analicé cada una de las opciones dadas en la funcion y ninguna hace que la función sea continua en los valores de \( a \) que aparecen como opción.

Aguardo vuestra respuesta

Saluditos

6
Trigonometría y Geometría Analítica / Planos paralelos y coincidentes
« en: 05 Septiembre, 2020, 11:41 pm »
Buenas tardes GENTE!

Si tengo dos planos en \( \mathbb{R}^3 \) que son paralelos y coincidentes , ¿está bien decir que existe una recta \( L=\pi_1\cap{\pi_2} \) siendo esos planos los paralelos y coincidentes?

Gracias

7
Hola GENTE!! un gran saludo a todos.
Me solicitan analizar si \( (V,\oplus{},\otimes{}) \) siendo \( V=\{(x,y) \in{}\mathbb{R}^2 \textrm{ con } x\geq{0} , y\geq{0}\} \) con las operaciones \( (x,y)\oplus{(a,b)=(xa; yb)} \) y  \( \alpha \otimes{} (x,y)=\left(x^{\alpha}, y^{\alpha} \right) \) \( \alpha \in{}\mathbb{R}^2 \) es un espacio vectorial.

Es una duda acerca del procedimiento, más que nada

Estoy probando el axioma para la suma, es decir, debo probar que  \( \forall{\vec{u}\in{V}},\exists{\vec{0}}\in{V} \) tal que \( \vec{0}\oplus{\vec{u}}=\vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)

Sea \( \vec{u}=(u_1,u_2) \) tal que \( \vec{u}\in{V} \) ySupongo que  \( \vec{0}=(a,b) \) con \( a, b \in{\mathbb{R}} \)

Si es el neutro deberá verificar \( \vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)  y  \( \vec{0}\oplus{\vec{u}}=\vec{u} \) 

Bien solo trabajare con una de las partes (pues no viene al caso para la duda plantear ambos)

\( \vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)

\( (u_1,u_2) \oplus{ (a,b)}=(u_1,u_2)\Longleftrightarrow{(a \cdot u_1  , b \cdot u_2)}=(u_1,u_2) \) que por definición de igualdad de vectores nos permite afirmar que

\( a \cdot u_1=u_1\underbrace{\Longleftrightarrow}_{u_1\neq 0}{a=1} \) y \( b \cdot u_2=u_2\underbrace{\Longleftrightarrow}_{u_2\neq 0}{b=1} \)

Luego podemos ver que \( \forall{\vec{u}\in{V}} \) tal que \( u_1\neq 0 \) o \( u_2 \neq 0 \) el elemento neutro es \( (1,1) \)

Ahora, he analizado para ver que pasa para los casos en que \( \vec{u}=\begin{cases}(u_1,0)\\ (u_2,0)\\ (0,0)\end{cases} \). Y el elemento neutro es para todo \( \vec{u} \in{V} \) el vector \( \vec{(1,1)} \)

Dejo la duda puntual en rojo. 
¿es realmente necesario realizar el análisis de estos tres casos particulares? pues el elemento neutro hallado, es sólo para determinados casos.

O a partir del teorema que dice que el neutro de un espacio vectorial es unico, no es necesario?

Muchas Gracias



8
Hola GENTE, Espero todos se encuentren más que bien!!  :-* :-*

Estaba estudiando infimos y supremos, y en un ejercicio me aparece la siguiente notación, la cual es la primera vez que lo leo,
\( \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} \left[-\frac{1}{n};1+\frac{1}{n} \right] \)
me solicitan 3 cotas superiores y 3 inferiores.

Quisiera entender primeramente esta notación, alguien que sugiera bibliografia en castellano, por favor, para comprenderlo.

Gracias!

Saludos

9
Cálculo 1 variable / Integral con sustitución trigonométrica
« en: 20 Julio, 2020, 01:22 am »
Hola Gente, debo resolver una integral definida, esta
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{3+2cos(x)} \)
incluso hacen una sugerencia que es hacer una sustitución \( t=tg\left(\frac{x}{2}\right) \) al hacer este cambio de variable cuando voy a cambiar los intervalos de integración para la nueva variable, no existe en \( \frac{\pi}{2} \)

Alguna sugerencia?

Gracias

10
Estadística / Una máquina envasadora de un laboratorio...
« en: 19 Junio, 2020, 12:10 am »
Hola GENTE!! necesito por favor de su ayuda con el siguiente problema. No se como encararlo, basicamente

Una máquina envasadora de un laboratorio vierte medicamento en los recipientes. Se puede regular la cantidad de medicamento que vierte, pero siempre la máquina tiene un desvío del nivel programado. Si esta máquina tiene un desvío de \( 0,4 \) ml. ¿a qué nivel debería programarse para que el recipiente de \( 8 ml \) se rebalse el \( 0,5 \% \) de las veces?

No es la idea que lo resuelvan simplemente que me ayuden a encararlo
GRACIAS!!
Saludos

11
Estadística / Prueba de hipótesis
« en: 04 Junio, 2020, 09:16 pm »
Hola GENTE!! como están?
becesito evacuar una duda en el siguiente problema
 Para una muestra de 60 mujeres, tomada de una población de 5,000 inscritas en un programa de reducción de peso en una cadena nacional de balnearios de aguas termales, la presión sanguínea diastólica media es de 90 con una desviación  estándar de 42. A un nivel de significación de 0.01, determina si las mujeres inscritas en el programa tienen una presión sanguínea diastólica que excede el valor de 75 recomendado por diversas sociedades médicas.

Duda: ¿Para que me da el dato de la poblacion ?

Gracias

12
Buenas tardes FORO!  ;) Necesito vuestra ayuda, por favor con el siguiente ejercicio.

Debo probar que \( \forall{n}\in{\mathbb{N}} \) se verifica \( \sum_{i=1}^n{i^3}=\left(\sum_{i=1}^n{i}\right)^2 \)

Por induccion se comprueba que se verifica para \( P(1) \)

Hipótesis inductiva: \( \sum_{i=1}^k{i^3}=\left(\sum_{i=1}^k{i}\right)^2 \)

Debemos probar que se verifica para \( P(k+1) \) es decir: \( \sum_{i=1}^{k+1}{i^3}=\left(\sum_{i=1}^{k+1}{i}\right)^2 \)

Demostracion

\( \left({\sum_{i=1}^{k+1}{i}}\right)^2\underbrace{=}_{*1}\left({\sum_{i=1}^{k}{i}}+ (k+1)\right)^2\underbrace{=}_{*2}\left(\sum_{i=1}^{k}{i}\right)^2+2 (k+1)\sum_{i=1}^k{i} + (k+1)^2\underbrace{=}_{*3} \sum_{i=1}^k{i^3}+ 2 (k+1)\sum_{i=1}^k{i} + (k+1)^2 \)  ¿como sigo? o hay otro camino?



*1 Desarrolle el ultimo termino de la sumatoria

*2 Cuadrado de un binomio

*3 Utilizando Hipotesis Inductiva


MUCHAS GRACIAS!!

Saludos

13
Esquemas de demostración - Inducción / Inducción
« en: 25 Mayo, 2020, 10:27 pm »
Hola GENTE!!! Qué hermoso está el foro!! :)

Debo probar por induccion generalizada que \( n! > n^2; \forall{ n}\in{\mathbb{N}}: n\geq{4} \)

\(  P(4) \) es verdadero
La hipótesis inductiva \( P(k): k! > k^2 \)

Debo probar que \( P(k+1) \) es verdadero, es decir, que \( (k+1)!>(k+1)^2 \)

Demostracion

Por definicion de funcion factorial: \( (k+1)!= (k+1) \cdot k! \)

Por hipotesis inductiva tenemos que: \( k! > k^2 \) si multiplicamos miembro a miembro por \( (k+1) \)

tenemos que : \( k! (k+1)> k^2 (k+1) \)

de lo que tenemos que \( (k+1)!> k^2(k+1) \)

¿debo realizar una inducción generalizada para \( n\geq{4} \) para probar que \( k^2(k+1)>(k+1)^2 \)?

Gracias

14
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Igualdad de subespacios
« en: 18 Abril, 2020, 02:30 am »
Hola,buenas noches, necesito por favor de vuestra ayuda en el siguiente ejercicio.

Dados los subespacios de \( \mathbb{R}^3 \), \( S=\left\{{(x_1,x_2,x_3)\in{\mathbb{R}^3}}: 2x_1-x_2+x_3=0; -4x_1+2x_2-2x_3=0\right\} \) y \( T=\left<{(2,3,-1) (-2,1,5) (4,2,-6)}\right> \)

a) Mostrar que \( T\subset{S} \)

Aquí utilice lo que conozco de conjunto \( T\subset{S}\Longleftrightarrow{\forall{u}\in{T}\Longrightarrow{u}\in{S}} \)

Sea \( (2,3,-1)\in{T} \) \( \begin{cases}2x_1-x_2+x_3=0 & \Longleftrightarrow {}&{2 \cdot 2-3+(-1)=0}\\& \wedge& \\ -4x_1+2x_2-2x_3=0& \Longleftrightarrow{}& {-4 \cdot 2+2\cdot3-2\cdot (-1)=0}\end{cases} \) Por lo tanto se verifica \( (2,3,-1)\in{T}\Longrightarrow{(2,3,-1)\in{S}} \)

Sea \( (-2,1,5)\in{T} \) \( \begin{cases}2x_1-x_2+x_3=0 & \Longleftrightarrow{}& {2 \cdot (-2)-1+5=0}\\ & \wedge &\\ -4x_1+2x_2-2x_3=0& \Longleftrightarrow{}&{(-4) \cdot (-2)+2\cdot 1-2\cdot (5)=0}\end{cases} \) Por lo tanto se verifica \( (-2,1,5)\in{T}\Longrightarrow{(-2,1,5)\in{S}} \)

Sea \( (4,2,-6)\in{T} \) \( \begin{cases}2x_1-x_2+x_3=0 & \Longleftrightarrow{}&{2 \cdot 4-2+(-6)=0}\\& \wedge& \\ -4x_1+2x_2-2x_3=0& \Longleftrightarrow{} &{-4 \cdot 4+2\cdot 2-2\cdot (-6)=0}\end{cases} \) Por lo tanto se verifica \( (4,2,-6)\in{T}\Longrightarrow{(4,2,-6)\in{S}} \)

Luego queda probado que \( T\subset{S} \)

b) Calcular dim(S) , dim(T) y decidir si vale la igualdad \( T=S \) o no

Calculo la dim(S)

Haciendo los cálculos correspondientes, hallé que una base de \( S=\left\{{(1,0,-2)(0,1,1)}\right\} \) y \( Dim(S)=2 \)

Calculo la dim(T)

 \( T=\left<{(2,3,-1) (-2,1,5) (4,2,-6)}\right> \) Son \( 3 \) vectores en \( \mathbb{R}^3 \) por lo que generan a \( \mathbb{R}^3 \) veamos si son linealmente independientes.

Es decir, resuelvo \( (0,0,0)=\alpha (2,3,-1)+ \delta(-2,1,5)+\gamma(4,2,-6) \)

\( \begin{bmatrix}{2}&{-2}&{4}\\{3}&{1}&{2}\\{-1}&{5}&{-6}\end{bmatrix} \) Si calculo este determinante me da cero por lo que el sistema de ecuaciones lineal homogeneo es compatible indeterminado luego los vectores generadores del espacio vectorial \( T \) no son linealmente independientes.

Por lo que remuevo un vector asi obtengo que \( T=\left<{(2,3,-1)(-2,1,5)}\right> \) estos vectores son linealmente independientes y forman una base de \( T \) por lo que \( Dim(T)=2 \)

Me preguntan si se verifica que \( T=S \) o no


Aquí me vuelvo a basar en teoría de conjuntos \( T=S \Longleftrightarrow{\begin{cases}{ T\subset{S} \wedge S\subset{t}}\\ \wedge \\ Dim(S)=Dim(T)\end{cases}} \)

Lo único que me está quedando probar es que \( S\subset{T} \)

Sea \( u\in{S}: u=(x_1,x_2,x_3) \) diremos que \( u\in{T}\Longleftrightarrow{\exists{\alpha}, \beta, \delta}: (x_1,x_2,x_3)=\alpha (2,3,-1) + \beta (-2,1,5) + \delta(4,2,-6) \)

Obtengo \( \begin{cases}{ 2\alpha - 2 \beta +4\delta=x_1}\\3\alpha+\beta+2\delta=x_2\\-\alpha+5\beta-6\delta=x_3\end{cases} \)

y escalonando llego a \( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}&{|}&\displaystyle\frac{x_1}{2}\\{0}&{1}&{-1}&{|}&{-\displaystyle\frac{3x_1}{2}+x_2}\\{0}&{0}&{0}&{|}&{2x_1-x_2+x_3}\end{bmatrix} \)

Veo que este sistema será incompatible para todo valor de \( x_1,x_2 \) y \( x_3 \) tal que \( 2x_1-x_2+x_3\neq{0}
 \) pero para aquellos que anulen la expresión anterior será compatible indeterminado, por ejemplo \( (1,1,-1) \)
Por lo que \( S\subset{T} \)

Me temo aqui me confundí, me perdí un poco, quiera justamente me auxilien en este punto y por favor, quisiera saber si lo razonado en los anteriores puntos es correcto.

Desde ya MUCHAS GRACIAS!!  ;)

15
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / ¿Generan a R^3?
« en: 13 Abril, 2020, 01:51 am »
Buenas noches GENTE

Me preguntan si los siguientes conjuntos de vectores generan a \( \mathbb{R}^3 \) o no, \( \left\{{(1,1,-1)(0,1,1)(1,2,0)}\right\} \)

Si no entendí mal la teoría el conjunto de vectores linealmente independientes general un espacio vectorial

Entonces, veamos si el conjunto de vectores dados es linealmente independiente, es decir, veamos si \( \exists{\alpha, \beta, \delta}\in{\mathbb{R}}: (0,0,0)=\alpha (1,1,-1)+\beta(0,1,1)+\delta(1,2,0) \) con \( \alpha\neq{0}, \beta\neq{0} \) y \( \delta\neq{0} \)

Armo el sistema de ecuaciones y me queda un sistema \( A.X=0 \) tal que \( |A|\neq{0} \) por lo que el sistema homogeneo es compatible indeterminado.

De todas formas armé la matriz y lo comprobé: \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{2}\\{-1}&{1}&{0}\end{bmatrix}\sim{\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}} \)

Solución general del S.E.L. \( \left\{{(-\delta, -\delta, \delta)}\right\} \) por lo que una solución particular seria  \( (-1,-1,1) \) y compruebo que efectivamente satisface la definición

\( \exists{\alpha, \beta, \delta}\in{\mathbb{R}}: (0,0,0)=\alpha (1,1,-1)+\beta(0,1,1)+\delta(1,2,0) \)

Pero la respuesta según el profesor es no genera

No pasa nada si hay error de tipeo pero pasaría mucho si hay algo que estoy haciendo mal por haber comprendido mal alguna definición.

GRACIAS!!

16
Hola GENTE!! Necesito por favor de vuestra ayuda con el siguiente ejercicio

Me solicitan hallar dos subespacios distintos de \( \mathbb{R}^3 \) que contengan al vector \( \vec{v}=(1,2,3) \)

¿De cuantos vectores deberá ser el subespacio solicitado? (primera duda) Yo lo supuse de 2 \( S=\{\vec{a}, \vec{b} \} \)
Donde no se quienes son \( \vec{a} \) ni \( \vec{b} \).

Luego se que si un vector pertenece a un espacio \( S \) es por que se verifica que \( \exists{\alpha}, \beta \in{\mathbb{R}}  \) tales que, \( \alpha \cdot (a_1, a_2,a_3) + \beta(b_1.b_2,b_3)=(1,2,3) \)

Quisera me guiaran por favor, ya que he leido teoría pero estoy un poco insegura, incluso pense que quizas el subespacio solicitado puede contener a \( \vec{a}=(2,4,6) \) y \( \vec{b}=(1,8,10) \) ya que si hago \( \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}  \) y \( \beta=0 \) se verifica lo dicho mas arriba, pero debe haber un razonamiento basado en la teoria, cuando esto no sea tan sencillo,  y me gustaría me puedieran ayudar.

¿ que pasa si me solicitan lo mismo que el punto anterior, pero que no contenga a otro vector?

Saludos y GRACIAS  ;)

17
Números complejos / Ecuación polinómica con complejos
« en: 16 Febrero, 2020, 03:17 am »
Hola GENTE!! necesito de vuestra gran ayuda, por favor en el siguiente ejercicio.

Me solicitan calcular las soluciones en forma trigonométrica y en forma cartesiana de \( z^6=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

FORMA POLAR O TRIGONOMETRICA

LLamé \( w=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}+\displaystyle\frac{i}{\sqrt[ ]{2}}\Longleftrightarrow{w=\begin{cases}{ |w|=1}\\ \text{ y }\\ \alpha=Arg(w)=45°=\displaystyle\frac{\pi}{4} \end{cases}} \)\( \Longleftrightarrow{w=1 \cdot cis(45°)} \)

Luego \( z^6=cis(45°) \Longleftrightarrow{z=\sqrt[ 6]{cis(45°)}} \) tal que \( \sqrt[ 6]{w}=\left\{{z \in{\mathbb{C}: z^6=w}}\right\} \)

Las raíces son de la forma \( z_k=\left\{{\sqrt[6 ]{|w|} cis \left<{\displaystyle\frac{45° + 360 \cdot k}{6}}\right>}\right\} \) con \( k \in{\mathbb{Z}}\text{ } 0\leq{k}\leq{5} \)

Las seis soluciones son \( f(x)=\begin{cases} cis\left<{\displaystyle\frac{15}{2}}\right>\\cis\left<{\displaystyle\frac{135}{2}}\right>\\cis\left<{\displaystyle\frac{255}{2}}\right>\\cis\left<{\displaystyle\frac{375}{2}}\right>\\ cis\left<{\displaystyle\frac{495}{2}}\right>\\ cis\left<{\displaystyle\frac{615}{2}}\right>\end{cases} \)

FORMA CARTESIANA

\( z^6=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

Bueno aqui obviamente esos angulos que hallé en el inciso anterior no son exactos y por lo tanto hay una sugerencia que es la que sigue:

El lado derecho de la ecuación es \( i \)

Entonces hice \( w=z^3 \)

elevo al cuadrado miembro a miembro y obtengo \( w^2=(z^3)^2=z^6=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

Por lo tanto debo hallar las soluciones en forma cartesiana de \( w^2=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

Entonces llamo a \( w=a+bi\Longrightarrow{w^2=(a+bi)^2}=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \) con \( a,b \in{\mathbb{R}} \)

Desarrollando el cuadrado del lado izquierdo, agrupando e igualando complejos obtengo el siguiente sistema.

\( \begin{cases} a^2-b^2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \\ \text{ y }\\ 2ab=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}  \end{cases} \)

Reslviendo este sistema llego a dos soluciones \( w_1=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}}{2}+\displaystyle\frac{i}{\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{2}}} \) y \( w_2=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}}{2}-\displaystyle\frac{i}{\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{2}}}  \)

En teoría ahorra debo resolver en forma cartesiana las ecuaciones \( z^3=w_1 \) y \( z^3=w_2 \)

¿Hay algo que interpreté mal, o no se usar la sugerencia,  ??? ??? es muy engorroso, si debo usar el mismo procedimiento anterior, por eso pregunto.

GRACIAS

Saludos

18
Números complejos / Hallar la forma trigonométrica
« en: 14 Febrero, 2020, 03:18 am »
Hola GENTE!! necesito de vuestra valiosa ayuda, por favor, con el siguiente ejercicio.


Para el siguiente número complejo calcular su forma trigonométrica para \( n=2 \)  y para \( n=3 \) \( \left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)+cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \cdot i^n\right]^{-2} \)

Si \( \color\blue n=2 \Longrightarrow{i^2=-1}\color\black \) y por lo tanto \( \left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)- cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2} \).

Este número complejo es un número real pues tiene la parte imaginaria nula.

Sea \( z=sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \)

\( |z|=\sqrt[ ]{\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)\right]^2} \)

Como \( sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \approx{-0,467} <0 \) Podemos concluir \( \alpha=Arg(Z)=\pi \). Luego  \( z=|z|cis (\pi)\Longrightarrow{\alpha=\displaystyle\frac{23}{14}\pi} \)

\( z^{-2}=\left[|z| cis (\pi) \right]^{-2}\underbrace{=}_{DeMoivre}|z|^{-2} cis (-2 \cdot \pi) \)

Como \( 0\leq{Arg(w)\leq{2\pi}} \) entonces \( z^{-2}= |z|^{-2} cis (2\pi) \) ¿Es correcto?  ??? ???

Si \( \color\blue n=3 \Longrightarrow{i^3=-i}\color\black \) y por lo tanto \( \left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)+(-i) \cdot cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2}=\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-i \cdot cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2} \).

\( |z|=\sqrt[ ]{\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \right]^2 + \left[cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \right]^2}=1 \)

Sea \( \alpha=Arg(z) \) y \( \alpha'=Arctg\left(\displaystyle\frac{cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)}{sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)} \right)=\displaystyle\frac{5}{14}\pi \)

Por lo tanto \( \alpha=\displaystyle\frac{23}{14}\pi \)

Luego \( z= cis \left(\displaystyle\frac{23}{14}\pi\right) \)

\( z^{-2}=\left[cis \left(\displaystyle\frac{23}{14}\pi \right) \right]^{-2}=cis \left(\displaystyle\frac{-23}{7}\pi \right) \) Como \( 0\leq{Arg(w)\leq{2\pi}} \) le quitamos un giro a este argumento que no satisface la definición y nos queda \( \lambda=\displaystyle\frac{-9}{7}\pi \), ahora debemos hacerlo positivo.

Si a \( \displaystyle\frac{-9}{7}\pi+2\pi=\displaystyle\frac{5}{7}\pi \)

Así \( cis \left(\displaystyle\frac{5}{7}\pi \right) \) es correcto?   ??? ???

Desde ya muchísimas gracias!!

Saludos

19
Números complejos / Demostración complejos
« en: 10 Febrero, 2020, 07:40 pm »
Hola AMIGOS! habiendo leido mi teoría y dado que en ella se dicta la definicion de números complejos, módulo de un complejo, pasaje a la forma polar, propiedades del conjugados, y operaciones (sin DeMoivre aún) me solicitan que pruebe lo siguiente

a) Sea \( n \in{\mathbb{N}} \) y \( z \in{\mathbb{C}} \) tal que \( z^n=1 \) pruebe que \( \forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l} \). Luego utilizando esto verificar que \( \displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}} \)

En la primer parte del inciso a) ¿se debe aplicar inducción para esta demostración?

Necesito una guía de como comenzar no que lo realicen. Gracias!!

Saludos

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Números complejos / Demostración
« en: 10 Febrero, 2020, 02:53 am »
Hola, quisiera saber si hay otra forma de demostrar lo que hice en esta solicitud.

Sea \( z \in{\mathbb{C}} \), \( |z|=1 \) y \( z^{2n}\neq{-1} \) probar \( \displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}} \)

Demostración

Sea en su forma polar o trigonométrica  \( z=|z| cis (\alpha) \) tal que \( |z|=1 \)


\( \displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}}=\displaystyle\frac{|z|^n cis (n\alpha)}{1+|z|^{2n} cis(2n\alpha)} \)

Como \( |z|=1 \) se verifica que \( \displaystyle\frac{|z|^n cis (n\alpha)}{1+|z|^{2n} cis(2n\alpha)}=\displaystyle\frac{cis(n\alpha)}{1+cis (2n\alpha)}=\displaystyle\frac{cos(n\alpha) + i sen(n\alpha)}{1+cos(2n\alpha)+i sen (2n\alpha)} \)

LLamemos \( u=n\alpha \)

\( \displaystyle\frac{cos(u) + i sen(u)}{[1+cos(2u)]+i sen (2u)}=\displaystyle\frac{cos(u) + i sen(u)}{[1+cos(2u)]+i sen (2u)} \cdot \displaystyle\frac{[1+cos(2u)] -i sen(2u)}{[1+cos(2u)]-i sen (2u)}=  \)

Aplicamos distributiva

\( \displaystyle\frac{\left[cos(u)+ i sen(u) \right]\cdot \left[1+cos(2u) \right]- \left[cos(u)+ i sen(u) \right]\cdot i sen(2u)}{\left[1+cos(2u)\right]^2 + \left[sen (2u)\right]^2} \)

El denominador es un número real que llamaremos \( \phi =\left[1+cos(2u)\right]^2 + \left[sen (2u)\right]^2\neq{0}  \)

\( \displaystyle\frac{cos(u)\cdot \left[1+cos(2u)\right] + i sen (u) \cdot  \left[1+cos(2u)\right]  - cos(u) \cdot i sen(2u) - sen(u) \cdot sen(2u)}{\phi} \)

Agrupo parte real e imagnaria

\( \displaystyle\frac{cos(u)\cdot \left[1+cos(2u)\right]- sen(u) \cdot sen(2u)}{\phi} + \displaystyle\frac{sen (u) \cdot  \left[1+cos(2u)\right]-cos(u) \cdot  sen(2u)i}{\phi} \)


Debo probar que el numerador de la parte imaginaria es cero, es decir, \( sen (u) \cdot  \left[1+cos(2u)\right]-cos(u) \cdot  sen(2u)=0 \)

Aplico distributiva

\( sen(u) + sen(u) cos(2u) - cos(u) sen(2u) \)

Usando identidades trigonométricas \( \begin{cases}{ sen(2u)=2 sen(u)cos(u)}\\ \text{y}\\cos(2u)=cos^2(u) - sen^2(u) \end{cases} \)

\( sen(u) + sen(u) \left[ cos^2(u) - sen^2(u)\right] - cos(u) 2 sen(u)cos(u)=sen(u) + sen(u) cos^2(u)-sen^3(u)-2cos^2(u)sen(u)= \)

\( sen(u) - sen(u) cos^2(u)-sen^3(u)= \)

\( sen(u) \left[1-cos^2(u)-sen^2(u)\right] = sen(u) \left[1-\left(cos^2(u)+sen^2(u)\right)\right]=0 \)


Saber si está bien en principio y después saber quizas si hay una forma menos "extensa"

Muchas Gracias

Saludos

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